当前,中职对口升学考试(职教高考)已成为普通高等院校选拔优秀人才的重要方式之
一,是拓宽技术技能型人才成长渠道、加快构建现代职业教育体系的关键一环.而数学学科
是中职对口升学考试必考的文化基础课程之一,对我们的求学之路发挥着不可忽视的作用.
为了帮助广大考生有针对性地复习备考,提高学习效率,从根本上增强考生的应试信心和应
试能力,我们特邀约了一批具有多年对口升学教学经验的一线教师和命题经验的专家,以教
育部最新职业学校数学课程标准为指导,深入研究近五年河南省对口升学真题,依据最新考
纲和命题要求,组织编写了本书.
本书可与职教高考数学复习教程测试卷配套使用,两书均服务于河南对口升学考试
一轮复习,结构相仿,内容相应,先学后练,以练促学,对学生复习和教师讲学均有一定的帮助.
本书具有以下几个方面的特点.
一、专注考试动态明方向
本书编写组深入研讨了近五年对口升学命题规律及趋势,对于考试的热点、焦点、重点,
进行了“星级”列表明示,同时遵照最新考纲和命题要求,进行了考点辨析、重点解析、难点释
义及变式训练,更有利于考生掌握考试要点、提高应试能力.
二、专注核心素养重渗透
本书编写组注重将数学学科核心素养渗透于例题讲解、习题训练中,使学生在数学知识
学习和数学能力培养的过程中,逐步提高数学运算、直观想象、逻辑推理、数学抽象、数据分
析和数学建模等数学学科核心素养,初步学会用数学眼光观察世界、用数学思维分析世界、
用数学语言表达世界,力争在夯实基础知识、提升基本技能的同时,为将来成长为德智体美
劳全面发展的高素质劳动者和技术技能人才奠定基础.
三、专注讲练结合求实效
本书编写组秉持以精讲精练相结合为主线,力求典例精解、变式精析、习题精练,切实对
内,在把握备考方略、掌握解题技巧、提高应试能力等方面取得事半功倍的效果.
本书由“相约在高校”丛书编写组编写,参与编写的老师有李卫东、徐永昌、段玲、李凤
广大师生不吝批评指正,以便改进和提高.
“相约在高校”丛书编写组
２０２４年５月
第一章集合１
第一节集合的概念、集合之间的关系２
第二节集合的运算５
第二章不等式１０
第一节不等式的基本性质及区间１１
第二节一元二次不等式１６
第三节含绝对值的不等式２１
第四节不等式的应用举例２５
第三章函数２７
第一节函数的概念及表示法２８
第二节函数的定义域及值域３１
第三节函数的单调性３６
第四节函数的奇偶性４０
第五节几种常见的函数４５
第四章三角函数４８
第一节角的概念的推广４９
第二节弧度制５２
第三节任意角的三角函数５６
第四节同角三角函数的基本关系式６０
第五节诱导公式６４
第六节正弦、余弦函数的图像与性质６８
第五章指数函数和对数函数７１
第一节指数与指数函数７２
第二节对数与对数函数７６
第六章直线与圆的方程８１
第一节两点间距离公式和线段的中点坐标公式８２
第二节直线方程８５
第三节两条直线的位置关系８９
第四节圆９４
第五节直线与圆的位置关系９７
第六节直线与圆的方程应用举例１００
第七章简单几何体１０１
第一节多面体１０２
第二节旋转体１０７
第三节简单几何体的三视图１１１
１
第八章概率与统计初步１１５
第一节随机事件与概率１１６
第二节古典概型、概率的简单性质１２０
第三节统计初步１２７
第九章充要条件１３１
第一节充要条件１３２
第十章平面向量１３６
第一节平面向量的概念及线性运算１３７
第二节平面向量的内积１４１
第三节平面向量的坐标表示１４６
第十一章圆锥曲线１５０
第一节椭圆１５１
第二节双曲线１５５
第三节抛物线１６０
第十二章立体几何１６４
第一节平面１６５
第二节直线与直线的位置关系１６８
第三节直线与平面的位置关系１７４
第四节平面与平面的位置关系１７９
第十三章复数１８５
第一节复数的概念和意义１８６
第二节复数的运算１９１
第三节实系数一元二次方程的解法１９５
第十四章三角计算１９８
第一节和角公式１９９
第二节正弦型函数２０５
第三节正弦定理２１０
第四节余弦定理２１３
第十五章数列２１６
第一节数列的概念２１７
第二节等差数列２２０
第三节等比数列２２５
第四节数列的综合应用２２９
第十六章排列组合２３４
第一节计数原理２３５
第二节排列与组合２３８
第三节二项式定理２４３
参考答案
２
第一章集合
命题回顾及趋势
考试风向标
考试内容考核要求五年高考示例常考题型重要层次
集合的概念了解——★
元素与集合的关系理解２０２３年:T１—★★
集合的表示法掌握２０２２年:T１选择题★★
集合之间的关系(子集、
真子集、相等)
掌握
２０２１年:T１;
２０２３年:T１
选择题★★★
集合的运算(交、并、补)理解
２０１９年:T１１;
２０２０年:T１,T１１;
２０２１年:T１,T１１
选择题
填空题
★★★★★
复习建议
小结:本章知识点在２０１９—２０２３年均有考查,主要以选择题的形式考
查集合的交集或补集运算,题目简单,培养和提升了学生数学抽象、逻辑推
理、数学运算、直观想象和数据分析的核心素养．
建议:本章知识属于基础知识,考查的难度较小,复习时应以基础题为
主,适当强化训练．对于本章的复习,要注重对集合交、并运算的训练．
思维导图
开拓思维智慧
第一节集合的概念、集合之间的关系
知识整合
不变应对万变
基础知识
１．集合的概念及集合中元素的性质
(１)集合:由某些组成的整体称为,简称为集．组成这个集合
的对象称为这个集合的．
(２)集合的元素具有、、．
注:元素的互异性在一些集合的计算中常常作为检验的依据．
(３)元素与集合的关系:如果a是集合A的元素,就说a属于A,记作;如果a
不是集合A的元素,就说a不属于A,记作．
２．集合的分类
依据集合中元素的个数,可以将集合分为和．不含任何元素的集合称
为,记作,空集也是有限集．
注:要区分空集和{０}．
３．集合的表示法
(１)列举法,如:{１,２,３,４}．
(２)描述法,如:{x|x２＋２x＋１＝０}．
(３)韦恩图法．
注:数集也可以用区间表示,在解不等式中将详细说明,如:(２,７),[－３,５]．
４．常用数集符号
正整数集自然数集整数集有理数集实数集
５．集合之间关系
(１)子集,符号表示:．
(２)真子集,符号表示:．
(３)集合相等．
基础训练
１．下列对象中可以组成集合的是()
A．高一(２)班高个子男生B．成绩好的同学
C．绝对值小于５的实数D．与２非常接近的实数
职教高考数学复习教程
２．若集合M＝{１,３,a－１},N＝{－２,a２,３},且N＝M,则a的值是()
A．－１B．１C．０D．３
３．下列集合中是有限集的是()
A．{x|x２－１＝０}B．{三角形}
C．{x|x＝２n,x∈N}D．{x|x＜３,x∈Z}
４．已知集合A＝{１,２,３,４,５},且CA,若a∈C,则６－a∈C,这样的集合C有个．
５．集合{a２,－a}中实数a的取值范围是．
６．满足{１,２}M{１,２,３,４}的集合M的个数是．
重难点突破
明确考试方向
考点１集合的表示法
【例１】用适当的方法表示下列集合:
(１)由大于－４且小于１２的所有偶数组成的集合;
(２)不等式２x＋１≤０的解集;
(３)所有奇数组成的集合．
【解析】(１)集合用列举法表示为{－２,０,２,４,６,８,１０}．
(２)解不等式２x＋１≤０得x≤－
,所以不等式２x＋１≤０的解集为xx≤－
{２}．
(３)所有奇数组成的集合为{x|x＝２k＋１,k∈Z}．
反思提炼:本题主要考查有限集与无限集的定义．当集合是有限集时,选择列举法;当集
合是无限集时,选择描述法．
【变式训练】按要求表示下列集合:
(１)用描述法表示不等式２x－５＞３的解集;
(２)用列举法表示小于８的质数．
考点２集合与元素的关系
【例２】(２０２３年河南对口招生真题)若集合A＝{x|x≤０},则下列关系中正确的是
()
A．０AB．{０}∈AC．∈AD．{０}A
【解析】元素与集合之间用“∈”或“”,集合与集合之间用“”或“”,D正确．故
选D．
反思提炼:本题主要考查元素与集合、集合与集合之间关系符号的运用．另外注意也
是集合,要用集合之间的关系符号．
３
【变式训练】若集合M＝{５},则下列关系中正确的是()
A．５＝MB．５∈MC．５MD．５M
考点３集合与集合的关系
【例３】已知集合A＝{－１,２,a},B＝{２,４},若BA,则实数a＝．
【解析】由BA知４∈A,所以a＝４．
反思提炼:本题考查子集的概念,当BA时,B中元素全部属于A,故a＝４．
【变式训练】已知集合A＝{－１,１},B＝{x|ax＝１},若BA,则实数a的值为
．
课堂练习
课后巩固训练
１．已知集合A＝{－１,－２,０,５},则下列关系中成立的是()
A．－１AB．{－２,０}∈AC．５∈AD．０A
２．下列关系中正确的是()
A．０B．０∈C．０＝D．{０}
３．若集合A＝{x|x＞１},B＝{x|x＞２},则A与B的关系是()
A．ABB．BAC．A∈BD．B∈A
４．下列选项中表示同一个集合的是()
A．A＝{２,３},B＝{３,２}B．A＝{(２,３)},B＝{(３,２)}
C．A＝{(２,３)},B＝{３,２}D．A＝{０},B＝
５．已知集合A＝{２,４,６,８},B＝
b
a{a∈A,b∈A},则B中元素的个数为()
A．４B．８C．１０D．１１
６．集合A＝{x|x２－x－６＝０}的真子集个数为()
A．１B．２C．３D．４
７．集合M＝{x２－x＜０}中元素的个数为．
８．集合M＝{x|x２－x＝０}中元素的个数为．
９．已知集合A＝{菱形},B＝{正方形},C＝{平行四边形},则A,B,C之间的关系是
１０．已知集合A＝{x|mx２＋２x＋１＝０,m∈R}．
(１)若A是空集,求实数m的取值范围;
(２)若A中只有１个元素,试求实数m的值,并求出这个元素．
１１．已知集合A＝{１,３,a},B＝{１,a２－a＋１},且BA,求实数a的值．
４
第二节集合的运算
１．交集的概念及其性质
(１)概念:对于给定的两个集合A,B,由既属于A又属于B的所有元素组成的集合,称
为集合A与B的,记作,读作“A交B”．
(２)性质:A∩B＝,A∩A＝,A∩＝,A∩BA,A∩BB,A
∩B＝AAB．
２．并集的概念及其性质
(１)概念:对于给定的两个集合A,B,由A,B的所有元素组成的集合,称为集合A与B
的,记作,读作“A并B”．
(２)性质:A∪B＝B∪A,A∪A＝A,A∪＝A,AA∪B,BA∪B,A∪B＝ABA．
３．补集的概念及其性质
(１)概念:如果集合A是全集U的子集,那么由U中不属于A的所有元素组成的集合,
称为A在U中的．记作,读作“A在U中的补集”．
(２)性质:A∪(UA)＝U,A∩(UA)＝,U(UA)＝A．
１．设全集U＝{－２,－１,０,１,２,３,４},集合M＝{－２,０,２,４},P＝{０,１,４},则(UP)∩
(UM)＝()
A．{－２,－１,１,２,３}B．{－２,０,１,２,４}
C．{－１,３}D．{０,４}
２．已知集合M＝{x|x２＜４},N＝{x|x２－２x－３＜０},则M∩N＝()
A．{x|x＜－２}B．{x|x＞３}C．{x|－１＜x＜２}D．{x|２＜x＜３}
３．已知集合A＝{x|x＜０},B＝{x|－２＜x＜１},则A∪B＝()
A．{x|x＜１}B．{x|x＜０}C．{x|x＞－２}D．{x|－２＜x＜１}
４．已知集合A＝{x|x２－x－２＞０},则RA＝()
A．{x|－１＜x＜２}B．{x|－１≤x≤２}
C．{x|x＜－１或x＞２}D．{x|x≤－１或x≥２}
５．下列关系式中正确的是()
A．A∩＝AB．A∩(UA)＝C．A∩BAD．A∩BB
６．已知集合A＝{x|－１＜x＜３},B＝{x|x２＜０},则A∩B＝．
５
７．已知全集U＝{x|－１≤x≤５,x∈Z},集合A＝{０,１,２},B＝{x|x＝３a－１,a∈A},
则U(A∪B)＝．
考点１交集
【例１】已知集合A＝{２,３,４},B＝{４,５,７},求A∩B．
【解析】因为A＝{２,３,４},B＝{４,５,７},所以A∩B＝{４}．
反思提炼:本题主要考查交集的概念．由既属于集合A又属于集合B的元素构成它们
的交集．
【例２】已知集合A＝{x|２x２－ax＋b＝０},B＝{x|６x２＋(a＋２)x＋５b＝０},且A∩
B＝{２},求实数a,b的值．
【解析】因为A∩B＝{２},所以２∈A且２∈B,即２是方程２x２－ax＋b＝０与６x２＋
(a＋２)x＋５b＝０的根,所以
８－２a＋b＝０,
{２４＋２(a＋２)＋５b＝０,
解得a＝１,b＝－６．
反思提炼:本题主要考查利用集合交集中的元素解决有关问题．
【变式训练１】已知集合A＝{１,２},B＝{２,３},C＝{１,３},则A∩(B∪C)＝()
A．{１,２}B．{３,４}C．{２}D．{４}
【变式训练２】已知集合A＝{(x,y)|x－y＝１},B＝{(x,y)|x＋y＝５},求A∩B．
考点２并集
【例３】(１)已知集合A＝{２,３,４},B＝{４,５,７},则A∪B＝．
(２)已知集合A＝{０,１,２},B＝{x|x＝２a,a∈A},则A∪B＝．
【解析】(１)因为A＝{２,３,４},B＝{４,５,７},所以A∪B＝{２,３,４,５,７}．
(２)因为A＝{０,１,２},所以B＝{０,２,４},故A∪B＝{０,１,２,４}．
反思提炼:本题主要考查集合间的并集运算．
【变式训练１】已知集合A＝{x|０＜x＜２},B＝{x|x＜－２或x＞１},求A∩B,
A∪B．
６
【变式训练２】已知集合A＝{x|２x２＋x＋a＝０},B＝{x|２x２＋bx＋２＝０},且A∩B＝
{２},求实数a,b的值及A∪B．
考点３补集
【例４】已知全集U＝{１,２,３,４,５,６,７,８},集合A＝{２,３,４},B＝{４,５,７},求A∩(UB),
(UA)∪(UB)．
【解析】因为全集U＝{１,２,３,４,５,６,７,８},所以UA＝{１,５,６,７,８},UB＝{１,２,３,
６,８},故A∩(UB)＝{２,３},(UA)∪(UB)＝{１,２,３,５,６,７,８}．
反思提炼:本题主要考查集合间的补集运算．
【变式训练】已知全集U＝R,集合A＝{x|０＜x＜２},B＝{x|x＜－２或x＞１},求:
(１)(UA)∪(UB);
(２)(UA)∩(UB)．
１．设集合A＝{１,３,５,７},B＝{x|２≤x≤５},则A∩B＝()
A．{１,３}B．{３,５}C．{５,７}D．{１,７}
２．已知集合P＝{(x,y)|x＋y＝１},Q＝{(x,y)|x－y＝３},则P∩Q＝()
A．{２,－１}B．{(２,－１)}C．(２,－１)D．{x＝２,y＝－１}
３．已知集合A＝{m,０},B＝{１,２,３},且A∩B＝{１},则A∪B＝()
A．{m,０,１,２,３}B．{０,１,２,３}
C．{０,１,１,２,３}D．无法确定
４．已知集合A＝{２,m２},B＝{－１,２,２m＋３},若AB,则实数m的值为()
A．－１或３B．０C．－１D．３
５．已知集合A＝{x|x２＋２x－８＝０},B＝{x|x２＋４x－１２＝０},则A∩B＝．
６．设全集U＝{x∈N|x＜７},集合A＝{１,２,４,６},则UA＝．
７
７．已知集合A＝{０,２,a２},B＝{１,a},A∩B＝{１},则实数a＝．
８．已知集合A＝{x|x２－２x－８＜０},B＝{x|x－a＜０},若A∩B＝,求实数a的取
值范围．
９．已知集合A＝{－４,２a－１,a２},B＝{a－５,１－a,９},若A∩B＝{９},求实数a的值．
８
１０．已知全集U＝R,集合A＝{x|x≥３},B＝{x|０≤x＜３},求A∩B,A∪B,UA,
UB,(UA)∩(UB),(UA)∪(UB)．
１１．已知集合A＝{x|x２－ax＋３＝０,a∈R}．
(１)若１∈A,求实数a的值;
(２)若集合B＝{x|２x２－bx＋b＝０,b∈R},且A∩B＝{３},求A∪B．
９
解题思路与方法实践
知识梳理
１．(１)确定的对象集合元素
(２)确定性互异性无序性
(３)a∈AaA
２．有限集无限集空集
４．NNZQR
５．
１．C【解析】由某些确定的对象组成的整体叫做
集合,只有C选项中元素是确定的,A,B,D中的
元素都不确定．故选C．
２．A【解析】因为集合N＝M,所以a－１＝－２,
即a＝－１且a２＝１．故选A．
３．A【解析】A选项中{x|x２－１＝０}＝{－１,
１},所以是有限集．故选A．
４．７【解析】含有１个元素的集合有{３};含有２
个元素的集合有{１,５},{２,４};含有３个元素的
集合有{１,３,５},{２,３,４};含有４个元素的集合
有{１,２,４,５};含有５个元素的集合有{１,２,３,４,
５},所以符合条件的集合有７个．
５．{a|a≠０且a≠－１}【解析】本题考查集合元
素的互异性,即需满足a２≠－a,解得a≠０且a
≠－１．
６．４【解析】满足条件的集合M:含有２个元素
的集合是{１,２};含有３个元素的是{１,２,３}与
{１,２,４},含有４个元素的是{１,２,３,４},所以符
合条件的集合M有４个．
【例１】【变式训练】(１){x|x＞４}(２){２,３,５,
７}【解析】(１)解不等式２x－５＞３得x＞４,所以
不等式２x－５＞３的解集用描述法表示为{x|x＞４}．
(２)小于８的质数有２,３,５,７,所以用列举法表示为
{２,３,５,７}．
【例２】【变式训练】B【解析】要明确元素与
集合之间是“属于”还是“不属于”的关系,不要与集
合和集合之间的关系混淆．５是元素,与集合M之
间用“∈”．故选B．
【例３】【变式训练】０或１或－１【解析】因为
BA,当a＝０时,B＝,符合题意;当a≠０时,B＝
{a},又A＝{－１,１},所以
a
＝－１或
＝１,即
a＝±１．
１．C【解析】５是集合A的元素,所以５∈A．故
选C．
２．A【解析】空集中不包含任何元素．故选A．
３．B【解析】根据集合子集的定义,集合B中的
元素全部在集合A中,集合A中部分元素不在
集合B中,故BA．故选B．
４．A【解析】根据集合元素的无序性,可知A表
示同一个集合;B中集合为点集,顺序不同表示
不同的点;C中前者为点集,后者为数集,不能表
示同一个集合;D中空集不包含任何元素．故
选A．
５．D【解析】根据集合元素的互异性,当A＝{２,
４,６,８},B＝
a{a∈A,b∈A}时,B＝{１,２,３,
４,
,
３}．故选D．
６．C【解析】若集合A中含有n个元素,则集合
A有２n个子集,有(２n－１)个真子集,方程x２－x
－６＝０有两个根,所以集合有２个元素,真子集
个数为２２－１＝３．故选C．
７．１【解析】集合M中的元素是不等式x２－x
＜０,因此M中只有１个元素．
８．２【解析】集合M＝{x|x２－x＝０}＝{０,１},
元素个数为２．
９．BAC【解析】所有的正方形一定都是菱
形,而菱形不一定是正方形;所有的菱形都是平
行四边形,而平行四边形不一定是菱形,所以B
AC．
１０．(１)(１,＋∞)(２)当m＝０时,A中元素为－
;
当m＝１时,A中元素为－１【解析】(１)①当
m＝０时,集合A＝－
{２},不是空集;
②当m≠０时,mx２＋２x＋１＝０是一元二次方
程,若A是空集,则Δ＜０,由Δ＝４－４m＜０,解得
m＞１,故m的取值范围是(１,＋∞)．
(２)①当m＝０时,集合A＝－
{２},只有一个
元素－
;②当m≠０时,若A中只有一个元
素,则Δ＝０,由Δ＝４－４m＝０,解得m＝１．解方
程x２＋２x＋１＝０,得x＝－１,A＝{－１}．集合
A中只有一个元素－１．
１１．２或－１【解析】因为BA,所以a２－a＋
１＝３或a２－a＋１＝a．当a２－a＋１＝３时,a＝２
或－１,符合题意;当a２－a＋１＝a时,a＝１,不
符合题意,舍去．故a＝２或－１．
１．(１)交集A∩B(２)B∩AA
２．并集A∪B
３．补集UA
１．C【解析】因为U＝{－２,－１,０,１,２,３,４},
M＝{－２,０,２,４},P＝{０,１,４},所以UP＝
{－２,－１,２,３},UM＝{－１,１,３},所以(UP)∩
(UM)＝{－１,３}．故选C．
２．C【解析】由题意可知集合M＝{x|－２＜x＜
２},N＝{x|－１＜x＜３},所以M∩N＝{x|－１＜
x＜２}．故选C．
３．A【解析】因为集合A＝{x|x＜０},B＝{x|
－２＜x＜１},所以A∪B＝{x|x＜１}．故选A．
４．B【解析】因为集合A＝{x|x２－x－２＞０}＝
{x|x＜－１或x＞２},所以RA＝{x|－１≤x≤
２}．故选B．
５．B【解析】由集合的运算性质可知,A∩(UA)
＝成立．故选B．
６．【解析】因为B＝{x|x２＜０}＝,所以A∩
B＝A∩＝．
７．{３,４}【解析】因为集合A＝{０,１,２},B＝
{xx＝３a－１,a∈A},所以B＝{－１,２,５},所
以A∪B＝{－１,０,１,２,５},U(A∪B)＝{３,４}．
【例２】【变式训练１】A【解析】因为B∪C＝
{１,２,３},所以A∩(B∪C)＝{１,２}．故选A．
【变式训练２】{(３,２)}【解析】集合A表示方
程x－y＝１的解集,集合B表示方程x＋y＝５的解
集,所以两个集合的交集就是方程组
x－y＝１,
{x＋y＝５
的解
集,由
{x＋y＝５,
解得
x＝３,
{y＝２,
所以A∩B＝{(３,２)}．
【例３】【变式训练１】A∩B＝{x|１＜x＜２},A
∪B＝{x|x＜－２或x＞０}【解析】因为A＝
{x|０＜x＜２},B＝{xx＜－２或x＞１},所以A∩
B＝{x|１＜x＜２},A∪B＝{x|x＜－２或x＞０}．
【变式训练２】a＝－１,b＝－５,A∪B＝{－１,２,
２}【解析】因为A∩B＝
{２},所以
∈A且
∈B,即
是方程２x２＋x＋a＝０和２x２＋bx＋２
＝０的根,所以
２×
(２)
＋
＋a＝０,
b＋２＝０,
ì
í
a＝－１,b＝－５．此时A＝{x|２x２＋x－１＝０}＝
－１,
{２},B＝{x|２x２－５x＋２＝０}＝
２{,２},所以
A∪B＝－１,２,
【例４】【变式训练】(１){x|x≤１或x≥２}
(２){x|－２≤x≤０}【解析】由题意得UA＝{x|x
≤０或x≥２},UB＝{x|－２≤x≤１}．
(１)(UA)∪(UB)＝{x|x≤１或x≥２}．
(２)(UA)∩(UB)＝{x|－２≤x≤０}．
１．B【解析】因为集合A＝{１,３,５,７},B＝{x|
２≤x≤５},所以A∩B＝{３,５}．故选B．
２．B【解析】集合P表示方程x＋y＝１的解集,集
合Q表示方程x－y＝３的解集,所以两个集合的
交集就是方程组
x＋y＝１
{x－y＝３
的解集,由
x＋y＝１,
{x－y＝３,
解
得
x＝２,
{y＝－１,
所以P∩Q＝{(２,－１)}．故选B．
３．B【解析】因为A∩B＝{１},所以m＝１,A＝
{１,０},A∪B＝{０,１,２,３}．故选B．
４．A【解析】因为AB,且m２≥０,m２≠２,所
以m２＝２m＋３,解得m＝－１或３,经验证均符
合题意．故选A．
５．{２}【解析】已知集合A＝{x|x２＋２x－８＝
０}＝{２,－４},B＝{x|x２＋４x－１２＝０}＝{２,－
６},则A∩B＝{２}．
６．{０,３,５}【解析】因为U＝{x∈N|x＜７}＝
{０,１,２,３,４,５,６},所以UA＝{０,３,５}．
７．－１【解析】因为A∩B＝{１},所以１∈A,又
A＝{０,２,a２},因此a２＝１,a＝±１．经验证a＝１
不符合题意,a＝－１符合题意,所以a＝－１．
８．(－∞,－２]【解析】集合A＝{x|x２－２x－８
＜０}＝{x|－２＜x＜４},B＝{x|x－a＜０}＝{x|
x＜a},又因为A∩B＝,所以在数轴上可以看
出a≤－２．
９．－３【解析】∵A∩B＝{９},∴２a－１＝９或a２
＝９．若２a－１＝９,则a＝５,将a＝５代入得A＝
{－４,９,２５},B＝{０,－４,９},A∩B＝{－４,９},不
符合题意;若a２＝９,则a＝±３,经验证a＝３不符
合题意,a＝－３符合题意．综上所述,a＝－３．
１０．A∩B＝,A∪B＝{x|x≥０},UA＝{x|x＜
３},UB＝{x|x＜０或x≥３},(UA)∩(UB)＝
{x|x＜０},(UA)∪(UB)＝R【解析】A∩
B＝,A∪B＝{x|x≥０},UA＝{x|x＜３},
UB＝{x|x＜０或x≥３},(UA)∩(UB)＝{x|
x＜０},(UA)∪(UB)＝R．
１１．(１)a＝４(２)A∪B＝１,
２{,３}
【解析】(１)因为１∈A,所以将x＝１代入方程
x２－ax＋３＝０得,１２－a×１＋３＝０,解得a＝４．
(２)因为A∩B＝{３},所以３∈A且３∈B,将x
＝３代入方程x２－ax＋３＝０得,３２－３a＋３＝
０,解得a＝４,解方程x２－４x＋３＝０得,x＝１
或x＝３,此时A＝{１,３}．将x＝３代入方程２x２
－bx＋b＝０得,２×３２－３b＋b＝０,解得b＝９,
解方程２x２－９x＋９＝０得,x＝３或x＝
,此
时B＝
２{,３},故A∪B＝１,
２{,３}．
第二章不等式
第一节不等式的基本性质及区间
１．a＞ba＝ba＜b
２．a＋c＞b＋c一个数(或代数式)不变ac＞bc
ac＜bc不变改变a＞ca＋c＞b＋d
３．移项法则ac＞bd
４．(１)闭区间[a,b](２)开区间(a,b)
(３)[a,b)(４)(a,b]
５．正无穷大负无穷大
(１)[a,＋∞)(２)(a,＋∞)(３)(－∞,a]
(４)(－∞,a)
１．C【解析】因为－
１５
１７
－－
(９)＝
１５３
＞０,所
以－
＞－
．故选C．
２．B【解析】本题可用特殊值法,可令x＝
,则
x２＝
,x３＝
,则x＞x２＞x３．故选B．
３．B【解析】A选项中c＝０时,ac２＝bc２,所以
原不等式不成立;B选项中
－
＝
b－a
ab
,因为
a,b,c∈R,且a＜b＜０,所以b－a＞０,ab＞０,即
＞０,所以
＞
;C选项中
b２－a２
(b＋a)(b－a)
,因为a,b,c∈R,
且a＜b＜０,所以ab＞０,b－a＞０,b＋a＜０,所
以
＜０,即
＜
,原不等式不成
立;D选项中a２－ab＝a(a－b),因为a,b,c∈R,且
a＜b＜０,所以a２－ab＝a(a－b)＞０,即a２＞
ab,原不等式不成立．故选B．
４．C【解析】因为A＝[１,４],B＝(２,５],所以
A∩B＝(２,４]．故选C．
５．A【解析】只有②正确．故选A．
６．(－１,＋∞)【解析】解不等式３(x－２)＋１＞
２x－６,得x＞－１,所以解集用区间表示为(－１,
＋∞)．
第一节集合的概念、集合之间的关系１
第二节集合的运算３
第二章不等式６
第一节不等式的基本性质及区间６
第二节一元二次不等式８
第三节含绝对值的不等式１０
第四节不等式的应用举例１２
第三章函数１３
第一节函数的概念及表示法１３
第二节函数的定义域及值域１５
第三节函数的单调性１８
第四节函数的奇偶性２０
第五节几种常见的函数２３
第四章三角函数２５
第一节角的概念的推广２５
第二节弧度制２７
第三节任意角的三角函数３０
第四节同角三角函数的基本关系式３２
第五节诱导公式３５
第六节正弦、余弦函数的图像与性质３８
第五章指数函数和对数函数４０
第一节指数与指数函数４０
第二节对数与对数函数４２
第六章直线与圆的方程４４
第一节两点间距离公式和线段的中点坐标公式４４
第二节直线方程４５
第三节两条直线的位置关系４８
第四节圆５０
第五节直线与圆的位置关系５２
第六节直线与圆的方程应用举例５５
第七章简单几何体５６
第一节多面体５６
第二节旋转体５８
第三节简单几何体的三视图６０
第八章概率与统计初步６２
第一节随机事件与概率６２
第二节古典概型、概率的简单性质６４
第三节统计初步６７
第九章充要条件６９
第一节充要条件６９
第十章平面向量７２
第一节平面向量的概念及线性运算７２
第二节平面向量的内积７４
第三节平面向量的坐标表示７６
第十一章圆锥曲线７８
第一节椭圆７８
第二节双曲线８１
第三节抛物线８３
第十二章立体几何８６
第一节平面８６
第二节直线与直线的位置关系８８
第三节直线与平面的位置关系９０
第四节平面与平面的位置关系９３
第十三章复数９６
第一节复数的概念和意义９６
第二节复数的运算９８
第三节实系数一元二次方程的解法１００
第十四章三角计算１０２
第一节和角公式１０２
第二节正弦型函数１０５
第三节正弦定理１０７
第四节余弦定理１１０
第十五章数列１１２
第一节数列的概念１１２
第二节等差数列１１５
第三节等比数列１１８
第四节数列的综合应用１２１
第十六章排列组合１２４
第一节计数原理１２４
第二节排列与组合１２６
第三节二项式定理１２８
参考答案１３１
一、选择题
１．下列关系中正确的是()
A．∈AB．{a,b}∈{a,b}
C．{a}∈{a,b}D．a∈{a,b}
２．下列对象中能组成集合的是()
A．２０２３届的优秀职高毕业学生
B．高一数学基础模块课本上的所有难题
C．某校高一年级的所有男生
D．比较接近１的全体正数
３．下列关系中错误的是()
A．３．１４１５９∈QB．５∈RC．０ND．－３N
４．若集合M＝{m∈N|６－m∈N},则M中元素的个数是()
A．５B．６C．７D．８
５．若集合A＝{x|x＞２},B＝{x|x＞３},则A,B之间的关系为()
６．若集合A＝{x|x＜３},B＝{x|x＜a},且BA,则实数a的取值范围为()
A．{a|a＜３}B．{a|a≤３}C．{a|a＞３}D．{a|a≥３}
７．若△ABC的三边a,b,c是一个集合的三个元素,则这个三角形一定不是()
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形
８．若集合A＝{x∈N|x２－３x＜０},则满足条件BA的集合B的个数为()
A．２B．３C．４D．８
９．下列四个命题中,正确的命题个数是()
①空集没有子集;②空集是任何一个集合的真子集;
③＝{０};④任何一个集合必有两个或两个以上的子集．
A．０B．１C．２D．３
二、填空题
１０．用符号“∈”或“”填空:
(１)３N;(２)－５R;(３)πZ;
(４)５N;(５)
Z;(６)７Q．
１１．小于６的自然数组成的集合是．
１２．y轴上所有点的集合用描述法表示为．
三、计算题
１３．设集合A＝{(x,y)|x＋y＝３,x∈N,y∈N},用列举法表示集合A．
１４．已知m２∈{０,１,m},求实数m的值．
１５．已知{a＋b,a－b}＝{１,３},求实数a,b的值．
１６．已知集合M＝{３,１,a－１},N＝{－２,a２},且N为M的真子集,求实数a的值．
１７．设集合A＝{x|－３＜x＜５},B＝{x|a＋１＜x＜４a＋１},且BA,求实数a的取
１．设集合M＝{a,０},N＝{１,４},且M∩N＝{１},则M∪N＝()
A．{a,０,１,４}B．{１,０,１,４}C．{０,１,４}D．不能确定
２．若集合A＝{x|２＜x≤３},B＝{x|１≤x＜３},则下列式子中正确的是()
A．ABB．BA
C．A∩B＝{x|２＜x＜３}D．A∪B＝{x|２≤x≤３}
３．设集合P＝{x|－１＜x＜５},Q＝{x|x≤a},且P∩Q＝,则实数a的取值范围是
A．(－∞,－１]B．[５,＋∞)C．(－１,５)D．
４．已知集合A＝{０,２,４},UA＝{１,３,５},UB＝{１,３,４},则集合B＝()
A．{１,３,４}B．{０,２,５}C．{３}D．{１,３}
５．已知集合P＝{x|－１≤x≤１},M＝{a}．若P∩M＝,则实数a的取值范围为()
A．(－∞,－１]B．[１,＋∞)
C．[－１,１]D．(－∞,－１)∪(１,＋∞)
６．若点集M＝{(x,y)xy＞０},N＝{第一象限的点},则()
A．M∩N＝B．M∪N＝NC．MND．NM
７．已知集合A＝{(x,y)|４x＋y＝６},B＝{(x,y)|３x＋２y＝７},则A∩B＝()
A．{(２,１)}B．{(１,２)}C．{２,１}D．{１,２}
８．已知全集U＝{x∈N|x＜５},A＝{２,３},则UA＝()
A．{２,３}B．{０,１,４}C．{１,４}D．{０,１,４,５}
９．已知集合A＝{x|x≥３},B＝{x|０≤x＜５},则A∩B＝()
A．{x|０≤x＜５}B．{x|３≤x≤５}
C．{x|０≤x≤３}D．{x|３≤x＜５}
１０．已知{x|x＋a＝０}{x|x２＋５x＋６＝０},则实数a＝()
A．２或３B．－２或３C．２或－３D．－２或－３
１１．若集合A＝{x|x２＋x－６＝０},B＝{－２,－１,１},则A∩B＝()
A．{－２,－１}B．C．(－２,２)D．(－３,２)
１２．已知集合M＝{m∈Z|－３＜m＜２},N＝{n∈Z|－１≤n≤３},则M∩N＝()
A．{０,１}B．{－１,０,１}C．{０,１,２}D．{－１,０,１,２}
１３．若集合A＝{x|x＞０},B＝{x|－２＜x＜１},则A∪B＝()
A．{x|０＜x＜１}B．{x|x＞０}
C．{x|x＞－２}D．{x|－２＜x＜１}
１４．若集合A＝{x|６＜x＜１０},B＝{x|x≥１０},则下列式子中正确的是()
A．ABB．AB
C．A∩B＝{１０}D．A∪B＝
１５．已知集合M＝{０,１,２,３,４,５},N＝{x|０＜x＜３},则M∩N＝．
１６．已知集合A＝{１,３,a},B＝{３,a２},若A∩B＝{３,a},则a的值是．
１７．已知集合M＝{x|x＞２},N＝{x|x≤２},则M∩N＝．
１８．已知全集U＝{０,１,２,３,４,５},集合M＝{１,２,３},N＝{１,２,３,４},则U(M∩N)＝
１９．已知集合A＝{x|－２＜x＜２},B＝{x|x＜a},且AB,则实数a的取值范围为
２０．设全集U＝R,集合A＝{x|－３≤x＜４},B＝{x|x≤－２}．
(１)求A∪B;
(２)求U(A∩B)．
２１．已知集合A＝{－１,a２＋１,a２－３},B＝{a－３,a－１,a＋１},且A∩B＝{－２},求实
数a的值．
２２．设集合A＝{x|x２＋ax＋１２＝０},B＝{x|x２＋３x＋２b＝０},A∩B＝{２}．