第1章函数、极限与连续.pptx第2章导数与微分.pptx第3章导数的应用.pptx第4章1元函数积分学及其应用.pptx全套可编辑PPT课件第1章函数、极限与连续极限理论是微积分的理论基础,它研究的是在自变量某个变化过程中,函数的相应变化趋势.本章将介绍极限基本概念和求极限的常用方法,并用极限的思想方法讨论无穷小及函数的连续性.数列极限的思想早在中国古代就已萌生.例如,我国魏晋时期的数学家刘徽,曾用他创造的割圆术计算圆的面积.“割之弥细,所失弥少,割之又割……,则与圆周合体而无失矣.”这个“无限接近”的过程就是一个极限过程.1631.1函数1.2极限1.3无穷小量与无穷大量1.4两个重要极限及其运用1.5函数的连续性及基本性质1.1函数一、函数的概念1.函数的定义
一、函数的概念
函数的表示方法主要有三种:解析法表格法图像法一、函数的概念
一、函数的概念【例3】(绝对值函数)
一、函数的概念【例4】(符号函数)
一、函数的概念【例5】(取整函数,又名Gauss函数)
其图像形状如楼梯,因此这类函数又称为阶梯型函数.一、函数的概念2.函数的几种特性
思考：既是奇函数又是偶函数的函数是否只有上述这个一、函数的概念
思考：所有周期函数是否都有最小正周期二、基本初等函数
二、基本初等函数
其中,常函数、幂函数、指数函数、对数函数及三角函数，我们在高中时已作了系统且详细的学习,此处不再赘述.下面重点介绍反三角函数.
它们的图形分别如图1-9，图1-10，图1-11，图1-12中实线所示:二、基本初等函数二、基本初等函数二、基本初等函数反三角函数在各自的定义域内满足以下关系式:
三、复合函数、初等函数
正确掌握分析复合函数的复合过程的方法对以后的学习非常重要.方法如下:从外层开始,层层剥离,逐层分解.三、复合函数、初等函数【例6】指出下列复合函数的复合过程.
【定义8】由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合运算所构成,并可用一个解析式表出的函数称为初等函数．
皆为初等函数.分段函数一般不是初等函数,如取整函数,符号函数都不是初等函数.
思考：绝对值函数是不是初等函数1.2极限一、数列的极限1.数列
【定义1】按一定次序排列的一些数
一、数列的极限下面举几个数列的例子:
一、数列的极限2.数列极限先看一个古代数学问题———截丈问题.2000多年前,中国的庄子提出“一尺之槌,日取其半,万世不竭.”意为一根一尺长的竹竿,每天截取它的一半,永远都取不完.从第一天起,我们把该竹竿被截后所剩长度写下来,便得到如下数列:
一、数列的极限无论经过多少天,竹竿总有剩余,不可能取完.也就是说,对任意的正整数n(无论它多大),这个数列的项永远为正数.但这只是问题的一个方面,另一方面,我们不难发现,当n无限增大时,该数列的项就无限接近于0.这里隐含着数列极限,下面给出定义.一、数列的极限
一、数列的极限
【例1】观察下列数列的变化趋势,写出它们的极限:
一、数列的极限一般有
二、函数的极限
显然有以下结果:
二、函数的极限【例2】求下列函数的极限
因此有
左极限和右极限统称为单侧极限.二、函数的极限
【解】由
三、极限的四则运算法则
定理3中的(1),(2)都可以推广到有限个函数的情形.由于数列可视为整变量函数，则此法则对数列极限也完全适用。三、极限的四则运算法则
三、极限的四则运算法则【例9】求下列各式的极限:
1.3无穷小量与无穷大量一、无穷小量与无穷大量的概念
一、无穷小量与无穷大量的概念
也就是说,无穷小是以0为极限的函数,无穷大是绝对值无限增大的函数.
在自变量的同一变化过程中的无穷小具有如下性质:【性质1】有限个无穷小的代数和是无穷小.【性质2】有界函数与无穷小的乘积是无穷小.由以上两个性质立得以下两性质:【性质3】常数与无穷小的乘积是无穷小.【性质4】有限个无穷小的乘积是无穷小.一、无穷小量与无穷大量的概念
二、无穷大量与无穷小量的关系
简言之,同一过程中的无穷大的倒数为无穷小,非零无穷小的倒数是无穷大.
三、无穷小量比阶问题
四、具有极限的函数与无穷小量的关系关于等价无穷小，有下面的重要性质：
这个定理是说,两个无穷小等价,当且仅当它们的差是比其中一个更高阶的无穷小.
四、具有极限的函数与无穷小量的关系
这个定理告诉我们一种求极限的方法---等价无穷小代换法.求两个无穷小的商的极限时,分子和分母都可以用等价的无穷小来代替.通常,我们用形式较简单的无穷小代替较复杂的无穷小,以达到简化计算的目的.进一步,分子和分母中的无穷小乘积因子也可以用等价无穷小代替.四、具有极限的函数与无穷小量的关系下面先给出一些常用的等价无穷小:
四、具有极限的函数与无穷小量的关系【例4】求下列极限:
为什么因为只有当分子或分母是函数的乘积时,对于乘积因子才可以用等价无穷小代换.对于和或差中的函数,一般不能用等价无穷小代换!这是用等价无穷小代换法求极限的易错点,特别注意!正确解法为
结合定理2,我们介绍等价无穷小代换法中的一种特殊的技巧---舍去高阶无穷小.根据定理2,对于能用等价无穷小代换的分母或分子(或乘积因子),若是两个不同阶的无穷小的和,则可以把其中较高阶的无穷小舍去,即以其中较低阶的无穷小作代换.以下举例说明:【例5】求下列极限:
1.4两个重要极限及其运用两个重要极限及其运用
本节介绍两个重要极限:
【例2】求下列极限.
说明:例2还可以用等价无穷小代换法,解法如下:
显然,用等价无穷小代换法更加简洁,读者可见这种方法的巧妙之处.
【例3】求下列极限.
一般地,有
1.5函数的连续性及基本性质一、函数连续性的概念
一、函数连续性的概念如图1－14所示.
一、函数连续性的概念
二、函数的间断点
三、初等函数的连续性
由函数连续性的定义及极限的运算法则,可得以下性质.
以上性质证明留给读者.我们还可证明:三、初等函数的连续性
【定理1】基本初等函数在它们的定义域内都是连续的.
由上述定理1及性质1,2可得:
【定理2】一切初等函数在其定义区间内都是连续的.
三、初等函数的连续性【例5】求下列极限:
四、闭区间上连续函数的性质
闭区间上的连续函数有一些很重要的性质,它们的几何意义都很明显,但证明比较困难,下面我们不加证明地以定理的形式给出这些性质.
一位游客在位于天河区的天河体育中心观看完比赛之后,前往位于海珠区的广州塔观光.他可以选择乘坐地铁,自驾车,坐船渡过珠江等方式到达广州塔,但无论他选择哪种路线及方式,都有一个共同点---他必须穿过珠江(除非绕道离开广州),这是因为,他的出发点和目的地位于珠江的两岸.我们把这个简单的生活常识抽象开来,便得到如下的零点定理.四、闭区间上连续函数的性质
定理的几何意义如图1－16所示.
零点定理应用广泛,下面介绍它在证明方程根的存在性方面的具体应用.四、闭区间上连续函数的性质
由零点定理可推论出更一般性的介值定理.四、闭区间上连续函数的性质
第2章导数与微分高等数学的研究主线为微积分模块,其中研究函数导数及微分的模块称为微分学,而研究函数不定积分与定积分的模块称为积分学,二者在高数研究中处在同等重要地位.微分学模块作为主线分支之一,它的研究核心为函数的导数及微分,前者主要求解函数在某点处的瞬时变化率问题,此问题的顺利求解,也使得人们可以合理利用导数工具研究物理领域的瞬时速度及经济学领域的边际分析等问题.后者主要是指给自变量施加微小变动时,函数增量的具体变化情况,在工程领域中应用广泛.2.1函数的导数2.2导数的运算2.3函数的微分2.1函数的导数一、引例1.汽车行驶过程中的瞬时速度问题
一、引例2.平面曲线的切线斜率问题
一、引例
二、导数的概念1.导数的极限定义
二、导数的概念
即：
速度的概念也可延伸到经济领域，如经济增长速度等．
二、导数的概念2.导数与导函数
二、导数的概念3.左导数和右导数
【解】函数是分段函数，需用左、右导数来判断．二、导数的概念
三、可导与连续的关系
连续性与可导性是函数的两个重要性质，二者之间的关系如何呢？先从几何直观上看一下．（图2－2）三、可导与连续的关系
成立．但反之不成立．三、可导与连续的关系
由此可见，函数在一点连续是它在该点可导的必要条件而非充分条件．
2.2导数的运算一、导数的四则运算法则
一、导数的四则运算法则
一、导数的四则运算法则【例1】求下列函数的导数：
【解】
一、导数的四则运算法则【例2】求下列函数的导数：
二、反函数的求导法则
三、基本初等函数的求导公式
为了运算的方便，下面给出基本初等函数的求导数公式．而这些公式在前面的例题中已经得到了．
三、基本初等函数的求导公式【例5】求下列函数的导数：
四、复合函数的求导法则
四、复合函数的求导法则【例6】求下列函数的导数：
充分熟悉复合函数的求导法则后，中间变量不必写出来．五、隐函数及其求导法则
注意:有些隐函数并不是很容易化为显函数的，那么在隐函数的形式下求其导数时该如何呢？下面让我们来解决这个问题！五、隐函数及其求导法则隐函数的求导
五、隐函数及其求导法则
即
六、对数求导法
所以
如上形式的幂-指函数一般都可以采用上述的对数求导法来求导数．六、对数求导法
六、对数求导法所以
七、高阶导数
或
由此可见，求高阶导数就是多次接连地求导数．所以，仍可应用前面学过的求导方法来计算高阶导数．七、高阶导数
2.3函数的微分一、微分的概念
一、微分的概念
对于一般函数有一、微分的概念
二、微分的计算1.基本微分公式
二、微分的计算
二、微分的计算微分运算法则
二、微分的计算2.微分运算法则
此性质称为微分形式的不变性．二、微分的计算
【解】因为
也可以利用微分形式的不变性来求：
由以上例题可见，求导数与求微分在方法上没有什么本质的区别，故统称为微分法．三、微分的应用
（2-1）
（2-2）三、微分的应用
（2-3）
三、微分的应用
四、微分几何意义
【例3】某正方体金属边长为4厘米，当金属受热膨胀时，边长增加0.01厘米，体积微分是？
第3章导数的应用
【导例1】广东某企业主营汽车铸造模具生产,在日常业务实践过程中,为了防范风险,常对总订单采取分批生产交货的模式,已知每批汽车铸造模具的生产前置费为40000元,每台模具设备的库存管理费为800元/年,在市场需求一致(供需相等)的情形下,且不允许缺货现象,问每批至少生产多少台设备,才能使得该企业一年的总成本支出(生产前置费和库存管理费)最少第3章导数的应用
【导例2】广东某汽车4S店,为完成季度销售目标,门店经理决定调整A品牌某款新能源汽车的价格,基于销售部市场调查分析,得出该款车型的需求函数为Q=20-P4,且该款车型当前价格为14.8万元,针对该款汽车,采取提价还是降价策略能使收益增加虽然上述问题现实背景不同,但均可归结为最值问题的求解,这即是本章的主要研究内容:如何利用导数工具,有效解决经济生活中的函数最值问题,细致研究函数图像特征及合理求取函数的极限值等问题.3.1微分中值定理3.2洛必达法则3.3导数在几何上的应用3.4导数在工程上的应用3.5函数图形的描绘3.1微分中值定理微分中值定理
微分中值定理微分中值定理
3.2洛必达法则一、洛必达法则简述
一、洛必达法则简述
二、洛必达法则的基本应用
【例1】求下列极限：
二、洛必达法则的基本应用【例2】求下列极限：
此极限不存在．但事实上，
二、洛必达法则的基本应用2.其他类型的未定式极限
再取极限得：
3.3导数在几何上的应用一、函数的单调性
我们已经学过了函数单调性的概念及判别法，导数符号与函数的单调性有如下关系：
一、函数的单调性
【解】为了考察该函数的单调性，先来求该函数的导数
在多数情况下，函数在单调增区间内导数大于零，在单调减区间内导数小于零，而在驻点处导数等于零．因而，单调增和单调减区间通常以驻点为分界点，但实际上情形并非总是如此.一、函数的单调性
一、函数的单调性列表确定函数的单调性，见表3－1：
二、函数的极值1.极值的概念
函数的极值也是我们已接触过的问题，定义如下：
极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点．二、函数的极值
显然，函数极值是一个局部性的概念，它只是与极值点邻近所有点的函数值比较而言，并不意味着它是整个定义区间内的最大值和最小值；极值只能在区间的内部取不能在区间的端点处取得．二、函数的极值2.极值的求法根据极值点的定义，可以给出极值的第一种判别方法.
二、函数的极值
二、函数的极值3.极值的应用
比较函数在驻点与端点处的函数值：
对于最值问题，有如下结论：如果一个实际问题可以预先断定必存在最值，并且函数在定义域内只有唯一临界点，则无须判别即可断定，该临界点的函数值必为所求最值．这个结论在实际问题中有着非常广泛的应用。三、曲线的凹凸区间与拐点１.曲线凹凸性及拐点的概念
三、曲线的凹凸区间与拐点
根据曲线与其上各点切线的位置关系，对于曲线的特性给出如下定义：
【定义3】连续曲线上的凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点．三、曲线的凹凸区间与拐点2.曲线凹凸性的判断我们将图3－6分解成如下两个图形，如图3－7所示．三、曲线的凹凸区间与拐点
列表3.3讨论（表中“╭╮”表示曲线是凸的，“╰╯”表示曲线是凹的）：三、曲线的凹凸区间与拐点
四、曲率1.弧的微分
四、曲率
四、曲率四、曲率于是
因此，得弧微分四、曲率
解
由于
所以由弧微分公式，得
四、曲率2.曲率的概念
我们先从几何图形上分析哪些量与曲线弯曲程度有关．
四、曲率四、曲率
所以确定曲线弧的弯曲程度时，必经同时考察弧段的长度和切线的转角这两个因素．四、曲率
四、曲率于是
则曲率
这说明,圆周上任一点处的曲率都相等,且等于半径的倒数.这个结论与实际情况相符合,则当圆的半径越小时,其弯曲就越厉害,即曲率越大.四、曲率3.曲率的计算公式
利用曲率的定义来计算曲线的曲率是不方便的，为简便起见，下面给出计算曲率的公式．
四、曲率4.曲率圆与曲率半径
因此
曲率半径为
3.4导数在工程上的应用导数在工程上的应用
导数在工程上的应用解
要使材料最省，就是要罐头筒的总表面积最小．
导数在工程上的应用
于是得出结论：当所做罐头筒的高和底直径相等时，所用材料最省．导数在工程上的应用
导数在工程上的应用令
得
由实际问题知，此时发动机的效率最大，最大效率为
3.5函数图形的描绘一、曲线的渐近线
【定义1】如果曲线上的一点沿着曲线趋于无穷远时，该点与某条直线的距离趋于零，则称此直线为曲线的渐近线.1.水平渐近线
一、曲线的渐近线2.铅垂渐近线
二、函数作图描绘函数图像的具体方法如下:1.确定函数的定义域;2.确定曲线关于坐标轴的对称性;3.求出曲线和坐标轴的交点;4.判断函数的单调区间并求出极值;5.确定函数的凹凸区间和拐点;6.求出曲线的渐近线;7.列表讨论并描绘函数的图像.二、函数作图
(2)函数不具有奇偶性，因此曲线无对称性.
二、函数作图
(6)无渐近线.
(7)将上面的结果列表3-4，函数图像如图3-19所示.二、函数作图二、函数作图
二、函数作图(7)将上面的结果列表3-5，函数图像如图3-20所示.二、函数作图第4章一元函数积分学及其应用在第2、3章,我们主要研究一类问题,给定一个函数f(x)的前提下,求解该函数的微分与导函数问题,现在考虑相反的情况,已知一个函数的导函数与微分,如何求解出该函数本身这就涉及本章的学习内容———不定积分的求解问题,积分与导数(微分)问题也被称为高等数学的两大主要研究主题.4.1不定积分的概念及性质4.2定积分的概念及性质4.3积分计算4.4定积分的基本应用4.5广义积分4.1不定积分的概念及性质一、不定积分的概念1.原函数的定义
思考:一个函数应具备什么条件，才能保证它的原函数一定存在呢？一、不定积分的概念
注意:如果一个函数存在原函数，那么它的原函数是无穷多个，并且任意两个原函数之间只相差一个常数.一、不定积分的概念2.不定积分的定义
一、不定积分的概念其中,∫称为积分号,x称为积分变量,f(x)称为被积函数,f(x)dx称为被积表达式,C称为积分常数.
一、不定积分的概念
一、不定积分的概念3.不定积分的几何意义
二、不定积分的基本公式及性质1.不定积分的基本公式
从导数基本公式可以得到相应的不定积分公式.
二、不定积分的基本公式及性质
被积函数本质上还是幂函数，利用公式（2），得
注意:在应用积分基本公式时注意要符合公式的一般形式才可以灵活使用.二、不定积分的基本公式及性质2.不定积分的性质
由不定积分的定义及导数的运算性质可得不定积分的性质：
【性质1】
求不定积分时，被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面，即
二、不定积分的基本公式及性质【性质2】
函数和的不定积分等于各个函数不定积分的和，即:
【性质3】
不定积分与微分之间的运算关系:
二、不定积分的基本公式及性质3.直接积分法
利用不定积分基本公式及性质，求简单函数的不定积分叫作不定积分的直接积分法.【例5】计算下列不定积分：
注意:检验积分结果正确性，只需对结果求导，验证其导数是否等于被积函数即可.二、不定积分的基本公式及性质
二、不定积分的基本公式及性质当t=0时，s=0，代入上式，得C=0，于是
4.2定积分的概念及性质一、定积分的概念1.曲边梯形的面积
一、定积分的概念一、定积分的概念
一、定积分的概念
一、定积分的概念2.定积分的定义
一、定积分的概念3.定积分的几何意义
二、定积分的基本性质为方便起见，先作出以下两点规定：
规定（1）说明在某一点上积分对象是一条线段，线段没有面积，所以定积分为零；
规定（2）说明若调换定积分的上下限，定积分结果是原来的相反数.二、定积分的基本性质
【性质2】
常数因子可以提到积分号外面，即
二、定积分的基本性质
【性质6】
定积分与积分变量的符号无关，即有
注意:性质6说明定积分的值只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的符号无关，改变积分变量的符号定积分的值也不会改变.二、定积分的基本性质
由性质可知
4.3积分计算一、典型积分法利用不定积分定义、性质以及基本公式和一些三角变换，能够计算一些较简单的不定积分，但对于较复杂的不定积分，还必须寻求其他方法.本节重点介绍几类典型方法：第一类换元法、第二类换元法和分部积分法.一、典型积分法1.第一类换元法(凑微分法)
一、典型积分法
下面引入第一类换元法，也称凑微分法来解决这类问题.一、典型积分法
一、典型积分法根据复合函数的求导法则，得
综上有
一、典型积分法常用的凑微分法有：
一、典型积分法2.第二类换元积分法
例1的做法是若不能直接利用积分基本公式和第一类换元法，被积函数又含有根式时，可以通过变量代换，将含有根式的被积函数转化为不含根式的被积函数，使得新积分变量的不定积分更加易于求解，这就是第二类换元法.一、典型积分法
一、典型积分法于是
一般地，如果被积函数含有带三角函数的二次根式时，如果用凑微分法难以计算时，可以通过三角代换法来计算：一、典型积分法
一、典型积分法3.分部积分法
对于有些不定积分，既不能直接利用公式，而第一类积分法和第二类积分法都解决不了.这时可以用分部积分法.
移项，得
一、典型积分法对上式两边求不定积分，得
这就是分部积分公式，也可写作
若这样运用分部积分法
二、微积分基本原理1.积分上限函数
二、微积分基本原理
【例19】求极限
二、微积分基本原理2.微积分基本公式
公式（4-1）称为牛顿-莱布尼茨公式，简称N-L公式，也称作微积分基本公式.
所以，一样有
注意:若被积函数中带有绝对值，可根据积分性质，先去掉绝对值再进行计算.二、微积分基本原理
利用定积分对区间的可加性，得
三、定积分的换元法与分部积分法
在计算定积分时，如果利用不定积分的基本公式或第一类换元积分法就可以求得被积函数的原函数，则可直接利用牛顿－莱布尼兹公式求得定积分的解．但是，如果用第二类换元积分法或分部积分法求出定积分中被积函数的原函数之后，再利用牛顿－莱布尼兹公式求定积分，这种方法往往是很麻烦的，本节我们来介绍计算定积分的换元积分法与分部积分法．三、定积分的换元法与分部积分法1.定积分的换元法
这就是定积分的换元公式，因为换元的同时还要换上下限，所以也简称为“换元同时换限”.
考虑：定积分的换元法与不定积分的换元法有什么不同？三、定积分的换元法与分部积分法
于是
三、定积分的换元法与分部积分法【例26】
证明：
从而
注意:例26的结论可以用来简化计算偶函数、奇函数在对称于原点的区间上的定积分.三、定积分的换元法与分部积分法2.定积分的分部积分法