1、第1章珠算概述第一节珠算的起源与发展珠算是以算盘为工具，数学理论为基础，运用手指拨珠，进行运算的一门计算技术，它是我国古代劳动人民重要的发明创造之一，千百年来这一技术不断扩散，传播到世界各国，推进着人类文明的发展历程。珠算和算盘是由我国古代的“筹算”和“算筹”发展演变而来的。算筹是小竹棍。用算筹表示数和进行计算叫“筹算”。从我国最早的天文学、数学著作周髀算经中可以知道“筹算”至少在春秋时代就有了广泛的应用。近年我国考古学者已从秦汉古墓中发现了古代算筹。据史书记载，南宋时代已有珠算歌诀出现，珠算自产生之日起发展到今，已有1800多年的历史。由于珠算所具有优越的计算功能、教育功
2、能和启智功能，即使社会已进入电子时代，计算工具中的传统算盘仍然具有广泛的适用性，发挥着重大作用。新中国成立后，党和国家领导人十分重视珠算事业的发展。1972年，周恩来总理在接见美籍物理学家李政道博士时说：“要告诉下面不要把算盘丢掉，猴子吃桃子最危险。”1979年，薄一波同志为珠算杂志题词“算盘是我国的传统计算工具。一千多年以来，在金融贸易和人民生活等方面起了重要作用。用算盘和用电子计算机并不矛盾。现在还应充分发挥算盘的功能，为我国经济建设事业服务。”我国的珠算及算盘，是我国劳动人民在长期的生产、生活实践中创造发明的，是中华民族优秀的科学文化遗产之一，即使在当今计算机盛行的时代，
3、仍不失为一门实用的科学和一项优良的计算技术。第二节珠算基础知识、认识算盘算盘的发明历史悠久，在长期的社会实践过程中，我国劳动人民创造出各种精美的算盘。随着经济的发展和科学技术的进步，算盘作为一种计算工具也不断得到改进和革新现就算盘的结构与种类分述如下：-）算盘的结构算盘呈长方形，由边（框）、梁、档、珠四个基本部分组成。改进后的算盘又增加了清盘器、计位点和垫唧等装置（见图1-1）图1-1上珠档卜-珠边、梁、珠多为木质，档用细竹（或细金属条）制作。目前有以塑料、牛角、金属材料制造边、梁、珠的算盘。边（框）：是算盘的四周框架，用以固定算盘的梁、框、珠各部分，它决定
4、了算盘的大小及形状。梁：是连接左右两边的一条横木，将盘面分为梁上、梁下两部分。档：是连接上下边并穿过横梁的细柱，用以穿连算珠并表示数位。珠：又称“算珠”或“算盘子”，梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠。七珠算盘最上面的一颗叫顶珠，最下面一颗叫底珠。清盘器：是近年来改革新加的。它是安装在横梁下面用以使算珠离梁的装置，其操作按钮装置在算盘上边的左端。主要用于提高清盘的速度与质量。垫脚：装在算盘左右两边底面，共三个。其作用是使算盘底面离开桌面，当推拉算盘面的计算资料时，防止算珠被带动计位点：是在梁上做出的计位标记，每隔三档一点，主要作用是为计数与看数方便（二）算盘的种类我国目前使
5、用的算盘大致分为三类。1.圆形七珠大算盘。这是我国的传统算盘，算珠上二下五，又分为九至十五档等几种。这种算盘手指拨动算珠的幅度大，使用时声音响，处于被淘汰的趋势（见图2）图1-2圆形七珠大算盘2.菱珠中型算盘。这种算盘是在圆形七珠大算盘的基础上改进而来的。算珠上一下四，比圆形七珠算盘缩短了档距，减少了算珠，增加了档位，并装有清盘装置及垫脚。它克服了圆形七形大算盘的缺点，是我国目前使用最广泛的一种算盘（见图）3.菱形小算盘。这是一种上一下四（或下五）珠条形菱珠小算盘，一般档位较多，便于手握移动。档距短，利于提高速度。该种算盘目前流行于我国东北地区，有大力推广的趋势（
6、见图1-3）.图1-3菱形六珠小算盘二、打算盘的基本功（一）握笔方法珠算运算需要用手拨珠，又要用手持笔书写计算结果，所以要求握笔方法正确：一用无名指和小指握住笔头部分，笔身横在拇指和食指间，使拇指、食指和中指能够灵活拨珠（见图1-4）:二是将笔夹在无名指和小指之间，笔头在小指方向，笔身横在拇指和食指之间（见图15）；三是菱珠小型算盘握笔法，将笔身横在右手拇指与食指间，笔杆上端伸出虎口，笔尖露在食指与中指之外（见图16）图1-4图1-5图1-6（二）正确坐姿：打算盘的姿势正确与否直接影响运算的准与快。因为眼、脑、手要并用，配合要默契，动作要连贯，所以打算盘时，身要正
7、，腰要直，肘和腕离开桌面，头稍低，要求视线落在算盘与练习题交界处，运算时靠视觉转移看数拨珠，不能摆头。打算盘时肘部摆动的幅度不宜过大，手离开桌面距离大约为0.5cm，过低在运算中会产生带珠，过高会发生手指上下跳动拨珠。要做到指不离档，手指与盘面的角度，一般为45。60较好。身体与桌沿的距离约10cm，算盘放在适当的位置，并与桌边基本平行。使用算盘时，应利用算盘的边与计算资料的行次进行运算。这样才能加快速度，提高运算质量。（三）记数与看数1、记数算盘以算珠表示数码，靠梁算珠表示数字，离梁算珠表示零。上珠一颗当五，下珠一颗当一。以档表示数位，计算中各档表示的数位不同，高位在左，低
8、位在右，每隔一档相差10倍，选定个位档以后，向左分别为十位档、百位档、千位档向右分别为十分位、百分位、千分位每差一档扩大或缩小10倍。某档下珠满五，需换用上珠表示，称为“五升”；某档算珠满十，需换用左档一颗算珠表示，称为“十进”。这种上下珠记数和进位方法称为“五升十进制”。作加减运算时，选定档位不得变化。算盘中全部算珠离梁靠边称为空盘，将数码拨入空盘，使算珠离边靠梁叫“置数”，如置123456789于盘上，如图17所示。丄IIIIIII图1-72、看数将数码置数于空盘，或将盘上的数字记录下来，都需要看数。要练习一眼能看几位数字，一般开始时分节看数，从左到右三
9、位一节，熟练之后要能边看边打。不要看一个数码拨一次算珠，或看完一个数后再拨算珠。看数与拨珠要防止口中读出声音，应练成看数反映快、记数牢而准的基本功。3、写数计算完毕，将算盘上的答案记录下来，这是珠算运算的最后一个环节。表面上看抄写数字与计算尖系不大，但一道题的正确与否，除取决于运算拨珠是否正确外，还与抄写数字有较大尖系。一是数字抄写是否准确、清晰、整齐；二是抄写是否快捷。在运算过程中，要养成笔不离手的习惯，写数时，应在准的基础上求快。要养成盯盘写数的好习惯，这就要锻炼眼睛捕捉盘上数字的能力，当一道题计算完毕，左手握住清盘器，眼睛盯盘，在确定写数位置后，一笔数就能从高位到低位很快
11、开并靠边，每次清盘要求用力适当，动作不要重复。三、拨珠方法珠算拨珠法又称指法。拨珠方法的合理、准确与否，直接影响着计算的速度与准确度。拨珠方法可分为两种（一）三指拨珠法为了适合算珠位置和拨动方向，使拨珠迅速，拇指、食指和中指应有一定的分工。1单指独拨（1）拇指：专拨下珠靠梁学习参考2）食指：专拨下珠离梁3）中指：专拨上珠靠梁与离梁2两指联拨（拇指、中指联合拨珠）为了提高拨珠速度，在熟练单指独拨的基础上，力求应用两指联合拨珠（1）双合：即上下珠同时靠梁6，7，8，9；15，25，35，45仪S寸9co92;L無直叵卷H-q岳-心戻(CM寸+2-寸
12、+2,l+寸，e+OJ蘇褪卷H-陈M卷宀岳H-戻(寸9L+9L9+99+92-寸IDCMLDCLD10-520-520-1530-253.三指分工练习(1)拇指：在四个档位上来回加1共四次。(2)食指：在算盘是4、4、4、4的基础上来回减1共四次。(3)中指：在算盘的上四个档位上来回加减5四次。双合、双分：在空盘上分别加减6、7、8、9各八次。双上、双下：盘上置数4、4、4、4，然后分别加减1、2、3、4各八次。(二)两指拨珠法般情况下使用菱珠小算盘，用拇指、食指拨珠，称“二指法”。使用小算盘运算应用右手的拇指和食指进行拨珠，中指、
13、无名指和小指应向掌心自然弯曲1、单指独拨1）拇指二指法：管下珠靠梁，有时管下珠离梁学习参考2）食指二指法：管下珠离梁，上珠靠梁和上珠离梁2、两指联拨双合1）二指法：用拇、食指，托拨上下珠靠梁同档法：同一档上、下珠同时靠梁。例：在空盘上拨入6、7、8、9或1+7、2+6、3+6、2+7。异档法：左档下珠和右档上珠同时靠梁。例：在空盘上拨入15、25、35、45或20十15、10+35、12+25。双分1)同档法：用拇、食指，挑拨上下珠离梁。是同档上珠与全部下珠同时离梁。例：9-9、8-8、7-7、6-6。二是同档上珠与部分下珠离梁。例：8-7
14、、9-7、9-6、8-6、9-8、7-6。2)异档法：是左档全部下珠与右档上珠同时离梁例：45-45、35-35、25-2515-15、89-35是左档部分下珠和右档上珠同时离梁。例：45-25、45-1545-35、35-153515、96-15o双上(1)同档法：用拇、食指，托下珠靠梁，挑上珠离梁。同档下珠靠梁，上珠同时离梁例：5-1、5-2、5-3、5-4、6-1、6-2、6-3等2）异档法：左档下珠靠梁，右档上珠同时离梁。例：5+5、5+15、5+25、5+35、6+5、7+5、8+5、9+5。双下（1）同档法：用
15、拇、食指，拨上珠靠梁，下珠离梁。一是同档上珠靠梁，全部的下珠同时离梁。例：1+4、2+3、3+2、4+1二是同档上珠靠梁，部分下珠同时离梁。例：4+4、4+3、4+22）异档法：是左档全部下珠离梁，右档上珠同时靠梁。例：10-5、20-15、30-25、40-35。是左档部分下珠离梁，右档上珠同时靠梁。例：20-530-15、40-25、62-15扭进：用拇、食指，拨本档下珠离梁，托前档下珠靠梁。例：1+9、2+8、3+7、4+6、6+9、3+17、7+8扭退：用拇、食指，拨前档下珠离梁，托本档下珠靠梁。例：10
16、-9、10-8、10-7、10-6、20-1832-19第三节数字写法计算离不了数字，珠算运算必须和书写数字结合起来。只有正确和规范化的书写，才能保证计算任务的顺利完成。在实际工作中，往往由于数字书写的错误，给经济工作带来损失。常用的数字有中文大写数字和阿拉伯数码两大类。一、中文大写数字一般填写发票、账单、签订合同收据等用中文大写。壹、贰、畚、肆、伍、陆、茱、捌、玖、拾、佰、仟、万、亿、零在书写中文大写数字时，应注意以下问题：第一、书写一定要正规，不可随意简写。第二、大写金额前加“人民币”三字，后面接写数。第三、金额数字中有几个零时，空位要补零（如贰万零巻佰零肆元整
17、），但两个以上的空位在一起可只写一个零（如肆万零壹元），元以下无角、分时，元后面必须写一个“整”字，不应写成“正”。大写金额有角、分时，元以下不要写“整”字。第四、为防止涂改，“拾”字前必须加写一个“壹”字（如壹拾元巻角贰分），不要只写拾元。第五、一笔数字不论写错了一个字或几个字，都不得在原来的数字上单码更改。一般再换单据或把错误数字全部划上一道红（或蓝）线，表示注销，然后重新把正确数字写在，表示负责。,它有一定的格式和要求：划掉数字的上面，并在原错字划掉数字的左端加盖个人印章二、阿拉伯数码阿拉伯数码在一切单据和帐表上的写法是和普遍写法不同的第一，在帐表横格上书写时，上面
18、要空出1/3到一半的位置，一是好看，二是备作改错用。第二，数字写法是自上而下，先左后右。第三，一般数字在格内的斜度以60为准（见上面标准字样）。第四，除7和9两个字的上端要低下半格的1/4，腿伸出下一格上半格的1/4外，其他12345680都要靠在底线上第五，4的左竖，上至下半格右边线，下至下半格左边1/4处；中竖高度为下半格的1/2，以防改1为4。第六，6的上竖伸入上半格1/4，防止改6为8。第七，8的左上端略出格外，避免把3改成8的可能性。第八，0字切勿写小了，不要敞口，不要写成扁长型“0”，在连写几个0时，不要加连接线如：“000”。第九，整数部分，按“三位一
19、节”的记数方法。在国际和我国有另规定中，数码字一律不用分节号，但由于珠算的特点，往往还应用分节号，即由个位起从右至左，每隔三位，用分位点（，）隔开，如9,876，543，210，便于看数打算盘。第十，整数金额以下，角、分位数字下，应划一横线，并在横线左前端（即角位数字以前，元位数字以后）点一小数点。如捌元整应写为“8.00”，伍角巻分应写成“0.53”，但在账册报表上已印有数位分隔线的，就不必这样写了，整数后的角分，可同样写数就可以，不必在数码下划线。数前面加，表示人民币。第十一，如果在账表上写错了数字，应把错误的数字用一道红线或蓝线全部划去以示销去，然后重新把正确数字写在错
20、数上端，决不应在原错数字上改错。同时要在原错字划线左端加盖个人印章，以示负责。练习题：用汉字大写金额数字写出下列各数1)1,234,000,009.003)89,000,987.325)906,089,116.007)450,987,056.079)120,000,000.302)987,076.304)654,100.306)9,087.008)76,908.5610)230,003.04第四章珠算除法除法是将一个数平均分成几份求出每份是多少，或求一个数是另一个数的几倍的方法，实际上也是同一个数连续相减的的简便算法。其算式为：被除数一除数二
21、商数。当除不尽时，除法的算式成为：被除数一除数二商数余数。珠算除法的种类较多，一般分为基本算法和变通算法。基本算法可按以下分类：按置商档次分，有挨档置商和隔档置商；按求商是否用口诀分，有不用口诀求商和用口诀求商。挨位置商除法是根据我国传统的归除诀来拨珠运算的，一归除法为代表；隔档置商除法是用九九口诀来拨珠运算的，以商除法为代表。也就是说，珠算的基本除法主要有归除法和商除法两种，这两种方法各有其优缺点：归除法的优点是利用九归口诀定商是较准的，但运算时必须用口诀，因而牢记口诀就成为必需。商除法的计算方法和笔算类同，由于它不需口诀，故易于掌握，虽其定商不如归除明显，但如掌握了估商的规
22、律，其速度是快的。不论用哪种方法运算，珠算除法应遵守以下两个基本规则：用被除数除以除数时，应从左到右，先从被除数的最高位除起，依次除到最低位。珠算除法是用大九九口诀相乘，其乘积是递位迭减，它是乘法的逆运算。为便于读者学习掌握各种珠算除法，我们对商除法、归除法均加以介绍，同时还介绍一些变通除法。第一节商的定位法商的定位法就是确定商数位数的方法。商的定位方法也有多种，常用的有：公式定位法、固定个位点定位法。一、公式定位法公式定位法也叫通用定位法，它是用公式的方法进行定位，把定位的规律公式化，使之易懂、易记、易用。它有以下优点：适用范围广，不论笔算、心算、珠算、机械算等都能适用，
23、并且比较方便；不论整数、小数的除法，定位公式一致，原理相同；不论在计算前、计算后，都适用；盘上盘下都可用。（一）定位公式先假设：被除数的位数为m,除数的位数为n,商的位数为W,则有商的两个定位公式：公式一：W=m-n公式二：W=m-n+1从上面可以看出，商的位数有两种情况：一是被除数位数减除数位数；二是被除数位数减除数位数再加一位。因此，在实际运算中如何来判断用哪个公式进行定位是一个重要的问题，可先看下面两组实例：56-8=7-（2位位=1位）第一组270-45=6（3位位=1位）2628-36=73-（4位2位=2位）92-4=23-（
24、2位1位+1位=2位）第二组72-24=3-（2位2位+1位=1位）169-13=13-（3位2位+1位=2位）从上面的例题可以看出第一组是用公式一进行定位的即用W=m-n进行定位；第二组是用公式二进行定位的，即用W=m-n+1进行定位。（二）进行定位的方法在实际运算中，如何迅速正确的判断用哪个公式进行定位，可用两种方法进行：一是公式定位基本方法；二是盘上公式定位法。1、公式定位基本方法。公式定位基本方法，是用被除数的首位数与除数的首位数进行比较后来确定用哪个公式进行定位，通过比较会出现三种情况：（1）被除数的首位数小于除数的首位数。当被除数的首
25、位数小于除数的首位数时，就用公式一进行定位即用W=m-n进行定位。如上面第一组的第一题被除数首位是5，除数的首位是8,5比8小，就用公式一进行定位。第一组的另外两题也是如此。(2)被除数的首位数大于除数的首位数。当被除数的首位数大于除数的首位数时，就用公式二进行定位，即用W=m-n+1进行定位。如上面第二组的第一题，被除数的首位是9，除数的首位是4,9比4大，就用公式二进行定位。(3)被除数的首位数等于除数的首位数。当被除数的首位数等于除数的首位数时，还要将两因数的同位数进行比较，即将被除数的第二位数与除数的第二位数进行比较，如果被除数小于除数，就用公式一进行定位；如果被除
26、数大于除数，就用公式二进行定位。如上面第二组的第三题169-13，被除数与除数的首位数都是1，相等，则将两因数的第二位进行比较，6比3大，所以用公式二进行定位。当被除数与除数的各位都相等时，用公式二进行定位，如10-10=1，是用公式二进行定位的。这种方法的定位可概括为：“位数相减，实大加1”。位“数相减”，代表公式一，即将被除数的位数减除数的位数。“位数相减，实大加1”，代表公式二，即将被除数的位数减除数的位数，还要再加1位。在什么情况下加1呢？实大的时候才加1。所谓“实大”，就是指被除数首位数大于除数的首位数，亦即够除。2、盘上公式定位法。把公式定位法原理运用到算盘上定位
27、，叫做“盘上公式法”，又称“首位档定位法”。它是指经运算后，根据商数的首位数落在哪一档上来确定用哪个公式进行定位。用这种方法进行定位，要依据运用什么除法来运算。如果用隔位置商(如商除法)的方法进行运算时，运算完毕，如果商的首位数落在原被除数首位数的前一档上，就用公式一进行定位；如果商的首位数落在原被除数首位数的隔一档上，就用公式二进行定位。假如用挨位置商(如归除法)的方法进行运算时，运算完毕，如果商的首位数落在原被除数首位数的本档上，就用公式一进行定位；如果商的首位数落在原被除数首位数的前一档上，就用公式二进行定位。为了尽快确定一道题用哪个公式进行定位，最好是将被除数拨在固定的
28、档位上，不要随意变动运用归除法运算，一般是将被除数从算盘左边第二档起拨入，即算盘左边留出一个空档；运用商除法运算，将被除数从算盘左边第三档起拨入，即算盘左边留出两个空档。这样，当运算完毕后，如果算盘左边第一档有商数时就要加1位，即用公式二进行定位；否则是不能加1位的，即用公式一进行定位。这种方法的定位可概括为：“位数相减，满档加1”。位“数相减”，代表公式一，即将被除数的位数减除数的位数。“位数相减，满档加1”。代表公式二，即将被除数的位数减除数的位数，还要再加1位。在什么情况下加1呢？满档的时候才加1位，所谓“满档”，就是指商数的首位数在算盘左边第一档出现。例一23966
29、8-57.2=4190（用不隔位除法运算）将被除数239668从算盘左边第二档起拨入。运算结果的盘面数是419，但首位档是空档，故用公式m-n进行定位，即6位2位=4位，得到商数为4190。lj2J69275-42.5=1630（用不隔位除法运算）将被除数69275从算盘左边第二档起拨入。运算结果的盘面数是163，但首位档是满档，故用公式进行定位，即5位位+1位=4位，得到商数为1630。二、固定个位点（档）定位法它是一种算前定位法，又叫固定个位档定位法。是在运算前运用m-n或求出商的个位，然后按此要求将被除数和除数两数的位数相减得出位数；如采用隔位除法运算是将被
30、除数的位数减除数的位数后再减1位得出位数。得出的位数作为“实数”的新位数，然后对应个位档拨入盘内，它的个位就是所求商的个位。例1457.71-57=8.03（用不隔位除法运算）算前定位：位2位=1位，并将被除数457.71改变为4.5771拨入算盘，定出个位档。运算结果，盘面数为803，原定个位档是8，故商数为8.03。例28.046-0.14=57.6（用隔位除法运算）算前定位：位0位1位=0位，并将被除数8.064改变为0.8064拨入算盘，定出个位nIiIII丿AII111111111111运算结果，盘面数为576,以原定个位
31、档计数，则商数为57.6。练习题用公式定位法确定下列各题的商(1)2506.61三68.3367(2)412.02-327126(3)3.744960.752-498(4)0.76076三3.0824749491.2-836592(6)24.60051-0.03267-753(7)4.76248边3.62018(8)19226.66-498.1386(9)52.3882-0.003261607（10）0.03100188-85.17364第二节基本除法一、商除法（一）笔算除法与珠算除法的联系和区别基本商除法，又称算术商
32、除法，它是用大九九口诀进行求商，计算的原理和方法与笔算除法基本一致。商除法的“商”，是商量、商议之意，即用估商的办法求出商数，每求一位商数都需经过估商和乘减两个步骤。但也有不同的地方：一是珠算运用的工具是算盘，而笔算的用纸和笔；二是珠算估商后将商置在算盘左边，而笔算把商数写在被除数上方；三是减积时，笔算将积数写在纸上，珠算则只须边乘边从算盘上减去积数。所以，珠算比笔算方便又快速。商除法历史悠久，古书孙子算经早有记述方法，但有商除专名者，始见南宋杨辉算法通变本末一书。历史上商除法都是“隔位”法的，即“够除隔位置商，不够除挨位置商”。当今，发展有“不隔法”的，即“够除挨位商，不够除本
33、位改商”。（二）隔位商除法1.商除法程序、步骤。(1)置数。是将被除数拨入算盘，拨入被除数时，算盘的左边起码要留出两个空档，即被除数从算盘左边第三档起拨入。(2)估商。估商也叫试商，就是被除数除以除数确定商数是几。(3)置商。置商也叫立商，就是将估计的商数拨在某一档上。置商原则是：“数大(相等)隔位商，数小前位商。“数大”包括两种类型：被除数的首位数大于除数首位数字。如：763三48，被除数首数是7，除数首位是4，7比4大。被除数和除数头几位数字相同，但后面的数字，被除数大于除数。如：33763-335，被除数和除数的首次两位都是3，相同，但被除数和除数的第三位
34、分别是7和5，7比5大。“相等“是指被除数和除数相同的。如”473627-473，被除数和除数的前三位都是473，相等。“数小”包括以下两类型：被除数的首位数字小于除数的首位数的。如：41263653，被除数首位是4，除数首位是6，4比6小。被除数和除数的头位或头几位数字相同，但后面的数字被除数小于除数。如：5367-586，被除数和除数的首位都是5，相同，但被除数和除数的第二位分别是3和8，3比8小。“隔位商”，就是指要在被除数首位的左边隔一档上置商。“前位商”，就是指在要被除数首位的左边前一档上置商。分清数大(相等)或数小，在商除法中是极为重要的，因为它决定置商的档
35、次(4)减积。即从被除数中减“商数与除数的乘积”。就是将试商乘以除数，依次相乘，边乘边从被除数中减去积数。是从商数的右边一档开始减。(5)商数或余数。减商积以后，被除数被减后，被减数减完，便是除尽了，所以之商就是商数。如果还有余数，这个数也叫做第二次被除数，按照以上程序再进行估商、置商、减商积，去做第二次除、第三次除有几次余数就要做几次除，直到除尽或计算到所要求的位数为止。(6)定位。用公式定位法进行定位。2.一位数除法。在珠算方面，除数只有一个非零的数字，称一位数除法。一位数除法的运算方法及步骤为：(1)置数。将被除数从算盘左第三档起拨入，要求默记除数。(2)
36、估商。就是把被除数的首位或首次两位除以除数，用心算估计出商数。当被除数首位大于除数时，是将被除数的首位数除以除数而求出商数；当被除数首位小于除数时，是将被除数的首次两位除以除数而求商数。(3)置商。按置商原则规定的要求进行置商。(4)减积。将估计的商数乘以除数，其积数从商数的右边一档开始减去。(5)定位。用公式定位法进行定位。例12622-6=437将被除数2622从算盘左边第三档起拨入。被除数首位2小于除数6，是属数小类型。将被除数的首次两位26除以6，估计商数4并拨在被除数首位2的前一档上（数小前位商），然后在商4的右档起减乘积“四六24”，得首位商4，余
37、数为222。余数首位2小于除数6，是属数小类型。将余数首次两位的22除以6，估计商数3并拨在余数首位2的前一档上（数小前位商），然后在商3的右档起减乘积“三六18”，得首、次位商为43，余数为42。111IITIIIIIIIII余数首位4小于除数6，是属数小类型。将余数首次两位42除以6，估计商数7并拨在余数首位4的前一档上（数小前位商），然后在商7的右档起减乘积“七六42”，恰好除尽。定位，用盘上公式定位法定位，盘左一档无商数，则不加1，4位1位=3位，得商数为437。例2738-3=246将被除数738从算盘左边第三档起拨入。被除数首位7
38、大于除数3，是属数大类型。将被除数的首位7除以3，估计商数2并拨在被除数首位7前面隔一档上（数大隔位商），然后在商2的右档起减乘积“二三06”，得首位商2，余数为138。余数首位1小于除数3，是属数小类型。将余数首次两位13除以3，估计商数4并拨在余数首位1的前一档上（数小前位商），然后在商4的右档起减乘积“四三12”，得首、次位商为24，余数为18。余数首位1小于除数3，是属数小类型。将余数首次两位18除以3，估计商数6并拨在余数首位1的前一档上（数小前位商），然后在商6的右档起减乘积“六三18”，恰好除尽。定位，用盘上公式定位法，商的首位数在算盘左边第一档上，故要加1位，
39、3位位+1位=3位，得商数为246。练习题用商数法计算下列各题：(1)1548-4=(2)3052-7=(3)286-2=(4)5056-8=(5)3228-6=3.多位数除法除数里非零的数字超过一位者，称之为多位数除法(6)26.46-9=(7)2.58-0.5=(8)0.1134-0.03=(9)723.4一2=(101.7325-0.07)=。多位数除法与一位数除法大同小异，也有置数、估商、置商、减积、定位等五个计算步骤。不同的只是由于除数的位数增加后，减积次数也相应增加，同时，给估商和减积
40、带来了一定的难度。多位数除法的运算方法及步骤：(1)置数。同一位数除法一样，将被除数从算盘左边第三档开始拨入。(2)估商。虽然与一位数除法一样，是将被除数的首位或首次两位除以除数的首位但由于除数的第一位数字和第二位数字对商数影响较大，因此，估商时要灵活运用(3)置商。同一位数除法的置商一样。(4)减积。估商后，用商数与除数各位数字逐一相乘，依次从被除数中减去。减积的档次是：除数是第几位，它与商数相乘，其乘积的十位数就从商右边第几档中减去。也就是说，除数是第一位，它与商数相乘后其乘积的十位数就在商数右边第一位减，个位数在商右边第二位减；除数是第二位，它与商数相乘后其乘积的
41、十位数就在商右边第二位减，个位数在商右边第三位减，余依此类推。或者是从商数右边一档起开始减积数，以下各减的数依照“指不离档”原则逐位从被除数中减去。(5)定位。用公式定位法进行定位。例1308924三826=374将被除数308924从算盘左边第三档起拨入。图被除数首位3小于除数首位8，属数小类型。将被除数的首次两位30除以除数首位8，可估商3并拨在被除数首位3的前一档上(数小前位商)，然后在商3的右一档起依次减去乘积“三八24”、“三二06”、“三六18”，余数为61124。PI4IIII11111非V1余数首位6小于除数首位8，
42、属数小类型。将余数的首次两位61除以除数首位8，可估商7并拨在余数首位6的前一档上（数小前位商），然后在商7的右一档起依次减去乘积“七八56”、“七二14”、“七六42”，余数为3304。余数首位3小于除数首位8，属数小类型。将余数的首次两位33除以除数首位8，可估商4并拨在余数首位3的前一档上（数小前位商），然后在商4的右一档起依次减去乘积“四八32”、“四二08“、“四六24”，恰好除尽。定位，用盘上公式定位法，商的首位数在算盘左边第二档上，故不能加1位，6位3位=3位，得商为374。例20.82002-0.00346=237说明：本例题是小数除法，运算时
43、看成是整数除法，即可看成是：82002三346，因为是算后定位的（以下同）。将被除数82002从算盘左边第三档起拨入。被除数首位8大于除数首位3，属数大类型。将被除数首位8除以除数首位3，可估商2并拨在被除数首位8的左边隔一档上（数大隔位商），然后在商2的右档起依次减去乘积“二三06”、二“四08”、二“六12”，余数为12802。T1mirr余数首位1小于除数首位3，属数小类型。将余数的首次两位12除以除数首位3，可估商3并拨在余数首位1的左边一档上（数小前位商），然后在商3的右一档起依次减去乘积“三三09”、三“四12”、“三六18”，余数为2422。可估商
44、7并拨在余数首位2的前一档上（数小前位商），然后在商7的右一档起依次减去乘积“七三21”、“七四28”、“七”六42，恰好除尽定位，用盘上公式定位法，商的首位数在算盘左边第一档上，故要加1位，0位2）位+1位=3位，得商237。例3J2.829043-4.23=0.67说明：本例为除不尽题，商数要求保留两位小数，以下四舍五入。将被除数2829043从算盘左边第三档起拨入。图被除数首位2小于除数首位4，属数小类型。将被除数的首次两位28除以4，可估商6并拨在被除数首位2的前一档上（数小前位商），然后在商6的右一档起依次减去乘积“六四24”、六“二12”、六“三
45、18”，余数为291043。余数首位2小于除数首位4，属数小类型。将余数的首次两位29除以4，可估商6并拨在余数首位2的前一档上（数小前位商），然后在商6的右档起依次减去乘积“六四24”、“六二12”、“六三18”，余数为37243。余数首位3小于除数首位4，属数小类型。将余数的首次两位37除以4，可估商8并拨在余数首位3的前一档上（数小前位商），然后在商8的右一档起依次减去乘积“八四32”、八“二16”、八“三24”，余数为3403。因为要求保留两位小数，故不必再算下去了。定位：1位1位=0位，得到商数为0.668，但小数第三位是8，向第二位进1练习题用隔位商除法计算下
46、列各题(1)361548-726=(2)92638-182=(3)250582-718=(4)152796-357=(5)583576-613=(6)694458-941=(7)510378-627=(8)46129-283=3.补商与退商。因此，商数为0.67。9)8.1906-9.35=10)10.1388-2.84=11)2779.92-57.2=12)29.0472-0.798=13)749.47-14.9=14)0.390208-0.053615)461.58-29.4=
47、16)30715.9-40.9=商除法，如果计算熟练，掌握试商规律，可以作出一次准确试商，避免商的修正。但是，由于除数的位数较多，要想一次准确试商是不容易的，都难免发生误差。试商误差的表现形式不外乎两种：一是估的商偏小，还得补上一定的商数，这就是要补商。二是估的商偏大，还得减少一定的商数，这就是要退商。1）补商。当试商同除数的各位乘减后，商数的右边一档起就有余数，或商数的右边隔一档起的余数首位数大于除数的首位数（也包括余数的前几位与除数各位都相等）时，说明所估的商数小了，应进行补商。补商的方法是：“在补商中加1,并在商数右边隔一档起减除数一次。”如果补一次不够，就再补一次
48、。例1161.842.38=68说明：本例的答案是68，在这里有意识的将商数估得小一点，即第一次估商为5，第二次估商为7，以便进行补商的介绍。将被除数16184从算盘左边第三档起拨入。图被除数首位1比除数首位2小，属数小类型。估商5并拨在被除数首位1的左一档上（数小前位商）然后在商5的右一档起依次减去乘积“五二10”、“五三15”、“五八40”，余数为4284。经过乘减后，商数5右边隔一档起的余数首位是4，比除数首位2要大，说明估商5偏小，要补商1即在初商5中加1，然后在商数6右边隔一档起减除数238一次，余数为1904o余数首位1比除数首位2小，属数小
49、类型。估商7并拨在余数首位1的左一档上（数小前位商）然后在商7的右一档起依次减去乘积“七二14”、七“三2V、七“八56”，余数为238。经过乘减后商数7右边隔一档起的余数是238，与除数完全相同，说明估商7偏小，要补商1即在初商7中加1，然后在商数8右边隔一档起减除数238一次，恰好除尽。L丄1111111111111-定位商的首位数在算盘左边第二档上故不能加1位，3位1位=2位，得到商数为68。在除法运算中，不论在哪一次试商过小，都可以随时补商。可以一次补，也可多次补。一般说，补商比退商容易。（2）退商。出现退商有两种类型：第一种类型称为“
50、立商即退”，即：当立商后，这个初商乘以除数的首位数时，被除数（或余数）里就不够减其积，这说明所立商偏大，只要在初商中减1就可乘减。如果初商减1后还不够乘减，则初商再减1，直至够乘减为止。这种情形，因为初商还没有与除数的任何一位乘减过，所以，不必在被除数（或余数）中加上任何数。第二种类型为“中途退商”，即当立商后，在从被除数减去试商与除数前几位的乘积后，才发现不够继续乘减，就应一面把试商减1，一面在试商的右二档起，依次加上除数被乘减过的那一部分数，然后用调整后的“新试商”继续与未乘过的除数相乘，并按一定的档次减积。例221646.72-726.4=29.8说明：本例的答案是
51、29.8，在这里有意识的将商数估的大一点，即第一次估商为3，以便于作退商的介绍说明。将被除数2164672从算盘左边第三档起拨入TTI4TlTIIIII44121与58比，不够除，则在被除数首位改商作商，即不够，再续减“四八32”，但被除数17不够减32，说明估商偏大应退商1下位还上多减的除数5，余数为6756。再继续减积“三八24”、三“八24”，余数为4116。余数411小于588，则本位改商7，在商本位起减乘积，“七五35”，这时商数位上只要加5减“七八56”、“七八56”，恰好除尽经定位商为37。（四）商除法的正确、快速试商的方法商除法具有
52、简单易学的特点，可是，有很多人认为：“商除法试商没有准数，估商难，试商慢”。其实，试商并非没有准数，并非难，慢。问题在于是否熟练，是否掌握试商的规律，形成条件反射，在运算时，法实数反映在脑中后，见数马上就会自然地出现准确的商数来。算盘打得好的选手确实是这样，一看到法实二数马上就能反映出正确的商数来，一次确商，不会出现补商和退商的麻烦事，这自然就算得快了试商是商除法的一个难点，见数即能试商，并且快而准，就能加快商除法的运算速度。试商的难点地在多位数的除法上。在算术除法的试商中，它的方法是：够除的。用被除数的头两位数字与除数的头两位数字来试商。不够除的。用被除数的头三位数字与除数的头
53、两位数字来试商。这就产生了试商的难度，而珠算商除法可用多种方法来进行试商。1.用扩大除数的方法来估商。当除数首位数是1、2、3时，用首次两位估商，第三位不论多少均在次位上加1，如除数是135、246、325，则分别按14、25、33估商。除数首位是4至9的，均在首位上加1估商，如除数是536、723、837，则分别按6、8、9估商。用这种扩大除数的方法估商，避免了退商，但它常会发生补商。2.用除数首位进行估商。这种方法比较简单，它在估商时只用除数首位和被除数的首位或前两位比较，不考虑除数第二位以后的各个数。一般说这样估商易造成估商偏大，因而退商的机会较多。3.看头位，
54、顾二位，适当偏小进行估商。这种方法是在估商时参照第二位除数，即在估商时除看除数的第一位，还要看第二位和商的乘积有“几十”进到前一位来。这种方法虽较准确，但估商费时费心，不易掌握，影响运算速度。4.除数首位加1进行估商。这种方法就是在心算估商时，用除数第一位数字加1，与被除数首位或前两位比较，这样商数容易估得偏小。采用这种方法则容易造成补商5.看除数第二位数在大小来进行估商。如果除数第二位小于5时，可按被除数的首、次两位除以除数进行直接估商。如27836一436，因除数的第二位是3，可将被除数的首次两位27除以除数首位4来估商，可估商6。如果除数的第二位大于5或等于5时
55、，估商时将除数的首位加1后，再将被除数的首次两位除以除数加1后的首位。如65408三896，除数的第二位是9，估商时要将除数的首位8加1，按65除以9来估商，可估商7。6.看除数的次位比除数的首位数字的大小来估商。如果除数的次位比首位小，就用首位与被除数估商；如果除数的次位比首位大，就用首位与被除数估商后的低一级数字置商（置商从小），如1436-43，因除数的次位比首位小，就以首位4与被除数14比较置商了，余类推。再如1923-67，因除数的次位比首位大，就用首位6与被除数19比较，虽能估商3，但只置商2，余类推。这一方法的优点是容易掌握，估商快，因它不采用“首位加1”。所
56、以估商与除数相乘的乘积容易反映出来，缺点是容易出现补商和退商。7.被除数首位与除数首位相同时的估商。当被除数首位与除数首位相同，但次位除数比被除数大，估商一般是9或8，如4627三48，估商为9。有时前面几位都相同，而后一位除数大于被除数，估商也是9或8，如77638-778，估商为9。8.用中诀进行估商。有的认为商除法不如归除法试商快，因为归除法是利用口诀试商的，具有见数诀出手即拨珠的特点，不是由脑子思考商可以估多少。按这一原理，根据除数首位1至9各数与被除数1至9各数相除时，也可以编制商除法简单的试商口诀。第一，“隔位置商”的估商口诀。隔位置商都是在被除数首位大于
57、除数首位的情况下运用的，它有两种类型。第一种类型的口诀是：“一同二半商酌减”。“一同”，是指除数的首位是1去除任何一个数时，其估商从被除数的首位为基础，在考虑除数的次位大小因素后，酌情减少一点。如果除数的次位大于5时，如16、17、18、19等，可以把除数的首位当2来进行估商。“二半”，是指除数的首位为2时，按被除数的首位折半酌减来进行估商。如88-27，按除数的首位折半为4，再酌减1而估商为3。第二种类型的口诀是：“其他各数商一、二”。其他各数”，是指首位不是1和2的除数，去除比它大的各数时，可估商1或2。如736-648、639-289、5437-5421等，均可
58、估商1或2。第二，“挨位置商”的估商口诀。挨位置商都是在除数首位小于除数的情况下运用的，具体估商口诀为：“二一6”。它是指除数首位是2，被除数首位是1的时候，则估商为6。“三一4”，“三二To三“一4”，是指除数首位是3，被除数首位是1的时候，估商为4。“三二7”，是指除数首位是3，除数首位是2的时候，估商为7。“四一3”，“四二5”，“四三T。四“一3”，是指除数首数是4，被除数首位是1的时候，估商为3。“四二5”，是指除数首位是4，被除数首位是2的时候，估商为5。“四三7”，是指除数首位是4，除数首位是3的时候，估商为7。“五商加倍”。它是指除数首位是5
59、时，将除数的首位加一倍进行估商。如3647三628，估商时将被除数首位3加一倍为6。“六商加2“。它是指除数首位是6时，将被除数首位数加2进行估商。如2638-628，估商时将被除数首位2加2为4。“七、八商加1”。它是指除数首位是7或8时，将被除数首位数加1进行估商如2846-784、3753-886，估商时均将被除数首位加1，即估商分别为3和4。“九商相同”。它是指除数首位是9时，估商是被除数的首位数，如4276三982，估商为被除数的首位数4。用诀进行估商，其优点是估商较快，但是估商不是十分正常，常常出现估商偏大或偏小的情况。9.简代试商的位数。第一，数在类型
60、的。用被除数的首位数除以除数的首位数来试商。如832三26=32，求第一位商数时是用8-2来试商的第二，数小类型的。用被除数的首次两位数除以除数的首位数来试商。如22968-638=36，求第一位商数时是用22-6来试商的。总之，对于试商要求练习用直观的方法，通过条件反射，一看便能快速地得出商数来。而条件反射的形成，是需要掌握以上介多的试商方法，并不断加强练习，从而达到试商快又准。练习题6)36.7774-14.6=7)319402.08-369.7=8)11.680838-0.359=9)41.92518-91.74=10)401.217