统一以最小化问题为例，将m个目标函数和n个决策变量，(p+q)个约束的MOP描述为
式中x∈XRn，y∈YRm，n是决策变量的个数，m是目标向量的个数，x表示决策向量，X是由决策向量x形成的决策空间；y表示目标向量，Y是由目标向量形成的目标空间；F(x)定义了由决策空间X向目标空间Y映射的函数，g(x)定义了p个不等式约束，h(x)定义了q个不等式约束。
定义1(可行解集)满足式(1)中约束函数的决策向量的集合，用Xl表示，Xl={x∈Xg(x)≥0∧h(x)=0}。
定义2(Pareto支配)存在x1,x2∈Xl是问题的解，当满足i∈(1,…M):fi(x1)≤fi(x2)∧j∈(1,…M):fi(x1) 定义3(Pareto最优解)当不存在其他解x∈Xl，使得x$\prec$xl，称xl为最优解，最优解也叫做非支配解。 定义4(Pareto最优解集)满足定义3的解的集合称为Pareto最优解集(Paretooptimalset，PS)，表示为PS={xl}={x∈Xl|-x′∈Xl:x′$\prec$x}。 定义5(Pareto前沿)PS在目标空间的投影叫做Pareto前沿(Paretooptimalfront，PF)，表示为PF={F(x)∈Rm|x∈PS}。 具体数学表示如公式(2)： 其中f(x)=f1(x),f2(x),…,fm(x)T是解x的标准目标向量，PF是真实前沿面，λ是m维的方向向量。 算法中使用的Pareto支配满足反自反、反对称和传递性质。 ①反自反性：种群中任一个体x，满足反自反性，即x-$\prec$x。 证明：如果x$\prec$y，则至少存在一个分量i=1,2,…,m:满足fi(x) ②反对称性：种群中任意两个体x，y如果满足x$\prec$y，则y-$\prec$x。 证明：假设x$\prec$y，根据定义3，则任意fi(x),fi(y),i=1,2,…,m:存在fi(x)≤fi(y)。所以不存在fi(x)>fi(y)，故y不能Pareto支配x，即y-$\prec$x，满足反对称性质。 ③传递性：x,y,z是种群中3个个体，如果x$\prec$y且y$\prec$z,则x$\prec$z。 证明：因为x$\prec$y，则满足i=1,2,…,m:fi(x)≤fi(y)∧j=1,2,…,m:fj(x) 其中，C代表参考点数量，M代表目标数量，H代表超平面上沿着每个目标考虑的划分数量。 算法：d2_NSGAⅡ算法 输入：种群规模N，决策变量数目D，MaOP问题的目标数目M，最大迭代次数Tmaxgen，沿目标方向划分H份 输出：最末代种群Pmaxgen 1.初始化 1.1初始化迭代计数器t=0； 1.2在MaOP问题的可行决策空间内随机产生N个初始点，形成初始化种群P0； 1.3计算P0中所有解的目标值向量F1(0),…,FN(0)； 1.4产生参考点(M,H)→Set； 2.WHILE(t 3.构建交配池：Ptmating=Mating_selection(Pt)； 4.重组运算：Ptrecombination=Recombination(Ptmating)； 5.变异运算：Ptoffspring=Mutation(Ptrecombination)； 6.合并子种群和父种群：Rt=Pt∪Qt； 7.计算最小向量值→Fmin； 8.计算最大向量值→Fmax； 9.归一化处理(Rt,Fmin,Fmax)→Rt； 10.保留Rt中边界解； 11.对Rt集合中的个体进行非支配排序； 12.确定最小的k值，使其满足|F1∪F2∪…∪Fk|≥N;//Fi表示第i层非Pareto支配层； 13.计算非支配层(Fk)个体的d2距离d2(Fk,Set)； 14.关联Fk中个体与Set集合中的点； 15.IF|F1∪F2∪…∪Fk|>NTHEN 16.根据距离从非Pareto支配层Fk中删除(|F1∪F2∪…∪Fk|-N)个具有较大d2距离的个体； 17.ENDIF 18.Pt+1=|F1∪F2∪…∪Fk|；//获得规模为N的下一代种群; 19.更新迭代计数器t=t+1； 20.ENDWHILE. 21.输出最末代种群Pmaxgen。 算法的第1步为初始化，随机产生个体，并计算其目标值大小，同时产生参考点；第2步进入循环，进行重组变异，产生新的后代；第3步Mating_selection利用二元竞标赛法选取优秀的N/2个体；第4步对交配池中的个体进行仿二进制交叉(SBX)，得到规模为N的种群Ptrecombination；第5步执行变异操作，得到后代Qt，规模为N。然后进行父种群以及子代种群的合并，生成规模为2N的新种群。为了便于目标值的比较，对目标值进行归一化处理。 归一化的目的是为了消除个体极端目标值，将数据标准化，便于比较，使实验数据更加可靠真实。首先，确定种群中个体每个目标分量fi的最小值fimin，构造向量Fmin=f1min,f2min,…,fMminT，同样构造目标最大值的向量Fmax=f1max,f2max,…,fMmaxT，其中fimax是种群Rt中fi的最大值。然后将Rt中所有个体目标值归一化，具体归一化公式如下所示： 同时，保留目标空间中的边界值，将在每个目标上的最大值与最小值的个体保留下来(边界值)。将边界个体的d2值设置为0，在迭代的时候将d2值为0的个体保留下来。与NSAGⅡ同样地进行非支配排序，确定最后的非支配层使得种群规模保持N，并在最后非支配层根据d2值由小到大筛选优秀的个体，使种群的规模保持为N，进入下一代迭代。 采用IGD指标测试新算法的性能。该指标反映了真实的Pareto前沿到近似Pareto前沿之间的距离，可以综合度量算法的收敛性与多样性。IGD指标具体工作机制如下：在真实的Pareto前沿上采用一组分布较为均匀的点，并计算他们到近似Pareto解之间的距离。IGD指标的值越小表明算法收敛性与多样性越好。具体的计算公式如下： 上述公式中，P是MOP问题的解集；Disti是目标函数归一化处理之后的最小欧氏距离；fmmax和fmmin分别表示P在第m个目标上获得的最大值与最小值。A为近似Pareto前沿，pi∈P,i=1,2,…,|P|；aj∈A,j=1,2,…,|A|。在对比实验中，实验进行30次，取结果平均值作为最后的实验结果；同时利用显著水平为0.05的Wilcoxon秩和检验分析所有对比算法结果的差异。 为解决NSGAⅡ在高维空间中效果不佳的问题，研究提出基于d2距离的NSGAⅡ算法，在保证算法收敛性的同时增加其多样性。通过实验数据验证，该算法在MaOP上取得了不错的效果，但是随着目标数目的增加，算法性能下降。究其原因，随着目标数目的增加，个体之间变得相互非支配，这是传统非支配方法面临的统一问题。未来可从支配关系以及距离度量方面进一步改进与探索，同时可以设计一些更加复杂的MaOP问题检验算法的有效性，使其效果更加优秀。