1.合肥工业大学机械工程学院，合肥，2300092.工业安全与应急技术安徽省重点实验室，合肥，230009
摘要：针对电池荷电状态(SOC)估算过程中开路电压与SOC之间的迟滞效应以及充放电电流和端电压中噪声的影响，提出了基于组合模型的Frisch方案双滤波(FSDF)法。先通过一阶RC等效电路模型结合Preisach离散模型建立新的模型，随后采用Frisch方案对模型的输入输出进行噪声方差估计，滤除部分输入输出噪声，最后使用扩展卡尔曼滤波结合无迹卡尔曼滤波进行参数实时更新和电池单体SOC估算。实验证明，FSDF方法对锂电池SOC估算结果与Frisch方案递推最小二乘-无迹卡尔曼滤波法等其他方法相比，具有精度高、鲁棒性好等特点。
关键词：荷电状态；双卡尔曼滤波；一阶RC模型；Frisch方案
电池荷电状态(stateofcharge，SOC)作为电池管理系统(BMS)的重要指标，其精确估计对保障电池组安全性和续航能力有重要意义。然而SOC作为电池内部不可直接测量的状态量，它的测量需通过其他各类方法间接获取。
文献[9]使用了递推最小二乘(RLS)法在线更新电池模型参数，同时采用观测器法估计SOC。该方法虽然能取得较好的估算精度，但是只适用于仅有输出噪声的情况，实用性差。文献[10]使用了双卡尔曼滤波算法，能够实现参数的在线更新，但文中采用了对模型精度要求较高的EKF进行SOC估计，并且未考虑噪声对模型参数的影响。文献[11]虽然考虑了噪声对模型精度的影响，但没能提出模型参数在线更新的方法，进而在实际应用中不能很好地反映电池的实际状态。
针对以上问题，本文提出了基于Frisch方案[12-13]的双滤波(英文全称FSDF)算法。文中首先考虑锂电池中开路电压和SOC之间的迟滞效应的影响，将Preisach模型和一阶RC模型结合建立新的电池模型，随后证明噪声会导致模型参数辨识出现偏差。为了减小噪声的影响，采用了Frisch方案对充放电电流和端电压的噪声方差进行估计，从而得到噪声含量较少的电流和端电压，随后采用EKF结合UKF进行模型参数的实时更新和单体电池SOC的在线估算。
Preisach模型(PM)是一种广泛使用的表征迟滞效应的工具。该模型被构造为由无限个简单的迟滞算子γαβ(α和β分别表示上阈值和下阈值)叠加而成。为了表示锂电池开路电压与电池荷电状态(OCV-SOC)非线性滞回关系，采用Preisach模型将其描述为
UOC(t)=α≥βξ(α,β)γαβS(t)dαdβ
(1)
其中，UOC(t)和S(t)分别为t时刻的开路电压和SOC值,ξ(α,β)为权重函数。以α为横轴、β为纵轴建立坐标系。在式(1)中，当SOC发生变化时，在平面α≥β中的每个点(α,β)对应的γαβ将在±1之间切换。
由于输入范围通常是有限的，因此只需将以直线α、β和α=β3条线组成的直角三角形作为Preisach平面，如图1所示。将三角形的直角边等分为相同的n个部分，则三角形被分为N=n(n+1)/2(N=15,n=5)个正方形Ak，k=1,2，…,N。每个方块可以表示为
Ai(i-1)/2+j={(α，β)|βj≤β<βj+1,αi≤α<αi+1}
(2)
其中，j≤i；i,j=1,2,…,n。假设每个Ak的权重函数ξk为常数，将式(1)离散化可得
(3)
图1离散Preisach算子方案Fig.1SchemeofdiscretePreisachoperator
令迟滞状态为εk，εk可以表示为
εk(t)=Si(i-1)/2+jγαβS(t)dβdα
基于以上分析，式(3)可以表示为
UOC(t)=εT(t)ξ
(4)
ε(t)=(ε1(t),ε2(t),…,εN(t))Tξ=(ξ1,ξ2,…,ξN)T
一阶RC模型如图2所示。其中，UOC为电池开路电压，R0为欧姆内阻，C1为极化电容，R1为极化电阻，IL为放电电流，图中方向为正，Ut为开路电压。
图2一阶RC模型Fig.2First-orderRCmodel
当电池放电时，根据基尔霍夫电压电流定律结合式(4)得
(5)
(6)
假设电池模型组成系统的传递函数为
其中，A(q-1)=1+a1q-1+…+anaq-na，B(q-1)=b1q-1+…+bnbq-nb。在电池模型中，输入电流IL和输出端电压Ut都是含噪声的量，假设这些噪声均为加性噪声，则可表示如下：
(7)
其中和分别为输出Ut0,k和输入IL0,k的噪声；Ut,k和IL,k分别为无噪声输出和输入。假设和为高斯白噪声，其均值为0，方差分别为σU和σI。
令φu0,k=(IL0,k,IL0,k-1)T,φy0,k=(-Ut0,k-1)T，
定义任意两个向量p和q，p的自协方差矩阵以及p和q的协方差矩阵分别为
Σp=E(ppT)Σpq=E(pqT)
向量p和一个随机变量r的协方差矩阵为
Γpr=E(pr)
由于输入输出中的噪声均为高斯白噪声，故其中
为了求解σU和σI，采用了Frisch方案对向量φ0k进行如下处理。
根据Frisch方案可得
(8)
其中，λmin(F(k))为F(k)的最小特征值；Inb为2阶单位矩阵。
令
(9)
定义
δ=(a1,a2,…,ana,b1,b2,…,bnb)T
其中和分别为A(q-1)和B(q-1)的估计。则的样本协方差为
(10)
(11)
其中，为t时刻端电压噪声的估计；为负载电流的噪声估计。将Σμ和Σμ0进行比较，令
VN(σI)=ψTMψ
(12)
其中，ψ为残差向量；M为正定权重矩阵；z可以根据实际需求选取。
根据式(12)可以得出的解:
(13)
根据式(9)和式(13)可求出电流和端电压的噪声协方差，再根据式(7)可求得滤除噪声的电流和端电压。
为了得到模型的初始参数，参考了《FreedomCAR功率辅助型电池测试手册》对锂电池进行HPPC测试实验。在室温条件下，以1C(电池额定容量大小的电流对电池放电1h)放电电流放电5min，然后静置10min，再以同样的电流充电5min，充放电设备记录锂电池端电压和电池表面温度，一个周期的电流和电压曲线如图3所示，其中U1，U2，…，U5为电池的5个充放电瞬间的电压，根据分析可得
(14)
(15)
(16)
式中，U4、U5分别为t4、t5时刻的端电压。
图3HPPC实验电压电流波形Fig.3HPPCexperimentalvoltageandcurrentwaveforms
根据SOC的定义，得出SOC值的表达式：
(17)
式中，S0为初始SOC值;η为充放电效率,η≤1;CN为电池的额定容量;i(t)为电池的实际电流,充电时，i(t)<0;放电时，i(t)>0。
为了应用卡尔曼滤波，将式(17)离散化得
(18)
结合式(5)、式(6)、式(17)可得电池模型的离散空间状态方程和输出方程：
(19)
其中，ωk、πk、vk为相互独立的高斯白噪声。
根据式(19)可得如下方程：
(20)
双滤波算法具体过程如下。初始化：
(21)
(22)
(2)UKF进行SOC估计过程。
①产生k-1时刻的样本sigma点：
(23)
其中，b为电池状态变量的维数，b=2。ζ=α2(n+λ)-n，α=0.8，λ=0，β=2。
②权重计算:
(24)
(25)
④量测更新。计算k时刻的量测估计的预测值和误差协方差:
(26)
⑤先验估计和量测估计的协方差以及UKF增益更新：
(27)
⑥电池模型状态和误差协方差后验估计：
(28)
(3)通过先验估计对EKF量测更新：
(29)
(4)参数更新：
(30)
根据以上的内容，可得出双滤波算法的框图，如图4所示。
图4FSDF框图Fig.4FSDFblockdiagram
图5放电电流曲线Fig.5dischargecurrentcurve
表1初始参数
Tab.1Initialparameters
图6SOC估计曲线Fig.6SOCestimationcurve
为了评估算法的性能，做如下定义：
误差偏差
(31)
误差方差
(32)
误差极差
(33)
图7所示为4种算法的误差方差Gk，从图中可以得出FSDF算法的Gk最小，表明FSDF算法相对于参考值的波动最小，而FSRLS-UKF算法次之，而RLS-UKF算法的Gk最大。通过对比分析得出：①噪声对SOC的估计影响较大，不容忽视，进而证明采用Frisch方案减少噪声影响的必要性；②EKF-UKF算法较RLS-UKF算法具有更高的估算精度，说明EKF-UKF算法性能优于RLS-UKF算法。表2中给出了4种算法的Gk和G∞的最大值，对这4种算法的性能进行评估得出FDKF估算方法的性能优于其他3种方法。
图7SOC误差方差变化曲线Fig.7SOCerrorvariancecurve
表2不同估计方法的性能对照
Tab.2Comparisonofperformancesofdifferentestimationmethods
FSDFEKF-UKFFSRLS-UKFRLS-UKFGk(%)0.5368090.9669150.7739381.045706G∞(%)1.72.92.53.5
(a)欧姆内阻辨识曲线
(b)极化内阻辨识曲线
(c)极化电容辨识曲线
图8参数辨识结果Fig.8Parameteridentificationresults
本文为考虑开路电压和SOC之间的迟滞效应的影响，将一阶RC模型和Preisach模型进行组合得到新的电池模型；为减小噪声对模型参数和SOC估算精度的影响，采用Frisch方案对模型中的输入输出进行噪声方差估算，从而得到了含噪声较少的输入输出，进而得到精度较高的状态方程和观测方程。随后采用了双滤波法进行参数辨识和SOC在线联合估计。为了验证该算法，将本文提出的算法分别与EKF-UKF、FSRLS-UKF和RLS-UKF算法进行对比，通过实验验证得出，该算法在估算精度上与参考值的最大偏差为1.7%，较FSRLS-UKF算法提高了0.8%，而较RLS-UKF算法提高了1.8%。因此该算法行之有效。
下一阶段将继续本文提出的算法研究。该算法在SOC估计时，虽然能取得不错的精度，但是计算过程较为复杂，因此需要对算法做进一步优化，在保证精度的同时降低算法复杂度。另外，本文的算法只是研究单体电池在常温下的SOC估计，而电池在放电过程中电池内部温度会升高，为了使算法的实用性更强，接下来将会把温度做为影响因素加入算法中，以提高算法的实际应用能力。
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LIUZhengyu1,2LIPanchun1ZHUChengcheng1YOUYong1
1.SchoolofMechanicalEngineering,HefeiUniversityofTechnology,Hefei，2300092.AnhuiProvinceKeyLaboratoryofIndustrySafetyandEmergencyTechnology,Hefei，230009
Abstract:AimingatthehysteresiseffectsbetweenopencircuitvoltageandSOCandtheinfluencesofnoiseinchargeanddischargecurrentandterminalvoltageduringSOCestimation,aFrischschemedoublefilter(FSDF)methodwasproposedbasedoncombinedmodel.Firstly,anewmodelwasestablishedbyusingfirst-orderRCequivalentcircuitmodelcombinedwithPreisachdiscretemodel.ThentheFrischalgorithmwasusedtoestimatethenoisevariancesoftheinputandoutputofmodelstofilteroutsomeoftheinputandoutputnoises.Finally,theextendedKalmanfiltercombinedwiththeunscentedKalmanfilterwasusedtoimplementreal-timeparameterupdateandthebatterycellSOCestimation.ExperimentsshowthattheFSDFmethodhashigheraccuracyandbetterrobustnessthanthatoftheothermethodssuchasFrischschemerecursiveleastsquares-unscentedKalmanfilter.
Keywords:stateofcharge(SOC);doubleKalmanfilter;first-orderRCmodel;Frischscheme
中图分类号：TM911
DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2020.10.005
开放科学(资源服务)标识码(OSID)：
收稿日期：2018-11-28
修回日期：2019-12-25
基金项目：安徽省自然科学基金资助项目(1808085MF200);工业和信息化部民用飞机专用专项科研项目(MJ-2017-D-26)