2022年上半年中小学教师资格考试数学学科知识与教学能力
（高级中学）模拟题1
注意事项：
2.请按规定在答题卡上填涂、作答。在试卷上作答无效，不予评分。
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题
卡上对应题目的答案字母按要求涂黑。错选、多选或未选均无分。
1.若f(%)=——9------，在％=0处连续，则a=（）
a,x=0
A.OB.lC.2D.3
TTT
2.设向量组的=（a,2,1）,a2=（2,a,0）,a3=（1,-1,1）线性相
关，则a的值为（）。
A.3或-2B.l或-2C.2D.3
3.直线平=平=（与直线;=旨押夹角是（）.
A.B.C.~D.3
3642
4.曲线％=2$讥3y=4cost,z=t在点,0《）处的法平面方程是（）。
A.2%—z=4--
2
B.2x-z=--4
5.关于二次曲面/+y2=z2,下列说法正确的是（）。
A.它是一个锥面
B.它是一个球面
C.它是一个鞍面
D它是一个柱面
6.已知随机变量X服从正态分布N（〃，/）,设随机变量Y=X+4,则Y服
从的分布是（）.
A.N（〃+4,a2+4）B.N（〃+4,（72）
C.N（林,er2+4）D.NW，〃）
7.“等差数列”和“等比数歹『，概念之间的关系是（）.
A.交叉关系B.同一关系C.属种关系D.矛盾关系
8.中学数学中常见的数学思想有：
①数形结合思想；②分类与整合思想；③化归与转化思想；④必然与或然思
想；⑤函数与方程思想；⑥特殊与一般思想等等。
请观察下列解题过程：
解不等式忱一2|<3
解：（1）当XN2时，不等式可化为x—2<3,所以x<5,此时2Wx<5；
（2）当x<2时，不等式可化为2—x<3,所以x>一1,此时一l 综合（1）、（2）知一l 以上解题过程中，所应用的主要数学思想有（） A.①②B.②③C.③④D.⑤⑥ 二、简答题（本大题共5小题，每小题7分，共35分） （120\ 9.求矩阵A=340的伴随矩阵/*。 \005/ io.下列两条直线卜弓=等=:和6：=*=芋. （1）证明两直线在同一平面内；（3分） （2）求两直线的交点.（4分） 11.一汽车沿一街道行驶，需要经过3个设有红绿信号灯的路口，若设每个 首次遇到红灯前已通过的路口数。试求X的概率分布列，并求出数学期望。 12.注重数学知识与实际的联系，发展学生的应用意识和能力，在数学教学 中尤其重要，请叙述如何发展高中生的应用意识和能力，并举例说明。 13.数学教学中情境创设的原则有哪些 三、解答题（本大题1小题，10分） /4-3—3\ 14.求矩阵/=-231的特征值与特征向量。 \213/ 四、论述题（本大题1小题，15分） 15.数学里有很多的思想方法，它们是数学的真谛，是人类思想的结晶.以 “求函数的最值''教学为例，说明在数学教学中如何渗透数形结合的数学思想. 五、案例分析题（本大题1小题，20分） 16.案例： 阅读下列三位教师关于“直线与平面垂直的判定”的教学片段. 教师甲的引入： 教师甲：同学们，空间直线与平面有哪几种位置关系？ 学生边演示边叙述，得到直线与平面的三种位置关系. 教师：直线在平面内，直线与平面的平行已研究过，直线与平面相交成为今 天要研究的问题.在日常生活中，你见过哪些情景可以抽象成直线相交？举例说 明. 学生：日光灯的掉线与天花板相交；房子的柱子与天花板相交；插在碗里的 筷子与平的碗底相交. 教师：想象力丰富.生活中确实有很多例子.例如，墙角与地面（图片展示）, 小区的建筑，竹竿与水平面以及古诗词中的自然景观“大漠孤烟直”，“一行白鹭 上青天在直线与平面相交的模型中，你认为哪种相交最特殊？ 学生：直线与平面垂直. 教师：今天我们就研究这种关系.（板书课题） 教师乙的引入： 教师：（用PPT呈现龙卷风图片）同学们刚进教室看到这样的壮丽图片，联 想起“大漠孤烟直”的美景，大家欣赏完之后是否想到立体几何中什么与什么的关 系？ 学生：线面垂直. 教师：很好，那生活中有没有这样的例子？ 学生：看电视时，视线与画面；电线杆与地面垂直. 教师：这样的例子很多.比如，大桥桥柱与水面.正因为生活中有很多线与 面垂直关系，所以几何中有必要对此进行研究.这堂课就学习直线与平面垂 直.（板书课题） 教师丙的引入： 教师：前面我们研究了直线与平面平行的判定与性质，今天我们要研究直线 与平面的其他位置关系.（展示天安门广场上的国旗与旗杆）先请大家看一幅图: 天安门广场的红旗迎风飘扬.再看另一幅图：一桥飞架南北，天堑变通途.请大 家回答下面的问题. 问题（1）:请同学们观察图片，说出旗杆与地面，大桥桥柱与水平面是什么 位置关系？ 学生：垂直. 教师：从教学的角度看，就是什么与什么垂直. 学生：线与面. 教师：你还能举出一些类似的例子吗？想一想.（同时出示课题） 学生1:箱的边缘与地面. 学生2：立竿见影，竿与地面垂直. 教师又展示跨栏跳高架的图片，说明跨栏的支架与地面，跳高架立竿与地面 是垂直关系，请大家参照旗杆与地面这种关系画出相应的几何图形. 学生画图，教师在黑板上画出图. 教师：为什么画成这样呢？这样直观性强，将直线画得与表示平面的平行四 边形的一边垂直. 教师：接着前面的内容的学习，下面我们要学习直线与平面垂直的定义、判 定与性质. 问题： （1）三种引入方式各有什么特点？（10分） （2）在（1）的基础上，给出你对课题引入的观点。（10分） 六、教学设计题（本大题1小题，30分） 17.《全日制普通高级中学教科书（必修）数学》第八章第一节“椭圆及其标准 方程”是用坐标法探究圆锥曲线的几何特征，建立它们的方程，通过方程研究它 们的简单性质的。在此基础上完成下列问题： 分） （2）写出本内容的教学重点和教学难点；（8分） （3）设计本内容的教学过程。（14分） 1.【答案】A 卅-1）山 Um——=Um—Y=0,又/'(0)=a,则若/(x)在#％=0连续，应有a=0。故正确 答案为A. 2.【答案】A 全为零的数后,々2，々3，使得用。1+A2a2+A3a3=。，即有|。1，。2，03|=0,即 a21 1%,电，的1=2a—1=a2—2—a—4=a2—a—6=（a—3）（a+2）=0> 101 3.【答案】A 为（1,1,0）,直线彳=3=彳的方向向量为（1,0,1）,两直线的夹角的余弦值 |ZlZ2+nlrn2+nln2l|l+0+0|_1 为cos6== J/l2+7ni2+ni2Jz22+m22+n22~v^r2,而夹角应该小于会所以两直线 的夹角为全故正确答案为A. 4.【答案】C 【解析】本题主要考查空间解析几何的知识。当t=粉寸，有%,g)=°^,G)= -4,z'g)=l,所以曲线在(2,0弓)处的法平面方程为0x(%-2)-4(y-0)+ ［一()=0,整理得4y-z=—也故正确答案为C。 5.【答案】A 所以2=±尸仔，是锥面，故正确答案为A。 6.【答案】B 分布N(〃,C2),Y=X+2,则随机变量Y的均值为〃+2,方差为。2,故正确答案为 B. 7.【答案】A 系：①同一关系："不大于''和“小于等于“；②属种关系：实数和有理数、平行四 边形和矩形；③交叉关系：矩形和菱形.2.不相容关系：①矛盾关系：对实数 而言，有理数和无理数；②反对关系：对虚数而言，有理数和无理数.根据概念 及相应举例，等差数列与等比数列间存在交叉内容，如：当等比数列的等比为1 时，此时数列也是等差数列，等差为0,故正确答案为A. 8.【答案】B 化成普通的不等式进行求解，并且分情况讨论，故正确答案为B。 二、简答题(本大题共5小题，每小题7分，共35分) 9.【参考答案】 /I20100\ 先求矩阵A的逆矩阵，(A|E)=340010 \005001/ 一「/I20100\…/I00-210\ r2—3rl/\rl+^2I1 ——>0-20-310―>0-20-310 \005001/\005001/ 20 40=-10,所以4*=\A\-A-1= 05 10.【参考答案】 (1)直线k和乙2的方向矢量分别为Si={2,3,4},S2={1,1,2) 并且它们分别过点P(0,-3,0),Q(l,-2,2),所={1,1,2}，直线Li和6共面， 即矢量S1，S2,而共面，即混合积等于0, 234 因为112=0,故直线Li和&共面. 112 ⑵令＞”=(=1(*) 即x=2t,y=—3+3t,z=43带入乙2中可得=凸乎'= 可得t=0,代回(*)可得X=0,y=—3,z=0 故(0,-3,0)为直线k和乙2的交点. 11.【参考答案】 由题意得，X的可能取值为0,1,2,3,记4="汽车在第i个路口遇到红灯”, i=1,2,3o 因为信号灯工作相互独立，即Ai，A2,&相互独立，且p(A)=p(4)=a i=l,2,3o P(X=0)=P(4i)=a P(X=1)=P(^2)=P(否)P(4)= P(X=2)=P(茁而&)=P(茁)P(五)P(A3)=g， P(X=3)=P(工研)=1-；所以X的分布列为： Z4oo X0123 P1111 2488 所以数学期望为E（X）=0X；+1X；+2X!+3X：=（，故数学期望为（° Z4oooo 12.【参考答案】 通过丰富的实例引人数学知识，引导学生应用数学知识解决实际问题，经历 探索、解决问题的过程，体会数学的应用价值。帮助学生认识到：数学与我有关, 与实际生活有关，数学是有用的，我要用数学，我能用数学。在有关内容的教学 中，教师应指导学生直接应用数学知识解决一些简单问题。 高中数学课程中提供了基本内容的实际背景，反映数学的应用价值，所以应 多开展“数学建模”的学习活动，设立体现数学某些重要应用的专题课程，高中数 学课程应力求使学生体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生活及其他 学科的联系，促进学生逐步形成和发展数学应用意识，提高实践能力。 例如，运用函数、数列、不等式统计等知识直接解决问题，还应通过数学建 模活动引导学生从实际情境中发现问题，并归结为数学模型，尝试用数学知识和 方法去解决问题，也可向学生介绍数学在社会中的广泛应用，鼓励学生注意数学 应用的事例，开阔他们的视野。 13.【参考答案】 （1）问题情境的科学性原则 创设适当的问题情境，激发学生的学习兴趣和学习动机，使学生积极、主动 的投入到课堂教学中去，真正体现学生的个性发展，达到提高课堂教学效果的目 的。 （2）创设问题情境应遵循理论联系实际原则 在教学中，教师应创设实际的问题情境，帮助学生自觉的运用教学知识去分 析、解决问题，提高解决问题的能力。 （3）问题情境创设的有效性原则 所创设的问题情境要有效果，教学活动结果与预期教学目标相吻合，要有效 率，教学效果与教学投入有较高的比值，要有效率，教学目标与个人的教学需求 相吻合。 14.【参考答案】 4一入-3-3 A的特征多项式fU)=M-AF|=-23—入1 213—入 4—入-3一34—入-3一3 -23一入1=(4—A)-23一入1=（4一人＞（2—入），令f（a）= 04—入4一入011 0，得入1=A2=4,A3=2,所以A的特征值为入i=A2=4,A3=2o （1）属于入=4的特征向量 0-3-3\/011\/011\/I0-1\ -2-11^-2-11->-202Toi1对应的齐 21-1/\000/\000/\000/ 次线性方程组｛（1二3,基础解系的=-1特征向量为心即（自丰0）o （2）属于入=2的特征向量 2-3-3\/2-32-3-3100 -211T0-211011对应的齐 211/\047000000 1）特征向量为北2a2（々2。0）。 次线性方程组'巧_=，基础解系a2= 一一%3 15.【参考答案】 所谓数形结合思想，就是在研究问题时把数和形结合考虑，把问题的数量关 系转化为图形性质，或把图形性质转化为数量关系，从而使复杂问题简单化，抽 象问题具体化.解题中的数形结合，是指对问题既进行几何直观的呈现，又进行 代数抽象的揭示，两个方面相辅相成，而不是简单地代数问题用几何方法或几何 问题用代数方法，两方面有机结合才是完整的数形结合. 求函数最值问题是一个代数问题，如果能画出函数图象便可以将抽象的代数 问题转化成直观的几何问题.例如二次函数求值域，需要先引导学生画出二次函 数的图象，然后引导学生找到要求最值的区间，将区间与函数图象对应起来，如 果正函数自变量取值范围之内函数是单调函数，那么便可以看出来在区间端点处 取得最值，如果二次函数的对称轴在自变量区间之内，那么要看函数的开口方向， 开口向上，则对称轴处取得最小值，反之对称轴处取得最大值.在解决问题之后 要引导学生总结数形结合思想方法的便利之处，并找到数形结合思想方法的限 制.最后多利用练习题巩固数形结合的思想方法. 16.【参考答案】 （1）三位教师的引入各有特色.教师甲在直线与平面位置关系的数学中， 以“在这些相交关系中，你认为哪种相交最特殊？”引出课题，并伴以学生的动手 操作、举例、想象和语言叙述.这一设计的特点是：注意知识的系统与联系；强 调学生生活经验的作用.这样容易唤起在“直线与平面平行'’的学习中形成的经验, 从而明确“研究什么''和"怎样研究”，使学习的自觉性得到提高. 教师乙利用一张生活图片提出“是否想到在立体几何中的什么与什么的关 系”，由于“诱导”过分明显，学生就不假思索地齐声回答“线面垂直”.虽然有后 面的师生分别举例，但课题引入任务由这一句话已经完成.虽然这一引入有单刀 直入、开门见山的特点，但学生对看图片的意图、当前学习内容与已有知识与方 法的联系与借鉴等都很难觉察到.另外，“线面垂直”的说法不好，至少提出得太 早. 另外，甲、乙两位老师用的“大漠孤烟直”的情景不能很好地反映当前学习内 容的本质，不是一个好情景. 教师丙的引导语“前面我们研究了直线与平面平行的判定与性质，今天我们 要研究直线与平面的其他位置关系”以及图片，目的都是直指“要研究直线与平面 垂直”.这样引入也稍嫌太快，学生对于“要学什么”、“为什么要学''和"如何学” 等的感知都不充分，要学的内容与已有经验的衔接不够自然. （2）良好的开端是成功的一半，课题引入是课堂教学的重要一环.教学设 验，创设问题情境，自然、亲切地引出学习内容；如何在课题引入中融入“学什 么、为什么、怎么学”的成分. 17.【参考答案】 （1）解析几何是数学的一个重要分支，它沟通了数学中数与形、代数与几 何等最基本对象之间的联系。在之前的学习中学生已初步掌握了解析几何研究问 题的主要方法，并在平面直角坐标系中研究了直线和圆这两个基本的几何图形。 在第八章中，教材利用三种圆锥曲线进一步深化如何利用代数方法研究几何问题。 之前学生已经具备了观察、操作、讨论等教学活动经验；分类活动经验；抽象、 归纳的经验。 （2）教学重难点 重点：椭圆的定义及标准方程，坐标法的基本思想。 难点：椭圆标准方程的推导与化简。 （3）教学过程 一、导入新课 问“圆有圆的标准方程，猜想一下椭圆有没有标准方程呢？ 学生活动：预设学生回答“椭圆应该也有标准方程”。 教师活动：教师再次提问“椭圆方程长什么样子呢？"，顺势引出课题椭圆及 其标准方程。 二、新课讲授 1.初步感知，以旧引新 教师活动：教师提出问题“在上一章圆的学习中我们知道：平面内到一定点 的距离为定长的点的轨迹是圆。那么，到两定点距离之和等于常数的点的轨迹又 是什么呢？”组织学生动手操作将细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的 两点Fi，尸2处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的又是什么图形？给予一 学生活动：学生通过动手操作有的画出了椭圆，有的画出了直线，有的什么 也没画出来。 教师活动：教师再次抛出问题“为什么会这样呢？在画出一个椭圆的过程中， 细绳的两端的位置是固定的还是运动的？在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没 有？在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？改变绳子长 根据目标问题四人一组进行讨论，教师进行巡视指导，交流讨论结束后，找学生 代表回答讨论结果，教师评价。 学生活动：预设学生通过动手实践总结出绳子的长度与两定点距离的大小关