圆周率是个无限不循环的数，很多人认为圆周率可能是个正规数。
正规数通俗来讲：就是小数点后每一位出现特指数字的几率是相等的。
这就意味着着只要样本足够大，那么所有的信息都可以包含在圆周率内。
如果我们把圆周率内的十进制数字转化成二进制。那么二进制就可以表达任出人类认知事物的任何知识和思想。
比如安卓底层代码，大英百科全书，各种小说都有二进制代码。只要把圆周率无限计算。总会找出一连串数字对应的二进制代码刚好是安卓系统的代码，刚好是Windows系统的代码，甚至是人的基因遗传图谱。
不信可以说一下，随便说出一个八位数，几乎都能在圆周率小数点后十亿位找到。
那么我现在找一下20190117在圆周率小数点后的多少位后开始出现。
20190117这八位数出现在圆周率后的第57444571位，也就是千万位后，还没有达到亿位。
我甚至认为整个宇宙的所有信息都有可能被在圆周率内蕴藏着，比如某个星系内的物质构成信息，黑洞的质量等等信息。
现在的计算机能力还是不够，如果量子计算机出现了，圆周率的位数又会被指数爆炸式挖掘出来。
人类虽然已经无法和计算机比了，但也找到了关于圆周率的另一个活动，目前人工背诵圆周率的记录的保持者是吕超，他用24小时背诵了圆周率小数点后67890位，但有人吹牛说自己对圆周率可以倒背如流...
关于圆周率还有一个有趣的事实，那就是正规数，圆周率小数点后的每一个数字的出现概率都是相同的，这说明圆周率中包含过去现在和未来的所有数字组合，我们每个人都身份证号和银行卡密码都能在圆周率中被找到，但我们可能无法把它们提取出来。
首先，π确实是无理数，相信多数人是知道的，某人人怀疑是不是因为人类无法算出足够多的位数，才造成π是无理数的“假象”，事实并不是这样的，数学家早已经证明π就是无理数，如何证明的？也不难，可以搜索了解下！
既然知道π是无限不循环的数，为何人类如此执着计算π的位数呢？
通常情况下，π取3.14就能满足我们的要求，在上学时我们也经常这样选择。而在需要更精确的航天科技等领域会把π取到小数点后5位数，再多的话基本上就很难用到了！
同时，只能说还夹着人类的一个“癖好”或者说好奇心，我们想知道π到底是如何“无限不循环”的，甚至心里有种信念万一找到π小数点后的某种规律呢？或者万一找到π的终点呢？（虽然我们知道不可能）当然，人类更像用不断地计算π展现大自然的神奇。
同时，还有一个关于背诵圆周率的吉尼斯世界纪录，我国一位名叫吕超的天才能够背诵圆周率小数点后67890位，经过24小时的鏖战才背诵完成！
对于我们日常生活应用来说，π=3.14就够用了，这就是小学毕业的要求。
如果是工程上用，π=3.1415927也足够用了，也就是计算器的精度。
那么如果继续计算圆周率，到100位、1万位，其实已经不是实用价值，而是数学研究价值了。
1，信念，验证无限不循环
π肯定是无限不循环的，不需要验证了。但是，作为数学的信念，我们就想验证一下。这种信念不仅仅在数学家中有，在其他学科领域、行业领域也有。
2，研究和验证各种π的计算方法
我们学校里只讲了祖冲之的割圆术，其实求π的方法很多，因为很多数学公式里都有π，反过来就是π的计算方法。研究不同的方法，也验证各种方法。有时，在π的圈子里还有比赛和竞争，追求哪个方法能更快速计算π，或者更简单计算π。
3，跑分，考验计算机的能力
π的计算，是一个纯算术的任务，用这个任务可以比较各家公司的超级计算机产品的能力。就像鲁大师跑分。
实际上，计算机计算π还是有点技巧的，毕竟计算机内部的位数是有限的，要计算一个有效数字上万位的实数，已经需要专门做数据的安排了，甚至计算机内存都不够。于是，这里涉及到很多计算机能力了。
4，附带的小应用，如果一个文件加密的密钥是π呢？
告诉你：“密钥是π的小数点后12846位至12945位。”这种加密方法是有人用过的。
显然，圆周率的小数位取得越多，计算结果也就越精确。虽然圆周率的小数位已经可以精确到很多位之后，但我们通常使用的也就两位，此时计算圆周长的误差大约为0.05%，这已经满足一般精度。如果取五位，误差将会降到0.000084%。
NASA科学家表示，即便在精度要求极高的航天领域，他们也只会用到圆周率小数点后的15至16个位。在理论物理学中，与圆周率有关的基本常数计算也只会用到前32位。如果用40位来计算可观测宇宙的尺寸，它的误差将会小于氢原子半径。因此，把圆周率的小数位计算到万亿位对于实际应用已经没有意义，几十位的精度已经完全足够人们使用。
另外，还有人类记忆圆周率的比赛，目前的世界纪录已经超过7万位。
而且在这过程中也会有想不到的惊喜出现，比如在2015年，罗切斯特大学的研究人员在氢原子能级计算中无意得到了沃利斯公式（见上图，一种计算圆周率的公式）
\pi还是太naive了。我要是宇宙设计者，我就把信息藏在蔡廷常数里，这才是对人类最大的嘲讽。
蔡廷常数，其含义是找随机生成一段程序，这段程序不会陷入死循环的概率。可以证明这是一个确定存在的无理数，但是同样可以证明它是不可以被计算出来的。
实际上，能被计算出来的实数的集合是可数无穷的，所以说不能被计算出来的实数是可以计算出来的实数的无穷多倍。像\pi这种能计算出其中任意一位的实数是少之又少的。
而蔡廷常数属于不可被计算的实数中特殊的一类数，它不仅不能计算，而且除了知道它小于1大于0以外，就连它在小数点后任意一位，包括第一位，都是可以从理论上证明是无法计算出来的【注：此处不严谨，文末有说明】。
但是呢，这个数又被证明是确实存在的一个常数。所以，我，造物主，把宇宙的秘密藏在这个数里面，我明确的告诉你们人类这一点，而你们却无可奈何。
当然，碰巧我现在心情很好，所以我大发慈悲的告诉你们，我写在蔡廷常数里面的那句话就是：你们都是虫子
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ps：\pi是否是正规数，和它是否被编码了没有关系啊
\pi的特殊性：
\pi是个特殊的数，不仅在于其是周长与直径之比，如果这么定义的话，在一些非欧几何中，\pi都不是常量，现在数学中使用的\pi的定义也已经脱离了其几何含义，而将其视为微分方程中的一个常量（回想下欧拉的那个上帝公式）
\pi编码的可能性：
\pi是不是高票答案提到的正规数，和\pi是否被特殊编码了没有关系，即使知道它是正规数，但是小说中提到的小数点后10^60位突然出现大段的规律性编码（假设有的话），绝对是异常中的异常，因为一段长度为1000的异常编码，其期望出现的位置也应该在10^1000位之后，是穷尽整个宇宙的能量都算不出来的。
（但是！但是！因为\pi是一个纯粹数学推理出来的产物，要能对\pi编码，说明造物主能够任意控制这个世界的逻辑本身！这是多么难以想象的存在！）
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更新3：
在ZFC公理体系下，实数可以分为以下几类：
存在但是不能被准确描述和定义的
能被准确的描述和定义，但是不能被计算出来的
能被计算出来的
其中第1类的数量是后两类的无穷多倍。蔡廷常数属于第2类。\pi属于第3类。
希尔伯特在听说上面这个结论的时候，一定会回想起他在1900年向世界所有数学家提出直击数学家灵魂的希尔伯特23问的那个遥远的下午。
在工业革命之后，自然科学飞速发展，当物理学家高兴的宣布物理大厦已经建成，除了两朵乌云外晴空万里之时，数学家的世界则愁云惨淡：那些令人束手无策的难题不仅没变少，反而越来越多。当此之时，希尔伯特向全世界数学家提出了当时尚未解决但是他认为非常重要的23个问题：
其中第二个问题就是：证明算术公理的自洽性（consistency）。所谓自洽性，即一个公理体系内不应该存在矛盾，即不能存在一个命题，既能被证明又能被证伪。
第十个问题是：找到一个通用的算法，能解决所有的丢番图问题。
可以看出，虽然面临许多难题，当时的数学家还是天真的相信，一切的问题都是可以解决的，只是我们目前太弱而已。只要我们足够努力，在严格的定义和推导之下（公理化体系的建立，）我们终将可以提出一个完美的公理体系。而更乐观的数学家则相信，可以找到一个通用的算法，所有的命题都可以用这个算法来一步步的证明和证伪。
可惜这个美好愿景只是海市蜃楼，30年后，哥德尔提出了其不完备性理论打碎了数学家们的美梦：
任何一个复杂到包含了算数公理（即自然数）的公理体系，如果它是自洽的，则必然不是完备的，即必然存在一些命题，在此公理体系内部既不能被证明，又不能被证伪。
任何一个复杂到包含了算数公理（即自然数）的公理体系，其自洽性不能在该公理体系内部证明
同时图灵也提出了通用的计算模型——现代计算机的理论基础——图灵机。图灵机上有一个很重要的问题是停机问题，因为很多数学定理的证明可以归约为停机问题。
假如我们找到了解决停机问题的方法，那么几乎所有的数学问题都可以用这个方法求解了。也就是说，这些数学问题都可以归约到停机问题上。举个例子，著名的哥德巴赫猜想：任一大于2的偶数都可写成两个质数之和。我们可以构造一个程序，这个程序会从小到大的依次对每个偶数去计算它是否可以写成两个质数的和，如果不可以，则程序退出，如果可以，则继续去枚举下一个偶数。显然，哥德巴赫猜想成立当且仅当这个程序永远不会停止。
很可惜的是，图灵证明了，停机问题是不可计算的。停机问题的不可计算性存在一个很容易看懂的不很严谨的版本，在此简要证明如下（当然你也可以先跳过这个部分，因为虽然简单，不需要任何专业知识也能看懂，但是运气不好的话在这里卡上一个小时也是不出人意料的）：
用矛盾法证明：
假设存在一个程序H(f)可以对于任何一个程序f判断其能否停机。那么我可以构造一个f，将程序H作为程序f的子程序调用：
如果H(f)返回的结果是停机：
进入死循环，永远不停机
否则：
停机
可以看到，此时无论程序H(f)的返回结果是停机还是不停机，都会导致矛盾。所以不存在能解决停机问题的通用程序。
证毕
如果你跳过了上述证明，你可以从这里开始看起：
实际上，可以进一步证明，不可计算的问题是可计算问题的无穷多倍。
不过需要特别说明的是，这里说的不可计算和我们通常理解的不可计算不是一个概念，可以说，这里讨论的不可计算比我们理解的不可计算“更加”不可计算。举个例子：
我们定义一个自然数X等于哥德巴赫猜想的真值，也就是说，如果哥德巴赫猜想为真，则X等于1，如果为假则X等于0。你可能会认为，如果能证明哥德巴赫猜想属于上面提到的既不能被证明也不能被证伪的命题，那么X就是不能被计算的了。这个想法是不对的。这里讨论的可计算性是，存在一个图灵机（或者说存在一个算法），能输出X的值，那么X就是可以计算的。显然，存在一个可以输出0的图灵机，同时存在一个可以输出1的图灵机，所以X必定可以被其中1个图灵机计算，只是我们不知道具体是哪个图灵机而已。
而我们所要讨论的不可计算的实数，则是说，不存在任何一个已知或未知的图灵机（或者说算法），能输出它的值。
ok，如果你一路辛勤的阅读至此，那么恭喜你，你已经完成了理解蔡廷的常数所需要的铺垫了，在此基础上，我们来看一个蔡廷常数的简单版例子：
首先，我们来把所有程序依次编号为1,2,3,4...，然后我们来定义一个实数X如下：X是一个大于0小于1的实数，用二进制表示，其小数点第i位等于1仅当第i个程序能在有限步内停机，否则等于0。
这也就是说，X的小数点后第i位的数字，对应了第i个停机问题的答案。用柯西序列可以证明这个实数是良定义的。如果我们能计算出X的值，那么数学的天空就会一片晴朗，因为非常多的数学问题都可以像上述的哥德巴赫猜想问题一样归约为某一个停机问题，面临这样的问题时，我们只需要查一下X的值就可以找到答案。X这个数字是如此神奇，以至于我怀疑当年Borel提出这个数字时他自己也在怀疑其可计算性吧。当然后来的事情我们都知道了，图灵证明了不存在一个算法能解决所有停机问题，而能计算出这个数字就等于能解决了所有停机问题，所以可以反证出不存在一个算法能计算出这个数字。
在计算理论里面，有一个衡量一个数字的信息量的指标叫做KolmogoroveComplexity，其含义是算出这个数字所需要的最短的程序（或者说算法）的长度。很显然，所有的有理数的信息量都是有限的，所有的代数无理数的信息量也是有限的，而对于超越数来说，存在像\pi这样的数字，其信息量也是很少的，因为可以用一个很短的程序就可以做到输出\pi的任意一位。但是，大多数超越数的信息量是无穷，例如上面提到的X。这意味着不存在任何一个有限长的算法可以计算出它的值。
看到这里，较真的读者可能会表示怀疑，这个X真的存在吗？上面的定义真的能准确无误的定义出一个实数吗？这个疑问是合理的，比如我用y^2=-1来定义的y就不是实数而是复数，或者是，如果我定义y为第一个大于2且不能被写作两个质数的和的正整数，这个正整数存在的前提是哥德巴赫猜想为假，如果哥德巴赫猜想为真或不能证明其真假，则这个数字不是良定义的。因此，下面简要说明一下为什么上文提到的X是良定义的实数：
首先读者要有心理准备，无理数之所以是无理数，是因为它看起来的确不讲道理，让人难以理解，因此对此不感兴趣的读者可以直接跳过这一节。ok，废话不多说，正式开始介绍：
在我们讨论实数时，需要对什么是实数达成共识。实数的定义有很多种，每种都不是那么直观，在此我准备用柯西序列（学过高数的人肯定有印象）来构造实数。柯西序列是指这样一个无穷长的数列，它的元素随着序数的增加而愈发靠近。更确切地说，在去掉有限个元素后，可以使得余下的元素中任何两点间的距离的最大值不超过任意给定的正数。
这部作品讲的是距离地球非常遥远的一个星系，哪里的勾股数是a2+b2＝2.013c2，(2.013和π一样是一个无限不循环的数)很奇怪吧，在我们地球人看来a2+b2＝c2是一个直角三角形最为准确的三边之间的关系，从古至今历经多少人的验证，证明这已经是一个真理了，但是在那个距离地球遥远的星系上，直角三角形三边之间的关系不在遵循这一规律了，他们的直角三角形三边之间的关系就如同地球的圆的半径和周长的关系一样，从古至今从来没有人能去质疑他。
是的，我觉得也许在我们人类所无法观测到的地方，有一个巨大的宇宙天体，他强大到可以轻微的扭曲干扰遥远的空间，让身处地球的我们没有办法轻易的测量出圆的周长与半径的关系，让他们之间出现了一个复杂的数“π”，让简单的空间关系变得复杂。
这个猜想没有人能证明对也说不了错，但是我真的觉得，得到一个圆准确的周长就这么难吗？就像“π”一样，永远的不可能到尽头吗？
圆周率无处不在，基本上宇宙中很多事物和信息都与圆周率脱不了干系，无休止的继续圆周率还会有更多意想不到的发现。
感谢邀请。
圆周率早都被证明是无限不循环小数，这也意味着再牛的超级计算机也是算不尽圆周率的，除非有一天断电了。