[2024年中考专题培优训练】一元二次方程解答题与综合题100题
一、解答题
1.如图，长方形绿地长32m、宽20m,要在这块绿地上修建宽度相同且与长方形各边垂直的三条道
路，使六块绿地面积共570m2,问道路宽应为多少？
2.《算学宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步，之云阔不及
长一十二步，问阔及长各几步？”译文：“一个矩形田地的面积等于864平方步，且它的宽比长少12
步，问长与宽各是多少步？”
3.端午节前夕，某超市从厂家分两次购进蛋黄粽子、红豆粽子，两次进货时，两种粽子的进价不变.第
一次购进蛋黄粽子60袋和红豆粽子90袋，总费用为4800元；第二次购进蛋黄粽子40袋和红豆粽子
80袋，总费用为3600元.
（1）求蛋黄粽子、红豆粽子每袋的进价各是多少元？
（2）当蛋黄粽子销售价为每袋70元时，每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对蛋黄粽子进
行降价销售，经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋.当蛋黄粽子每
袋的销售价为多少元时，每天售出蛋黄粽子所获得的利润为220元？
4.“杂交水稻之父”一袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700公斤的
目标，第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标.如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，
求亩产量的平均增长率.
5.列方程（组）解应用题：某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村
山脚下，围一块面积为600m2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广.如图所示，茶园一面靠墙，
墙长35m,另外三面用69m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆）.求这个茶
园的长和宽.
B'-----------------------C
6.玩具店从厂家以每个2元的价格购进一批小玩具出售，若每个售价为3元，每天可以卖出80个，
根据调查，玩具在售价3元的基础上，每涨价1元，就少卖出5个.商店为了每天获得350元的利润,
在售价不超过10元的情况下，每个玩具要涨价多少元？
7.已知关于久的方程久2+(2k-1)久+/-1=0有两个实数根久1，%2-
(1)求实数k的取值范围；
(2)若久1，K2满足就+城=16+久62，求实数k的值.
8.已知关于x的一元二次方程有(/c-I)%2-2%+1=0两个不相等的实数根，求k的取值范围.
9.某景区5月份的游客人数比4月份增加60%,6月份的游客人数比5月份减少了10%.
(1)设该景区4月份的游客人数为a万人，请用含a的代数式填表：
月份4月5月6月
游客人数/万人a——
(2)求该景区5、6月这两个月份游客人数的月平均增长率；
(3)景区特色商品营销店推出一款成本价为40元的文化衫，如果按每件60元销售，每天可卖出
20件.通过市场调查发现，每件售价每降低1元，日销售量增加2件.若日利润保持不变，商家想尽
快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
10.先化简，再求值：4+(m+3+三)，其中m是方程x2-2x-1=0的根.
2mz—6mm—3
11.如图，要建一个面积为150平方米的长方形仓库，仓库的一边靠墙，这堵墙的长为18米，在与
墙平行的一边，要开一扇3米宽的门，已知围建仓库的现有木板材料可使新建板墙的总长为32米，
那么这个仓库与墙垂直的一边应长多少米？
12.我校有一块长与宽比为2：1的矩形场地，计划在该场地上修筑宽都为2米的两条互相垂直的道
路，余下的4块矩形小场地建成草坪.已知4块草坪的面积之和为312米2,试求原来矩形场地的长
与宽各为多少米？
13.如图，我区荷兰1花海景区东北角有一块长为60米，宽为50米的矩形荒地，地方政府准备在此扩
建一个新品种花卉观光区，其中阴影部分为观览通道，通道的宽度均相等，中间的三个矩形(其中三
个矩形的一边长均为a米)区域将种植新品种花卉.
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(1)设观览通道的宽度为X米，贝必=(用含X的代数式表示)；
(2)若新品种花卉总占地面积为2430平方米.请求出观览通道的宽度为多少米？
14.如图1,张爷爷用30m长的隔离网在一段15小长的院墙边围成矩形养殖园，已知矩形的边CD靠
院墙，AD和BC与院墙垂直，设的长为xm.
(1)当围成的矩形养殖园面积为108nl2时，求BC的长；
(2)如图2,张爷爷打算在养殖园饲养鸡、鸭、鹅三种家禽，需要在中间多加上两道隔离网已知
两道隔离网与院墙垂直，请问此时养殖园的面积能否达到100血2若能，求出4B的长；若不能，请
说明理由.
15.求证：不论k取什么实数，方程x2-(k+6)x+4(k-3)=0一定有两个不相等的实数根.
16.某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形的苗圃圆.其中一边靠墙，另外三边用长为40m的
篱笆围成.已知墙长为18m(如图所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边2B为久m,若苗圃园的
面积为192m2,求AB的长度.
17.已知关于久的一元二次方程/-(m-1)久-2(m+3)=0.
(1)试证：无论小取任何实数，方程都有两个不相等的实数根；
(2)设芯1，亚为方程的两个实数根，且(%i+久2)2-2久1亚=16,求m的值.
18.将进价为40元的商品按50元的价格出售时，能卖出500个，已知该商品每涨价1元，其销售量
就要减少10个，为了尽快减少库存，同时也为了赚取8000元的利润，售价应定为多少元？
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19.某种病毒传播速度非常快，如果最初有两个人感染这种病毒，经两轮传播后，就有五十个人被感
染，求每轮传播中平均一个人会传染给几个人？若病毒得不到有效控制，三轮传播后将有多少人被感
染？
20.若久1，%2是一元二次方程2/+4%—1=0的两个根，求下列式子的值.
(1)+%2；
11
(2)—+—.
%］久2
21.已知：关于X的方程/—2(m+1)久+TH=0.
(1)当加取何值时，方程有两个实数根？
(2)为加选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求这两个根.
22.两个连续奇数的积为255,求这两个奇数.
23.在解方程xJ9=2(x-3)的过程，嘉洪同学的解答如下：
解：将方程左边分解因式，得(x+3)(x-3)=2(x-3),……第一步
方程两边都除以(x-3),得x+3=2,……第二步
解得x=-l....第三步
(1)已知嘉淇同学的解答是错误的，开始出现错误的步骤是；
(2)请给出正确的解答过程.
24.某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加利润，尽快
减少库存，商场决定采取适当的降价措施.经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可
多售出2件，若商场每天要获得利润1200元，请计算出每件衬衫应降价多少元？
25.云梦鱼面是湖北地区的汉族传统名吃之一，主产于湖北省云梦县，并因此而得名，1915年，云梦
鱼面在巴拿马万国博览会参加特产比赛获优质银牌奖，产品畅销全国及国际市场.今年云梦县某鱼面厂
在“农村淘宝网店”上销售云梦鱼面，每袋成本16元，该网店于今年3月销售出200袋，每袋售价30
元，为了扩大销售，4月准备适当降价.据测算每袋鱼面每降价1元，销售量可增加20袋.
(1)每袋鱼面降价5元时，4月共获利多少元？
(2)当每袋鱼面降价多少元时，能尽可能让利于顾客，并且让厂家获利2860元？
26.某剧院举办文艺演出.经调研，如果票价定为每张30元，那么1200张门票可以全部售出；如果票
价每增加1元，那么售出的门票就减少30张.要使门票收入达到36750元，则票价应定为多少元？
27.已知关于x的一元二次方程依2+(k—2)x—2=0(k^O)
(1)求证：这个一元二次方程一定有两个实数根；
(2)若此方程的两根均为整数，求正整数k的值.
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28.某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二
个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单
价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余
的T恤一次性清仓销售，清仓是单价为40元.如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么
第二个月的单价应是多少元？
售价为25万元时，平均每周能售出8辆，而当销售价每降低1万元时，平均每周能多售出2辆.该4S
店要想平均每周的销售利润为96万元，并且使成本尽可能的低，则每辆汽车的定价应为多少万元？
30.已知关于x的一元二次方程a/++。=0的两根分别为打、％2，有如下结论：Xi+%2=
-2,%i%=J.试利用上述结论，解决问题：
CL2a
已知关于%的一元二次方程3/-％-2019=0的两根分别为久1、牝，求（小+2）（尤2+2）
的值.
31.已知关于x的一元二次方程%2-2mx+m+l=0有两个相等的实数根，求代数（m一1A+
（m+2）（m-2）的值.
32.已知关于x的方程好―b%+2b-4=0.求证：方程总有实数根.
33.一家水果超市以每斤3元的价格购进葡萄若干斤，然后以每斤5元的价格出售，每天可售出100
斤，通过调查发现，这种葡萄每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤.
（1）若将葡萄每斤的售价降低x元，则每天的销售量是斤（用含x的代数式表示）;
（2）销售这批葡萄要想每天盈利300元，且保证每天至少售出220斤，那么水果店需将每斤的售
价降低多少元？
34.为满足春节市场需求，某商场在节前购进大批某品牌童装，该品牌童装若每件盈利40元，平均
每天可售出20件，经调查发现，若每件童装降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场希望该
品牌童装日盈利为1200元，同时为了尽量减少库存，请问该童装应降价多少元最合适？
35.求证：对于任意实数k,关于x的方程/-2kx+2k2-2k+3=0没有实数根.
36.甲、乙两家某商品专卖店一月份销售额分别为10万元和15万元，三月份销售额甲店比乙店多10
万元.已知甲店二、三月份销售额的月平均增长率是乙店二、三月份月平均增长率的2倍，求甲店、乙
店这两个月的月平均增长率各是多少？
37.《杨辉算法》中有这么一道题：“直田积九十六步，只云长阔共二十步，问长多几何？”意思是：
一块矩形田地的面积为96平方步，只知道它的长与宽共20步，问它的长比宽多了多少步？
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38.如果关于x的方程mx2—2（m+2）x+m+5=0没有实数根，试判断关于x的方程（m—
5）/—2（m—l）x+m=0的根的情况.
是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具.
（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为万元。＞40）,请你分别用尢的代数式来表示销售量y件和销
售该品牌玩具获得利润w元，
（2）在（1）问条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价%应定为多少
（3）在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540
件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？
40.已知关于x的方程/一6久+zu一3m-5=0的一个根为一1,求另一个根及m的值.
41.已知关于x的一元二次方程x2-（m+3）x+m=0.求证：无论m取何值，该方程总有两个不相
等的实数根.
42.列方程（组）解应用题：某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村
山脚下，围一块面积为600m2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广.如图所示，茶园一面靠墙，墙
长35m,另外三面用69m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆）.求这个茶园
的长和宽.
43.如图，在一块长为30血，宽为20血的矩形地面上，要修建两横两竖的道路（横竖道路各与矩形的
一条边平行），横、竖道路的宽度比为2：3,剩余部分种上草坪，如果要使草坪的面积是地面面积的
四分之一，应如何设计道路的宽度？
44.解方程：x2+4x-2=0.
二、计算题
45.解方程：
(1)x2-4x-l=0(配方法)
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(2)3x(x-l)=22x
46.解下列方程：
(1)(%-2)2-9=0；
(2)2x(%-3)=3(%-3)；
(3)3%2-6%-1=0(配方法)；
(4)2久2—3%=1—2%.
47.用适当的方法解下列方程.
(1)久2―13久+36=0
(2)(x-3)2-3x(%-3)=0
48.用适当的方法解方程：
(1)3/+2%-3=0
(2)3(%—2)2=%(%—2)
49.解一元二次方程/一4尢-1=0.
50.⑴计算：粕+3^!—左+字；
(2)计算：V4-(2022-7T)°+|V3-2|
(3)解方程：%2—5%+6=0
(4)解方程：(%+1)(3%-1)=1
51.解方程：
(1)5x2-3x=x+1
(2)3x(%-2)=2(2-%)
52.
(1)计算：V3x(V18-V12+V2).
(2)解方程：2/+2%—1=0.
53.
(1)请你用公式法解方程3x2-5x-8=0；
(2)请你用因式分解法解方程x2+4x+3=0.
54.解下列一元二次方程：
(1)%2—6%—6=0
(2)3x(x-1)=2-2x
(3)2x2-x-1=0(配方法)
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(4)2(%+3)2=x(x+3)
三、作图题
2
55.关于x的一元二次方程%-6x+fc=0的一个根是2,另一个根%2.
(1)若直线AB经过点4(2,0),B(0,k2)，求直线AB的解析式；
(2)在平面直角坐标系中画出直线AB的图象，P是x轴上一动点，是否存在点P,使AABP是
直角三角形，若存在，直接写出点P坐标，若不存在，说明理由.
56.某数学兴趣小组对函数y=if/—*久—2］的图象和性质进行了研究，探究过程如下.
(1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下.
X-3-2-1012345
10
8m02n208
yT
其中，m=,n=；
(2)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请补全
函数图象的剩余部分；
(3)进一步探究函数图象发现：
①函数图象与x轴有个交点；
②方程|铝—红—2|=1有个实数根；
③当关于x的方程凌/—红—2|=「有3个实数根时，p的值是.
57.已知二次函数＞=2/+4x+4-1.
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（1）当二次函数的图象与X轴有交点时，求左的取值范围；
（2）若/（xi,0）与B（X2,0）是二次函数图象上的两个点，且当x=xi+x2时，y=-6,求二次
函数的解析式，并在所提供的坐标系中画出大致图象；
（3）在（2）的条件下，将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象其余部分保持不变，得到一
个新的图象，当直线y=^x+m（加＜3）与新图象有两个公共点，且加为整数时，求加的值.
58.某广场有一块长50米、宽30米的空地，现要将它改造为花园，请你设计一个修建方案，使满足
下列条件:
①正中间留出一条宽2米的道路（如图）；
②道路两旁修建花坛，且花坛总面积占整个面积（不包括道路）的一半；
③设计好的整个图形既是轴对称图形，又是中心对称图形.（计算结果精确到0」米）.
59.
（1）用配方法解方程：x2-4x+2=0；
（2）如图，在平面直角坐标系中，AABC的顶点均在格点上，将AABC绕原点O逆时针方向旋
转90。得到△AiBiCi.请作出△AiBiCi,写出各顶点的坐标，并计算△AiBiCi的面积.
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>'A
60.为庆祝新中国成立70周年，并体现绿色节能理念，我市某工厂降低了某种工艺品的成本，两个
月内从每件产品成本50元，降低到了每件32元，
（1）请问工厂平均每月降低率为多少？
（2）该工厂将产品投放市场进行实销，经过调查，得到如下数据:
销售单价X（元/件）...40506070.......
每天销售量y（件）...400300200100.......
把上表中%、y的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y
与%的函数关系，并求出函数关系式.
（3）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天活得的利润最大？最大利润是多少？
四'综合题
61.某精品店购进甲乙两种小礼品，已知1件甲礼品的进价比1件乙礼品的进价多1元，购进2件甲
礼品与1件乙礼品共需11元.
（1）求甲种礼品的进价；
（2）经市场调查发现，若甲礼品按6元/件销售，每天可卖40件；若按5元/件销售，每天可卖
60件.假设每天销售的件数y（件）与售价x（元/件）之间满足一次函数关系，当甲礼品的售价定为
多少时，才能使每天销售甲礼品的利润为60元？
62.某服装店在销售中发现：进货价为每件50元，销售价为每件90元的某品牌服装平均每天可售出
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20件.现服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利.经市场调查发现：如果每件服装
降价1元，那么平均每天就可多售出2件.
(1)求销售价在每件90元的基础上，每件降价多少元时，平均每天销售这种服装能盈利1200元,
同时又要使顾客得到较多的实惠？
(2)要想平均每天盈利2000元，可能吗？请说明理由.
63.已知关于久的一元二次方程久2一轨+k—1=0有实数根.
(1)求k的取值范围；
(2)若此方程的两实数根工2满足%12+也2=10,求k的值.
64.某百货大搂服装柜在销售中发现：“七彩”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了迎
接“元旦”，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存.经市场调查发现：如
果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件.
(1)要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？
(2)用配方法说明：要想盈利最多，每件童装应降价多少元？
65.已知k为实数，关于%的方程为%2+/ex-4/c-16=0,
(1)试判断这个方程根的情况；
(2)是否存在实数k,使这个方程两个根为连续偶数若存在，求出k及方程的根若不存在，
请说明理由.
66.对于实数a,b,定义新运算“*”：a*b=-幽"》、，例如：4*2,因为4>2,所以4*2=
(ab-b\a 42-4x2=8. (1)求(-7)*(-2)的值； (2)若Xi,X2是一元次方程x2-5x-6=0的两个根，求X1*X2的值. 67.在平面直角坐标系中，抛物线y=#经过点4(亚，月)，C(x2,丫2)，其中%1，%2是方程/一2%- 8=0的两点，且修<犯，过点A的直线Z与抛物线只有一个公共点. (1)求A,C两点的坐标: 11/59 (2)求直线的解析式； (3)如图2,点B是线段AC(端点除外)上的动点，若过点B作轴的平行线BE与直线1相交于点E, 与抛物线相交于点D,求玲篙的值. DU 68.某网店专售一品牌牙膏，其成本为22元/支，销售中发现，该商品每天的销售量y(支)与销售 单价x(元/支)之间存在如图所示的关系. (1)请求出y与x之间的函数关系式； (2)该品牌牙膏销售单价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元？ (3)在武汉爆发“新型冠状病毒”疫情期间，该网店店主决定从每天获得的利润中抽出100元捐赠 给武汉，为了保证捐款后每天剩余的利润不低于350元，在抗“新型冠状病毒”疫情期间，市场监督管 理局加大了对线上、线下商品销售的执法力度，对商品售价超过成本价的20%的商家进行处罚，请你 给该网店店主提供一个合理化的销售单价范围. 69.如图，Rt△ABC中，Zf=90°,BC=a,AC=b(a 4)=0的两根. (1)求a,b； (2)P,Q两点分别从4C出发，分别以每秒2个单位，1个单位的速度沿边AC,BC向终点C,B 70.已知关于x的方程kx2-3%+1=0有实数根. (2)若该方程有两个实数根，分别为%1和％2，当%1+%2+X1%2=4时，求k的值. 12/59 71.已知关于x的一元二次方程%2-(2m-4)x+(m2+n)=0有两个相等的实数根. (1)求n关于m的函数表达式； (2)若点(m,n)在第一象限，求m的取值范围； (3)若点(m,n)在一次函数y-4x的图象上，求一元二次方程的根. 72.已知xi、X2是关于x的一元二次方程(a-6)x2+2ax+a=0的两个实数根. (1)求a的取值范围； (2)若(xi+1)(x2+l)是负整数，求实数a的整数值. 73.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为扩大销售，增加盈利，商场 决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件. (1)每件衬衫降价多少元时，商场平均每天的盈利是1050元？ (2)每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最大最大盈利是多少？ 74.假设某地有一个人患了新型冠状病毒，经过两轮传染后共有169人患了此病毒. (1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)按照这样的速度传染，三轮传染后共有多少人患了新型冠状病毒？ 75.我们知道%>0,(a±b)220,这一性质在数学中有着广泛的应用，比如，探究多项式2/+ 4%-5的最小值时，我们可以这样处理： 解：原式=2(%2+2%)—5 =2(%2+2%+I2—I2)—5 =2[(x+I)2-I2]-5 =2(尤+1)2-2-5 =2(%+1)2-7 因为(久+1/N0,所以2(x+l)2—720—7,即20+1)2—72—7 所以2(%+-7的最小值是—7,即2x2+4x-5的最小值是—7. 请根据上面的探究思路，解答下列问题： (1)多项式5(%-3)2+1的最小值是； (2)求多项式4%2-16%+3的最小值(写过程). 13/59 76.用适当的方法解下列方程： （1）x2+3—4（%+2）； （2）2%2-3%-4=0. 77.如果关于x的一元二次方程a/+b%+c=0（a00）有两个实数根，且其中一个根比另一个根 大1,那么称这样的方程为“邻根方程”.例如,一元二次方程%2+%=0的两个根是％1=0,%2=—1， 则方程久2+%=0是“邻根方程”. （1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”： ①久2—%—6=0； ②2/-2岳+1=0. （2）已知关于x的方程/—（巾―l）x—m=0（加是常数）是“邻根方程”，求加的值； （3）若关于x的方程mx2+nx+2-0（m,n是常数，m>0）是“邻根方程"，令 t=n2-4m2,试求才的最大值. 78.关于x的一元二次方程好—（7n+1）K+血=o. （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根为负数，求7〃的取值范围. 79.某农场要建一个面积为80面的长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙AB长为15m）,另外三边用 木栏围成，木栏总长26m,求养鸡场CD边和DE边的长分别是多少？设养鸡场CD边的长为xm. （1）填空：养鸡场DE边的长为m（用含x的代数式表示）； （2）请你列出方程，求出问题的解. 80.已知关于x的一元二次方程x2+2x+与1=0有两个不相等的实数根，k为正整数. 14/59 (1)求k的值； (2)当此方程有一根为零时，直线y=x+2与关于x的二次函数y=x2+2x+号的图象(如图) 交于A、B两点，若M是线段AB上的一个动点，过点M作MN，x轴，交二次数的图象于点N,求 线段MN的最大值及此时点M的坐标. 五'实践探究题 81.阅读材料：各类方程的解法 求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解.求解分式方程，把它转化为整式方程来解, 由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验.各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个 共同的基本数学思想“转化”，把未知转化为已知. 用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程.例如，一元三次方程久3-/一2%=0,可以 通过因式分解把它转化为久(/一支—2)=0,解方程x=0和/—久―2=0,可得方程 %3—x2—2x=0的解. (1)问题：方程炉-X2-2x=0的解是久1=0,%2-，%3-; (2)拓展：用“转化”思想求方程疹钳=%的解. 82.阅读材料，根据上述材料解决以下问题： 材料1：若一元二次方程ax2+bx+c=0(a，0)的两个根为xl,x2, 则久1+%2=—\，久2=/ 材料2：已知实数m,n满足m2-m-l=o,n2-n-1=0,且m加，求亲+与的值. 解：由题知m,n是方程x2-x-1=0的两个不相等的实数根，根据材料1得m+n=l,mn=-1, 所以21+%_而+足_(TH+TI)2_27n._1+2§ mn~mn-mn一一1-, (1)材料理解：一元二次方程5x2+10x-1=0两个根为xl,x2,贝！J：xl+x2=，xlx2 15/59 (2)类比探究：已知实数m,n满足7m2-7m-1=0,7n2-7n-1=0,且m，n,求m2n+mn2的 值. (3)思维拓展：已知实数s、t分别满足7s2+7s+l=0,t2+7t+7=0,且st#l.求2st+：s+2的值. 83. (1)解方程：3夕—2)之=2—久 (2)下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务. 解：2%2+4%-8=0 二次系数化为1,得/+2%一4=0…第一步 移项，得d+2久=4…第二步 配方，得/+2久+4=4+4,即6生+2)之=8…第三步 由此，可得％+2=±271..第四步 所以，=2+2V2,久2=—2—2第五步 任务： ①上面小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学 思想是▲,其中“配方法”所依据的一个数学公式是▲; ②“第二步，，变形的依据是▲； ③上面小明同学解题过程中，从第▲步开始出现错误,请直接写出正确的解是— ④请你根据平时学习经验，就解一元二次方程时还需要注意的事项为其他同学提一条意见. 84.阅读材料并回答下面的问题：为解方程(x2-1)2-5(x2-1)+4=0①，我们可以将x2-1看成 为一个整体，然后设x2-l=y,则原方程化为y2-5y+4=0,解得：yi=l,y2=4. 当y=l时，x2-1=1,/.x2=2,.\x=±V2； 当y=4时，x2-1=4,.'.x2=5,.'.x=±V5； .原方程的根为：Xl=V2,X2=-V2,X3=V5,X4=-V5. 在由原方程得到方程①的解题过程中，利用换元法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思 想.请利用以上方法解方程： (1)x4-x2-6=0； (2)(x2+3)2-9(x2+3)+20=0. 16/59 85.【阅读材料】配方法是数学中重要的一种思想方法.它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化 为完全平方式或几个完全平方式的和的方法.这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义 来解决一些问题. 我们定义：一个整数能表示成a+房(a,6是整数)的形式，则称这个数为“完美数”.例如，5是“完 美数”.理由：因为5=22+",所以5是“完美数”. (1)【解决问题】 数53“完美数”(填“是”或“不是”)； (2)【探究问题】 已知/+y2—4%+2y+5=0,则久+y=； (3)已知5=2/+俨+2冲+12%+卜(x,y是整数，上是常数)，要使S为“完美数”，试求出符 合条件的左值，并说明理由； (4)【拓展结论】 已知实数x、y满足一/+1.久+旷一3=0,求久一2y的最大值. 86.阅读材料：把形如++c的二次三项式(或其一部分)配成完全平方式的方法叫做配方 法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+炉=缶±炉.例如：(久-+3是 %2-2%+4的一种形式的配方，(久一2)2+2%是%2-2%+4的另一种形式的配方… 请根据阅读材料解决下列问题： (1)比照上面的例子，写出%2-4%+1的两种不同形式的配方； (2)已知%2+y2—4x+6y+13=0,求2久一y的值； (3)已知a2+b2+c2—。6―3b—2c+4=0,求a+b+c的值. 87.阅读材料： 如果久i,%2是一元二次方程a/+》c+c=0的两根，那么有： 久1+久2=-，，久2=器.这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题， 例：%i,%2是方程%+6%-3=0的两根，求+%2的值. 解法可以这样：+%2=—6，%1%2=—3， ,君+x2=(%i+x2)2—=(-6)2—2X(-3)=42. 请你根据以上解法解答下题：已知久1,%2是方程/-4久+2=0的两根，求： (1)—+-的值； X1x2 (2)(%i-%2)的值. 17/59 88.阅读材料，并回答问题: 下面是小明解方程久2+4%-2=0的过程: 解：移项，得 x2+4x—2.① 配方，得 /+4久+4=2,② （久+2）2=2.③ 由此可得 x+2=±V2,④ =V2—2,%2——V2—2.⑤ （1）小明解方程的方法是一； A.直接开平方法B.配方法 C.公式法D.因式分解法 （2）上述解答过程中，从第步（填序号）开始出现了错误，原因 是; （3）请你写出正确的解答过程. 89.【阅读材料】 若/+y2+8%—6y+25=0,求x,y的值. 解：(/+8久+16)+(y2-6y+9)=0,(%+4)2+(y-3)2=0, ,%+4=0,y—3=0, x=—4,y=3. 已知小2+n2-12n+10m+61=0,求+n)2023的值； (2)【拓展应用】 已知a,b,c是△ABC的三边长，且6,c满足平+c2=8b+4c-20,。是△ABC中最长的边，求 a的取值范围. 90.嘉淇同学解方程/-2支-1=0的过程如下表表示. 解方程：%2—2%—1=0. 解：%2-2%=1,...第一步 18/59 (%—l)2=1,...第二步 %1=0,x2=2.....第三步 (1)嘉淇同学是用(“配方法”、“公式法”或“因式分解法”)求求解的，从第步 开始出现错误. (2)请你用不同于(1)中的方法解该方程. 91.定义：如果关于了的一元二次方程。/+法+。=0缶00)满足6=。+的那么我们称这个方程为 “完美方程”. (1)下面方程是“完美方程”的是.(填序号) ①/—4%+3=0@2%2+久+3=0③2%2—%—3=0 (2)已知3/+nu:+n=0是关于久的“完美方程”，若血是此“完美方程”的一个根，求小的值. 92.阅读材料: 把代数式通过配凑等手段得到局部完全平方式，再进行有关计算和解题，这种解题方法叫做配方法. 如①用配方法分解因式：。2一4。一12. 解：原式一“2—4a+4—12—4=(CL—2)—42—(a-2+4)(a—2—4) =S+2)(CL-6) ②乂:a2-2ab+2b2-2b+2,利用配方法求M的最小值. 解：M=a2—2ab+2b2—2b+2=a2-2ab+b2+&2-2&+1+1 22 =(a—b)+Cb—1)+1 v(a—b)2>0/(b—l)2>0 当a=b=1时,M有最小值1. 请根据上述材料，解决下列问题： (1)在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：%2-%+ (2)用配方法分解因式：x2-6xy-7y2 (3)若M=2+%_1,求M的最小值. 93.阅读材料：设一元二次方程ax2+bx+c=0(a/))的两根为xi,x2,则两根与方程系数之间有如下关 系：%1+%2=--,xrx=5.根据该材料解题：已知Xi,X2是方程x2-2x=l的两实数根. 1za2a 求： (1)+%2 19/59 (2)+- 94.阅读材料： 材料1：若一元二次方程a/+8%+c=0(。W0)的两个根为％1，冷则％1+%2=-1%1%2=《. CLa 材料2:已知实数7H,几满足—m—1=0,H2—n—1=0,且THW九，求击+与的值. 解：由题知zu,几是方程%2-%-1=0的两个不相等的实数根，根据材料1得m+n=1,mn=-1, 所以3+%—而+*_(上+」)2—2僧71_1+2__3 根据上述材料解决以下问题： (1)材料理解：一元二次方程5/+10%-1=0的两个根为%1，%2，则％1+久2=， %1%2=. (2)类比探究：已知实数根，几满足77n2—7m—1=0,7n—7n—1=0,且mWn,求m2几+77m2 (3)思维拓展：已知实数s、t分别满足7s2+7s+l=0,产+7±+7=0,且st片1.求生苧垃 95.阅读材料：各类方程的解法：求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的 形式，求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，三元一次方程组，把它转化为 解二元一次方程组.求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解.求解分式方程，把它转 化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验.各类方程的解法不尽相 同，但是它们有一个共同的基本数学思想一转化，把未知转化为已知. 3 (1)问题：方程6%+14/-12%=0的解是：%i=0,%2=，x3=； (2)拓展：用"转化”思想求方程，2%+3=久的解; (3)应用：如图，矩形草坪2BCD的长4。=21血，宽2B=8m,点P在2D上(4P〉P。)，小华把 一根长为27m的绳子一段固定在点B,把长绳PB段拉直并固定在点P,再拉直，长绳的另一端恰好落 在点C,求4P的长. 4PD 千年城''、￥子 ,、、 :二彳千年y、、、q 96.［阅读材料］ 已知x2+y2+8x-6y+25=0,求x,y的值. 20/59 解：将25拆分为16和9,可得(x2+8x+16)+(y26y+9尸0, 即(x+4)2+(y-3)2=0, .x+4=0,y-3=0, /.x=-4,y=3 (1)［解决问题］ 已知m2+n2-12n+1Om+61=0,3j<(m+n)2023的值； (2)［拓展应用］已知a,b,c是AABC的三边长，且b,c满足b2+c2=8b+4c-20,a是AABC中最 长的边，求a的取值范围. 97.阅读材料，解决问题. 相传古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题.他们在沙滩上画点或用小石子来 表示数，比如，他们研究过1、3、6、10...,由于这些数可以用图中所示的三角点阵表示，他们就将 每个三角点阵中所有的点数和称为三角数. 第1个第2个第3个第〃个 则第n个三角数可以用1+2+3+…+O—2)+5-1)+几=吗也⑺>1且为整数)来表示. (1)若三角数是55,则n=； (2)把第n个三角点阵中各行的点数依次换为2,4,6,…，2n,请用含"的式子表示前几行 所有点数的和； (3)在(2)中的三角点阵中前n行的点数的和能为120吗如果能，求出n,如果不能，请说明理 由. 98.【观察思考】 第1个图案第2个图案第3个图案笫4个图案 【规律发现】 21/59 请用含n的式子填空： (1)第n个图案中“◎”的个数为； (2)第1个图案中“★”的个数可表示为竽，第2个图案中“才”的个数可表示为竽，第3个图案 中“才”的个数可表示为竽，第4个图案中“★”的个数可表示为等，……，第n个图案中“★”的个数可 表示为 (3)【规律应用】 结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数n,使得连续的正整数之和1+2+3+……+n等于 第几个图案中“◎”的个数的2倍. 99.阅读材料：为解方程(/—1)2—3(%2-1)=0,我们可以将%2-1视为一个整体，然后设%2-