最小生成树Prim算法和Kruskal算法as

普里姆算法（Prim算法），图论中的一种算法，可在加权连通图里搜索最小生成树。意即由此算法搜索到的边子集所构成的树中，不但包括了连通图里的所有顶点（英语：Vertex(graphtheory)），且其所有边的权值之和亦为最小。该算法于1930年由捷克数学家沃伊捷赫·亚尔尼克（英语：VojtěchJarník）发现；并在1957年由美国计算机科学家罗伯特·普里姆（英语：RobertC.Prim）独立发现；1959年，艾兹格·迪科斯彻再次发现了该算法。因此，在某些场合，普里姆算法又被称为DJP算法、亚尔尼克算法或普里姆－亚尔尼克算法。

2.算法简单描述

1).输入：一个加权连通图，其中顶点集合为V，边集合为E；

2).初始化：Vnew={x}，其中x为集合V中的任一节点（起始点），Enew={},为空；

3).重复下列操作，直到Vnew=V：

a.在集合E中选取权值最小的边，其中u为集合Vnew中的元素，而v不在Vnew集合当中，并且v∈V（如果存在有多条满足前述条件即具有相同权值的边，则可任意选取其中之一）；

b.将v加入集合Vnew中，将边加入集合Enew中；

4).输出：使用集合Vnew和Enew来描述所得到的最小生成树。

下面对算法的图例描述

3.简单证明prim算法

反证法：假设prim生成的不是最小生成树

1).设prim生成的树为G0

2).假设存在Gmin使得cost(Gmin)不属于G0

3).将加入G0中可得一个环，且不是该环的最长边(这是因为∈Gmin)

4).这与prim每次生成最短边矛盾

5).故假设不成立，命题得证.

4.算法代码实现(未检验)

#defineMAX100000#defineVNUM10+1//这里没有ID为0的点,soid号范围1~10intedge[VNUM][VNUM]={/*输入的邻接矩阵*/};intlowcost[VNUM]={0};//记录Vnew中每个点到V中邻接点的最短边intaddvnew[VNUM];//标记某点是否加入Vnewintadjecent[VNUM]={0};//记录V中与Vnew最邻近的点voidprim(intstart){intsumweight=0;inti,j,k=0;for(i=1;i

这里记顶点数v，边数e

邻接矩阵:O(v2)邻接表:O(elog2v)

Kruskal算法

Kruskal算法是一种用来寻找最小生成树的算法，由JosephKruskal在1956年发表。用来解决同样问题的还有Prim算法和Boruvka算法等。三种算法都是贪婪算法的应用。和Boruvka算法不同的地方是，Kruskal算法在图中存在相同权值的边时也有效。

1).记Graph中有v个顶点，e个边

2).新建图Graphnew，Graphnew中拥有原图中相同的e个顶点，但没有边

3).将原图Graph中所有e个边按权值从小到大排序

4).循环：从权值最小的边开始遍历每条边直至图Graph中所有的节点都在同一个连通分量中

if这条边连接的两个节点于图Graphnew中不在同一个连通分量中

添加这条边到图Graphnew中

图例描述：

将所有的边的长度排序，用排序的结果作为我们选择边的依据。这里再次体现了贪心算法的思想。资源排序，对局部最优的资源进行选择，排序完成后，我们率先选择了边AD。这样我们的图就变成了右图

下面继续选择，BC或者EF尽管现在长度为8的边是最小的未选择的边。但是现在他们已经连通了（对于BC可以通过CE,EB来连接，类似的EF可以通过EB,BA,AD,DF来接连）。所以不需要选择他们。类似的BD也已经连通了（这里上图的连通线用红色表示了）。

3.简单证明Kruskal算法

对图的顶点数n做归纳，证明Kruskal算法对任意n阶图适用。

归纳基础：

n=1，显然能够找到最小生成树。

归纳过程：

假设Kruskal算法对n≤k阶图适用，那么，在k+1阶图G中，我们把最短边的两个端点a和b做一个合并操作，即把u与v合为一个点v'，把原来接在u和v的边都接到v'上去，这样就能够得到一个k阶图G'(u,v的合并是k+1少一条边)，G'最小生成树T'可以用Kruskal算法得到。

我们证明T'+{}是G的最小生成树。

用反证法，如果T'+{}不是最小生成树，最小生成树是T，即W(T)})。显然T应该包含，否则，可以用加入到T中，形成一个环，删除环上原有的任意一条边，形成一棵更小权值的生成树。而T-{}，是G'的生成树。所以W(T-{})<=W(T')，也就是W(T)<=W(T')+W()=W(T'+{})，产生了矛盾。于是假设不成立，T'+{}是G的最小生成树，Kruskal算法对k+1阶图也适用。