摘要：“四则运算意义和法则”总复习教学的重点是理解和掌握意义的整体性和运算的一致性。须用2022年课标的理念指导现行教材的教学，在小学阶段让学生感受数与运算内在逻辑的一致性。
关键词：意义；算理；整体性；一致性
教学内容：人教版《义务教育教科书·数学（六年级下册）》第六单元第76页例1、例2、例3
学习目标：
1.进一步理解整数、小数和分数四则运算的意义、算理，理解和掌握意义的整体性和运算的一致性。
3.进一步感受数学与生活的联系，激发学习数学的热情，了解数学的价值。
教学重点：理解四则运算的意义整体性和四则运算算理的一致性。
教学难点：理解四则运算算理的一致性。
课前学习单：
教学过程：
一、直入主题，同桌交流
师：这节课我们要复习什么？
生：四则运算的意义与法则。
师：昨天给大家布置这个任务，完成这两道题，下面我们进行交流。先交流四则运算分别包括哪些类型，你是怎样整理的？拿出学习单和同桌互相交流一下。
二、汇报梳理，形成网络
1.复习四则运算意义，构建运算现实意义
师：关于加法算式25＋17，你想到哪些类型的问题？
生1：小明有25本故事书，又买来17本。现在一共有多少本？
生2：六（1）班有25个男生，17个女生。一共有多少人？
生3：体育场上有25人踢毽球，还有17人跳绳。一共有多少人？
师：第一种是已知开始的数量和变化的数量，要求最后的总和，我们把这种类型叫加入型。第二种是已知2个部分求总和，这一种叫“部分－部分－整体”型。第3位同学说的属于哪一种，还有其他类型吗？
生4：和第2种一样，是“部分－部分－整体”型。
生5：小聪有25朵红花，小云比他多17朵红花。小云有多少朵红花？
生6：六年级学生参加植树活动，已经植树25棵，还要植树17棵。一共要植树多少棵？
师：比较加法与减法的问题类型，你发现了什么？
生4：我发现减法和加法一样，也有4种类型。加法是知道这4种类型中2个较少的数量，要求较多的数量；减法是知道较多的数量和其中一个较少的数量，要求另一个较少的数量。
生5：减法就是已知两个数的和与其中的一个数，求另一个数的运算。
师：你想到有关乘法的哪些类型？
生1：六年级有7个班，每班摆了5盆花。六年级一共摆了几盆花？就是求7个5是多少，可以写成加法算式5＋5＋5＋5＋5＋5＋5，也可以写成乘法5×7。
生2：李明有5张卡片，王潇的卡片是李明的7倍。王潇有多少张卡片？这是求5的7倍是多少。
生3：求长方形面积时也要用乘法。一个长方形的长是7cm，宽是5cm，它的面积是多少？
师：第1种是求几个相同加数的和，第2种是求倍数，第3种是求面积，这是乘法中比较常见的类型。
师：除法算式4.8÷3，谁来说说？
生1：我想到的是平均分的类型。一根绳子长4.8米，平均分成3份，每份长多少米？
生2：上面这道题可以改编成倍数的问题。一根红绳长4.8米，一根绿绳长3米，红绳是绿绳的多少倍？
生3：除法也可以有面积的类型。一个长方形的面积是4.8m2，其中长是3m，它的宽是多少？
师：大家善于学习，根据乘法的问题类型，顺利找出除法的问题类型。把第1种类型题目改一下，一根长4.8米的绳子要分成几段，每段1.6米，可以分成几段？这属于——包含除。知道总数求其中一份是多少就是平均分，求可以分成几份就是包含除，包含除和平均分都属于除法问题的平均分类型。比较加减乘除四则运算，你有什么发现？
生1：加法和减法的问题类型一样，乘法和除法的问题类型一样。
生2：每一种加法的类型都有一种减法相对应，每一种乘法的类型也有一种除法相对应。所以减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运算。
生3：乘法是加法的简便运算，除法是减法的简便运算，除法的问题也能用加法解决。四则运算都和加法有关系。
（教学意图：教材对四则运算的意义有较为抽象的描述，指向的是概念的内涵，其外延是每一种运算的类别，分别对应着不同的现实情境和意义，对于学生理解运算现实意义具有重要作用。但这却是日常教学中容易忽视的，需要在总复习中对四则运算的意义进行系统地梳理，促进学生认知结构的建构。）
2.复习四则运算法则，理解运算本质原理
师：下面交流第2题。你写出了哪几道整数、分数和小数加减乘除的算式，发现整数、分数和小数四则运算的计算有哪些相同之处？同桌先交流2分钟。
师：谁听明白了？
师：你的解释有理有据。谁来汇报乘法？
师：你对整数、分数和小数乘法的计算法则掌握得很好。它们各有各的法则，有没有相同之处呢？我们先看一道算式80×70，它是怎么算的，用横式写出计算的过程。
生4：80×70=56×100=5600。
师：这里的80×70是怎么得到5600的？同桌讨论。
生5：因为80×7是560，所以80×70就是5600。
生6：80×70表示8个10乘7个10，所以80×70=（8×10）×（7×10）=（8×7）×（10×10）=56×100=5600。
生7：0.8×0.7=（8×0.1）×（7×0.1）=（8×7）×（0.1×0.1）=56×0.01=0.56。
师：按这样的想法来理解分数乘法，不管是真分数还是假分数相乘，道理都非常清晰。对比整数、小数和分数乘法，你发现了什么？
生11：我发现乘法也是在计算计数单位的数量，只不过需要原来的计数单位乘计数单位得出新的计数单位，个数乘个数得出新的计数单位的个数。
师：除法是乘法的逆运算，整数、分数和小数除法的算理应该是什么，大胆猜测一下。
生12：我觉得是个数除以个数得出新计数单位的个数，计数单位除以计数单位得出新的计数单位。
师：这个道理大家课后去举例验证。整数、分数和小数四则运算的计算法则虽然各有不同，通过今天的学习，发现它们的算理其实都是——
生13：算理都是在计算有多少个计数单位。
三、回头内化，完善网络
师：回头想想，刚才我们梳理了哪些知识？
生（齐）：四则运算的意义和法则。
师：你有什么发现？
生1：我发现加法和减法的问题类型一样，如果问题是求总数，就用加法，如果是求其中一个数量，就用减法。乘法和除法的问题类型一样，如果问题是求总数，就用乘法，如果是求一份数或者份数，就用除法。
生2：我发现四则运算都是在计算有多少个计数单位。加减法的计数单位和原来的相同，乘除法得到的是新的计数单位。
师：我们是怎样整理的？
生：运用举例。
师：怎么理解举例？
生：举例就是用具体的生活情境和数字来讲数学道理。特别关键的是要先分好类，然后再举例，就能把道理讲得搞清楚。
师：根据刚才讲到的要求，请大家完善自己的整理作品。
四、解决问题，学以致用
1.一个长方形的长是4cm，宽是3cm。它的面积是多少？
生1：4×3=12cm2
师：谁能用横式解释清楚一些，12cm2是怎么来的？
生2：4×3=（4×1cm）×（3×1cm）=（3×4）×（1cm×1cm）=12×1cm2=12cm2。
师：和前面的乘法运算一样，这里单位cm和单位cm相乘得到cm2。如果把题目改编一下，一个长方形的面积是12cm2，长是4cm，宽是多少cm？能用横式解释算理吗？
生3：12cm2÷4cm=（12×1cm2）÷（4×1cm）=（12÷4）×（1cm2÷1cm）=3cm
小结：除法的算理也是计算有多少计数单位或计量单位。单位乘单位会得到新的单位，单位除以单位也会得到新的单位。
2.填空
（2）35×320=35×（￡＋￡）=35×￡＋35×￡=￡＋￡=￡
（3）0.35×0.32=0.35×（￡＋￡）=0.35×￡＋0.35×￡=￡＋￡=￡
师：这2道算式还有简单一些的横式写法吗？
生1：35×320=（35×32）×（1×10）=1120×10=11200
生2：0.35×0.32=（35×0.01）×（32×0.01）==35×32×（0.01×0.01）=1120×0.0001=0.112
3.想一想：四则运算中如果有0或1参与运算，有哪些特殊情况？举例说明。
五、回顾总结，反思提升
师：通过这节课的复习，你印象最深的是什么？
生1：原来计算加减乘除时，想的是不同的算理，现在知道它们的算理原来都是一样的，就是计算有多少个计数单位。
生2：加法和减法的问题有4种类型，现在对分开型和比较型印象深一点。
生3：减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运算。这节课结合具体的问题我想明白了。
师：大家整理复习时多思考知识之间的联系，不断提升自主复习的能力。
板书设计：
全课评析：
《义务教育数学课程标准（2022年版）》对于“数与运算”教学提出新的要求，“感悟数的运算以及运算之间的关系，体会数的运算本质上的一致性，形成运算能力和推理意识”[1]。但教材的修订需要循序渐进，按年级分步实施，不能一步到位。在过渡阶段，要用“新课标”的理念指导“旧教材”的教学，进行整合对接。
一、运用举例，凸显意义的整体性
加减乘除本质上是一个整体：从运算意义的角度而言，所有运算都可以还原成加法，加法是所有运算的基础……[2]总复习要实现对四则运算意义的深入理解，首先应是对每一种运算所包含不同模型的认识与理解，不单是教材对四则运算意义的简要描述。其次是对不同运算之间关系的理解，学生要用联系的观点去看四则运算的意义，当然这不能是教师的简单告诉。
要落实以上目标，唤醒学生已有的认知是基础。通过举例，学生激活头脑中对四则运算不同问题类型的认知。在讨论交流中，相互补充，寻找出所学过运算的不同原型，系统地构建运算的现实意义。通过具体情境中三个数量的变化，进行对比联系，学生容易发现每种运算各个部分之间的关系，进而发现加减法之间、乘除法之间逆运算关系。如此学生对四则运算的意义有了整体、联系的认识。
二、借助横式，理解运算的一致性
数的运算的算理本质是一致的，都是计算计数单位的个数。但在现行教材里，整数、小数和分数的算理不一样，加减乘除的算理也各不相同。例如小数乘除法，是根据积的变化规律、商不变的性质作为原理来解释，分数除法是用包含除的原理解释。
在举例解释乘法运算时，引导学生先写出整数乘法的横式，再迁移到小数乘法，初步感受乘法运算原理的本质。接着借助长方形直观理解分数乘法所得出的新的计数单位，联系对比后贯通乘法算理本质，实现运算一致性的理解。显然在解释时竖式指向算法，而算理需要借助横式。此外，除法算理的一致性理解较复杂，需要另外用一节课进行复习。
如此，在小学阶段，通过总复习让学生对数的运算有整体性和一致性的认识，让纷繁复杂的意义和算理变得简单易懂，促进学生运算能力和推理意识的发展。
参考文献：
[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[S].北京:北京师范大学出版社,2022.18.
[2]巩子坤,史宁中,张丹.义务教育数学课程标准修订的新视角:数的概念与运算的一致性[J].课程.教材.教法,2022,42（06）:45-51+56.