8、小。)1()()()(TteTtctrteTtet)(lim由上可见，由上可见，系统对输入信号导系统对输入信号导数的响应，等于系统对输入信号响数的响应，等于系统对输入信号响应的导数应的导数。而系统对输入信号积分。而系统对输入信号积分的响应，等于系统对原输入信号响的响应，等于系统对原输入信号响应的积分。积分常数由初始条件确应的积分。积分常数由初始条件确定。这是定。这是线性定常系统线性定常系统的一个重要的一个重要特性。特性。4-34-3二阶系统的瞬态响应二阶系统的瞬态响应用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。从物理上讲，二阶系统总包含两个贮能源，从物理
9、上讲，二阶系统总包含两个贮能源，能量在两个元件间交换，引起系统具有往能量在两个元件间交换，引起系统具有往复振荡的趋势。当阻尼不够充分大时，系复振荡的趋势。当阻尼不够充分大时，系统呈现出振荡的特性，所以二阶系统也称统呈现出振荡的特性，所以二阶系统也称为二阶振荡环节。为二阶振荡环节。二阶系统的典型传函：二阶系统的典型传函：222()()2oninnXsXsss-阻尼比，阻尼比，n-无阻尼自然频率无阻尼自然频率二阶系统的典型传递函数形式二阶系统的典型传递函数形式：其中，其中，22()1()21oiXsXsTsTs1nT222()()2oninnXsXsss一、二阶系统的单位阶跃
10、响应一、二阶系统的单位阶跃响应11、0011，称为欠阻尼。，称为欠阻尼。-阻尼自然频率。阻尼自然频率。21,21nnndsjj2()()onindndXsXssjsj21dn()1ixt1()iXss22222()1()()()1onoiindndnnndndXsXsXsXssjsjsssss2()1cossin1nnttoddxtetet即2()1cossin1nnttoddxtetet22()11cossin1ntoddexttt221()1sinarctan1ntodexttt0t0当当0011时，二阶系统的单位阶
11、跃响应是时，二阶系统的单位阶跃响应是以以dd为角频率的衰减振动。随着为角频率的衰减振动。随着的减小，的减小，其振荡幅值加大。其振荡幅值加大。221()1sinarctan1ntodextt22、当、当=1=1时，称为时，称为临界阻尼临界阻尼。此时，二阶系统的极点是二重根。可表示为：此时，二阶系统的极点是二重根。可表示为：22()()oninXsXss221()nonXsss211nnnsss222()()2oninnXsXsss进行拉氏反变换得：t0可见，系统没有超调。()1nnttonxtteetxo(t)33、当、当11时，称为过阻尼。时，称为过阻尼。
13、2()()oninXsXss2222211()nonnsXsssss()1cosonxtt其响应曲线如图。其响应曲线如图。系统称为等幅振荡（无阻尼的结果）。系统称为等幅振荡（无阻尼的结果）。01255、当、当01)对上式进行拉氏反变换：222()11nnnnnCsss122()21ptptnctee211np221np二阶系统的脉冲响应也可由二阶系统的单位阶跃响应求导后得到。4-44-4、二阶系统的瞬态响应指标、二阶系统的瞬态响应指标一、一、瞬态响应指标瞬态响应指标评价一个系统的优劣，总是用一定的评价一个系统的优劣，总是用一定的性能指标来衡量的。性能指
14、标可以在时域性能指标来衡量的。性能指标可以在时域里提出，也可以在频域里提出。时域里的里提出，也可以在频域里提出。时域里的性能指标比较直观。对于具有贮能元件的性能指标比较直观。对于具有贮能元件的系统（即大于或等于一阶的系统）受到输系统（即大于或等于一阶的系统）受到输入信号作用时，一般不是立即反应，总是入信号作用时，一般不是立即反应，总是表现出一定的过渡过程。表现出一定的过渡过程。瞬态响应指标是在欠阻尼二阶系统单瞬态响应指标是在欠阻尼二阶系统单位阶跃响应的波形基础上给出的位阶跃响应的波形基础上给出的。strtpt)(h)(9.0h)(5.0h)(1.0hdttXo(t)11、定义：、定义：上
20、密切的关系。要使二阶系统具有满意的动态切的关系。要使二阶系统具有满意的动态性能，必须选取合适的无阻尼固有频率性能，必须选取合适的无阻尼固有频率nn和阻尼比和阻尼比。例：例：有一位置控制系统，其方块图如图所示，当系有一位置控制系统，其方块图如图所示，当系统输入单位阶跃函数时，要求统输入单位阶跃函数时，要求Mp=5%Mp5%)因此，该系统不满足本题要求因此，该系统不满足本题要求（2）由（b）所示系统的闭环传递函数为2222)62.31()501(20)62.31(50)501(05.050)()(sssssRsC69.021eMp由得：为了满足题目要求为了满足题目要求Mp=5%Mp=
21、5%）（得sn0236.02)501(20从本题看出：当系统加入微分负反馈，相当于增大了系从本题看出：当系统加入微分负反馈，相当于增大了系统的阻尼比，改善了系统的相对稳定性，即减小了统的阻尼比，改善了系统的相对稳定性，即减小了MpMp但但没有改变系统的无阻尼自然频率没有改变系统的无阻尼自然频率WnWn。4-64-6、具有闭环零点的二阶系统的响应分析、具有闭环零点的二阶系统的响应分析具有零点的二阶系统，闭环传递函数的典型具有零点的二阶系统，闭环传递函数的典型形式为：形式为：222()(1)()()2oninnXsssXsss22212()()(2)()()gnnnks
22、zszzssspsp1z1z其中，零点：其中，零点：1sz2ngkz当当时，时，-p-p11,-p,-p22为一对共轭复极点。为一对共轭复极点。01这里，22212()()(2)()()gnnnkszszzssspsp零极点在S平面的分布如图：P1P2-zjS在输入单位阶跃信号时,1()iXss2222222221211(1)()()()(2)(2)(2)()()()()noinnnnnnnnOOOOsXssXsssssssssXsXsXssXs112()()()1sin()1ntoooddxtextxttdt
23、2sin1ntndet可见其输出包括两部分：可见其输出包括两部分：第一部分为典型二阶系统的单位阶跃响应；第一部分为典型二阶系统的单位阶跃响应；第二部分为附加零点引起的分量，它使系统第二部分为附加零点引起的分量，它使系统的上升加快，超调量增大。的上升加快，超调量增大。4-74-7、高阶系统的阶跃响应高阶系统的阶跃响应实际控制系统大多数是高阶系统，它实际控制系统大多数是高阶系统，它的动态性能指标的确定比较困难。如果能的动态性能指标的确定比较困难。如果能将二阶系统的分析结果与分析方法应用于将二阶系统的分析结果与分析方法应用于高阶系统的分析，那么，高阶系统动态性高阶系统的分析，那么，高阶系
24、统动态性能指标确定又变得十分简单了。这就是应能指标确定又变得十分简单了。这就是应用用主导极点主导极点及忽略及忽略偶极子偶极子的影响的概念。的影响的概念。一、闭环主导极点：一、闭环主导极点：如果高阶系统中，所有其它极点的实如果高阶系统中，所有其它极点的实部比距离虚轴最近的闭环极点的实部大部比距离虚轴最近的闭环极点的实部大55倍以上，并且在该极点附近不存在闭环零倍以上，并且在该极点附近不存在闭环零点。则这种离虚轴最近的闭环极点将对系点。则这种离虚轴最近的闭环极点将对系统的瞬态响应起主导作用，称之为统的瞬态响应起主导作用，称之为闭环主闭环主导极点导极点。用用闭环主导极点闭环主导极点代替全部
25、闭环极点来分析代替全部闭环极点来分析系统的动态性能，而非主导极点产生的动系统的动态性能，而非主导极点产生的动态过渡分量很快衰减。态过渡分量很快衰减。如：拉氏反变换：220()(10)(22)ssss1()Rss220()(10)(22)Csssss1220()(10)(22)ctLssss1010.0241.55cos(129)tteet其中，指数项是由闭环极点s1=-10产生的，余弦项是由共轭复数极点产生的。两者比较可知：指数项迅速衰减且幅值很小，可忽略。所以，其中称为闭环主导极点。100.024te1.55cos(129)tet2,311sj(
26、)11.55cos(129)tctet11j一般说来，在一般说来，在SS平面上最靠近虚轴的平面上最靠近虚轴的闭环极点是闭环主导极点。这种情况就可闭环极点是闭环主导极点。这种情况就可用二阶系统或一阶系统来分析。用二阶系统或一阶系统来分析。二、偶极子二、偶极子一对相距很近的闭环极点和闭环零点称为偶极子。例如：式中0。系统有一对复数极点和一个偶极子，极点为-a零点为-(a+)22()()(22)asasasass输入单位阶跃响应：0即偶极子影响可忽略，阶跃响应主要由极点-1j1所决定。1()Rss2()()()(11)(11)asaCsassasjsj
27、11221()1111jjccecectLssasjsj1242(22)caaa228c21cc三、结论三、结论闭环闭环零、极点零、极点之间的距离比它们本身之间的距离比它们本身的模值小一个数量级，则这对零极点就构的模值小一个数量级，则这对零极点就构成了成了偶极子偶极子。略去偶极子和比闭环主导极点距虚轴略去偶极子和比闭环主导极点距虚轴达达55倍以上的零极点，这样在全部闭环零倍以上的零极点，这样在全部闭环零极点中，选留最靠近虚轴，而又不十分靠极点中，选留最靠近虚轴，而又不十分靠近闭环零点的一个或几个闭环极点作为闭近闭环零点的一个或几个闭环极点作为闭环主导极点。环主导极点。在
28、实际应用中，比主导极点距离虚轴在实际应用中，比主导极点距离虚轴达达2323倍倍的闭环零极点，也可考虑为略去。的闭环零极点，也可考虑为略去。4-84-8、稳态误差分析与计算、稳态误差分析与计算评价一个系统的性能包括瞬态性能和评价一个系统的性能包括瞬态性能和稳态性能两大部分。瞬态响应的性能指稳态性能两大部分。瞬态响应的性能指标可以评价系统的快速性和平稳性。系标可以评价系统的快速性和平稳性。系统的准确性要用误差来衡量。统的准确性要用误差来衡量。一、稳态误差的基本概念一、稳态误差的基本概念误差信号误差信号e(t)e(t)：希望输出信号希望输出信号与实际输出与实际输出信号信号之差。之差。
29、稳态误差稳态误差：tt时，系统的误差。时，系统的误差。()orxt()oxt()()()oroetxtxt()()()oroEsXsXs即：偏差信号偏差信号：输入信号：输入信号与反馈信号与反馈信号之差。之差。()ixt()Bt()()()itxtBt()()()isXsBs()()()oBsXsHs而)()()()()()()()(sHssXsXsHsXsXsiooi在控制系统中，是用输入信号在控制系统中，是用输入信号去控去控制输出信号制输出信号的变化规律，即它们之间存的变化规律，即它们之间存在理想的函数关系在
30、理想的函数关系:()ixt()oxt()()()oriXsUsXs当当时，即控制时，即控制对对的控的控制达到理想状态。制达到理想状态。此时，此时，即即()()oroXsXs()iXs()oXs()0Es()0s)()()()(sHsXsBsXoi)()()(sUsXsXoi)()()(sBsXsi由上式得：由上式得：这便是偏差与误差之间的关系式这便是偏差与误差之间的关系式,,如果如果求出了稳态偏差也就求出了稳态误差。求出了稳态偏差也就求出了稳态误差。如果如果，即系统为单位反馈时即系统为单位反馈时1()()()()()()(
31、)()()()()()()/()ioroiUsHsXssEsXsXsUsXsHsUsssHs1)(sH)()(ssE)()()()(sHssXsXio二、二、稳态误差的计算稳态误差的计算1、单位反馈系统：、单位反馈系统：偏差传函偏差传函=误差传函：误差传函：或或根据终值定理：根据终值定理：()1()()1()eiEssXsGs1()()1()iEsXsGs001lim()lim()lim()1()ssitsseetsEssXsGsG(s)Xi(s)Xo(s)(s2、对于非单位反馈系统，偏差与误
32、差、对于非单位反馈系统，偏差与误差而偏差：而偏差：11()()1isXsGH11()()(1)iEsXsHGH011lim()(1)ssisesXsHGHG(s)H(s)()()(sHsEs三、输入信号作用下的稳态误差与系统结构的三、输入信号作用下的稳态误差与系统结构的关系关系图示为一反馈控制系统：图示为一反馈控制系统：其中开环传函为：其中开环传函为：式中，式中，、都不含都不含s=0s=0的因子，且分的因子，且分母的阶次高于分子的阶次。母的阶次高于分子的阶次。()Qs()PsG(s)H(s)()()1)(1()1)(1()()(21sPssKQs
33、TsTssTsTKsHsGba定义：定义：当当=0时，称系统为时，称系统为0型系统。型系统。当当=1时，称系统为时，称系统为型系统。型系统。当当=2时，称系统为时，称系统为型系统。型系统。下面分析单位阶跃、单位斜坡和单位下面分析单位阶跃、单位斜坡和单位加速度三种信号输入时系统的稳态误差。加速度三种信号输入时系统的稳态误差。以进行讨论。以进行讨论。以下假定：以下假定：()1Hs（1）输入阶跃函数时）输入阶跃函数时,表示信号的幅值，是常数。表示信号的幅值，是常数。则稳态误差为：则稳态误差为：上述表示：上述表示：在阶跃输入下，系统消除误差在阶跃输入下，系统消除误差的条件是
34、：的条件是：即：即：开环传函中至少要有一个积分环节开环传函中至少要有一个积分环节。0()/iXsrs0r00000001limlim()1()()1()011lim(/)01ssssrsrresHsGsHssGsrrrKKsr1r)()()()(sPssKQsHsG（2）输入速度信号（斜坡函数）输入速度信号（斜坡函数）其中，其中，常数表示输入信号速度的大小，系统的常数表示输入信号速度的大小，系统的稳态误差为：稳态误差为：上式表明，上式表明，斜坡信号输入下系统消除误差的条斜坡信号输入下系统消除误差的条件是：件是：20()/iXsUs0U002000001
35、lim1()lim01lim02sssrsrsUUessKGssssrUUrsKKsr2rtUtXi0)()()()()(sPssKQsHsG（3）输入等加速信号（抛物线函数）输入等加速信号（抛物线函数）常数常数是加速度的大小，是加速度的大小，则则则系统的稳态误差为：则系统的稳态误差为：这种情况下，这种情况下，系统消除误差的条件是：系统消除误差的条件是：即：开环传函中至少要有三个积分环节即：开环传函中至少要有三个积分环节。20()/2ixtat0a30()/iXsas00320000201lim1()lim()0,12lim03ssssrsaaesGsssG
36、sraarKsKrs3r将三种典型信号输入下的稳态误差与系统将三种典型信号输入下的稳态误差与系统型别的关系列于下表：型别的关系列于下表：系统型别阶跃输入斜坡输入抛物线函数输入000000001rK0uK0aK从表中可看出，在主对角线上，稳态从表中可看出，在主对角线上，稳态误差是有值的；在对角线以上，稳态误差误差是有值的；在对角线以上，稳态误差为无穷大；在对角线以下，稳态误差为零。为无穷大；在对角线以下，稳态误差为零。另外，另外，增加系统开环传递函数中的积增加系统开环传递函数中的积分环节和增大开环增益分环节和增大开环增益KK是消除和减少系是消除和减少系统稳态误差的途径，但增大统稳态误差的途径，但增大rr和和KK都会造成都会造成稳定性的变坏。因此，稳定性的变坏。因此，需合理选择参数需合理选择参数。例：控制系统方块图如图所示。今欲保持且在单位斜坡信号下的稳态误差求其中的参数kf和kA。22)2(1sskAKfsXi(s)Xo(s)1.0sse1.0221lim1)2(11lim020AAfAsf