线性回归算法应该是大多数人机器学习之路上的第一站，因为线性回归算法原理简单清晰，但却囊括了拟合、优化等等经典的机器学习思想。去年毕业时参加求职面试就被要求介绍线性回归算法，但由于当初过于追求神经网络、SVN、无监督学习等更加高大尚的算法，反而忽略了线性回归这些基础算法，当时给出的答案实在是差强人意。
说到线性回归，我们得先说说回归与分类、线性与非线性这些概念的区别。
回归和分类都是有监督学习（机器学习分有监督学习和无监督学习）中的概念。从算法的目标或者作用上看，分类的目标就如同字面上的意思，就是分类，将数据分门别类，而且类别是有限的（数学上称为离散的）。但回归算法不同，回归算法的目标是预测，说详细些就是从已有数据和结果中获取规律，对其它数据的位置结果进行预测，预测结果的数量数无限的（数学上叫连续的）。举个例子我们可以根据楼房的建材、面积、用途将茅草房、普通住房、厂房等等有限的几类，这就是分类；另外，我们可以根据房屋面积、地段、装修等因素对楼房房价进行预测，预测结果有无限种可能，可能是10000元/平米，也能是10001.1元/平米——这就是回归的过程。
对于线性和非线性的解释，我至今还没有见到过一个让我觉得满意的数学定义，所以，我也从直观认识上说说我的看法。我们高中时学习函数就是从一元一次函数学起的，一元一次函数在数学上可以表示为：
在二维坐标轴上，其表现为一条直线。如果是三维空间中的二元一次函数，数学上表示为：
其在空间上图形为一平面。以此类推，在更高维（n维)的平面上，多元一次函数表达式为：
\[f(x)={{\theta}_{0}}+{{\theta}_{1}}{{x}_{1}}+{{\theta}_{2}}{{x}_{2}}+\ldots+{{\theta}_{n}}{{x}_{n}}\]
在多维空间上，其图形我们称为为超平面。
如果一个数据模型能够用上述二维直线、三维平面或者更多维空间上的超平面去拟合，我们就可以说这个模型是线性模型。
最后，综合上面内容总结一下什么是线性回归：
线性回归（LinearRegression）是一种通过属性的线性组合来进行预测的回归模型，其目的是找到一条直线或者一个平面或者更高维的超平面，使得预测值与真实值之间的误差最小化。
上面提到，线性回归的目的就是找到一个线性模型，是的预测值与真实值之间的误差最小，这就是一个优化的问题。为什么要优化呢？看看下图：
正如你眼前所见，图中的点代表数据，能够对这些数据点进行大概拟合的直线不止一条，到底哪一条才是最好呢？以上图中数据为例，假设此时模型为${y}'=f(x)={{\theta}_{0}}+{{\theta}_{1}}{{x}_{1}}$，图像如下所示，我们要对其拟合程度进行评价：
点$A({{x}_{i}},{{y}_{i}})$为数据集中某一点，使用模型预测时，结果为${A}'({{x}_{i}},{{{{y}'}}_{i}})$。我们用高中时学过，对于${A}$与${A}'$之间的误差，我们可以用它们之间的欧氏距离的平方来表示：
这是对一个点的拟合程度评价，但数据集中可不止$A({{x}_{i}},{{y}_{i}})$一个数据点，所以，我们需要对每个点进行误差评估，然后求和，也就是误差平方和作为这个线性模型对数据集的总体拟合程度评估：
我们将$J({{\theta}_{0}},{{\theta}_{1}})$作为损失函数，也有资料中称为目标函数。这里，${{\theta}_{0}},{{\theta}_{1}}$是模型中$x$的参数。在不同的模型中，${{\theta}_{0}},{{\theta}_{1}}$取不同值，我们要做的就是求目标函数$J({{\theta}_{0}},{{\theta}_{1}})$取最小值时的${{\theta}_{0}},{{\theta}_{1}}$确切值，换句话说就是求$J({{\theta}_{0}},{{\theta}_{1}})$的最优解问题。
关于求最优解问题，最常用的算法就是最小二乘法和梯度下降法，这两种方法在前两篇博文中都有详细介绍，如果你尚不清楚其中原理和过程，还是去看看吧，这很重要，也很基础。
上面说的是一元线性回归模型，对于多元线性回归模型，原理也是一样的，只不过需要求解的参数不止${{\theta}_{0}},{{\theta}_{1}}$两个了就是，这里不再多说。下面我们用代码实现一元线性回归模型。
以下代码参考《深度学习之Pytorch》一书中内容，代码采用Python的pytorch实现。
在实现模型之前，首先我们要制造一个数据集，在[0,10]区间范围内，随机生成100个数：
importtorchx=torch.unsqueeze(torch.linspace(0,10,100),dim=1)print(x)输出为：tensor([[0.0000],[0.1010],[0.2020],……[9.7980],[9.8990],[10.0000]])输出的内容有100行，这就是一个列向量，我们以则100个数作为数据集中的自变量，也就是X，假设我们需要拟合的模型为：$y=f(x)=0.5x+15$，为了更加符合真实数据集中随机误差的效果，我们在生成y的时候，加上一些服从高斯分布随机误差：
y=0.5*x+15+torch.rand(x.size())print(y)输出结果为：
tensor([[15.0477],
[15.0557],
[15.3653],
……
[20.7046],
[20.1751]])
在二维坐标轴上，这些点如下所示：
数据有了，我们可以开始搭建我们的模型了：
代码最后一行输出为：
tensor([[0.5206]],device='cuda:0')tensor([15.3803],device='cuda:0')
也就是说，模型训练结果中，${{\theta}_{0}},{{\theta}_{1}}$分别为15.3803和0.5206.