最小生成树英文是MinimumSpanningTree，对于最小生成树大家应该都不陌生，当然还有最大生成树，首先就简单总结一下算法里的生成树。
一、什么是生成树？
Spanning有跨越的意思，生成树一般来说每个节点都能访问到别的节点，是一个连通树。所以，一般考虑无向图里去造生成树。生成树又分最小和最大两种，其中最小生成树应用比较多。总结一下生成树的定义：
1.首先它得是一个树的结构
2.所有的节点都能互相访问
3.要么最小要么最大（废话）
如下图所示，加粗的黑边就是最小生成树。
特性
生成树有两个看起来很废话的特性CycleProperty和CutProperty，这里以最小生成树为主来说明。
CycleProperty
如果在一个环里，其中某条边e是这里面的权重最大的边，那么这条边一定不在最小生成树里。
举个例子，上图我们看到其中一个环0->1->7->0，我们发现边1->7是这里面权重最大的，那么就一定不会在这张图的最小生成树里。
CutProperty
再来看看CutProperty，如果你把图里的节点分成两堆，里面最权重最小的边是一定会在这张图的最小生成树里的。
二、最小生成树
一个有n个结点的连通图的生成树是原图的极小连通子图，且包含原图中的所有n个结点，并且有保持图连通的最少的边。最小生成树可以用kruskal（克鲁斯卡尔）算法或prim（普里姆）算法求出。简单明了就是求最小的连通图。
举个例子：
这幅图的极小连通图为
或者
就是从一个点能到达图的任意一点，且花费的代价最小（所有边的权值最小）
三、代码描述
（一）Prim算法
1.概览
普里姆算法（Prim算法），图论中的一种算法，可在加权连通图里搜索最小生成树。意即由此算法搜索到的边子集所构成的树中，不但包括了连通图里的所有顶点（英语：Vertex(graphtheory)），且其所有边的权值之和亦为最小。该算法于1930年由捷克数学家沃伊捷赫·亚尔尼克（英语：VojtěchJarník）发现；并在1957年由美国计算机科学家罗伯特·普里姆（英语：RobertC.Prim）独立发现；1959年，艾兹格·迪科斯彻再次发现了该算法。因此，在某些场合，普里姆算法又被称为DJP算法、亚尔尼克算法或普里姆－亚尔尼克算法。
2.算法简单描述
（1）输入：一个加权连通图，其中顶点集合为V，边集合为E；
（2）初始化：Vnew={x}，其中x为集合V中的任一节点（起始点），Enew={},为空；
（3）重复下列操作，直到Vnew=V：
a.在集合E中选取权值最小的边
b.将v加入集合Vnew中，将
（4）输出：使用集合Vnew和Enew来描述所得到的最小生成树。
3.下面对算法的图例描述
3.简单证明prim算法
反证法：假设prim生成的不是最小生成树
（1）设prim生成的树为G0；
（2）假设存在Gmin使得cost(Gmin)
（3）将
（4）这与prim每次生成最短边矛盾；
（5）故假设不成立，命题得证。
（二）Kruskal算法
Kruskal算法是一种用来寻找最小生成树的算法，由JosephKruskal在1956年发表。用来解决同样问题的还有Prim算法和Boruvka算法等。三种算法都是贪婪算法的应用。和Boruvka算法不同的地方是，Kruskal算法在图中存在相同权值的边时也有效。
（1）记Graph中有v个顶点，e个边
（2）新建图Graphnew，Graphnew中拥有原图中相同的e个顶点，但没有边
（3）将原图Graph中所有e个边按权值从小到大排序
（4）循环：从权值最小的边开始遍历每条边直至图Graph中所有的节点都在同一个连通分量中if这条边连接的两个节点于图Graphnew中不在同一个连通分量中，添加这条边到图Graphnew中
图例描述：
首先第一步，我们有一张图Graph，有若干点和边。
将所有的边的长度排序，用排序的结果作为我们选择边的依据。这里再次体现了贪心算法的思想。资源排序，对局部最优的资源进行选择，排序完成后，我们率先选择了边AD。这样我们的图就变成了上图。
在剩下的变中寻找。我们找到了CE。这里边的权重也是5
依次类推我们找到了6,7,7，即DF，AB，BE。
下面继续选择，BC或者EF尽管现在长度为8的边是最小的未选择的边。但是现在他们已经连通了（对于BC可以通过CE,EB来连接，类似的EF可以通过EB,BA,AD,DF来接连）。所以不需要选择他们。类似的BD也已经连通了（这里上图的连通线用红色表示了）。
最后就剩下EG和FG了。当然我们选择了EG。
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