《数学悖论系列之九（数学物理学悖论)》过于冗长，唯有拆成二篇：《数学悖论系列之九（数学物理学悖论)——上（背景【前沿】知识）》，《数学悖论系列之九（数学物理学悖论)——下（数学物理学悖论）》。
数学悖论系列之九（数学物理学悖论)——下（数学物理学悖论）
九、数学物理学悖论（Paradoxofmathematicalphysics)
（二）数学物理学悖论
1.埃伦费斯特悖论（TheEhrenfestparadox）
埃伦费斯特悖论是关于刚性旋转盘的运动学。这是物理学家保罗·埃伦费斯特在1909年提出的，仅仅在爱因斯坦发表狭义相对论的四年后。作为相对论早期的一个悖论，它有着很长的争议历史，并且在一个多世纪后仍然引发了学术论文。当然，没有一个真正的物理轮子能够以接近光速的速度旋转。因此，埃伦费斯特情景属于思想实验的范畴。
依据狭义相对论，当运动物体的速度接近光速时，物体的长度会在运动方向上明显收缩。这不仅适用于直线运动，也适用于圆周运动：当车轮旋转时，车轮边缘上的每一点都沿其切线方向运动。因此，根据相对论，边缘的长度变短了。另一方面，轮子的半径并没有变——它垂直于轮子的运动，不收缩。结论是即使轮子的半径是R，周长变得小于2πR——这就产生了悖论。
我们也可以从不同的角度来看待这种情况。让我们沿着车轮的圆周首尾相连地放置测量杆(为了与车轮的曲率一致，它们必须是弯曲的)。即使我们假设车轮保持刚性，当它们旋转时，测量杆也会收缩，从而在它们之间打开间隙，可以放置额外的测量杆。因此，旋转车轮的圆周将能够容纳比静止时更多的测量杆，这意味着圆周变得比2πR长。
（1）解决方案一
下图显示了一条直线上的静态杆都在同一时刻开始以天生刚性的方式加速。连接曲线的“梯子的横档”显示了移动框架中的局部“现在”(局部空间轴)。你可以看到杆与杆之间的间隙变大了，但是杆在运动框架中的长度都是不变的。
我们可以把它缠绕在一个圆柱体上，看看埃伦费斯特圆盘的相应行为。我们有各种测量周长的“长度”——静止坐标系中的长度，在特定静止时刻选择的运动坐标系中长度的总和，以及运动坐标系中一圈螺旋线的长度。它们都是不同的，但它们被允许是不同的，因为它们在时空中倾斜不同。它们都符合时空中完全相同的事件圆柱的表面(图103)。
图103
（2）解决方案二
问题的答案取决于观察者的立场。如果观察者和轮子都静止，轮子的周长是2πR。
然而，当轮子旋转时，观察者从远处看着棒沿着轮子的圆周旋转，棒就会收缩。因此，需要在间隙中放置更多的这些较短的杆。额外的棒补偿了初始棒的收缩，从观察者的角度来看，周长保持在2πR不变。
另一方面，一个站在轮子边缘并随着轮子旋转的观察者会经历和棒一样的收缩。因此，她自己没有注意到任何收缩，从她的角度来看，棒的长度保持不变。但是她确实意识到杆与杆之间的缝隙已经打开，她必须在缝隙中放置额外的杆。对于这个在轮子边缘旋转的观察者来说，圆周现在变得大于2πR。
除了周长有点神秘地变长之外，她没有发现任何不对劲的地方。然而，她发现自己处于某种非欧几里得几何的版本中。
（3）解决方案三
对这个悖论的一个关键的洞见是认识到狭义相对论中的刚体和同时性的概念不像经典力学中那样简单。这个悖论对理解时空结构本身也有影响。它暗示了旋转和相对论之间的复杂关系，挑战物理学家去调和几何学的直觉概念和狭义相对论的违反直觉的预言。
这个悖论强调了相对论旋转坐标系中空间的非欧几里得性质，表明欧几里得几何可能并不普遍适用。为了解决埃伦费斯特悖论，物理学家转向广义相对论，爱因斯坦的理论将狭义相对论的原理扩展到非惯性参考系，就像一个旋转的圆盘。
广义相对论假设引力是质量和能量导致时空弯曲的结果。在这个架构中，旋转物体附近的时空几何是非欧几何，而这个空间曲率可以解释这个明显的悖论——我们应该重新思考π是常数的观点，能让欧氏几何走出大门：在非欧几何中考虑π不是常数，而是角速度的函数。
总结：埃伦费斯特悖论不仅是理论物理领域中一个引人入胜的思想实验，也是理解时空本质的一个关键点；它强调了广义相对论在解释旋转参照系中的现象的必要性，并强调了在这些条件下时空的非欧几里德几何。
2.黑洞信息悖论（Blackholeinformationparadox）
在物理学中，明显的悖论实际上只是我们尚未弄清楚的谜题。物理学中我们尚未解决的最大难题之一是黑洞信息悖论。
理论物理学在1974年进入危机模式，当时斯蒂芬霍金首次提出黑洞会破坏信息。霍金表明，黑洞可以蒸发，逐渐将自身和它消耗的任何东西转化为毫无特征的辐射云。在此过程中，有关落入黑洞的信息显然丢失了，这违反了神圣的物理学原则。
在坍塌区域内有一条细线，将可能逃脱的区域与不归点分开。这条线称为事件范围。它是光勉强避免落入奇点的最外层点。除非一个物体的传播速度超过光速——这在物理上是不可能的——否则它无法从事件视界后面逃脱；它无可挽回地卡在黑洞里(图104)。
图104
量子力学指出，信息——如粒子的质量和自旋、组成碳分子的原子结构等——永远不会被破坏。如果你要烧掉两封不同的信，将它们从灰烬中重新组合起来几乎是不可能的，但也不是完全不可能。烟雾、温度和灰烬量的细微差异仍会保留两封不同信件的信息。
黑洞信息悖论——信息是否逃离蒸发的黑洞——仍然是理论物理学最长久的谜团之一。低能量下半经典引力的有效性与量子力学的幺正性之间的明显冲突，长久以来被期望在完整的引力量子理论中找到解决方法。
斯蒂芬·霍金自己也认为进入黑洞的粒子信息最终确实会返回宇宙。如果不是这样，那么我们需要认真反思现代物理学的大部分内容。下面所谈及到的解决方案只是表明物理学家越来越接近解决这个难题，而不是已解决了它。
（1）解决信息悖论方案一
跨越黑洞事件视界的粒子对将永远彼此分离。新分离的粒子以相反的方向从地平线上剥落，一个成员撞上奇点，另一个成员以霍金辐射的形式逃离了黑洞的引力。这个过程正在耗尽黑洞，导致它以出射粒子的形式发射能量时变得更轻、越来越小。由于能量必须守恒的定律，被困在里面的粒子必须携带负能量，以解释黑洞总能量的减少。
因为霍金辐射是由一组纠缠对的一半组成的，所以它以完全随机的状态从黑洞中出现——我们无法从辐射的随机测量中推断出关于黑洞内容的任何有用信息。但我们可以通过考虑辐射和黑洞之间的纠缠量来衡量霍金辐射中信息的缺乏或随机性。这是因为纠缠对中的一个成员总是随机的，而外部成员是蒸发结束时剩下的全部成员。随机性的计算有很多名称，包括纠缠熵，它随着每个出现的霍金粒子而增长，一旦黑洞完全消失，它就会稳定在一个很大的值。
黑洞内部信息的破坏对物理学来说是灾难，因为量子力学定律规定信息不能被抹杀。这就是著名的信息悖论——事实上，在黑洞的描述中加入量子力学会导致看似无法克服的不一致。物理学家知道我们需要更全面地了解量子引力物理学，才能生成霍金辐射的Page(佩奇)曲线。不出所料，这项任务被证明是困难的。面临挑战的另一部分是，对蒸发过程的任何微小调整都不足以生成佩奇曲线并将熵降至零。我们需要的是彻底重新构想黑洞的结构。
信息悖论和较新的防火墙悖论使这部分物理学家意识到仅仅将量子力学应用于黑洞中存在的物质是不够的——他们还必须设计一种黑洞时空的量子处理方法。尽管量子效应对时空的影响通常非常小，但它们可能会因蒸发产生的大纠缠而得到增强。这样的影响可能很微妙，但其影响将是巨大的。
他们依赖于理查德·费曼（RichardFeynman）设计的一种称为量子力学路径积分的技术。路径积分是一种根据所有潜在路线的量子叠加来描述粒子行进的方法。同样，量子时空可以处于以不同方式演变的不同复杂形状的叠加中。例如，如果我们以两个常规黑洞开始和结束，那么它们内部的量子时空就有一个非零的概率，即产生一个短暂的虫洞，暂时桥接它们的内部(图105)。
图105
通常这种情况发生的可能性非常渺茫。然而，当我们在多个黑洞的霍金辐射存在的情况下进行路径积分时，霍金辐射和黑洞内部之间的巨大纠缠放大了这种虫洞的可能性。为什么一些黑洞是由虫洞连接的呢？事实证明，他们修改了黑洞和霍金辐射之间有多少纠缠熵的答案。关键是在存在系统的多个副本的情况下测量这种纠缠熵。这被称为复制技巧。
聚焦于其中一个黑洞及其霍金辐射，被交换的岛屿带走了与向外的霍金辐射纠缠的所有伙伴粒子，因此，从技术上讲，黑洞与其辐射之间没有纠缠。
包括虫洞的这种潜在影响，当应用于系统的单个副本时，会产生辐射纠缠熵的新公式。霍金的原始计算方法只是计算黑洞外的霍金粒子数量，而新公式则奇怪地将该岛视为在黑洞外部，是外部霍金辐射的一部分。因此，岛与外部之间的纠缠不应计入熵。相反，它预测的熵几乎完全来自交换实际发生的概率，它等于岛边界的面积——大约是事件视界的面积——除以牛顿引力常数。随着黑洞的缩小，这种对熵的贡献会减小。这是霍金辐射纠缠熵的岛屿公式。
计算熵的最后一步是取岛屿公式和霍金原始计算之间的最小值。这为我们提供了我们一直在追求的Page曲线。这个结果的非凡之处在于它用一个公式解决了两个悖论。该公式通过揭示黑洞如何产生Page曲线并保留信息来解决信息悖论：信息不是通过越过不可逾越的事件视界，而是通过简单地深入到岛屿中更深处来逃脱黑洞。
（2）解决信息悖论方案二
科学家们通过创建量子宇宙学以设计量子引力理论并将其应用于整个宇宙。黑洞物理学最近的突破——这也需要理解量子力学和引力同等重要的机制——可以帮助科学家们在量子宇宙学中提取一些答案。
黑洞和我们的整个宇宙之间存在任何关系的第一个迹象是，两者都表现出“事件视界”——不归点，超过这个点，两个人似乎永远失去了联系。黑洞的吸引力如此之强，以至于在某个时刻，即使是光——宇宙中最快的东西——也无法逃脱它的引力。因此，光线被困住的边界是围绕黑洞中心的球形事件视界。（见图106）
图106
我们的宇宙也有一个事件视界——1998年令人震惊和出乎意料的发现证实了这一事实，即太空不仅在膨胀，而且在加速膨胀。导致这种加速的任何东西都被称为暗能量。在黑洞中，时空正在向一个点坍缩——奇点。在整个宇宙中，所有空间都在均匀增长，就像气球的表面正在膨胀一样。这意味着遥远星系中的生物将拥有自己独特的球面事件视界，这些视界围绕着它们而不是我们。我们目前的宇宙学事件视界大约有160亿光年。（见图106）
黑洞信息悖论使将量子力学和引力相结合的探索变得复杂。但在2019年，科学家们取得了巨大进展。通过概念和技术进步的融合，科学家们认为，黑洞内部的信息实际上可以从离开黑洞的霍金辐射中获得。这一发现让研究量子宇宙学的人重新焕发了活力。由于黑洞和宇宙视界在数学上的相似性，科学家们找到一套新的技术工具，可以在存在黑洞事件视界的情况下，为引力和量子力学的相互作用提供美丽的见解。
黑洞信息悖论的最新进展部分源于荷兰乌得勒支大学的Gerard'tHooft和斯坦福大学的LeonardSusskind在1990年代提出的一个称为全息原理的想法。全息原理指出，可以描述黑洞的量子引力理论不应该在所有其他物理理论使用的普通三个空间维度中表述，而应该在空间的两个维度中表述，就像一张平面纸一样。这种方法的主要论点很简单：黑洞有一个熵——衡量你能在里面插入多少东西的量度——它与它事件视界的二维面积成正比。（见图107）
图107
在2019年的计算中，黑洞内部信息在霍金辐射中的编码方式在数学上类似于根据全息原理在低维非引力系统中编码的方式。这些技术可以用于更像我们的宇宙的环境中，为理解现实世界中的全息原理提供了一条潜在的途径。
关于宇宙视界的一个显著事实是，它们也有一个熵，这个熵的公式与我们用于黑洞的公式完全相同。对这种熵的物理解释则不那么清楚。对外部观察者来说，黑洞信息悖论的最新进展表明，如果我们在黑洞蒸发时收集黑洞的所有辐射，我们就可以获得落在黑洞内部的信息。
几乎所有试图解决这个问题的尝试都需要物理学家人为地将自己从加速的宇宙中解脱出来，并想象从外部观察它。这是一个至关重要的简化假设，它更接近于黑洞，我们只需将观察者放置得很远，就可以将观察者与系统干净地分开。但似乎无法逃避我们的宇宙学视野；它围绕着我们，如果我们移动，它就会移动，这使得这个问题变得更加困难。
许多物理学家认为，我们最好的办法是提出一个全息描述，这意味着使用比通常的三维空间更少的描述。我们有两种方法可以做到这一点。首先是使用弦理论中的工具，它将自然界的基本粒子视为振动的弦——当我们以完全正确的方式配置这个理论时，我们可以提供某些黑洞视界的全息描述。许多物理学家对这种方法投入了大量工作，但它还没有为像我们这样膨胀的宇宙产生一个完整的模型。预测全息描述的另一种方法是从此类描述应具有的属性中寻找线索。这种方法是科学标准实践的一部分——使用数据构建一个可以重现数据的理论，并希望它也能做出新的预测。然而，在这种情况下，数据本身也是理论性的。
有时科学家们雄心勃勃，在量子力学和引力同等重要的情况下尝试计算理论数据。在这种情况下，科学家们不可避免地不得不对完整、精确理论的行为施加一些规则或猜测。科学家们中的许多人认为，最重要的理论数据之一是量子宇宙学理论组成部分之间纠缠的数量和模式。
量子宇宙学中纠缠的性质是一项正在进行的工作，但很明显，确定它将是迈向全息描述的重要一步，将来所取得的进步也为黑洞的量子引力理论提供坚实的基础——从而解决黑洞信息悖论。
（3）解决信息悖论方案三
新模型增进了我们对量子黑洞的理解。一组研究人员极大地增进了我们对量子黑洞及其特性的理解。他们的新数学模型提供的证据表明，当考虑到量子物质时，黑洞内的奇点（物理定律失效的无限密度点）将始终被隐藏。
彭罗斯进一步推测，所有这些奇点必定位于事件视界后面，这被称为“宇宙审查猜想”——这应该是一个令人欣慰的认识，因为否则它意味着我们将见证物理学的崩溃。虽然宇宙审查猜想及其数学基础“彭罗斯不等式”尚未在经典物理学中得到数学证明，但科学家团队为量子宇宙审查的概念提供了强有力的数学证据。
量子黑洞是理论概念，而不是恒星坍塌后存在于外太空的经典黑洞。考虑到它们的理论行为，科学家们使用了一种称为引力全息术的方法，从数学上测试了量子物质对奇点的影响，以及审查制度是否会屏蔽它们。通过证明量子物质对时空黑洞的影响这一概念，该模型研究小组相信这可以推动解决量子引力的问题，许多科学家将量子引力视为物理学的统一理论。
解决黑洞奇点仍然是量子引力的主要目标，因此严格理解宇宙审查和彭罗斯不等式等概念在考虑量子物质效应时的表现，增加了可用于进一步发展量子引力的标准列表。
研究该模型的科学家们希望他们的模型甚至可以提供一个坚实的基准来测试量子引力模型，或完善目前提出的模型。除了在量子宇宙审查方面的工作之外，该论文还提供了强有力的证据，证明在考虑量子效应时，黑洞可以具有多少熵（衡量无序性或随机性）的限制。称为量子逆等周不等式的新规则扩展了有关黑洞熵的经典规则，将其也应用于量子物质，进一步加深了我们对黑洞热力学性质的理解。
（4）解决信息悖论方案四
布鲁斯坦他们的研究表明，黑洞可能不是爱因斯坦的广义相对论所预测的那种没有特征、没有结构的实体。相反，宇宙怪物可能是被称为“冰冻恒星”的奇异量子物体。
虽然它们与黑洞有一些相似之处，但假想的天体在关键方面有所不同，这可能会解决臭名昭著的霍金辐射悖论。之所以出现这个悖论，是因为黑洞事件视界发出的理论辐射似乎没有携带有关形成黑洞的物质的信息，这与量子力学的一个基本原理相矛盾，即信息不能被破坏。
此外，与传统的黑洞不同，冰冻的恒星预计不会隐藏一个奇点——一个位于其中心的无限密度点——这解决了黑洞的经典图景与物理学中无限性不能存在于自然界中的一般规则之间的另一个矛盾。当无穷大确实出现在一个理论中时，它通常表明该理论的局限性。
布鲁斯坦所言，如果它们真的存在，它们将表明需要以重要和根本的方式修改爱因斯坦的广义相对论。
（5）解决信息悖论方案五
黑洞信息悖论为理论物理的基础提出了一个最严重的问题，因为它说广义相对论和量子理论不能兼容：广义相对论预测黑洞将形成，然后对黑洞背景周围真空波动的显式计算表明，发出的辐射不携带制造黑洞的物质的信息。
人们为解决这一矛盾做了许多努力。如今科学家们认为，如果我们假设量子引力效应被限制在像普朗克长度或弦长这样的有界范围内，那么霍金的论证就是一个“定理”：会发生信息丢失。最后，我们将看到弦理论现在如何为我们提供了一个悖论的解决方案：量子引力效应实际上并没有将黑洞的信息传播到整个视界形状的球的内部，因此黑洞没有“无信息视界”。
由基本常数c，h，G形成的唯一长度尺度仍然是普朗克长度，但黑洞是由大量量子N组成的，我们需要问量子引力效应是否延伸到普朗克长度量级或普朗克长度的N次方的距离。黑洞微观状态的显式构造表明后者是正确的，因此我们最终为这些量子效应生成了一个宏观距离——视界半径。量子引力的这种违反直觉的行为似乎可以追溯到黑洞的巨大熵；黑洞的正交波函数不能适合小于视界半径的半径。
（6）解决信息悖论方案六
20世纪90年代，黑洞信息悖论成为一场著名赌局的主题。霍金和美国加州理工学院的基普·索恩一起提出，量子力学最终需要修正，以将霍金辐射考虑在内。另一位加州理工学院的理论物理学家约翰·普雷斯基尔坚持认为，信息会被发现以某种方式保存下来，量子力学将被拯救。
但在1997年，现就职于美国普林斯顿高等研究院的理论物理学家胡安·马尔达西那提出了一个想法，认为霍金和索恩可能是错的。他的论文现在被引用了24000多次，甚至超过了霍金论文被引用的7000次左右。马尔达塞纳提出，宇宙——包括它所包含的黑洞——是一种全息图，是发生在平面上的事件的高维投影。平面世界上发生的一切都可以用纯量子力学来描述，因此保留了信息。
从表面上看，马尔达塞纳的理论并不完全适用于我们居住的宇宙类型。此外，它也没有解释信息如何逃脱黑洞的毁灭——只是说它应该以某种方式逃脱。普雷斯基尔说：“我们对这一机制没有具体的了解。”根据普雷斯基尔的说法，包括霍金在内的物理学家提出了无数的逃逸机制，但没有一个是完全令人信服的。“在那篇伟大论文发表50年后的今天，我们仍然感到困惑。”他说。
纠缠也是量子计算机比经典计算机更强大的关键特征之一。此外，在过去十年中，黑洞和信息理论之间的联系变得更加紧密，因为普雷斯基尔和其他人研究了全息投影中发生的事情和为量子计算机开发的纠错算法类型之间的相似性。纠错是一种存储冗余信息的方式，使计算机(无论是经典计算机还是量子计算机)能够恢复损坏的信息。一些研究人员将量子计算理论视为解决霍金悖论的关键。当创造一个黑洞时，宇宙可能类似地存储了它的信息的几个版本——一些在视界内，一些在视界外——因此黑洞的毁灭不会抹去任何历史。
③改变过去
由于广义相对论通过时空几何来表示引力，因此允许的几何形状必须与物质排列方式一样多样。除了用于描述太阳系、黑洞和其他许多东西的几何模型之外，变化范围还扩展到包括一些不同于天体物理学家观察到的任何奇异结构。特别是，存在一些带有自身循环曲线的时空几何：闭合类时曲线（CTC），它描述了观察者精确返回到其先前状态的可能轨迹，没有任何有趣的事情，例如比光速更快。
①双胞胎悖论
在进入正题时，先了解一个真实的物理实验：时钟偏移。它是两位物理学家JosephHafele和RichardKeating在1991年实验观察到的一种真实现象。他们使用同步原子钟在两个平面上运行，这两个平面绕地球两圈：一架飞机向东飞行，另一架飞机向西飞行，而同步的原子钟留在地球上——当原子钟返回时，它们与地面原子钟的不同步程度正好是狭义相对论预测的程度。
时钟偏移证实了“狭义相对论认为，附着在运动物体上的时钟比静止的时钟走得慢”。但很难在人类的尺度上测量这种效应，因为只有在接近光速时，这种效应才会在很大程度上表现出来。因此，双胞胎悖论只能通过思想实验论证：有一对双胞胎兄弟A、B，他俩中的A以接近光速在太空中来回穿梭——当他俩再次相遇时，旅行的A比留在地球上的B更年轻。
通过理解狭义相对论并不声称两个观察者之间完全对称，就可以解决这个悖论。它只声称所有惯性系（以恒定速度移动的观察者）都是等效的。移动双胞胎兄弟的坐标系在加速和减速期间不是惯性的。如果我们包括处理加速度的广义相对论的效应，我们会发现旅行双胞胎兄弟的时钟确实运行得更慢。
但是，速度是一个相对的概念。对于地球上的双胞胎兄弟，他的参照系(地球)是不动的，另一方面，他看到火箭中的双胞胎兄弟以一定的速度离开。相反，对于火箭中的双胞胎兄弟，他的参照系(火箭)是不动的，是地球在移动。
既然观点对我们来说似乎是对称的，为什么坐火箭返回地球的双胞胎兄弟比留在地球上的双胞胎兄弟年轻？
对这个悖论最常见的解释是，两个时钟中的一个必须改变其惯性参考系。事实上，只要火箭保持在其惯性参考系中，从火箭的角度来看，就是地球的双胞胎兄弟“衰老得不太快”。但当火箭转向时，它打破了对称性，它改变了参考系，在那一刻，火箭的双胞胎兄弟“老得不那么快”。
②祖父悖论
托巴尔的工作对于非数学家来说并不容易深入研究，但它着眼于确定性过程(没有任何随机性)对时空连续体中任意数量区域的影响，并展示了两个封闭的类时曲线(如爱因斯坦所预测的)如何符合自由意志和经典物理学的规则。昆士兰大学的物理学家法比奥·科斯塔是这项研究的负责人，他说:“数学验证了——结果是科幻小说的素材。”
这项研究的早期版本于2020年9月发表在《经典引力和量子引力》杂志上。