大部分程序员由于理工科的背景，有一些高数、线性代数、概率论与数理统计的数学基础。所以当机器学习的热潮来临的时候，都跃跃欲试，对机器学习的算法以及背后的数学思想有比较强烈的探索欲望。
一、业务背景
通常我们日常开发中，可能会遇到如下的业务场景。
精准营销，图像处理，搜索引擎这三个看似风马牛不相及的业务场景，其实面临一个共同的问题就是相似度的计算。例如精准营销中的人群扩量涉及用户相似度的计算；图像分类问题涉及图像相似度的计算，搜索引擎涉及查询词和文档的相似度计算。相似度计算中，可能由于《数学之美》的影响，大家最熟悉的应该是余弦相似度。那么余弦相似度是怎么推导出来的呢？
二、数学基础
理解余弦相似度，要从理解金字塔开始。我们知道金字塔的底座是一个巨大的正方形。例如吉萨大金字塔的边长超过230m。构造这样一个巨大的正方形，如何保证构造出来的图形不走样呢？比如如何确保构造的结果不是菱形或者梯形。
1、勾股定理
要保证构造出来的四边形是正方形，需要保证两个点：其一是四边形的边长相等；其二是四边形的角是直角。四边形的边长相等很容易解决，在工程实践中，取一根定长的绳子作为边长就可以了。如何保障直角呢？古人是利用勾股定理解决的，更切确地说是勾股定理的逆定理。
构造一个三角形，保证三角形的三边长分别是3,4,5。那么边长为5的边对应的角为直角。中国有个成语“无规矩不成方圆”，其中的矩，就是直角的尺。
2、余弦定理
勾股定理存在着一个很大的限制，就是要求三角形必须是直角三角形。那么对于普通的三角形，三个边存在什么样的关系呢？这就引出了余弦定理。
余弦定理指出了任意三角形三边的关系，也是初中就可以理解的数学知识，证明也比较简单，这里就略过了。
其实对于三角形，理解了勾股定理和余弦定理。就已经掌握了三角形的很多特性和秘密了。比如根据等边三角形，可以推导出cos(60)=1/2。但是如果想理解几何更多的秘密，就需要进入解析几何的世界。这个数学知识也不算很高深，高中数学知识。
这里我们理解最简单就可以了，那就是三角形在直角坐标系中的表示。所谓“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，我们可以理解为三角形的另一种表现形式。
比如我们可以用a,b,c三个边描述一个三角形；在平面直角坐标系中，我们可以用两个向量表示一个三角形。
3、余弦相似度
当我们引入了直角坐标系后，三角形的表示就进入了更灵活、更强大和更抽象的境界了。几何图形可以用代数的方法来计算，代数可以用几何图形形象化表示，大大降低理解难度。比如我们用一个向量来表示三角形的一个边，就可以从二维空间直接扩展到高维空间。
这里，向量的定义跟点是一样的；向量的乘法也只是各个维度值相乘累加；向量的长度看似是新的东西，其实绕了一个圈，本质上还是勾股定理，只是勾股定理从二维空间扩展到了N维空间而已。而且向量长度又是两个相同向量乘法的特例。数学的严谨性在这里体现得淋漓尽致。
结合勾股定理，余弦定理，直角坐标系，向量。我们就可以很自然地推导出余弦公式了，这里唯一的理解难点就是勾股定理和余弦定理都是用向量来表示。
得到了余弦公式后，我们该怎么理解余弦公式呢？
极端情况下，两个向量重合了，就代表两个向量完全相似。然而这里的完全相似，其实是指向量的方向。向量有方向和长度两个要素，这里只使用方向这一个要素，在实践中就埋下了隐患。但是毕竟一个数学模型建立起来了。我们可以用这个模型来解决一些实际中的问题了。
理解了向量夹角，那么该怎么理解向量呢？它仅仅是三角形的一条边吗？
人生有几何，万物皆向量。向量在数学上是简单的抽象，这个抽象我们可以用太多实际的场景来使它落地。比如用向量来指代用户标签，用向量来指代颜色，用向量来指代搜索引擎的逻辑...
三、业务实践
理解了余弦定理，理解了数学建模的方式。接下来我们就可以做一些有意思的事情了。比如前面提到的三个业务场景，我们可以看看如何用余弦相似度来解决。当然实际问题肯定远远要复杂得多，但是核心的思想都是类似的。
案例1：精准营销
假设一次运营计划，比如我们圈定了1w的用户，如何扩展到10万人呢？
利用余弦相似度，我们这里其实最核心的问题就是：如何将用户向量化？
将每个用户视为一个向量，用户的每个标签值视为向量的一个维度。当然这里实际工程中还有特征归一化，特征加权等细节。我们这里仅作为演示，不陷入到细节中。
对于人群，我们可以取人群中，所有用户维度值的平均值，作为人群向量。这样处理后，就可以使用余弦公式计算用户的相似度了。
我们通过计算大盘用户中每个用户跟圈定人群的相似度，取topN即可实现人群的扩量。
直接“showmethecode”吧！
#-*-coding:utf-8-*-importnumpyasnpimportnumpy.linalgaslinalg
defcos_similarity(v1,v2):num=float(np.dot(v1.T,v2))#若为行向量则A.T*Bdenom=linalg.norm(v1)*linalg.norm(v2)ifdenom>0:cos=num/denom#余弦值sim=0.5+0.5*cos#归一化returnsimreturn0
if__name__=='__main__':
u_tag_list=[["女","26","是","白领"],["女","35","是","白领"],["女","30","是","白领"],["女","22","是","白领"],["女","20","是","白领"]]new_user=["女","20","是","白领"]
u_tag_vector=np.array([[1,26,1,1],[1,35,1,1],[1,30,1,1],[1,22,1,1],[1,20,1,1]])
c1=u_tag_vector[0]c1+=u_tag_vector[1]c1+=u_tag_vector[2]c1+=u_tag_vector[3]c1+=u_tag_vector[4]c1=c1/5
new_user_v1=np.array([1,36,1,1])new_user_v2=np.array([-1,20,0,1])print("vector-u1:",list(map(lambdax:'%.2f'%x,new_user_v1.tolist()[0:10])))print("vector-u2:",list(map(lambdax:'%.2f'%x,new_user_v2.tolist()[0:10])))print("vector-c1:",list(map(lambdax:'%.2f'%x,c1.tolist()[0:10])))print("sim:",cos_similarity(c1,new_user_v1))print("sim:",cos_similarity(c1,new_user_v2))
案例2：图像分类
有两类图片，美食和萌宠。对于新的图片，如何自动分类呢？
图片由像素构成，每个像素有RGB三个通道。由于像素粒度太细，将图片分割成大小相对的格子，每个格子定义3个维度，维度值取格子内像素均值。
参考博客：图像基础7图像分类——余弦相似度
下面也是给出样例代码:
#-*-coding:utf-8-*-importnumpyasnpimportnumpy.linalgaslinalgimportcv2
defbuild_image_vector(im):"""
:paramim::return:"""im_vector=[]
im2=cv2.resize(im,(500,300))w=im2.shape[1]h=im2.shape[0]h_step=30w_step=50
foriinrange(0,w,w_step):forjinrange(0,h,h_step):each=im2[j:j+h_step,i:i+w_step]b,g,r=each[:,:,0],each[:,:,1],each[:,:,2]im_vector.append(np.mean(b))im_vector.append(np.mean(g))im_vector.append(np.mean(r))returnnp.array(im_vector)
defshow(imm):imm2=cv2.resize(imm,(510,300))print(imm2.shape)imm3=imm2[0:50,0:30]cv2.imshow("aa",imm3)
cv2.waitKey()cv2.destroyAllWindows()imm4=imm2[51:100,0:30]cv2.imshow("bb",imm4)cv2.waitKey()cv2.destroyAllWindows()imm2.fill(0)
defbuild_image_collection_vector(p_name):path="D:\\python-workspace\\cos-similarity\\images\\"
c1_vector=np.zeros(300)forpicinp_name:imm=cv2.imread(path+pic)each_v=build_image_vector(imm)a=list(map(lambdax:'%.2f'%x,each_v.tolist()[0:10]))print("p1:",a)c1_vector+=each_vreturnc1_vector/len(p_name)
v1=build_image_collection_vector(["food1.jpg","food2.jpg","food3.jpg"])v2=build_image_collection_vector(["pet1.jpg","pet2.jpg","pet3.jpg"])
im=cv2.imread("D:\\python-workspace\\cos-similarity\\images\\pet4.jpg")v3=build_image_vector(im)print("v1,v3:",cos_similarity(v1,v3))print("v2,v3:",cos_similarity(v2,v3))a=list(map(lambdax:'%.2f'%x,v3.tolist()[0:10]))print("p1:",a)im2=cv2.imread("D:\\python-workspace\\cos-similarity\\images\\food4.jpg")v4=build_image_vector(im2)
print("v1,v4:",cos_similarity(v1,v4))print("v2,v4:",cos_similarity(v2,v4))
至于代码中用到的图片，用户可以自行收集即可。笔者也是直接从搜索引擎中截取的。程序计算的结果也是很直观的，V2(萌宠)跟图像D1的相似度为0.956626，比V1(美食)跟图像D1的相似度0.942010更高，所以结果也是很明确的。
案例3：文本检索
这里的核心问题也是文本和搜索词如何向量化？
这里其实可以把搜索词也视为文档，这样问题就简化成：文档如何向量化？
出于简化问题的角度，我们可以给出最简单的答案:文档由词组成，每个词作为一个维度；文档中词出现的频率作为维度值。
当然，实际操作时我们维度值的计算会更复杂一些，比如用TF-IDF。这里用词频(TF)并不影响演示效果，所以我们从简。
将文本向量化后，剩下也是依样画葫芦，用余弦公式计算相似度,流程如下：
最后，给出代码：
#-*-coding:utf-8-*-importnumpyasnpimportnumpy.linalgaslinalgimportjieba
defbuild_doc_tf_vector(doc_list):num=0doc_seg_list=[]word_dic={}fordindoc_list:seg_list=jieba.cut(d,cut_all=False)seg_filterd=filter(lambdax:len(x)>1,seg_list)
w_list=[]forwinseg_filterd:w_list.append(w)ifwnotinword_dic:word_dic[w]=numnum+=1
doc_seg_list.append(w_list)
print(word_dic)
doc_vec=[]
fordindoc_seg_list:vi=[0]*len(word_dic)forwind:vi[word_dic[w]]+=1doc_vec.append(np.array(vi))print(vi[0:40])returndoc_vec,word_dic
defbuild_query_tf_vector(query,word_dic):seg_list=jieba.cut(query,cut_all=False)vi=[0]*len(word_dic)forwinseg_list:ifwinword_dic:vi[word_dic[w]]+=1returnvi
if__name__=='__main__':doc_list=["""受全球疫情影响，3月苹果宣布关闭除大中华区之外数百家全球门店，其庞大的供应链体系也受到冲击，尽管目前富士康等代工厂已经开足马力恢复生产，但相比之前产能依然受限。中国是iPhone生产的大本营，为了转移风险，iPhone零部件能否实现印度制造？实现印度生产的最大难点就是，相对中国，印度制造业仍然欠发达""","""苹果是一种低热量的水果，每100克产生大约60千卡左右的热量。苹果中营养成分可溶性大，容易被人体吸收，故有“活水”之称。它有利于溶解硫元素，使皮肤润滑柔嫩。""","""在生活当中，香蕉是一种很常见的水果，一年四季都能吃得着，因其肉质香甜软糯，且营养价值高，所以深受老百姓的喜爱。那么香蕉有什么具体的功效，你了解吗？"""]
query="苹果是我喜欢的水果"
doc_vector,word_dic=build_doc_tf_vector(doc_list)
query_vector=build_query_tf_vector(query,word_dic)
print(query_vector[0:35])
fori,docinenumerate(doc_vector):si=cos_similarity(doc,query_vector)print("doc",i,":",si)
我们检索排序的结果如下：
文档D2是相似度最高的，符合我们的预期。这里我们用最简单的方法，实现了一个搜索打分排序的样例，虽然它并没有实用价值，但是演示出了搜索引擎的工作原理。
四、超越余弦
前面通过简单的3个案例，演示了余弦定理的用法，但是没有完全释放出余弦定理的洪荒之力。接下来展示一下工业级的系统中是如何使用余弦定理的。这里选取了开源搜索引擎数据库ES的内核Lucene作为研究对象。研究的问题是：Lucene是如何使用余弦相似度进行文档相似度打分？
当然，对于Lucene的实现，它有另一个名字：向量空间模型。即许多向量化的文档集合形成了向量空间。我们首先直接看公式：
很明显，实际公式跟理论公式长相差异很大。那么我们怎么理解呢？换言之，我们怎么基于理论公式推导出实际公式呢？
如何量化一个词在文档中的关键程度？TF-IDF给出的答案是综合考虑词频(词在当前文档中出现的次数)以及逆文档频率(词出现的文档个数)两个因素。
词在当前文档中出现次数(TF)越多，词越重要词在其他文档出现的次数(IDF)越少，词越独特
感兴趣的话，可以自行参考其他资料，这里不展开说明。
回到我们的核心问题:我们怎么基于理论公式推导出实际公式呢？
四步走就可以了，如下图：
第一步：计算向量乘法
向量乘法就是套用数学公式了。这里需要注意的是，这里有两个简化的思想：
查询语句中不存在的词tf(t,q)=0查询语句中基本没有重复的词tf(t,q)=1
所以我们比较简单完成了第一步推导：
第二步:计算查询语句向量长度|V(q)|
计算向量长度，其实就是勾股定理的使用了。只不过这里是多维空间的勾股定理。
这里取名queryNorm,表示这个操作是对向量的归一化。这个其实是当向量乘以queryNorm后，就变成了单位向量。单位向量的长度为1，所以称为归一化，也就是取名norm。理解了这一层，看lucene源码的时候，就比较容易理解了。这正如琅琊榜的台词一样：问题出自朝堂，答案却在江湖。这里是问题出自Lucene源码，答案却在数学。
第三步：计算文档向量长度|V(d)|
这里其实是不能沿用第二步的做法的。前面已经提到，向量有两大要素：方向和长度。余弦公式只考虑了方向因素。这样在实际应用中，余弦相似度就是向量长度无关的了。
这在搜索引擎中，如果查询语句命中了长文档和短文档，按照余弦公式TF-IDF特征，偏向于对短小的文档打较高的分数。对长文档不公平，所以需要优化一下。
这里的优化思路就是采用文档词个数累积，从而降低长文档和短文档之间的差距。当然这里的业务诉求可能比较多样，所以在源码实现的时候，开放了接口允许用户自定义。借以提升灵活度。
第四步：混合用户权重和打分因子
所谓用户权重，就是指用户指定查询词的权重。例如典型地竞价排名就是人为提升某些查询词的权重。所谓打分因子，即如果一个文档中相比其它的文档出现了更多的查询关键词，那么其值越大。综合考虑了多词查询的场景。经过4步，我们再看推导出来的公式和实际公式，发现相似度非常高。
推导公式和官方公式基本就一致了。
五、总结
本文简单介绍了余弦相似度的数学背景。从埃及金字塔的建设问题出发，引出了勾股定理，进而引出了余弦定理。并基于向量推导出来了余弦公式。
接下来通过三个业务场景的例子，介绍余弦公式的应用，即数学模型如何落地到业务场景中。这三个简单的例子代码不过百行，能够帮助读者更好地理解余弦相似度。
最后介绍了一个工业级的样例。基于Lucene构建的ES是当前最火热的搜索引擎解决方案。学习余弦公式在Lucene中落地，有助于理解业界的真实玩法。进一步提升对余弦公式的理解。