专题07五类新定义题型-2024年高考数学大题秒杀技巧及专项训练（原卷版）
【题型1数列新定义破解大法】
【题型2集合新定义破解大法】
【题型3导数新定义破解大法】
【题型4三角函数新定义破解大法】
【题型5平面向量新定义破解大法】
题型1数列新定义破解大法
新定义题型的特点:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的；遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.
下面介绍几类数列新定义
数列满足：是等比数列，，且
．
(1)求；
(2)求集合中所有元素的和；
(3)对数列，若存在互不相等的正整数，使得也是数列中的项，则称数列是“和稳定数列”．试分别判断数列是否是“和稳定数列”．若是，求出所有的值；若不是，说明理由．
问题1：根据已知及等比数列的定义求出的通项公式，由已知和求通项可得的通项公式，问题2：根据等差数列及等比数列的求和公式可得结果，问题3：根据“和稳定数列”的定义可判定.
在正项无穷数列中，若对任意的，都存在，使得，则称为阶等比数列．在无穷数列中，若对任意的，都存在，使得，则称为阶等差数列．
(1)若为1阶等比数列，，求的通项公式及前项和；
(2)若为阶等比数列，求证：为阶等差数列；
(3)若既是4阶等比数列，又是5阶等比数列，证明：是等比数列．
问题1：根据题意可得为正项等比数列，求出首项与公比，再根据等比数列的前项和公式即可得解；
问题2：由为阶等比数列，可得，使得成立，再根据阶等差数列即可得出结论；
问题3：根据既是4阶等比数列，又是5阶等比数列，可得与同时成立，再结合等比数列的定义即可得出结论.
已知数列的前项和为，若数列满足：①数列项数有限为；②；③，则称数列为“阶可控摇摆数列”.
(1)若等比数列为“10阶可控摇摆数列”，求的通项公式；
(2)若等差数列为“阶可控摇摆数列”，且，求数列的通项公式；
(3)已知数列为“阶可控摇摆数列”，且存在，使得，探究：数列能否为“阶可控摇摆数列”，若能，请给出证明过程；若不能，请说明理由.
问题1：根据和讨论，利用等比数列前n项和结合数列新定义求解即可；
问题2：结合数列定义，利用等差数列的前n项和及通项公式求解即可；
问题3：根据数列为“阶可控摇摆数列”求得，再利用数列的前项和得，然后推得与不能同时成立，即可判断.
1．设数列的各项为互不相等的正整数，前项和为，称满足条件“对任意的，，均有”的数列为“好”数列.
(1)试分别判断数列，是否为“好”数列，其中，，并给出证明；
(2)已知数列为“好”数列，其前项和为.
①若，求数列的通项公式；
②若，且对任意给定的正整数，，有，，成等比数列，求证：.
2．设满足以下两个条件的有穷数列为阶“曼德拉数列”：
①；②.
(1)若某阶“曼德拉数列”是等比数列，求该数列的通项（，用表示）；
(2)若某阶“曼德拉数列”是等差数列，求该数列的通项（，用表示）；
(3)记阶“曼德拉数列”的前项和为，若存在，使，试问：数列能否为阶“曼德拉数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由.
3．设数列满足：①；②所有项；③.设集合，将集合中的元素的最大值记为.换句话说，是数列中满足不等式的所有项的项数的最大值.我们称数列为数列的伴随数列.例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3.
(1)请写出数列1，4，7的伴随数列；
(2)设，求数列的伴随数列的前之和；
(3)若数列的前项和（其中常数），求数列的伴随数列的前项和.
4．若某类数列满足“，且”，则称这个数列为“型数列”.
(1)若数列满足，求的值并证明：数列是“型数列”；
(2)若数列的各项均为正整数，且为“型数列”，记，数列为等比数列，公比为正整数，当不是“型数列”时，
（i）求数列的通项公式；
（ii）求证：.
5．已知数列为有穷数列，且，若数列满足如下两个性质，则称数列为的增数列：
①；
②对于，使得的正整数对有个.
(1)写出所有4的1增数列；
(2)当时，若存在的6增数列，求的最小值.
6．已知数列为有穷数列，且，若数列满足如下两个性质，则称数列为m的k增数列：①；②对于，使得的正整数对有k个.