1、面积表示为定积分的步骤如下（1）把区间）把区间,ba分成分成n个长度为个长度为ix的小区间，的小区间，相应的曲边梯形被分为相应的曲边梯形被分为n个小窄曲边梯形，第个小窄曲边梯形，第i小窄曲边梯形的面积为小窄曲边梯形的面积为iA，则，则niiAA1.（2）计算）计算iA的近似值的近似值iiixfA)(iix（3）求和，得A的近似值.)(1iinixfA第1页/共116页abxyo)(xfy（4）求极限，得A的精确值iinixfA)(lim10badxxf)(提示提示若用若用A表示任一小区间表示任一小区间,xxx上的窄曲边梯形的面积，上的窄曲边梯形的面积，则
2、则AA，并取，并取dxxfA)(，于是于是dxxfA)(dxxfA)(lim.)(badxxfxdxxdA面积元素第2页/共116页当所求量当所求量U符合下列条件：符合下列条件：（1）U是是与与一一个个变变量量x的的变变化化区区间间ba,有有关关的的量量；（2）U对于区间对于区间ba,具有可加性，就是说，具有可加性，就是说，如果把区间如果把区间ba,分成许多部分区间，则分成许多部分区间，则U相相应地分成许多部分量，而应地分成许多部分量，而U等于所有部分量之等于所有部分量之和；和；（3）部分量）部分量iU的近似值可表示为的近似值可表示为iixf)(；就可以考虑用定积分来表
3、达这个量就可以考虑用定积分来表达这个量U第3页/共116页元素法的一般步骤：1）根根据据问问题题的的具具体体情情况况，选选取取一一个个变变量量例例如如x为为积积分分变变量量，并并确确定定它它的的变变化化区区间间,ba；2）设设想想把把区区间间,ba分分成成n个个小小区区间间，取取其其中中任任一一小小区区间间并并记记为为,dxxx，求求出出相相应应于于这这小小区区间间的的部部分分量量U的的近近似似值值.如如果果U能能近近似似地地表表示示为为,ba上上的的一一个个连连续续函函数数在在x处处的的值值)(xf与与dx的的乘乘积积，就就把把dxxf)(称称为为量量U的的元元素素且且记记作作dU，即
4、即dxxfdU)(；第4页/共116页3）以以所所求求量量U的的元元素素dxxf)(为为被被积积表表达达式式，在在区区间间,ba上上作作定定积积分分，得得badxxfU)(，即即为为所所求求量量U的的积积分分表表达达式式.这个方法通常叫做这个方法通常叫做元素法元素法应用方向：应用方向：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等第5页/共116页元素法的提出、思想、步骤.（注意微元法的本质）（注意微元法的本质）二、小结第6页/共116页思考题思考题微元法的实质是什么？第7页/共116页思考题解答思考题解答微元法的实质仍是“和式”的极限.第8页/共116页xyo)(xfy
5、abxyo)(1xfy)(2xfyab曲边梯形的面积badxxfA)(曲边梯形的面积badxxfxfA)()(12一、直角坐标系情形xxxxx第9页/共116页例例11计计算算由由两两条条抛抛物物线线xy2和和2xy所所围围成成的的图图形形的的面面积积.解解两曲线的交点)1,1()0,0(面积元素dxxxdA)(2选为积分变量x1,0xdxxxA)(21010333223xx.312xy2yx第10页/共116页例例22计计算算由由曲曲线线xxy63和和2xy所所围围成成的的图图形形的的面面积积.解解两曲线的交点).9,3(),
6、4,2(),0,0(236xyxxy选为积分变量x3,2x,0,2)1(xdxxxxdA)6(231,3,0)2(xdxxxxdA)6(3222xyxxy63第11页/共116页于是所求面积21AAAdxxxxA)6(2023dxxxx)6(3230.12253说明：注意各积分区间上被积函数的形式说明：注意各积分区间上被积函数的形式问题：问题：积分变量只能选吗？x第12页/共116页例例33计计算算由由曲曲线线xy22和和直直线线4xy所所围围成成的的图图形形的的面面积积.解解两曲线的交点).4,8(),2,2(422xyxy选为
7、积分变量y4,2ydyyydA242.1842dAAxy224xy第13页/共116页如果曲边梯形的曲边为参数方程)()(tytx曲边梯形的面积.)()(21ttdtttA（其其中中1t和和2t对对应应曲曲线线起起点点与与终终点点的的参参数数值值）在在1t,2t（或（或2t,1t）上）上)(tx具有连续导数，具有连续导数，)(ty连续连续.第14页/共116页例例44求椭圆求椭圆12222byax的面积的面积.解解椭圆的参数方程tbytaxsincos由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积aydxA0402)cos(sin4tatdbdttab202s
8、in4.ab第15页/共116页设由曲线设由曲线)(r及射线及射线、围成一曲边扇围成一曲边扇形，求其面积这里，形，求其面积这里，)(在在,上连续，且上连续，且0)(xodd面积元素ddA2)(21曲边扇形的面积.)(212dA二、极坐标系情形)(r第16页/共116页例例55求求双双纽纽线线2cos22a所所围围平平面面图图形形的的面面积积.解解由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积14AAdaA2cos214402.2axy2cos22a1A第17页/共116页例例66求心形线求心形线)cos1(ar所围平面图形的所围平面图形的面积
9、面积)0(a.解解dadA22)cos1(21利用对称性知.232add2)cos1(02212aAd)coscos21(202a2sin41sin2232a0第18页/共116页求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积.（注意恰当的选择积分变量有助于简化积分运算）三、小结第19页/共116页思考题思考题设曲线设曲线)(xfy过原点及点过原点及点)3,2(，且，且)(xf为单调函数，并具有连续导数，今在曲线上任为单调函数，并具有连续导数，今在曲线上任取一点作两坐标轴的平行线，其中一条平行线取一点作两坐标轴的平行线，其中一条平行线与与x轴和曲线轴和曲
10、线)(xfy围成的面积是另一条平围成的面积是另一条平行线与行线与y轴和曲线轴和曲线)(xfy围成的面积的两围成的面积的两倍，求曲线方程倍，求曲线方程.第20页/共116页思考题解答思考题解答1S2Sxyo)(xfy),(yx122SSxdxxfS02)(xdxxfxySxyS021)()(2)(00xxdxxfxydxxf,2)(30xydxxfx两边同时对求导x第21页/共116页yxyxf22)(3yyx2积分得,2cxy因因为为曲曲线线)(xfy过过点点)3,2(29c,292xy因因为为)(xf为为单单调调函函数数所以所求曲线为.223xy第22页
11、/共116页一、一、填空题：填空题：11、由曲线由曲线eyeyx,及及y轴所围成平面区域的面积轴所围成平面区域的面积是是_..22、由曲线由曲线23xy及直线及直线xy2所围成平面区域的所围成平面区域的面积是面积是_._.33、由曲线由曲线1,1,1,12xxyxxy所围成所围成平面区域的面积是平面区域的面积是_._.44、计算计算xy22与与4xy所围的区域面积时，选用所围的区域面积时，选用_作变量较为简捷作变量较为简捷..55、由曲线由曲线xxeyey,与直线与直线1x所围成平面区所围成平面区域的面积是域的面积是__..练练习
12、习题题第23页/共116页66曲曲线线2xy与与它它两两条条相相互互垂垂直直的的切切线线所所围围成成平平面面图图形形的的面面积积S，其其中中一一条条切切线线与与曲曲线线相相切切于于点点),(2aaA，0a，则则当当a___时时，面面积积S最最小小..二、二、求由下列各曲线所围成的图形的面积：求由下列各曲线所围成的图形的面积：11、xy1与直线与直线xy及及2x；22、y2x与直线与直线xy及及xy2；33、)cos2(2ar；44、摆线、摆线)cos1(,)sin(tayttax)20(t及及x轴；轴；55、cos3r及及cos1
13、r的公共部分；的公共部分；66、笛卡尔叶形线、笛卡尔叶形线axyyx333..第24页/共116页三、三、求抛物线求抛物线342xxy及其在点及其在点)3,0(和和)0,3(处的切线所围成的图形的面积处的切线所围成的图形的面积..四、四、求位于曲线求位于曲线xey下方，该曲线过原点的切线的下方，该曲线过原点的切线的左方以左方以轴轴及及x上方之间的图形的面积上方之间的图形的面积..五、五、求由抛物线求由抛物线axy42与过焦点的弦所围成的图形与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值面积的最小值..第25页/共116页一、一、11、11；22、332；33
14、、22；44、y；55、21ee；66、21..二、二、11、2ln23；22、67；33、2a；44、23a；55、45；66、223a..三、三、49..四、四、2e..五、五、238a..练习题答案练习题答案第26页/共116页旋转体旋转体就是由一个平面图形饶这平面内就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆锥圆台一、旋转体的体积第27页/共116页一一般般地地，如如果果旋旋转转体体是是由由连连续续曲曲线线)(xfy、直直线线ax、bx及及x轴
15、轴所所围围成成的的曲曲边边梯梯形形绕绕x轴轴旋旋转转一一周周而而成成的的立立体体，体体积积为为多多少少？取取积积分分变变量量为为x，,bax在在,ba上任取小区上任取小区间间,dxxx，取取以以dx为为底底的的窄窄边边梯梯形形绕绕x轴轴旋旋转转而而成成的的薄薄片片的的体体积积为为体体积积元元素素，dxxfdV2)(xdxxxyo旋转体的体积为dxxfVba2)()(xfy第28页/共116页y例例11连接坐标原点连接坐标原点O及点及点),(rhP的直线、直线的直线、直线hx及及x轴围成一个直角三角形将它绕轴围成一个直角三角形将它绕x轴旋轴旋转构成一个底半径为转构成一个底半径
16、为r、高为、高为h的圆锥体，计算的圆锥体，计算圆锥体的体积圆锥体的体积r解解hPxhry取取积积分分变变量量为为x，,0hx在在,0h上任取小区间上任取小区间,dxxx，xo直线方程为OP第29页/共116页以以dx为为底底的的窄窄边边梯梯形形绕绕x轴轴旋旋转转而而成成的的薄薄片片的的体体积积为为dxxhrdV2圆圆锥锥体体的的体体积积dxxhrVh20hxhr03223.32hryrhPxo第30页/共116页aaoyx例例22求求星星形形线线323232ayx)0(a绕绕x轴轴旋旋转转构构成成旋旋转转体体的的体体积积.解解,323232xay332322
17、xay,aax旋转体的体积旋转体的体积dxxaVaa33232.105323a第31页/共116页类类似似地地，如如果果旋旋转转体体是是由由连连续续曲曲线线)(yx、直直线线cy、dy及及y轴轴所所围围成成的的曲曲边边梯梯形形绕绕y轴轴旋旋转转一一周周而而成成的的立立体体，体体积积为为xyo)(yxcddyy2)(dcV第32页/共116页例例33求摆线求摆线)sin(ttax，)cos1(tay的一拱与的一拱与0y所围成的图形分别绕所围成的图形分别绕x轴、轴、y轴轴旋转构成旋转体的体积旋转构成旋转体的体积.解解绕绕x轴轴旋旋转转的的旋旋转转体体体体积积dxxyV
18、ax)(2202022)cos1()cos1(dttata20323)coscos3cos31(dtttta.532aa2a)(xy第33页/共116页绕绕y轴旋转的旋转体体积轴旋转的旋转体体积可可看看作作平平面面图图OABC与与OBC分分别别绕绕y轴轴旋旋转转构构成成旋旋转转体体的的体体积积之之差差.dtyxVay)(2202dtyxa)(2201oyxa2ABCa2)(2yxx)(1yxx222sin)sin(tdtatta022sin)sin(tdtatta2023sin)sin(tdttta.633a第34页/共116页补充补充如果旋转体是由连续曲线如果旋转
19、体是由连续曲线)(xfy、直线直线ax、bx及及x轴所围成的曲边梯形绕轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的立体，体积为轴旋转一周而成的立体，体积为dxxfxVbay|)(|2利用这个公式，可知上例中dxxfxVay|)(|22020)sin()cos1()sin(2ttadtatta2023)cos1)(sin(2dtttta.633a第35页/共116页例例44求由曲线求由曲线24xy及及0y所围成的图形所围成的图形绕直线绕直线3x旋转构成旋转体的体积旋转构成旋转体的体积.解解取取积积分分变变量量为为y,4,0y体积元素为dyQMPMdV22dyyy)
20、43()43(22,412dyydyyV40412.643dyPQM第36页/共116页xoab二、平行截面面积为已知的立体的体积二、平行截面面积为已知的立体的体积xdxx如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.)(xA表表示示过过点点x且且垂垂直直于于x轴轴的的截截面面面面积积，)(xA为为x的的已已知知连连续续函函数数,)(dxxAdV.)(badxxAV立体体积第37页/共116页例例55一一平平面面经经过过半半径径为为R的的圆圆柱柱体体的的底底圆圆中中心心，并并与与底底面面交交成成角角，计计算算这
21、这平平面面截截圆圆柱柱体体所所得得立立体体的的体体积积.RRxyo解解取坐标系如图底圆方程为222Ryx垂直于垂直于x轴的截面为直角三角形轴的截面为直角三角形x截面面积,tan)(21)(22xRxA立体体积dxxRVRRtan)(2122.tan323R第38页/共116页例例66求求以以半半径径为为R的的圆圆为为底底、平平行行且且等等于于底底圆圆半半径径的的线线段段为为顶顶、高高为为h的的正正劈劈锥锥体体的的体体积积.解解取坐标系如图底圆方程为,222RyxxyoRx垂直于垂直于x轴的截面为等腰三角形轴的截面为等腰三角形截面面积22)(xRhyhxA立体体积dx
22、xRhVRR22.212hR第39页/共116页旋转体的体积平行截面面积为已知的立体的体积绕轴旋转一周x绕轴旋转一周y绕非轴直线旋转一周三、小结第40页/共116页思考题思考题求求曲曲线线4xy，1y，0x所所围围成成的的图图形形绕绕y轴轴旋旋转转构构成成旋旋转转体体的的体体积积.第41页/共116页思考题解答思考题解答xyo14yxy交点),1,4(立体体积dyxVy12dyy1216116y.161y第42页/共116页一、一、填空题：填空题：11、连续曲线连续曲线,)(xfy直线直线ax，bx轴轴及及x所所围图形围图形轴轴绕绕x旋转一
23、周而成的立体的体积旋转一周而成的立体的体积v_，轴轴绕绕y旋转一周而成的立体的旋转一周而成的立体的体体v积积_；22、badxxfv)(常用来表示常用来表示_立立体的体积；体的体积；33、抛物线抛物线axy42及直线及直线)0(00xxx所围成的图所围成的图形形轴轴绕绕x旋转而成的立体的体积旋转而成的立体的体积_；44、0,0,coshyaxxaxay所围成的图所围成的图x形绕形绕轴旋转而成的立体的轴旋转而成的立体的v体积体积_；练练习习题题第43页/共116页二、二、有一铁铸件，它是由抛物线有一铁铸件，它是由抛物线、2101xy11012
24、xy与直线与直线10y围成的图形，围成的图形，轴轴绕绕y旋旋转而成的旋转体，算出它的质量转而成的旋转体，算出它的质量（长度单位是厘（长度单位是厘米，铁的密度是米，铁的密度是38.7厘厘米米克克）..三、三、把星形线把星形线323232ayx轴轴绕绕x旋转，计算所得旋转旋转，计算所得旋转体的体积体的体积..四、四、求摆线求摆线)sin(ttax，)cos1(tay的一拱，的一拱，0y，绕直线，绕直线ay2旋转所成旋转体的体积旋转所成旋转体的体积..第44页/共116页五、五、求求222ayx绕绕)0(abbx旋转所成旋转旋转所成旋转体的体积体的体积..
25、六、六、设有一截锥体，其上，下底均为椭圆，椭圆的轴设有一截锥体，其上，下底均为椭圆，椭圆的轴长分别为长分别为和和BA2,2ba2,2,,h高为高为，求这截锥体，求这截锥体的体积的体积..七、七、设直线设直线baxy与直线与直线0x，1x及及0y所围所围成梯形面积等于成梯形面积等于A，试求，试求ba,使这个梯形使这个梯形轴轴绕绕y旋转所得体积最小旋转所得体积最小..第45页/共116页一、一、11、badxxf)(2,,badxxxf)(2；22、已知平行截面面积的；、已知平行截面面积的；33、202ax；44、2243sha..二、二、(
26、(克克).).三、三、310532a..四、四、327a..五、五、ba222..六、六、)(261bAaBABabh..七、七、Aba,0..练习题答案练习题答案第46页/共116页xoy0MAnMB1M2M1nM设设A、B是是曲曲线线弧弧上上的的两两个个端端点点，在在弧弧上上插插入入分分点点BMMMMMAnni,110并依次连接相邻分点得一内接折线，当分点的数目并依次连接相邻分点得一内接折线，当分点的数目无限增加且每个小弧段都缩向一点时，无限增加且每个小弧段都缩向一点时，此折线的长此折线的长|11niiiMM的极限存在，则称此极限为的极限存在，则
27、称此极限为曲线弧曲线弧AB的弧长的弧长.一、平面曲线弧长的概念第47页/共116页设设曲曲线线弧弧为为)(xfy)(bxa，其其中中)(xf在在,ba上上有有一一阶阶连连续续导导数数xoyabxdxx取取积积分分变变量量为为x，在在,ba上上任任取取小小区区间间,dxxx，以对应小切线段的长代替小弧段的长以对应小切线段的长代替小弧段的长dy小小切切线线段段的的长长22)()(dydxdxy21弧长元素dxyds21弧长.12dxysba二、直角坐标情形第48页/共116页例例11计计算算曲曲线线2332xy上上相相应应于于x从从a到到b的的一一段段弧弧的的长长度度.
28、解解,21xydxxds2)(121,1dxx所求弧长为dxxsba1.)1()1(322323abab第49页/共116页例例22计计算算曲曲线线dnynx0sin的的弧弧长长)0(nx.解解nnxny1sin,sinnxdxysba21dxnxn0sin1ntxndtt0sin1dtttttn0222cos2sin22cos2sindtttn02cos2sin.4n第50页/共116页曲线弧为,)()(tytx)(t其其中中)(),(tt在在,上上具具有有连连续续导导数数.22)()(dydxds222)()(dtttdttt)()(2
29、2弧长.)()(22dttts三、参数方程情形第51页/共116页例例33求求星星形形线线323232ayx)0(a的的全全长长.解解星形线的参数方程为taytax33sincos)20(t根据对称性14ssdtyx20224dttta20cossin34.6a第52页/共116页例例44证证明明正正弦弦线线xaysin)20(x的的弧弧长长等等于于椭椭圆圆taytxsin1cos2)20(t的的周周长长.证证设正弦线的弧长等于设正弦线的弧长等于1sdxys20211dxxa2022cos1设椭圆的周长为设椭圆的周长为2s,cos12022dxx
30、a第53页/共116页,20222dtyxs根据椭圆的对称性知dttats02222cos1sin2dxxa022cos12,1s故原结论成立.dtta022cos12第54页/共116页曲线弧为)()(rr其中其中)(在在,上具有连续导数上具有连续导数.sin)(cos)(ryrx)(22)()(dydxds,)()(22drr弧长.)()(22drrs四、极坐标情形第55页/共116页例例55求求极极坐坐标标系系下下曲曲线线33sinar的的长长..)0(a解解drrs)()(22313cos3sin32ar,3cos3sin2a
31、.23adaa242623cos3sin3sin30d23sin30a0()3第56页/共116页例例66求求阿阿基基米米德德螺螺线线ar)0(a上上相相应应于于从从0到到2的的弧弧长长.解解,ardrrs)()(22.)412ln(412222a20daa22220ad12第57页/共116页平面曲线弧长的概念直角坐标系下参数方程情形下极坐标系下弧微分的概念求弧长的公式五、小结第58页/共116页思考题思考题闭区间闭区间,ba上的连续曲线上的连续曲线)(xfy是否一定可求长？是否一定可求长？第59页/共116页思考题解答思考题解答不一定仅仅
32、有曲线连续还不够，必须保证曲线光滑才可求长第60页/共116页一、一、填空题：填空题：11、曲线曲线xyln上相应于上相应于83x的一段弧长为的一段弧长为_；22、渐伸线渐伸线)sin(costttax，)cos(sintttay上相应于上相应于变到变到从从0t的一段弧长为的一段弧长为_；33、曲线曲线1r自自43至至34一段弧长为一段弧长为_..二、二、计算半立方抛物线计算半立方抛物线32)1(32xy被抛物线被抛物线32xy截得的一段弧的长度截得的一段弧的长度..三、三、计算星形线计算星形线tax3cos，tay3sin
33、的全长的全长..练练习习题题第61页/共116页四四、求求心心形形线线)cos1(ar的的全全长长..五五、证证明明：曲曲线线xysin)20(x的的弧弧长长等等于于椭椭圆圆2222yx的的周周长长..六六、在在摆摆线线),sin(ttax)cos1(tay上上求求分分摆摆线线第第一一拱拱成成3:1的的点点的的坐坐标标..第62页/共116页练习题答案练习题答案一、一、11、23ln211；22、22a；33、23ln125..二、二、1)25(9823..三、三、a6..四、四、a8..六、六、)23,)2332(aa
34、..第63页/共116页由物理学知道，如果物体在作直线运动的由物理学知道，如果物体在作直线运动的过程中有一个不变的力过程中有一个不变的力F作用在这物体上，且作用在这物体上，且这力的方向与物体的运动方向一致，那么，在这力的方向与物体的运动方向一致，那么，在物体移动了距离物体移动了距离s时，力时，力F对物体所作的功为对物体所作的功为sFW.如如果果物物体体在在运运动动的的过过程程中中所所受受的的力力是是变变化化的的，就就不不能能直直接接使使用用此此公公式式，而而采采用用“微微元元法法”思思想想.一、变力沿直线所作的功第64页/共116页例例11把把一一个个带带q电电量量的的点点电
35、电荷荷放放在在r轴轴上上坐坐标标原原点点处处，它它产产生生一一个个电电场场这这个个电电场场对对周周围围的的电电荷荷有有作作用用力力由由物物理理学学知知道道，如如果果一一个个单单位位正正电电荷荷放放在在这这个个电电场场中中距距离离原原点点为为r的的地地方方，那那么么电电场场对对它它的的作作用用力力的的大大小小为为2rqkF（k是是常常数数），当当这这个个单单位位正正电电荷荷在在电电场场中中从从ar处处沿沿r轴轴移移动动到到br处处时时，计计算算电电场场力力F对对它它所所作作的的功功第65页/共116页解解取取r为为积积分分变变量量，roqab1r,bar
36、drr取任一小区间取任一小区间,drrr,功元素,2drrkqdw所求功为drrkqwba2barkq1.11bakq如果要考虑将单位电荷移到无穷远处drrkqwa2arkq1.akq第66页/共116页点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停例例22一圆柱形蓄水池一圆柱形蓄水池高为高为5米，底半径为米，底半径为3米，池内盛满了水米，池内盛满了水.问要把池内的水全部问要把池内的水全部吸出，需作多少功？吸出，需作多少功？解解建立坐标系如图xoxdxx取取x为积分变量，为积分变量，5,0x5取取任任一一小小区区间间,dxxx,第67页/共116页xoxdx
37、x5这一薄层水的重力为dx238.9功元素为,2.88dxxdwdxxw2.885050222.88x3462(千焦)第68页/共116页解解设木板对铁钉的阻力为,)(kxxf第一次锤击时所作的功为101)(dxxfw,2k.)(0hhdxxfw例例33用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击入1厘米，若每次锤击所作的功相等，问第次锤击时又将铁钉击入多少？n设次击入的总深度为厘米hn次锤击所作的总功为n第69页/共116页hhkxdxw0,22kh依题意知，每次锤击所作的功相等1nwwh22kh
38、,2kn,nh.1nn次击入的总深度为n第次击入的深度为n第70页/共116页由物理学知道，在水深为由物理学知道，在水深为h处的压强为处的压强为hp，这里，这里是水的比重如果有一面积为是水的比重如果有一面积为A的平板水平地放置在水深为的平板水平地放置在水深为h处，那么，平板一处，那么，平板一侧所受的水压力为侧所受的水压力为ApP如如果果平平板板垂垂直直放放置置在在水水中中，由由于于水水深深不不同同的的点点处处压压强强p不不相相等等，平平板板一一侧侧所所受受的的水水压压力力就就不不能能直直接接使使用用此此公公式式，而而采采用用“微微元元法法”思思想想二、水压力第71页/共116
39、页例例44一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水，一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水，设桶的底半径为设桶的底半径为R，水的比重为，水的比重为，计算桶的一端面，计算桶的一端面上所受的压力上所受的压力解解在端面建立坐标系如图xo取取x为积分变量，为积分变量，,0Rx取取任任一一小小区区间间,dxxxxdxx小矩形片上各处的压强近小矩形片上各处的压强近似相等似相等小小矩矩形形片片的的面面积积为为.222dxxR,xp第72页/共116页小小矩矩形形片片的的压压力力元元素素为为dxxRxdP222端面上所受的压力端面上所受的压力dxxRxPR2202)(22022xRdx
40、RRRxR032232.323R第73页/共116页例例55将直角边各为将直角边各为a及及a2的直角三角形薄板的直角三角形薄板垂直地浸人水中，斜边朝下，直角边的边长与水垂直地浸人水中，斜边朝下，直角边的边长与水面平行，且该边到水面的距离恰等于该边的边面平行，且该边到水面的距离恰等于该边的边长，求薄板所受的侧压力长，求薄板所受的侧压力解解建立坐标系如图xoa2a2a面积微元,)(2dxxadxxaaxdP1)(2)2(dxxaaxPa)(2(20.373a第74页/共116页由物理学知道，质量分别为由物理学知道，质量分别为21,mm相距为相距为r的两个质点间的引力的大
41、小为的两个质点间的引力的大小为221rmmkF，其中其中k为引力系数，引力的方向沿着两质点的为引力系数，引力的方向沿着两质点的连线方向连线方向如果要计算一根细棒对一个质点的引力，如果要计算一根细棒对一个质点的引力，那么，由于细棒上各点与该质点的距离是变化那么，由于细棒上各点与该质点的距离是变化的，且各点对该质点的引力方向也是变化的，的，且各点对该质点的引力方向也是变化的，就不能用此公式计算就不能用此公式计算三、引力第75页/共116页例例66有一长度为有一长度为l、线密度为、线密度为的均匀细棒，的均匀细棒，在其中垂线上距棒在其中垂线上距棒a单位处有一质量为单位处有一质量为m的质点的
43、6页思考题思考题一球完全浸没水中，问该球面所受的总压力与球浸没的深度有无关系？它所受的总压力与它在水中受到的浮力有何关系？第79页/共116页思考题解答思考题解答该球面所受的总压力方向向上（下半球面所受的压力大于上半球面），其值为该球排开水的重量，即球的体积，也就是它在水中受到的浮力因此该球面所受的总压力与球浸没的深度无关第80页/共116页一、一、直径为直径为20厘米，高为厘米，高为80厘米的圆柱体内充满压强厘米的圆柱体内充满压强为为310厘米厘米牛牛的蒸汽，设温度保持不变，要使蒸汽的蒸汽，设温度保持不变，要使蒸汽体积缩小一半，问需要作多少功？体积缩小一半，问需要作多少功？二、二、一
44、物体按规律一物体按规律3tcx作直线运动，媒质的阻力与作直线运动，媒质的阻力与速度的平方成正比，计算物体由速度的平方成正比，计算物体由0x移至移至ax时，克服媒质阻力所作的功时，克服媒质阻力所作的功..三、三、有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长610米和米和米，高为米，高为20米，较长的底边与水面相齐米，较长的底边与水面相齐..计算闸门计算闸门的一侧所受的水压力的一侧所受的水压力..练练习习题题第81页/共116页四、四、半径为半径为的球沉的球沉r入水中，球的上部与水面相切，入水中，球的上部与水面相切，球的比重与水相同，现将球从水中取
45、出，需要作球的比重与水相同，现将球从水中取出，需要作多少功？多少功？五、五、一块一块a高为高为，b底为底为的等腰三角形薄板，垂直地的等腰三角形薄板，垂直地沉没在水中，顶在下，底与水面相齐，试计算薄沉没在水中，顶在下，底与水面相齐，试计算薄板每面所受的压力板每面所受的压力..六、六、设有一半设有一半R径径为为，中心，中心角为角为的圆弧形细棒，其的圆弧形细棒，其线密度为线密度为常数常数，在圆心处有一质，在圆心处有一质的的量为量为m质点质点M，试求这细棒对质，试求这细棒对质M点点的引力的引力..第82页/共116页七、七、油类通过直油管时，中间流速大，越靠近管壁流油类通过直油管
46、时，中间流速大，越靠近管壁流速越小，实验测定，某处的流速越小，实验测定，某处的流与与速速v流处到管子流处到管子中心的距中心的距之间之间离离r有关系式有关系式)(22rakv,,其中其中为比例为比例k常数，常数，为油管为油管a半径半径..求通过油管的流求通过油管的流量量（注：当流速为常量时，流量（注：当流速为常量时，流量==流速流速截面积）截面积）..第83页/共116页一一、2ln800((焦焦耳耳))..二二、3732725akc((其其为为中中k比比例例常常数数))..三三、1144337733((千千牛牛))..
47、四四、gr434..五五、ba261..六六、引引力力的的大大小小为为2sin2Rkm,,方方向向指指为为M向向圆圆弧弧的的中中心心..七七、42ak..练习题答案练习题答案第六章习题课第六章习题课第84页/共116页微微元元法法理理论论依依据据名称释译名称释译所求量所求量的特点的特点解解题题步步骤骤定积分应用中的常用公式定积分应用中的常用公式一、主要内容一、主要内容第85页/共116页11、理论依据、理论依据.)1()2()(,)()(,)()1()()(,)(定积分定积分的微分的的微分的分就是分就是这表明连续函数的定积这表明连续函数的
48、定积于是于是即即的一个原函数的一个原函数是是则它的变上限积分则它的变上限积分上连续上连续在在设设UdUdxxfdxxfxdUxfdttfxUbaxfbabaxa第86页/共116页22、名称释译、名称释译.)()(:)()(,)2(方法称微元法方法称微元法计算积分或原函数的计算积分或原函数的这种取微元这种取微元积分积分的无限积累的无限积累到到从从就是其微分就是其微分所求总量所求总量知知由理论依据由理论依据dxxfdxxfUbadxxfdUAba第87页/共116页（1）U是是与与一一个个变变量量x的的变变化化区区间间ba,有有关关的的量量；（2）U对于区间对于区间ba,具有可加性，就
49、是说，具有可加性，就是说，如果把区间如果把区间ba,分成许多部分区间，则分成许多部分区间，则U相相应地分成许多部分量，而应地分成许多部分量，而U等于所有部分量之等于所有部分量之和；和；（3）部分量）部分量iU的近似值可表示为的近似值可表示为iixf)(；就可以考虑用定积分来表达这个量就可以考虑用定积分来表达这个量U.33、所求量的特点、所求量的特点第88页/共116页1)根据问题的具体情况，选取一个变量例如根据问题的具体情况，选取一个变量例如x为为积分变量，并确定它的变化区间积分变量，并确定它的变化区间,ba；2）设想把区间）设想把区间,ba分成分成n个小区间，取其中任个小区间，取其
50、中任一小区间并记为一小区间并记为,dxxx，求出相应于这小区，求出相应于这小区间的部分量间的部分量U的近似值如果的近似值如果U能近似地表能近似地表示为示为,ba上的一个连续函数在上的一个连续函数在x处的值处的值)(xf与与dx的乘积，就把的乘积，就把dxxf)(称为量称为量U的元素且记作的元素且记作dU，即，即dxxfdU)(；3）以以所所求求量量U的的元元素素dxxf)(为为被被积积表表达达式式，在在区区间间,ba上上作作定定积积分分，得得badxxfU)(，即即为为所所求求量量U44、解题步骤、解题步骤第89页/共116页55、定积分应用的常用公式、定积分应用的常用公式(1)
51、平面图形的面积xyo)(xfybadxxfA)(xyo)(1xfy)(2xfybadxxfxfA)()(12AA直角坐标情形abab第90页/共116页如果曲边梯形的曲边为参数方程)()(tytx曲边梯形的面积21)()(ttdtttA（其其中中1t和和2t对对应应曲曲线线起起点点与与终终点点的的参参数数值值）在在1t,2t（或或2t,1t）上上)(tx具具有有连连续续导导数数，)(ty连连续续.参数方程所表示的函数第91页/共116页dA2)(21xod)(rxo)(2r)(1rdA)()(212122极坐标情形第92页/共116页(2)体积xdxxx
52、yodxxfVba2)(dyyVdc2)(xyo)(yxcd第93页/共116页xobadxxAV)(xdxxab平行截面面积为已知的立体的体积)(xA第94页/共116页(3)平面曲线的弧长xoyabxdxxdy弧长dxysba21A曲线弧为)()(tytx)(t其其中中)(),(tt在在,上上具具有有连连续续导导数数弧长dttts)()(22)(xfyB曲线弧为第95页/共116页C曲线弧为)()(rr弧长drrs)()(22(4)旋转体的侧面积xdxxxyo)(xfybxaxfy,0)(badxxfxfS)(1)(22侧侧第96页/共1
53、16页(5)细棒的质量oxdxx)(xxllldxxdmm00)((6)转动惯量abxyxdxxobabayydxxxdII)(2)(为为线线密密度度x第97页/共116页(7)变力所作的功)(xFoabxdxxxbabadxxFdWW)(8)水压力xyoabxdxx)(xfbabadxxxfdPP)()(为为比比重重第98页/共116页(9)引力xyxdxxoAllllllyyxadxGadFF2322)(.0xF)(为引力系数为引力系数G(10)函数的平均值badxxfaby)(1第99页/共116页二、典型例题二、典型例题例例11
54、.3;2;1)0(sincos00033体积及表面积体积及表面积体体它绕轴旋转而成的旋转它绕轴旋转而成的旋转它的弧长它的弧长它所围成的面积它所围成的面积求求星形线星形线已知已知ataytaxaaoyx第100页/共116页解解.10A设面积为设面积为由对称性,有aydxA040223)sin(cos3sin4dtttata20642sinsin12dttta.832a.20L设弧长为设弧长为由对称性,有2022)()(4dtyxL20sincos34tdtta.6a第101页/共116页.,30VS体积为体积为设旋转体的表面积为设旋转体的表面积为由对称性,有axdxyyS
55、02122203sincos3sin4tdttata.5122aadxyV02202262)sin(cos3sin2dtttata20273)sin1(sin6dttta.105323a第102页/共116页例例22,)2(;)0()1(.至少需作功多少至少需作功多少若再将满池水全部抽出若再将满池水全部抽出面上升的速度面上升的速度时水时水求在池中水深求在池中水深内注水内注水的半球形水池的半球形水池的流量往半径为的流量往半径为以每秒以每秒RhhRaoxyRh解解如图所示建立坐标系.).0()(222RyRRyx半圆的方程为半圆的方程为于是对半圆上任一点,有).0(2)(222
57、功即将池内将满池的水全部抽出所将满池的水全部抽出所的功约为的功约为所需所需降到降到抽水时使水位从抽水时使水位从dyyRyy)0()1(),(2水的比重水的比重yRdyx,222yRyx又又.)(2(2dyyRyRydW即功元素即功元素第105页/共116页故将满池水全部提升到池沿高度所需功为RdyyRyRyW02)(2(RdyyRyyR0322)32(.44R第106页/共116页例例33.,4,20,3050,的静压力的静压力求闸门一侧所受的水求闸门一侧所受的水米米顶部高出水面顶部高出水面如果闸门如果闸门米米高为高为米米米和米和分别为分别为梯形的上下底梯形的上下底如图所示如图
58、所示一等腰梯形闸门一等腰梯形闸门解解xyo164xdxxAB如图建立坐标系,的方程为的方程为则梯形的腰则梯形的腰AB.2321xy此闸门一侧受到静水压力为第107页/共116页160)2321(2dxxgxP16023)233(xxg)25623409631(gg67.4522).(1043.47牛牛第108页/共116页一、一、选择题：选择题：11、曲线曲线xyln与直线与直线ex1，ex及及0y所围成所围成的区域的面积的区域的面积S（）；）；（AA）)11(2e；（BB）ee1；（CC）ee1；（DD）11e..2
59、2、曲线、曲线sin2r与与2cos2r所围图形公共部分所围图形公共部分的面积的面积S（）；）；（AA）23112；（BB）41324；（CC）21312；（DD）2316..测测验验题题第109页/共116页33、曲曲线线,cos3ax3sinay所所围围图图形形的的面面积积S（）；（AA）2323a；（BB）283a；（CC）221a；（DD）2161a..44、由球面、由球面9222zyx与旋转锥面与旋转锥面2228zyx之之间包含间包含z轴的部分的体积轴的部分的体积V()()；（AA）
60、144；（BB）36；（CC）72；（DD）24..第110页/共116页55、用一平面截半、用一平面截半r径为径为的球，设截得的部分球体高的球，设截得的部分球体高为为)20(rhh体体V积为积为，则，则V（）；）；（AA）)2(32hrh；（BB）)3(32hrh；（CC）)2(2hrh；（DD）)3(42hrh..66、曲线、曲线422xxy上点上点)4,0(0M处的切线处的切线TM0与曲线与曲线)1(22xy所围图形的面积所围图形的面积S（）；）；（AA）;49（BB）94；（CC）1213；（D
61、D）421..第111页/共116页77、抛物线、抛物线pxy22)0(p自点自点)0,0(至点至点),2(pp的一段曲线弧长的一段曲线弧长L==（）；）；(A)(A)pppln)21ln(22；(B)(B))21ln(22212ppp；(C)(C))21(ln22pp；(D)(D))21ln(22p..第112页/共116页88、曲线、曲线xhry，hx0，轴轴绕绕x旋转所得旋转体旋转所得旋转体的侧面积的侧面积S（）；）；（AA）22hrr；（BB）22hrh；（CC）22hrhr；（DD）222hrr.
62、.二、在区间二、在区间e,1内求内求0x一一点点，使，使,0,lnyxy1y及及0xx所围成两块面积之和为最小所围成两块面积之和为最小..三三、设设曲曲边边梯梯形形是是由由连连续续曲曲线线)(xfy)0)(xf，轴轴x与与两两直直线线bxax,所所围围成成的的，求求证证：存存在在直直线线x),(ba将将曲曲边边梯梯形形的的面面积积平平分分..第113页/共116页四四、求求摆摆线线)cos1()sin(tayttax，)20(t11、轴轴绕绕x旋旋转转一一周周所所成成曲曲面面的的面面积积；22、轴轴绕绕y旋旋转转一一周周所所成成曲曲面面的
63、的面面积积..五五、有有一一旋旋转转体体，它它由由曲曲线线211xy，轴轴y，轴轴x以以及及直直线线1x所所围围成成的的平平面面图图形形轴轴绕绕y旋旋转转而而成成，已已知知其其上上任任一一点点的的体体密密度度等等于于该该点点到到旋旋转转轴轴的的距距离离，求求它它的的质质量量..六、以六、以a每秒每秒的流量往半的流量往半R径为径为的半球形水池内注水的半球形水池内注水11、求在水池中水深求在水池中水深)0(Rhh时水面上升的速时水面上升的速度；度；22、若再将满池水全部抽出，至少需作功多少？、若再将满池水全部抽出，至少需作功多少？第114页/共116页测验题答案测验题答案一、一、11、AA；22、DD；33、BB；44、DD；55、BB；66、DD；77、AA；88、A.A.二、二、410ex..四、四、11、2364a；22、2216a..五、五、)41(2..六、六、11、)2(2hRhadtdh；22、44Rw..第115页/共116页感谢您的观看。第116页/共116页