n阶行列式一、排列与逆序定义１若在某个
阶排列
中，有较大的数排在较小的数的前面，则这两个数构成一个逆序．一个
阶排列中逆序的总数称为它的逆序数，记作
．逆序数是奇数的排列称为奇排列；逆序数是偶数的排列称为偶排列．第一章1.2
n阶行列式二、ｎ阶行列式先来研究二阶行列式、三阶行列式的结构：容易看出：（１）二阶行列式表示的代数和的每一项都是取自不同行不同列的两个数的乘积，每一项除符号外可以写成
（这里行标按自然序排列，列标是一个二阶排列）．（２）当列标
取遍所有的二阶排列（12，21）时，就得到二阶行列式的所有的项，共2!＝2项．（３）每一项的符号是：当这一项的行标按自然序排列时，如果对应的列标构成的排列是偶排列则该项取正号，是奇排列则该项取负号．第一章1.2
n阶行列式二、ｎ阶行列式定义2设有
个数
排成
行（横排为行）
列（纵排为列），组成的符号（1）称为
阶行列式．它表示一个算式，这个算式是所有可能取自不同行不同列的
个数的乘积的代数和．每一项的符号是由该项行标排列和列标排列逆序数之和的奇偶性所决定：当其行标按自然序排列（自然序排列的逆序数是０），那么该项的符号就由其相应列标排列的逆序数决定．如果相应的列标构成的排列是偶排列则取正号，是奇排列则取负号．第一章1.3
n阶行列式的性质一、对换定义
在
阶排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，称为对排列的一次对换．将相邻两个元素对换称为相邻对换．例如五阶排列25413中的5与3对换，得到新的五阶排列23415．τ（25413）=6，25413为偶排列，而τ（23415）=3，23415为奇排列．显然经过一次对换就改变了排列的奇偶性．这一结论具有一般性．定理
一个排列中的任意两个元素对换，则排列的奇偶性改变．推论
将奇排列变成自然序排列的对换次数为奇数，将偶排列变成自然序排列的对换次数为
偶数．第一章1.3
n阶行列式的性质二、ｎ阶行列式的性质记称
为
的转置行列式．性质１行列式与它的转置行列式相等，即．性质２互换行列式的任意两行（列），行列式仅改变符号．推
论
行列式中两行（列）对应元素相同，那么这个行列式等于零．第一章1.3
n阶行列式的性质二、ｎ阶行列式的性质性质３行列式中某一行（列）中所有元素都乘同一个数ｋ，等于用数犽乘此行列式．推论１行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．推论２行列式中某一行（列）的所有元素全为零，那么这个行列式等于零．性质４行列式中有两行（列）对应元素成比例，那么这个行列式等于零．性质５若行列式的某一行（列）的各元素是两数之和，则可将行列式写成两个行列
式之和．性质６把行列式的某一行（列）的各元素乘同一个数后加到另一行（列）对应元素上
去，行列式的值不变．第一章1.４行列式按行（列）展开一、余子式和代数余子式定义在
阶行列式中，把
元
所在的第
行第
列元素划去后，留下的元素保持原来相对位置不变组成的
阶行列式称为元素
的余子式，记作
；记
，
称为
的代数余子式．引理一个
阶行列式，如果其中第
行所有元素中除
外，其余元素全为０，则该行列式等于
与其代数余子式的乘积，即
．第一章1.４行列式按行（列）展开二、行列式按行（或列）展开定理定理行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和．即或推论行列式中，任一行（列）的各元素与另一行（列）相应元素的代数余子式的乘积之和等于零．即第一章1.5
克拉默法则二、行列式按行（或列）展开定理下面用
阶行列式来求解含有
个未知量
个方程的线性方程组．设含有
个方程的线性方程组（１）类似于二元、三元线性方程组，它的解可以用狀阶行列式表示，即有克拉默法则，亦称克莱姆法则．第一章1.5
克拉默法则二、行列式按行（或列）展开定理在使用克拉默法则解线性方程组时，要注意有两个条件必须满足：（１）方程个数与未知量个数相等；（２）系数行列式
．当方程组（１）右端的常数项
全为零时，则（２）称为齐次线性方程组，否则称为非齐次线性方程组．第一章1.5
克拉默法则二、行列式按行（或列）展开定理
显然是齐次线性方程组（２）的解，称为齐次线性方程组（２）的零解．如果齐次线性方程组（２）除了零解外，还有不全为零的解，称为齐次线性方程组（２）的非零解．根据克拉默法则，不难得到如下结论．推论１如果齐次线性方程组（２）的系数行列式
，则它只有唯一零解．由此可知，是齐次线性方程组（２）有非零解的必要条件，后面还可以证明这个条件也是充分的．于是有推论２齐次线性方程组（２）有非零解的充要条件为系数行列式
为零．THANKS演示完毕感谢观看延时符线性代数
矩阵第二章矩阵是一个重要的数学工具，不仅仅可以解线性方程组，其理论与方法还贯穿于线性代数的各个方面，且在数学的许多分支都有重要应用．本章将介绍矩阵的概念及其运算、逆矩阵、分块矩阵、矩阵的初等变换及相应的初等矩阵等有关理论．第二章２.1矩阵的概念一、引例引例某物流公司向三个超市配送四种商品，设
表示某物流公司向第
，个超市配送第
种商品的数量，发货方案见表2-1．第二章２.1矩阵的概念二、矩阵的概念定义１由
排成的
行
列的矩形数表，称为
矩阵．矩阵通常用大写黑体英文字母表示，记作（１）也简记为
．其中
称为矩阵的第
列的元素，简称为矩阵
的
元．为标明矩阵的行数
和列数
，矩阵
也记作或．如果矩阵
的元素是实数，则称
是实矩阵；如果矩阵
的元素是复数，则称
是复矩阵．第二章２.1矩阵的概念二、矩阵的概念元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作
或
．如果矩阵
只有一行，即
，则称为行矩阵，或称行向量．同样，如果矩阵只有一列，即，则称为列矩阵，或称列向量．第二章２.1矩阵的概念二、矩阵的概念若矩阵A、B，对应的行数相等，列数也相等，则称它们为同型矩阵。定义２若矩阵和矩阵为同型矩阵，且对应的元素相等，即，则称矩阵A与矩阵B相等，记作．注意矩阵和行列式是不同的两个概念，不要混淆了它们的实质及表现形式．第二章２.2矩阵的运算一、矩阵的加法和数与矩阵的乘积（简称数乘）１．矩阵的加（减）法定义１设矩阵，，则由它们的对应元素相加，所得到的矩阵，称为矩阵A与矩阵B的和，记作，即注意只有当两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加法运算．第二章２.2矩阵的运算一、矩阵的加法和数与矩阵的乘积（简称数乘）１．矩阵的加（减）法定义２设矩阵，则定义矩阵犃的负矩阵为，即只需把矩阵犃的每个元素改变符号即可．于是矩阵的减法也可以看作矩阵加法的逆运算．，即矩阵减矩阵可以看作矩阵加上矩阵的负矩阵．第二章２.2矩阵的运算一、矩阵的加法和数与矩阵的乘积（简称数乘）１．矩阵的加（减）法矩阵的加法运算满足下列运算规律：设
都是同型矩阵，则有（１）交换律
；（２）结合律
；（３）
（其中
与
为同型矩阵）；（４）
．第二章２.2矩阵的运算一、矩阵的加法和数与矩阵的乘积（简称数乘）２．数与矩阵相乘定义３设
矩阵，以数乘矩阵的每一个元素所得到的矩阵，称为数乘矩阵，记作，即第二章２.2矩阵的运算二、矩阵的乘法定义４设矩阵，矩阵，定义与的乘积是一个矩阵，且的第行第列元素
第二章２.4分块矩阵三、分块矩阵与线性方程组利用矩阵的乘法，此方程组可记为．（２）系数矩阵是矩阵，若按行分为块，每一行称为矩阵的行向量．若第行记作
，则矩阵可记为
记，则（3）式可写为向量方程．（4）第三章３.3线性方程组解的结构二、非齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组的解与其导出组的解有如下关系：性质３设及是非齐次线性方程组（4）的任意两个解，则是其导出组的解．证由，说明是其导出组的解．性质４设是非齐次线性方程组（4）的解，而是其导出组的解，则仍是非齐次线性方程组（4）的解．证由，说明是非齐次线性方程组（4）的解．第三章３.3线性方程组解的结构二、非齐次线性方程组解的结构定理２若是非齐次线性方程组（4）的一个解，是其导出组的全部解，则是非齐次线性方程组（4）的全部解．THANKS演示完毕感谢观看线性代数
矩阵的特征值与特征向量第四章本章主要讨论方阵的特征值与特征向量、方阵的相似对角化等问题，然后介绍向量空间、基与维数，以及向量的内积、长度及正交等知识．第四章4.1方阵的特征值与特征向量一、特征值与特征向量定义１设是阶矩阵，如果存在数和维非零列向量，使得（1）成立，则称数是方阵的特征值，称非零向量为的对应于特征值的特征向量．（１）式也可以写为．（2）定义２设是阶矩阵，则含有的矩阵称为的特征矩阵．行列式是的次多项式，记作，称为方阵的特征多项式．方程称为方阵的特征方程．显然，特征方程的根（特征根）就是的特征值．第四章4.1方阵的特征值与特征向量二、特征值和特征向量的简单性质定理１阶矩阵与其转置矩阵有相同的特征值．定理２阶矩阵可逆的充分必要条件是其任一特征值不等于零．定理３设是方阵的个特征值，依次是与之对应的特征向量，如果各不相等，则线性无关．即的不同特征值对应的特征向量线性无关．第四章4.2
n维向量空间一、向量空间与子空间第四章4.2
n维向量空间一、向量空间与子空间定义２设有向量空间，若，则称是维向量空间的子空间．任何由维向量空间所组成的向量空间，都是的子空间．例１本身是维向量空间的子空间；只有一个零向量构成的空间也是维向量空间的子空间．定义３设为向量空间，如果向量组满足：（i）线性无关；（ii）中任一向量都可由线性表出．则称向量组为向量空间的一个基（或一组基），一个基中向量的个数称为向量空间的维数，并称为维向量空间．第四章4.2
n维向量空间二、向量的内积定义４设有维向量
，称为向量与的内积．定义５设维向量，则称为维向量的长度．第四章4.2
n维向量空间二、向量的内积定义６设，是两个非零的维向量，则定义，之间夹角的余弦为
．因此夹角为．第四章4.2
n维向量空间三、向量正交定义７若中两个非零向量，之间的夹角等于90°(即)，则称与正交（或垂直），记作．零向量与任何向量都正交．定理１中两个非零向量，正交的充分必要条件是它们的内积等于零．定理２设是一组两两正交的维非零向量，则线性无关．定义８设维向量是向量空间的一个基，如果两两相交，且都是单位矩阵，则称是的一个规范正交基．第四章4.2
n维向量空间四、正交矩阵定义９如果阶矩阵满足，则称为正交矩阵，简称正交阵．第四章4.3
相似矩阵与矩阵的对角化一、相似矩阵定义１设，都是阶矩阵，若有可逆矩阵，使，则称矩阵与相似，记作，或称是的相似矩阵．对进行运算，称为对进行相似变换，可逆矩阵称为把变成的相似变换矩阵．定理１若阶矩阵与相似，则与的特征多项式相同，从而与的特征值亦相同．推论若阶矩阵与对角阵相似，则是的个特征值．第四章4.3
相似矩阵与矩阵的对角化一、相似矩阵定理２阶矩阵相似于对角阵（即矩阵可对角化）的充分必要条件是矩阵有个线性无关的特征向量．推论若阶矩阵有个不同的特征值，则矩阵与对角阵相似．证设有个不同的特征值，对应的特征向量．根据§4.1定理3，向量组线性无关，所以由定理2可知，与对角阵相似，其中第四章4.3
相似矩阵与矩阵的对角化二、对称矩阵的对角化定理３对称矩阵的特征值为实数．定理４设，是对称矩阵的两个特征值，，是对应的特征向量，若，则与正交．定理５设为阶对称矩阵，则必有正交矩阵，使