2、稳定性102.3.3Simulink仿真结果122.4系统的极点配置152.4.1状态反响法152.4.2输出反响法162.4.2系统极点配置162.5系统的状态观测器182.6利用离散的方法研究系统的特性202.6.1离散化定义和方法202.6.2零阶保持器222.6.3一阶保持器242.6.4双线性变换法263.总结284.参考文献285弹簧-质量-阻尼系统的建模与限制系统设计1研究背景及意义弹簧、阻尼器、质量块是组成机械系统的理想元件.由它们
3、组成的弹簧-质量-阻尼系统是最常见的机械振动系统,在生活中具有相当广泛的用途,缓冲器就是其中的一种.缓冲装置是吸收和耗散过程产生能量的主要部件,其吸收耗散能量的水平大小直接关系到系统的平安与稳定.缓冲器在生活中处处可见,例如我们的汽车减震装置和用来消耗碰撞能量的缓冲器,其缓冲系统的性能直接影响着汽车的稳定与驾驶员平安；另外,天宫一号在太空实现交会对接时缓冲系统的稳定与否直接影响着交会对接的成功.因此,对弹簧-质量-阻尼系统的研究有着非常深的现实意义.2弹簧-质量-阻尼模型数学模型是定量地描述系统的动态特性,揭示系统的结构、参数与动态特性之间关系的数学表达式.其中
4、,微分方程是根本的数学模型,不管是机械的、液压的、电气的或热力学的系统等都可以用微分方程来描述.微分方程的解就是系统在输入作用下的输出响应.所以,建立数学模型是研究系统、预测其动态响应的前提.通常情况下,列写机械振动系统的微分方程都是应用力学中的牛顿定律、质量守恒定律等.弹簧-质量-阻尼系统是最常见的机械振动系统.机械系统如图2.1所示,图2-1弹簧-质量-阻尼系统机械结构简图错误!其中错误！未找到引用源.、错误！未找到引用源.表示小车的质量,华北电力大学(保定)线性系统理论结课报告未找到引用源.表示缓冲器的粘滞摩擦系数,错误！未找到引用源.表
5、示弹簧的弹性系数,错误！未找到引用源.表示小车所受的外力,是系统的输入即错误！未找到引用源.,错误！未找到引用源.表示小车的位移,是系统的输出,即错误！未找到引用源.,i=1,2o设缓冲器的摩擦力与活塞的速度成正比,其中错误!未找到引用源.,错误！未找到引用源.,错误！未找到引用源.,错误！未找到引用源.,错误！未找到引用源.,错误！未找到引用源..2.1系统的建立由图2.1,根据牛顿第二定律,分别分析两个小车的受力情况,建立系统的动力学模型如下：对错误！未找到引用源.有：错误！未找到引用源.对错误！未找到引用源.有：错误！未找到引用源.联立得到：对
6、错误！未找到引用源.：错误！未找到引用源.对错误！未找到引用源.：错误！未找到引用源.令错误！未找到引用源.,错误！未找到引用源.,错误！未找到引用源.,错误！未找到引用源.,错误！未找到引用源.,错误！未找到引用源.；错误！未找到引用源.,错误！未找到引用源.得出状态空间表达式：一止￡+旦m1c,+ca-_羯+9+k3,c2耳+匸3rruSir4XnmrHlr所以,状态空间表达式为：错误！未找到引用源.+错误！未找到引用源rioo0]y=lo10oh由此可以得出
7、00100001+%Ci+c2k-2+k3电氐+Sm,Am2叫A=B=0'0,：错误!未找到引用源.,错误！未找到引用源.,错误！未找到引用源.,错误！未找到引用源.错误!未找到引用源.,错误！未找到引用源.代入数据得:〞0A=°-4001500000300-2000001093016—4.5-0.5 c=00ol2.1.1系统传递
8、函数的计算在Matlab中,函数ss2tf给出了状态空间模型所描述系统的传递函数,其般形式是[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,iu),其中iu是输入值.用Matlab将状态空间表达式表示为传递函数:在输入1单独作用的情况下A=[0010;0001;-400300-96;150-2003-4.5];B=[00;00;10;00.5];C=[1000;0100];D=[00;00];[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,1)运行程序,得到：num=0-0.0000
9、1.00004.5000200.00000-0.0000-0.00003.0000150.0000den=1.0e+0040.00010.00140.06230.18003.5000在输入2单独作用的情况下：A=[0010;0001;-400300-96;150-2003-4.5];B=[00;00;10;00.5];C=[1000;0100];D=[00;00];[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,2)运行程序,得到：num=0-0.0000-0
10、.00003.0000150.00000-0.00000.50004.5000200.0000den=华北电力大学〔保定〕线性系统理论结课报告1.0e+0040.00010.00140.06230.18003.5000由此可知：位移错误！未找到引用源.对外力错误！未找到引用源.的传递函数是：X1〔t〕_s2+4.5s+200"s4+14s3+623s2+1800s+35000位移错误！未找到引用源.对外力错误！未找到引用源.的传递函数是：3s+ISO"s4+14s3+623sz+180
11、0s+35000位移错误！未找到引用源.对外力错误！未找到引用源.的传递函数是：X1〔t〕3s+150"s4+14s3+623sz+1800s+35000位移错误！未找到引用源.对外力错误！未找到引用源.的传递函数是：X2〔t〕_0.5s2+4.5s+200~s4+14s3+623s2+1800s+350002.2系统的能控能观性分析在反响限制理论中只讨论输入量对输出量的限制.而这两个量的关系唯一地由系统的传递函数所确定.一个稳定的系统,一定能控.同时,系统的输出量本身就是我们想要限制的量,对于一个实际的系统来说
12、,输出量当然是可以被观测到的,因此在反响限制理论中没有必要设立能控和能观这两个概念.然而在现代限制理论中,能控和能观是两个重要的根本概念.我们把反映系统内部运动状态的状态向量作为被控量,而且它们不一定是实际上可观测到的物理量,至于输出量那么是状态向量的线性组合,这就产生了从输入量到状态量的能控性问题和从输出量到状态量的能观测性问题.在现代限制中,分析和设计一个限制系统,必须研究这个系统的能控性和能观性.状态方程描述了输入错误！未找到引用源.⑴引起状态X〔t〕的变化过程；输出方程那么描述了由状态变化引起的输出丫〔t〕的变化.能控性和能观性正是分别分析错误！
13、未找到引用源.〔t〕错误！未找到引用源.对状态X〔t〕的限制水平以及丫〔t〕对X〔t〕的反响水平2.2.1系统能控性分析设线性定常系统的状态方程为吒=hM+fcW式中Anxn矩阵Bnxr矩阵CmXn矩阵DmXr矩阵系统能控的充分必要条件为：能控判别阵错误！未找到引用源.的秩R〔错误！未找到引用源.〕=n,用Matlab计算能控矩阵的秩,从而对该系统的能控性进行判别,程序为：A=[0010;0001;-400300-96;150-2003-4.5];B=[00;00;10;00.5];
14、C=[1000;0100];D=[00;00];Qc=ctrb〔A,B〕R仁rank〔Qc〕运行程序,得到：R1=4等于矩阵行数,由此可以判断,系统是完全能控的2.2.2系统能观性分析设线性定常系统的状态方程为：错误！未找到引用源.11华北电力大学〔保定〕线性系统理论结课报告式中Anxn矩阵Bnxr矩阵CmXn矩阵DmXr矩阵能观的充分必要条件为：能观判别阵错误！未找到引用源.的秩R(错误!未找到引用源.)=n,下面,用Matlab计算能控矩阵的秩,从而对该系统的能控性进行判
15、断：A=[0010;0001;-400300-96;150-2003-4.5];B=[00;00;10;00.5];C=[1000;0100];D=[00;00];Qo=obsv(A,C)R2=rank(Qo)运行程序,得到：R2=4满秩,因此可以判断,该系统是完全能观的综上所述,这是一个既能控又能观的系统.2.3系统的稳定性分析2.3.1反响限制理论中的稳定性分析方法稳定性是一个系统可以被采用的最根本的条件,是系统的固有属性.稳定系统的定义如下：设限制系统处于某一起始的平衡状态,
17、稳定和临界稳定的线性定常系统是不能采用的⑴.在古典限制系统中,我们判断系统的稳定性经常用劳斯-赫尔维茨代数判据、时域分析法、根轨迹法、频域分析法等方法,但那只针对低阶系统.实际的工业生产中,经常会遇见一些特别复杂的系统.这时古典限制理论中的方法就有点捉襟见肘了.1892年俄国学者李雅普诺夫提出的稳定性理论是确定系统稳定性的更一般性理论,它采用了状态向量描述,不仅适用于单变量、线性、定常的系统,而且适用于多变量,非线性、时变的系统.李雅普诺夫理论在建立一系列关于稳定性概念的根底上,提出了判断系统稳定性的两种方法：一种方法是利用线性系统微分方程的解来判断系统稳定性,称为
18、李雅普诺夫第一法或间接法；另一种方法是首先利用经验和技巧来构造李雅普诺夫函数,进而利用李雅普诺夫函数来判断系统稳定性,称为李雅普诺夫第二法或直接法.2.3.2利用Matlab分析系统稳定性随着计算机技术的开展,在现代限制理论中,我们经常采用Matlab判断系统的稳定性.对于线性定常系统,典型的系统输入信号类型有脉冲、阶跃、斜坡、加速度、正弦信号.系统的稳定性是对任何输入信号而言,即假设一个系统是稳定的,那么其在任何输入信号情况下对应的输出曲线是收敛的.然而,阶跃信号包含了另外几种常见输入信号的特性,所以我们常通过观察系统的单位阶跃响应曲线判断判断系统的稳定性.假设
19、系统的单位阶跃响应是收敛的,那么系统一般是收敛的；否那么,是发散的.在Matlab中输入相应系统的状态空间表达式矩阵来求取系统的特征值：A=[0010;0001;-400300-96;150-2003-4.5];B=[00;00;10;00.5];C=[1000;0100];D=[00;00];eig(A)运行程序,得到:ans=-5.7735+22.3859i-5.7735-22.3859i-0.9765+8.0332i-0.9765-8.0332i因此由此可以知道,经计
20、算得出A阵的所有特征根均在复平面的左半平面,得出该系统是稳定的.给系统加起阶跃信号：A=[0010;0001;-400300-96;150-2003-4.5];B=[00;00;10;00.5];C=[1000;0100];D=[00;00];step(A,B,C,D)结果如下19StepResponsedmA■*+AI\__f1/vy0.0080.0060.0040.002From:ln(1)From:In(2)0.01
24、期望的位置,以获得所希望的动态性能.2.4.1状态反响法极点问题首先解决是否能通过状态反响来实现给定的极点配置,即在什么条件下才有可能根据规定的要求来配置极点.其次是,这样的反响阵K如何确定的问题.图2-7状态反响示意图(1)采用状态反响配置系统极点条件：系统(A,B,C)采用状态反响,任意配置其闭环系统极点的充要条件为：系统"(A,B,C)完全能控.假设系统不是完全能控的,就必须按能控性分解,只能任意配置可控的极点.(2)极点配置的方法：假设原系统(A,B)可控,那么采用状态反响阵K,有〔A-Bk!b可控.n+设原系统的特征方程为S
25、9n^S+■一+a!s+a0=0.00…0033+3B=[-〔a°%〕-〔6+K〕…-〔a*+人〕_I_1一010OK,…,k」,那么有:A—BK=配置后的闭环特征方程为：sn-〔anlkn二〕snJ1川…卷⑻kjs〔a0kJ=0；假设闭环系统希望的极点为’二‘1,'2,…,’n,得到：f〔,〕=s-rs-,2…S-,n=snrn」sn‘…risro.为使系统到达希望性能,比照式〔1〕和式〔2〕中系数,使之相
26、等,即可求得状态反响阵K二ko,/,…,kn」.采用状态反响配置系统极点不改变系统可控性,它不能影响系统中不可控局部模块.2.4.2输出反响法x=Ax+Bnx=〔A-HK〕x+Ryy=Cx=j=Cv图2-8输出反响示意图21对于完全能控的单变量系统,不能采用输出线性反响来实现闭环系统极点任意配置.不能任意配置极点,正是输出线性反响的根本弱点.为了克服这个弱点,在经典限制理论中,往往采取引入附加校正网络,通过增加开环零极点的方法改变根轨迹走向,从而使其落在指定的期望位置上.对于完全能控的单变量系统a〔A,B,
27、C〕,通过带动态补偿器的输出反响时限极点任意配置的充要条件是：1.系统完全能观测；2.动态补偿器的阶数为n-1o2.4.2系统极点配置在现代限制理论中是用系统内部的状态来描述系统的,所以经常从系统的状态引出信号作为反响量.利用状态反响只能改变系统能控局部的极点,而不能改变不能控局部的极点,因此利用状态反响进行极点配置的充分必要条件是系统必须是完全能控的.对一个可控系统,在采用状态反响后,可以实现闭环极点的任意配置,即通过状态反响的方法,使闭环系统的极点位于任意期望的位置上.对于1—上収二其中x是状态变量〔n维〕,u是限制信号,这里选
29、ab程序如下：A=[0010;0001;-400300-96;150-2003-4.5];B=[00;00;10;00.5];C=[1000;0100];D=[00;00];p=[-15+40i,-15-40i,-3+10i,-3-10i];k=place(A,B,p)step(A-B*k,B,C,D)运行程序,得到：k=-234.6522131.851214.45616.3957643.3762-89.97656.765836.0878华北电力大学〔保定〕线性系统理论结课报告
30、27StepResponseFrom:In(2)LLL--i!■r------3rrr-3X10From:ln(1)525150210o-QI0.511.52oT—X-I、■-■LJ251505400-XZ.LUO-JOT1.5
32、而,在系统的极点配置状态反响中,用观测器得到的状态估计值代替系统的真实状态.下列图为状态观测器的结构图：图2-11状态观测器示意图使用MATLAB^本系统设置状态观测器,选用极点配置时的极点,程序如下图所示：A=[0010;0001;-400300-96;150-2003-4.5];B=[00;00;10;00.5];C=[1000;0100];D=[00;00];p=[-15+40i,-15-40i,-3+10i,-3-10i];K仁place(A,B,p)A仁A-B*K1L仁(pla
33、ce(A',C',p))'A2=A-L1*CL2=(place(A1',C',p))'A3=A1-L2*Csys2=ss(A2,B,C,D)sys2=ss(A3,B,C,D)运行上面程序,得到：L1=7.083330.0895-30.579615.4167-41.6552-96.5401168.1877200.0790A2=-7.0833-30.08951.0000030.5796-15.416701.0000-358.3448396.5401-9.00006.0000-18.1877-400.07
34、903.0000-4.5000L2=3.7432-7.1200-21.4563-3.7432190.989493.5822115.5037-24.2083A3=-3.74327.12001.0000021.45633.743201.0000-655.5795-119.9176-18.285630.9515-81.9216-402.0612-29.0527-17.7144其中L1代表没进行状态反响时的状态观测反响矩阵,L2代表进行了状态反馈的状态观测矩阵.2.6利用离散的方法研究系统的特性2.6.1离散
37、错误！未找到引用源°;错误！未找到引用源.表示采样角频率,单位为错误！未找到引用源..在采样限制系统中,把脉冲序列转变为连续信号的过程称为信号复现过程.实现复现过程的装置称为保持器.采样周期的选择满足香农采样定理.采样周期太大会使信号失真,采样周期太小那么容易造成计算过程的累积偏差或失去采样系统的特性.香农采样定理是在设计离散系统时必须要遵循的准那么,它给出了自采样的离散信号不失真地恢复原连续信号所必需的理论上的最低采样频率.采样频率应该满足错误！未找到引用源.即是采样角频率错误！未找到引用源.,应使其对连续信号中的最高频率分量,在一个周期内被采样2次以上〔上半
38、周与下半周都至少采样一次〕,那么采样后的脉冲序列中将包含了连续信号的全部信息.但是,在仿真中所遇到的大多数被再现信号是没有频带限的,所以一般取采样频率再现信号主要频带中的最高频率的5~10倍.在离散限制系统的设计过程中,采样周期确实定依据的是现场检测的被调量信号的频率,对于频率较高的信号,采样周期的设定就小,而对于变华北电力大学(保定)线性系统理论结课报告化过程较慢的低频信号,采样周期的设定可以大一些.有关概念在工程上的实际应用会有专门的内容介绍.线性连续系统状态方程离散化的实质是将矩阵微分方程化为矩阵差分方程,它是描述多输入多输出离散系统的一种方便的数学模型.
39、在推导离散化系统的方程时,假定系统是周期性采样,并且采样脉冲宽度远小于采样周期,采样周期T的选择满足香农采样定理,还假设系统具有零阶保持特性,即在两个采样瞬间之间,采样值不变,并等于前一个采样时刻的值.通常离散化的方法有很多,例如欧拉法,梯形法,龙哥-库塔(Runge-Kutta)法,阿达姆斯(AdamS法等等.下面主要运用三种方法来对系统进行离散化并运用计算机进行模拟系统的特性,分析不同采样周期对系统的影响效果.262零阶保持器零阶保持器可以将脉冲序列变成连续的方波信号,即将前一个采样周期的数值保存到下一个采样点到来的时候.在Matlab中输入函数如下：A
41、lmAStepResponseo-.^TDTKUO..OTt=0.1sCD0FPmAStepResponsex10\A^T_k-uo-OT\ztoo-OTt=0.05sStepResponseFrom:ln(1)From:ln(2)o.d—CPOJ-1
42、mA32.521.510.5-3X10x1021.5-1.5010.50-0.5-150100150501001502002000Time(sec)t=0.01s图2-12零阶保持器离散化2.6.3一阶保持器采用一阶保持器进行离散化,程序如下A=[0010;0001;-400300-96;150-2003-4.5];B=[
44、AFrom:ln(1)From:ln(2)A2.521.510.5-30\yrLUo-OTt=0.05sStepResponseFrom:ln(1)From:ln(2)o.d—CPOJ-1mA32.521.510.5-3X10
45、x1021.5-1.5010.50-0.5-1501001502000Time(sec)50100150200t=0.01s图2-13一阶保持器离散化2.6.4双线性变换法采用双线性变换法进行离散,程序如下：A=[0010;0001;-400300-96;150-2003-4.5];B=[00;00;10;00.5];C=[1000;010
47、From:In(1)From:In(2)oT—X352515o210o-OT402030Time(sec)t=0.05soT—X-_25\yrLUo-OTCD0FPmAStepResponseoT—X2515054