开通VIP，畅享免费电子书等14项超值服
首页
好书
留言交流
下载APP
联系客服
2016.01.18
在SLAM中，除了表达3D旋转与位移之外，我们还要对它们进行估计，因为SLAM整个过程就是在不断地估计机器人的位姿与地图。为了做这件事，需要对变换矩阵进行插值、求导、迭代等操作。例如，在经典ICP问题中，给定了两组3D点，我们要计算它们之间的变换矩阵。假设第一组的3D点为P={pi|i=[1,2,…,N]}，第二组3D点为Q={qi|i=[1,2,…,N]}，那我们实际要做的事情是求一个欧氏变换T，使得T满足：
i,qi=Tpi(1)注意这里使用了齐次坐标表示。通常，这许多个匹配过的点是通过特征匹配得到的，构成了一个超定方程。而由于噪声的存在，这个方程往往是无解的。因此我们转而计算一个最小二乘：
这时问题就来了：如果用迭代方式求解这个优化时（尽管可以不用迭代方式来求），如何求目标函数u相对于T的导数呢？首先，T只有6个自由度，最好能够在一个六维空间表达它，那么u(T)相对于这个六维空间的导数（雅可比矩阵）是一个6×6的矩阵。其次，T对于乘法是封闭的，但对加法不封闭，即任意两个变换矩阵相加后并不是一个变换矩阵，这主要是因为旋转矩阵对加法是不封闭的。
首先，我们来讨论较为简单的三维旋转群。为了说明它的结构，首先介绍群的概念。
群
群（Group）是一种集合加上一种运算的代数结构，记作(A,)。其中A代表集合，是定义在该集合上的二元运算。那么，如果这个运算满足以下几个条件，则称G=(A,)为群。
读者可以记作“封结幺逆”（谐音凤姐咬你），并可以把一些常见的群放进去验证。例如整数的加法（幺元为0），去掉0后的有理数的乘法（幺元为1）。对于矩阵，可以找到一些常见的矩阵群，例如：
SO(n)={R∈Rn×n|RRT=I,det(R)=1}(3)SE(3)={T=[R0Tt1]∈R4×4|R∈SO(3),t∈R3}(4)群结构保证了在群上的运算具有良好的性质，而群论则研究群的各种结构和性质，但我们在此不多加介绍。感兴趣的读者可以参考任意一本近世代数教材。
李群是指具有连续性质的群。并且，一般连续群上的运算还是无限可微，乃至解析的（解析比无限可微更强，它还要求任意点邻域的泰勒展开都收敛）。这个问题在20世纪初被称为希尔伯特第五问题，并已得到了解决。而李群，则指实数空间上的连续群。常见的李群包括上边提到的GL(n),SO(n),SE(n)，以及其他的如酉群U(n)，辛群Sp(2n)等等。
R˙(t)R(t)T+R(t)R˙(t)T=0(5)于是：R˙(t)R(t)T=(R˙(t)R(t)T)T(6)可以看出R˙(t)R(t)T是一个反对称矩阵。注意到对于任意一个3×3的反对称矩阵，我们记它为A。由于AT=A，所以它主对角线元素必为0，而非对角线元素则只有三个自由度。我们可以把它对应到一个向量a=[a1,a2,a3]T中去：
其中∧符号表示由向量转换为矩阵，反之我们也可以用符号∨定义由矩阵转换为向量的方式：
注意到这样定义的好处之一，是它与叉积的兼容性。我们可以直接把矩阵与任意向量的乘积Ab写成a×b。读者可以自行验证这个兼容性。除此之外，这样定义的向量还有一些较好的性质，后文会提到。
现在，由于R˙(t)R(t)T是一个反对称矩阵，我们可以找到一个三维向量(t)∈R3与之对应。于是有：
R˙(t)R(t)T=(t)∧(9)左右各右乘R(t)，由于R为正交阵，有：
可以看到，每对旋转矩阵求一次导数，只需左乘一个矩阵即可。由于反映了R的导数性质，故称它在SO(3)的正切空间(tangentspace)上。同时，将上式类比于一个关于R的微分方程，可得：
R(t)=exp((t))R(t0)(11)由此我们可以引出两个概念。（1）求的方法以及它的结构？——是对应到SO(3)上的李代数so(3)；（2）exp()如何计算？——李群与李代数间的指数/对数映射。下面我们一一加以介绍。
对于SO(3)和SE(3)，李代数可定义于李群的正切空间上，描述了李群中元素局部性质，分别把它们记作小写的so(3)和se(3)。首先，给出通用的李代数的定义。
李代数由一个集合V，一个数域F和一个二元运算[]组成。如果它们满足以下几条性质，称(V,F,[])为一个李代数，记作g。
从表面上来看，李代数所需要的性质还是挺多的。其中二元运算被称为李括号。相比于群中的较为简单的二元运算，李括号表达了两个集合元素的差异。它不要求结合律，而满足反对称性，以及元素和自己做李括号之后为零的性质。作为类比，三维向量R3上定义的叉积×是一种李括号，因此g=(R3,R,×)构成了一个李代数。读者可以尝试将叉积的性质代入到上面四条性质中。
三维旋转群与对应的李代数SO(3)对应的李代数是定义在R3上的向量，我们记作（注意这是个向量，虽然希腊字母的粗体不明显）。根据前面的推导，每个都可以生成一个反对称矩阵：
Φ=∧=032301210∈R3×3(12)在此定义下，两个向量1,2的李括号为：
[1,2]=Φ1Φ2Φ2Φ1(13)读者可以去验证该定义下的李括号满足上面的几条性质。由于与反对称矩阵关系很紧密，在不引起歧义的情况下，就说so(3)的元素是3维向量或者3维反对称矩阵，不加区别：
反对称矩阵有一些重要的性质，重点包括以下两条：
T=∧∧+∥∥2I3×3(15)当为单位向量时，进而有：
以及
∧∧∧=∧(17)这两条性质读者也可以自行验证，我们在指数映射中会用到。
至此，我们已清楚了so(3)的结构。它们是一个由三维向量组成的集合，每个向量对应到一个反对称矩阵，可以表达旋转矩阵的导数。现在来考虑exp(∧)是如何计算的，为此我们引入指数映射。
首先，回忆任意矩阵的指数映射。它可以写成一个泰勒展开，但是只有在收敛的情况下才会有结果，其结果仍是一个矩阵。
同样地，对so(3)中任意一元素，我们亦可按此方式定义它的指数映射：
exp(∧)=∑n=0∞1n!(∧)n(19)现在我们来仔细看看它的含义。由于是三维向量，我们可以定义它的模长和它的方向，分别记作θ和a（注意这里记号是有含义的，此时a是一个单位长度的向量），那么按照上式，可以推出如下公式，注意中间使用了上面讲到了两个反对称矩阵的性质：
exp(∧)=exp(θa∧)=∑n=0∞1n!(θa∧)n=I+θa∧+12!θ2a∧a∧+13!θ3a∧a∧a∧+14!θ4(a∧)4+...=aaTa∧a∧+θa∧+12!θa∧a∧13!θ3a∧14!θ4(a∧)4+...=aaT+(θ13!θ3+15!θ5...)a∧(112!θ2+14!θ4...)a∧a∧=a∧a∧+I+sinθa∧cosθa∧a∧=(1cosθ)a∧a∧+I+sinθa∧=cosθI+(1cosθ)aaT+sinθa∧最后我们得到了一个似曾相识的式子：
回忆前一节内容，它和罗德里格斯公式（参观本系列第一篇）如出一辄。这表明，so(3)实际上就是由所谓的旋转向量组成的空间。特别地，当转轴取一定顺序时，李代数so(3)还会变为对应的欧拉角。通过罗德里格斯公式或者指数映射，我们把R3中的一个向量对应到了一个位于SO(3)中的3D旋转。
反之，如果定义对数映射，我们也能把SO(3)中的元素对应到so(3)中：
=ln(R)∨=(∑n=0∞(1)nn+1(RI)n+1)∨(21)其中∨表示从反对称矩阵到向量的对应关系，为∧的逆运算。
读者可能会问，指数映射性质如何呢？它是一个双射吗？很遗憾，它只是一个满射。每个SO(3)中的元素，都可以找到so(3)中至少一个与之对应；但是可能存在多个so(3)中的元素，对应到同一个SO(3)元素上。至少对于旋转角θ，我们知道它具有周期性。
SO(3)与so(3)的结论似乎在我们意料之中。它和我们前面讲的旋转向量与旋转矩阵很相似，而指数映射即是罗德里格斯公式。旋转向量可以视为旋转矩阵的导数，指导如何在旋转矩阵中进行微积分运算。
下面我们来介绍三维欧氏群SE(3)以及对应的李代数se(3)。有了前面的基础，我们可以直接介绍它们的结构及运算了。SE(3)的结构已经在前面介绍群的时候给出：
SE(3)={T=[R0Tt1]∈R4×4|R∈SO(3),t∈R3}(22)每个变换矩阵有六个四由度，故对应的李代数位于R6中：
但是∧不再对应到一个反对称关系，而是：
可以看到，ξ的前三维为旋转向量，后三维为平移向量，其定义也十分的直观。该李代数对应于微分方程：
T˙(t)=ξ∧(t)T(t)(25)因此
那么se(3)上的指数映射如何呢？略加推导可得：
exp(ξ∧)=∑n=0∞1n!(∧)n0T∑n=0∞1(n+1)!(∧)nρ1=[Φ0TJρ1](27)(28)左上角的Φ是我们熟知的so(3)中的元素，前文已经介绍过了。而右上角的J则可整理为（设=θa）：
J=sinθθI+(1sinθθ)aaT+1cosθθa∧(29)因此我们就得到了se(3)的指数映射的关系。其对数映射亦可类比推得。
最后，我们对之前介绍的李群李代数进行一个简单的小结。概而言之，李群有以下两个重要用处：
下篇中，我们将教大家用Eigen和Sophus库处理变换矩阵与李代数。敬请期待。
如果你觉得我的博客有帮助，可以进行几块钱的小额赞助，帮助我把博客写得更好。