轴承、齿轮、丝杠等旋转机械在机械系统中应用极其广泛，其运行状态和故障与否直接影响整个机械系统的工作精度和寿命。而机械系统运行状态信息的获取是对系统状态评估和故障检测的前提。由于振动信号自身实时性、周期性以及加速度传感器体积小，频带宽，易安装，高频响应稳定等特性，振动信号已经成为当前机械系统故障检测中应用最广泛的信息载体。尤其针对旋转机械关键零部件，通过其振动信号实现故障检测的方法极为普遍。所涉及的方法大致分为以下两类：基于机器学习智能识别的方法和基于信号处理频谱检测的方法。
基于机器学习智能识别的方法是一种典型的通过数据特征驱动的方法，其对于信号的产生机理和系统的动力学模型并不深究，以人工神经网络，支持向量机，朴素贝叶斯，最大期望，AdaBoost迭代和混合智能学习等算法为代表[1-2]，主要涵盖了不同空间的特征提取，多维数据降维压缩，统计学习等技术；基于信号处理频谱检测的方法通过分析比较其特征频率来检测系统和零部件不同的状态和故障，相较于基于机器学习智能识别的方法，后者更注重机械系统结构和信号本质。检测过程中，振动信号滤波去噪，即振动信号预处理是关键，也是信号处理领域的研究热点和研究难点，其预处理效果往往直接决定了检测方法的可行性和有效性。受到学术界认可且被广泛应用的去噪方法通常是基于小波变换，经验模态分解，谱峭度，盲源分离，自回归模型等算法[3-6]，均取得了不错的去噪效果，但也存在过度依赖于经验知识和人工定参等局限性[7]。
针对上述问题，提出一种改进字典学习的振动信号检测方法，区别于传统去噪方法单纯地减弱或消除振动信号噪声成分，该方法是通过信号自身结构重构信号。该方法的主要原理是通过原始振动信号自身驱动数据构成训练样本，采用基于非负K奇异值分解（Non-negativeK-SVD，NN-K-SVD）算法[8]迭代更新得到超完备字典和稀疏编码，重构振动信号以实现预处理。最终提取重构信号的包络谱实现故障检测。
2006年，文献[9]论证了压缩采样理论，根据数据的可压缩性，通过低维欠奈奎斯特数据实现高维采样，极大地推动了字典学习在数据分类聚类，信息压缩，图像处理等领域的发展。近年来，该理论逐渐被引入机械系统故障检测领域，由于基于该理论生成的重构信号更匹配原始振动信号的固有特性和结构，采用字典学习去噪效果显著。
字典学习的本质是一种通过构造字典和稀疏编码循环迭代更新的算法。构造字典采用经验基函数或者基于自身训练，后者自适应更佳。K奇异值分解（K-SignalValueDecomposition，KSVD）是经典字典学习算法[10]，定义原始信号X，字典D∈Rm×k，每列对应原子d，稀疏编码S，目标函数：
新一代稀疏编码St通过正交匹配追踪（OrthogonalMatchingPursuit，OMP）逼近得到，结合上一代更新的字典Dt-1表示信号X0，固定St求新一代字典Dt，交替迭代得到最终超完备字典D^和稀疏编码S^。
式中：X^—重构信号；ε—噪声成分。
提出的NN-K-SVD算法是K-SVD在非负条件下的改进，通过采用更稀疏的编码来提取信号的局部特征，学习构造更匹配信号特性的字典。
稀疏编码：采用非负基追踪（Non-negativeBasisPursuit，NNBP）算法求解能量函数[11]
信号重构精度和稀疏性的相对数值关系。第一项求X-DS
的l2范数重构误差，第二项是稀疏编码惩罚项，约束稀疏分
布，确保能量函数逐步减小。
非负稀疏编码的迭代方法：
式中：．×和．/—矩阵对应位置元素相乘除，即点乘和点除；（．）’—矩阵转置。迭代后得到的稀疏编码S非负，确保达到要求精度下得全局最小值。
字典更新：固定S，采用梯度下降法优化：
其中，迭代步长μ＞0，通过调整μ以满足式（1）中目标函数，且d＜0时归零确保D非负。
和K-SVD算法相同，NN-K-SVD算法通过交替迭代以更新字典和稀疏编码，且得到的非负编码具有更好的稀疏性，是一种有意义的字典学习改进。
故障检测领域，原始振动信号通过改进的字典学习算法逼近信号本质结构。是基于改进字典学习的去噪方法的流程，如图1所示。加速度传感器以一定采样频率采集一维信号，以一定重叠率将其重叠分割得到列向量并构成训练样本X；初始化原始字典D并对生成的训练样本进行稀疏编码得到S，通过采用上述NN-K-SVD算法交替迭代更新得到字典D^和对应的稀疏编码S^；由式（2）通过最终得到的超完备字典D^和稀疏编码S^计算得到更新样本X^，逆叠加重构信号。重构信号相较原始信号去噪效果显著。
图1基于改进字典学习的去噪方法Fig．1De-noisingMethodBasedonImprovedDictionaryLearning
为验证上述改进字典学习去噪方法的有效性，通过数学函数构建信号以仿真含有故障的机械系统的振动信号，正弦函数仿真基频信号可以表示为：
式中：fr—主轴频率。
故障表征的瞬态冲击衰减信号可以表示：
式中：α—衰减率；f0—固有频率；T—冲击周期。
通过上述基频信号和瞬态冲击衰减信号并叠加高斯噪声成分ω构成仿真信号，如图2所示。仿真信号中噪声成分基本覆盖红色表征的冲击成分。
f（t）=a（t）+x（t）+ω（t）（8）
图2仿真信号Fig．2SimulationSignal
基于改进字典学习的去噪方法预处理，构建包含2000个数据点的一维仿真信号，每隔5个数据点重叠分割得到包含80个数据点的385列向量构成训练样本。定义稀疏阀值为5，即稀疏编码矩阵每一列非零元素不超过5。采用NN-K-SVD算法迭代更新20次最终生成（80×10）的学习字典和（10×385）的稀疏编码，矩阵相乘并逆叠加得到去噪后的重构信号。为验证方法优越性，分别采用小波变换（WaveletTransform，WT）和K-SVD算法对信号去噪。如图3所示。
图3去噪信号Fig．3De-NoisedSignal
式中：cov（.）—x和y的协方差；σ—标准差。将无噪信号和去噪信
号代入，R越接近1，去噪效果越好。
算法K-SVDWTR0.92320.8182
对比K-SVD算法和NN-K-SVD算法，后者改进添加了非负约束条件，实现信号局部特征提取，对比编码中非零元素数量，NN-K-SVD算法的编码更稀疏，有利于数据压缩，且优化和简化算法，如表2所示。
表2稀疏编码非零元素对比Tab.2ComparisonofNon-zeroSparseCoding
算法K-SVDNN-K-SVD数量19251538
为验证改进字典学习的振动信号检测方法有效性，采用美国国家科学基金项目加州大学河滨分校智能维护系统中心的轴承数据[12]设计验证实验。
交流电机由传送带驱动主轴以转速2000r/min运行，主轴安装轴承，如图4所示。轴承2和轴承3负载26.7kN，采样频率20kHz，通过采集卡NI6062E控制安装于轴承座的加速度传感器PCB353B33采集全部轴承的振动信号。通过大量实验使机械系统性能退化，轴承出现故障，如表3所示。由式算得到轴承内圈、外圈、滚动体和保持架故障特征理论频率。
图4实验台示意图和实物图Fig.4SketchMapandPhysicalMapofExperimentRig
式中：fr—主轴频率表征主轴转速；Z—滚动体数量；α—接触角；d—滚动体直径；D—节径。
表3轴承RexnordZA-2115参数Tab.3BearingParametersofRexnordZA-2115
参数Zα/°d/mmD/mm数值1615.178.471.5
选取实验数据集2中末端信号进行处理，信号包含数据点20480个，故障检测显示轴承1外圈故障。由式（10）得到轴承理论外圈故障频率236.2Hz。
基于提出的改进字典学习的振动信号检测方法对信号进行故障检测。随机截取实验数据集2中末端某一信号中的2048个数据点，如图5所示。根据表中参数基于改进的字典学习去噪方法重构信号，实现轴承振动信号预处理，如表4所示。
图5实验台信号和重构信号包络Fig.5SignalofExperimentRigandEnvelopeofReconstructedSignal
表4去噪参数定义Tab.4DefinitionofDe-noisingParameters
参数数值截取信号2048分割尺寸80分割跨度8列向量数247稀疏阀值3字典尺寸80×10编码尺寸10×247迭代次数30
重构信号包络谱能清晰地检测冲击频率及其倍频，如图6所示。其峰值即故障频率约为236Hz，和上述轴承理论外圈故障频率236.2Hz基本吻合。
图6重构信号包络谱和基于AR和小波算法包络谱Fig.6SpectralEnvelopeofTwoKindsofAlgorithm
为验证振动信号检测方法有效性，采用AR模型和小波变换对同一信号去噪，并通过希尔伯特变换和傅里叶变换求信号包络谱，如图6所示。去噪得到的包络谱的故障频率和提出方法所得到故障频率一致，但冲击特征相对不够突出。因此，改进字典学习的振动信号检测方法不但编码更稀疏，有利于信号压缩，且去噪效果具有一定先进性。
针对传统检测方法，提出了一种改进字典学习的振动信号检测方法，通过信号自身结构在非负条件下字典学习实现预处理。仿真瞬态冲击信号和设计轴承故障实验中，采用基于NN-K-SVD算法的检测方法对信号去噪，能有效提取故障频率，且效果显著，较传统方法自适应强，去噪效果佳。结果表明，改进字典学习的振动信号检测方法适用于故障检测，为振动信号滤波去噪提供了新思路，为基于振动信号实现机械系统智能维护提供了参考。
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