下面是常见的一些数学基础概念，建议大家收藏后再仔细阅读，遇到不懂的概念可以直接在这里查~
1.导数定义：
导数和微分的概念
或者：
2.左右导数导数的几何意义和物理意义
函数\(f(x)\)在\(x_0\)处的左、右导数分别定义为：
左导数：
右导数：
3.函数的可导性与连续性之间的关系
Th1:函数f(x)在\(x_0\)处可微\(\Leftrightarrowf(x)在x_0处可导\)
Th2:\(若函数在点x_0处可导，则y=f(x)在点x_0处连续，反之则不成立。即函数连续不一定可导。\)
Th3:
4.平面曲线的切线和法线
切线方程:\(y-{{y}_{0}}=f'({{x}_{0}})(x-{{x}_{0}})\)法线方程：\(y-{{y}_{0}}=-\frac{1}{f'({{x}_{0}})}(x-{{x}_{0}}),f'({{x}_{0}})\ne0\)
5.四则运算法则
6.基本导数与微分表(1)\(y=c（常数）{y}'=0dy=0\)(2)\(y={{x}^{\alpha}}(\alpha为实数){y}'=\alpha{{x}^{\alpha-1}}dy=\alpha{{x}^{\alpha-1}}dx\)(3)\(y={{a}^{x}}{y}'={{a}^{x}}\lnady={{a}^{x}}\lnadx特例:({{{e}}^{x}}{)}'={{{e}}^{x}}d({{{e}}^{x}})={{{e}}^{x}}dx\)
(4)\(y={{\log}_{a}}x\)\({y}'=\frac{1}{x\lna}\)
\(dy=\frac{1}{x\lna}dx\)特例:\(y=\lnx\)\((\lnx{)}'=\frac{1}{x}\)\(d(\lnx)=\frac{1}{x}dx\)
(5)\(y=\sinx\)
\({y}'=\cosx\)\(d(\sinx)=\cosxdx\)
(6)\(y=\cosx\)
\({y}'=-\sinxd(\cosx)=-\sinxdx\)
(7)\(y=\tanx\)
\({y}'=\frac{1}{{{\cos}^{2}}x}={{\sec}^{2}}x\)\(d(\tanx)={{\sec}^{2}}xdx\)(8)\(y=\cotx\)\({y}'=-\frac{1}{{{\sin}^{2}}x}=-{{\csc}^{2}}x\)\(d(\cotx)=-{{\csc}^{2}}xdx\)(9)\(y=\secx\)\({y}'=\secx\tanx\)
\(d(\secx)=\secx\tanxdx\)(10)\(y=\cscx\)\({y}'=-\cscx\cotx\)
\(d(\cscx)=-\cscx\cotxdx\)(11)\(y=\arcsinx\)
\({y}'=\frac{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}\)
\(d(\arcsinx)=\frac{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}dx\)(12)\(y=\arccosx\)
\({y}'=-\frac{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}\)\(d(\arccosx)=-\frac{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}dx\)
(13)\(y=\arctanx\)
\({y}'=\frac{1}{1+{{x}^{2}}}\)\(d(\arctanx)=\frac{1}{1+{{x}^{2}}}dx\)
(14)\(y=\operatorname{arc}\cotx\)
\({y}'=-\frac{1}{1+{{x}^{2}}}\)
\(d(\operatorname{arc}\cotx)=-\frac{1}{1+{{x}^{2}}}dx\)(15)\(y=shx\)
\({y}'=chx\)\(d(shx)=chxdx\)
(16)\(y=chx\)
\({y}'=shx\)\(d(chx)=shxdx\)
7.复合函数，反函数，隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法
(1)反函数的运算法则:\(设y=f(x)在点x的某邻域内单调连续，在点x处可导且{f}'(x)\ne0，则其反函数在点x所对应的y处可导，并且有\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}\)(2)复合函数的运算法则:\(若\mu=\varphi(x)在点x可导,而y=f(\mu)在对应点\mu(\mu=\varphi(x))可导,则复合函数y=f(\varphi(x))在点x可导,且{y}'={f}'(\mu)\cdot{\varphi}'(x)\)(3)\(隐函数导数\frac{dy}{dx}的求法一般有三种方法：1)方程两边对x求导，要记住y是x的函数，则y的函数是x的复合函数.例如\frac{1}{y}，{{y}^{2}}，lny，{{{e}}^{y}}等均是x的复合函数.\)对x求导应按复合函数连锁法则做.2)公式法.由F(x,y)=0知\(\frac{dy}{dx}=-\frac{{{{{F}'}}_{x}}(x,y)}{{{{{F}'}}_{y}}(x,y)}其中，,其中，{{{F}'}_{x}}(x,y)\)，\({{{F}'}_{y}}(x,y)分别表示分别表示F(x,y)对对x和和y\)的偏导数3)利用微分形式不变性
8.常用高阶导数公式
（1）\(({{a}^{x}}){{\,}^{(n)}}={{a}^{x}}{{\ln}^{n}}a\quad(a>{0})\quad\quad({{{e}}^{x}}){{\,}^{(n)}}={e}{{\,}^{x}}\)（2）\((\sinkx{)}{{\,}^{(n)}}={{k}^{n}}\sin(kx+n\cdot\frac{\pi}{{2}})\)（3）\((\coskx{)}{{\,}^{(n)}}={{k}^{n}}\cos(kx+n\cdot\frac{\pi}{{2}})\)（4）\(({{x}^{m}}){{\,}^{(n)}}=m(m-1)\cdots(m-n+1){{x}^{m-n}}\)（5）\((\lnx){{\,}^{(n)}}={{(-{1})}^{(n-{1})}}\frac{(n-{1})!}{{{x}^{n}}}\)（6）莱布尼兹公式：若\(u(x)\,,v(x)\)均\(n\)阶可导，则\({{(uv)}^{(n)}}=\sum\limits_{i={0}}^{n}{c_{n}^{i}{{u}^{(i)}}{{v}^{(n-i)}}}\)，其中\({{u}^{({0})}}=u\)，\({{v}^{({0})}}=v\)
9.微分中值定理，泰勒公式
Th1:(费马定理)
若函数\(f(x)\)满足条件：(1)函数\(f(x)\)在\({{x}_{0}}\)的某邻域内有定义，并且在此邻域内恒有\(f(x)\lef({{x}_{0}})\)或\(f(x)\gef({{x}_{0}})\),
(2)\(f(x)\)在\({{x}_{0}}\)处可导,则有\({f}'({{x}_{0}})=0\)
Th2:(罗尔定理)
设函数\(f(x)\)满足条件：(1)在闭区间\([a,b]\)上连续；
(2)在\((a,b)\)内可导；
(3)\(f(a)=f(b)\)；
则在\((a,b)\)内一存在个$\xi$，使\({f}'(\xi)=0\)Th3:(拉格朗日中值定理)
设函数\(f(x)\)满足条件：(1)在\([a,b]\)上连续；
则在\((a,b)\)内一存在个$\xi$，使\(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}={f}'(\xi)\)
Th4:(柯西中值定理)
设函数\(f(x)\)，\(g(x)\)满足条件：(1)在\([a,b]\)上连续；
(2)在\((a,b)\)内可导且\({f}'(x)\)，\({g}'(x)\)均存在，且\({g}'(x)\ne0\)
则在\((a,b)\)内存在一个$\xi$，使\(\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{{f}'(\xi)}{{g}'(\xi)}\)
10.洛必达法则法则Ⅰ(\(\frac{0}{0}\)型)设函数\(f\left(x\right),g\left(x\right)\)满足条件：\(\underset{x\to{{x}_{0}}}{\mathop{\lim}}\,f\left(x\right)=0,\underset{x\to{{x}_{0}}}{\mathop{\lim}}\,g\left(x\right)=0\);
\(f\left(x\right),g\left(x\right)\)在\({{x}_{0}}\)的邻域内可导，(在\({{x}_{0}}\)处可除外)且\({g}'\left(x\right)\ne0\);
\(\underset{x\to{{x}_{0}}}{\mathop{\lim}}\,\frac{{f}'\left(x\right)}{{g}'\left(x\right)}\)存在(或$\infty$)。
则:\(\underset{x\to{{x}_{0}}}{\mathop{\lim}}\,\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\underset{x\to{{x}_{0}}}{\mathop{\lim}}\,\frac{{f}'\left(x\right)}{{g}'\left(x\right)}\)。法则\({{I}'}\)(\(\frac{0}{0}\)型)设函数\(f\left(x\right),g\left(x\right)\)满足条件：\(\underset{x\to\infty}{\mathop{\lim}}\,f\left(x\right)=0,\underset{x\to\infty}{\mathop{\lim}}\,g\left(x\right)=0\);
存在一个\(X>0\),当\(\left|x\right|>X\)时,\(f\left(x\right),g\left(x\right)\)可导,且\({g}'\left(x\right)\ne0\);\(\underset{x\to{{x}_{0}}}{\mathop{\lim}}\,\frac{{f}'\left(x\right)}{{g}'\left(x\right)}\)存在(或$\infty$)。
则\(\underset{x\to{{x}_{0}}}{\mathop{\lim}}\,\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\underset{x\to{{x}_{0}}}{\mathop{\lim}}\,\frac{{f}'\left(x\right)}{{g}'\left(x\right)}\)法则Ⅱ(\(\frac{\infty}{\infty}\)型)设函数\(f\left(x\right),g\left(x\right)\)满足条件：\(\underset{x\to{{x}_{0}}}{\mathop{\lim}}\,f\left(x\right)=\infty,\underset{x\to{{x}_{0}}}{\mathop{\lim}}\,g\left(x\right)=\infty\);\(f\left(x\right),g\left(x\right)\)在\({{x}_{0}}\)的邻域内可导(在\({{x}_{0}}\)处可除外)且\({g}'\left(x\right)\ne0\);\(\underset{x\to{{x}_{0}}}{\mathop{\lim}}\,\frac{{f}'\left(x\right)}{{g}'\left(x\right)}\)存在(或$\infty\()。则\)\(\underset{x\to{{x}_{0}}}{\mathop{\lim}}\,\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\underset{x\to{{x}_{0}}}{\mathop{\lim}}\,\frac{{f}'\left(x\right)}{{g}'\left(x\right)}\)$同理法则\({I{I}'}\)(\(\frac{\infty}{\infty}\)型)仿法则\({{I}'}\)可写出。
11.泰勒公式
设函数\(f(x)\)在点\({{x}_{0}}\)处的某邻域内具有\(n+1\)阶导数，则对该邻域内异于\({{x}_{0}}\)的任意点\(x\)，在\({{x}_{0}}\)与\(x\)之间至少存在一个\(\xi\)，使得：\(f(x)=f({{x}_{0}})+{f}'({{x}_{0}})(x-{{x}_{0}})+\frac{1}{2!}{f}''({{x}_{0}}){{(x-{{x}_{0}})}^{2}}+\cdots\)\(+\frac{{{f}^{(n)}}({{x}_{0}})}{n!}{{(x-{{x}_{0}})}^{n}}+{{R}_{n}}(x)\)其中\({{R}_{n}}(x)=\frac{{{f}^{(n+1)}}(\xi)}{(n+1)!}{{(x-{{x}_{0}})}^{n+1}}\)称为\(f(x)\)在点\({{x}_{0}}\)处的\(n\)阶泰勒余项。
令\({{x}_{0}}=0\)，则\(n\)阶泰勒公式\(f(x)=f(0)+{f}'(0)x+\frac{1}{2!}{f}''(0){{x}^{2}}+\cdots+\frac{{{f}^{(n)}}(0)}{n!}{{x}^{n}}+{{R}_{n}}(x)\)……(1)其中\({{R}_{n}}(x)=\frac{{{f}^{(n+1)}}(\xi)}{(n+1)!}{{x}^{n+1}}\)，$\xi\(在0与\)x$之间.(1)式称为麦克劳林公式
常用五种函数在\({{x}_{0}}=0\)处的泰勒公式
(1)\({{{e}}^{x}}=1+x+\frac{1}{2!}{{x}^{2}}+\cdots+\frac{1}{n!}{{x}^{n}}+\frac{{{x}^{n+1}}}{(n+1)!}{{e}^{\xi}}\)
或\(=1+x+\frac{1}{2!}{{x}^{2}}+\cdots+\frac{1}{n!}{{x}^{n}}+o({{x}^{n}})\)
(2)\(\sinx=x-\frac{1}{3!}{{x}^{3}}+\cdots+\frac{{{x}^{n}}}{n!}\sin\frac{n\pi}{2}+\frac{{{x}^{n+1}}}{(n+1)!}\sin(\xi+\frac{n+1}{2}\pi)\)
或\(=x-\frac{1}{3!}{{x}^{3}}+\cdots+\frac{{{x}^{n}}}{n!}\sin\frac{n\pi}{2}+o({{x}^{n}})\)
(3)\(\cosx=1-\frac{1}{2!}{{x}^{2}}+\cdots+\frac{{{x}^{n}}}{n!}\cos\frac{n\pi}{2}+\frac{{{x}^{n+1}}}{(n+1)!}\cos(\xi+\frac{n+1}{2}\pi)\)
或\(=1-\frac{1}{2!}{{x}^{2}}+\cdots+\frac{{{x}^{n}}}{n!}\cos\frac{n\pi}{2}+o({{x}^{n}})\)
(4)\(\ln(1+x)=x-\frac{1}{2}{{x}^{2}}+\frac{1}{3}{{x}^{3}}-\cdots+{{(-1)}^{n-1}}\frac{{{x}^{n}}}{n}+\frac{{{(-1)}^{n}}{{x}^{n+1}}}{(n+1){{(1+\xi)}^{n+1}}}\)
或\(=x-\frac{1}{2}{{x}^{2}}+\frac{1}{3}{{x}^{3}}-\cdots+{{(-1)}^{n-1}}\frac{{{x}^{n}}}{n}+o({{x}^{n}})\)
(5)\({{(1+x)}^{m}}=1+mx+\frac{m(m-1)}{2!}{{x}^{2}}+\cdots+\frac{m(m-1)\cdots(m-n+1)}{n!}{{x}^{n}}\)\(+\frac{m(m-1)\cdots(m-n+1)}{(n+1)!}{{x}^{n+1}}{{(1+\xi)}^{m-n-1}}\)
或\({{(1+x)}^{m}}=1+mx+\frac{m(m-1)}{2!}{{x}^{2}}+\cdots\)，\(+\frac{m(m-1)\cdots(m-n+1)}{n!}{{x}^{n}}+o({{x}^{n}})\)
12.函数单调性的判断Th1:设函数\(f(x)\)在\((a,b)\)区间内可导，如果对\(\forallx\in(a,b)\)，都有\(f\,'(x)>0\)（或\(f\,'(x)<0\)），则函数\(f(x)\)在\((a,b)\)内是单调增加的（或单调减少）
Th2:（取极值的必要条件）设函数\(f(x)\)在\({{x}_{0}}\)处可导，且在\({{x}_{0}}\)处取极值，则\(f\,'({{x}_{0}})=0\)。
Th3:（取极值的第一充分条件）设函数\(f(x)\)在\({{x}_{0}}\)的某一邻域内可微，且\(f\,'({{x}_{0}})=0\)（或\(f(x)\)在\({{x}_{0}}\)处连续，但\(f\,'({{x}_{0}})\)不存在。）(1)若当\(x\)经过\({{x}_{0}}\)时，\(f\,'(x)\)由“+”变“-”，则\(f({{x}_{0}})\)为极大值；(2)若当\(x\)经过\({{x}_{0}}\)时，\(f\,'(x)\)由“-”变“+”，则\(f({{x}_{0}})\)为极小值；(3)若\(f\,'(x)\)经过\(x={{x}_{0}}\)的两侧不变号，则\(f({{x}_{0}})\)不是极值。
Th4:(取极值的第二充分条件)设\(f(x)\)在点\({{x}_{0}}\)处有\(f''(x)\ne0\)，且\(f\,'({{x}_{0}})=0\)，则当\(f'\,'({{x}_{0}})<0\)时，\(f({{x}_{0}})\)为极大值；当\(f'\,'({{x}_{0}})>0\)时，\(f({{x}_{0}})\)为极小值。注：如果\(f'\,'({{x}_{0}})<0\)，此方法失效。
13.渐近线的求法(1)水平渐近线若\(\underset{x\to+\infty}{\mathop{\lim}}\,f(x)=b\)，或\(\underset{x\to-\infty}{\mathop{\lim}}\,f(x)=b\)，则
\(y=b\)称为函数\(y=f(x)\)的水平渐近线。
(2)铅直渐近线若$$\underset{x\tox_{0}^{-}}{\mathop{\lim}},f(x)=\infty$$，或$$\underset{x\tox_{0}^{+}}{\mathop{\lim}},f(x)=\infty$$，则
\(x={{x}_{0}}\)称为\(y=f(x)\)的铅直渐近线。
(3)斜渐近线若\(a=\underset{x\to\infty}{\mathop{\lim}}\,\frac{f(x)}{x},\quadb=\underset{x\to\infty}{\mathop{\lim}}\,[f(x)-ax]\)，则\(y=ax+b\)称为\(y=f(x)\)的斜渐近线。
14.函数凹凸性的判断Th1:(凹凸性的判别定理）\(若在I上f''(x)<0（或f''(x)>0），则f(x)在I上是凸的（或凹的）。\)
Th2:(拐点的判别定理1)若在\({{x}_{0}}处处f''(x)=0，（或，（或f''(x)不存在），当不存在），当x变动经过变动经过{{x}_{0}}时，时，f''(x)变号，则变号，则({{x}_{0}},f({{x}_{0}}))\)为拐点。
Th3:(拐点的判别定理2)设\(f(x)\)在\({{x}_{0}}\)点的某邻域内有三阶导数，且\(f''(x)=0\)，\(f'''(x)\ne0\)，则\(({{x}_{0}},f({{x}_{0}}))\)为拐点。
15.弧微分
\(dS=\sqrt{1+y{{'}^{2}}}dx\)
16.曲率
曲线\(y=f(x)\)在点\((x,y)\)处的曲率\(k=\frac{\left|y''\right|}{{{(1+y{{'}^{2}})}^{\tfrac{3}{2}}}}\)。对于参数方程\(\left\{\begin{align}&x=\varphi(t)\\&y=\psi(t)\\\end{align}\right.,\)\(k=\frac{\left|\varphi'(t)\psi''(t)-\varphi''(t)\psi'(t)\right|}{{{[\varphi{{'}^{2}}(t)+\psi{{'}^{2}}(t)]}^{\tfrac{3}{2}}}}\)。
17.曲率半径
\(曲线在点M处的曲率k(k\ne0)与曲线在点M处的曲率半径\rho有如下关系：\rho=\frac{1}{k}。\)
1.行列式按行（列）展开定理
(1)设\(A=(a_{{ij}})_{n\timesn}\)，则：\(a_{i1}A_{j1}+a_{i2}A_{j2}+\cdots+a_{{in}}A_{{jn}}=\begin{cases}|A|,i=j\\0,i\neqj\end{cases}\)
或\(a_{1i}A_{1j}+a_{2i}A_{2j}+\cdots+a_{{ni}}A_{{nj}}=\begin{cases}|A|,i=j\\0,i\neqj\end{cases}\)即\(AA^{*}=A^{*}A=\left|A\right|E,\)其中：\(A^{*}=\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\ldots&A_{1n}\\A_{21}&A_{22}&\ldots&A_{2n}\\\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\A_{n1}&A_{n2}&\ldots&A_{{nn}}\\\end{pmatrix}=(A_{{ji}})={(A_{{ij}})}^{T}\)
\(D_{n}=\begin{vmatrix}1&1&\ldots&1\\x_{1}&x_{2}&\ldots&x_{n}\\\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\x_{1}^{n-1}&x_{2}^{n-1}&\ldots&x_{n}^{n-1}\\\end{vmatrix}=\prod_{1\leqj (2)设\(A,B\)为\(n\)阶方阵，则\(\left|{AB}\right|=\left|A\right|\left|B\right|=\left|B\right|\left|A\right|=\left|{BA}\right|\)，但\(\left|A\pmB\right|=\left|A\right|\pm\left|B\right|\)不一定成立。 (3)\(\left|{kA}\right|=k^{n}\left|A\right|\),\(A\)为\(n\)阶方阵。 (4)设\(A\)为\(n\)阶方阵，\(|A^{T}|=|A|;|A^{-1}|=|A|^{-1}\)（若\(A\)可逆），\(|A^{*}|=|A|^{n-1}\) \(n\geq2\) (5)\(\left|\begin{matrix}&{A\quadO}\\&{O\quadB}\\\end{matrix}\right|=\left|\begin{matrix}&{A\quadC}\\&{O\quadB}\\\end{matrix}\right|=\left|\begin{matrix}&{A\quadO}\\&{C\quadB}\\\end{matrix}\right|=|A||B|\)，\(A,B\)为方阵，但\(\left|\begin{matrix}{O}&A_{m\timesm}\\B_{n\timesn}&{O}\\\end{matrix}\right|=({-1)}^{{mn}}|A||B|\)。 (6)范德蒙行列式\(D_{n}=\begin{vmatrix}1&1&\ldots&1\\x_{1}&x_{2}&\ldots&x_{n}\\\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\x_{1}^{n-1}&x_{2}^{n1}&\ldots&x_{n}^{n-1}\\\end{vmatrix}=\prod_{1\leqj 设\(A\)是\(n\)阶方阵，\(\lambda_{i}(i=1,2\cdots,n)\)是\(A\)的\(n\)个特征值，则\(|A|=\prod_{i=1}^{n}\lambda_{i}\) 矩阵：\(m\timesn\)个数\(a_{{ij}}\)排成\(m\)行\(n\)列的表格\(\begin{bmatrix}a_{11}\quada_{12}\quad\cdots\quada_{1n}\\a_{21}\quada_{22}\quad\cdots\quada_{2n}\\\quad\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\a_{m1}\quada_{m2}\quad\cdots\quada_{{mn}}\\\end{bmatrix}\)称为矩阵，简记为\(A\)，或者\(\left(a_{{ij}}\right)_{m\timesn}\)。若\(m=n\)，则称\(A\)是\(n\)阶矩阵或\(n\)阶方阵。 矩阵的线性运算 1.矩阵的加法 设\(A=(a_{{ij}}),B=(b_{{ij}})\)是两个\(m\timesn\)矩阵，则\(m\timesn\)矩阵\(C=c_{{ij}})=a_{{ij}}+b_{{ij}}\)称为矩阵\(A\)与\(B\)的和，记为\(A+B=C\)。 2.矩阵的数乘 设\(A=(a_{{ij}})\)是\(m\timesn\)矩阵，\(k\)是一个常数，则\(m\timesn\)矩阵\((ka_{{ij}})\)称为数\(k\)与矩阵\(A\)的数乘，记为\({kA}\)。 3.矩阵的乘法 设\(A=(a_{{ij}})\)是\(m\timesn\)矩阵，\(B=(b_{{ij}})\)是\(n\timess\)矩阵，那么\(m\timess\)矩阵\(C=(c_{{ij}})\)，其中\(c_{{ij}}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{{in}}b_{{nj}}=\sum_{k=1}^{n}{a_{{ik}}b_{{kj}}}\)称为\({AB}\)的乘积，记为\(C=AB\)。 4.\(\mathbf{A}^{\mathbf{T}}\)、\(\mathbf{A}^{\mathbf{-1}}\)、\(\mathbf{A}^{\mathbf{*}}\)三者之间的关系 (1)\({(A^{T})}^{T}=A,{(AB)}^{T}=B^{T}A^{T},{(kA)}^{T}=kA^{T},{(A\pmB)}^{T}=A^{T}\pmB^{T}\) (2)\(\left(A^{-1}\right)^{-1}=A,\left({AB}\right)^{-1}=B^{-1}A^{-1},\left({kA}\right)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1},\) 但\({(A\pmB)}^{-1}=A^{-1}\pmB^{-1}\)不一定成立。 (3)\(\left(A^{*}\right)^{*}=|A|^{n-2}\A\\(n\geq3)\)，\(\left({AB}\right)^{*}=B^{*}A^{*},\)\(\left({kA}\right)^{*}=k^{n-1}A^{*}{\\}\left(n\geq2\right)\) 但\(\left(A\pmB\right)^{*}=A^{*}\pmB^{*}\)不一定成立。 (4)\({(A^{-1})}^{T}={(A^{T})}^{-1},\\left(A^{-1}\right)^{*}={(AA^{*})}^{-1},{(A^{*})}^{T}=\left(A^{T}\right)^{*}\) 5.有关\(\mathbf{A}^{\mathbf{*}}\)的结论 (1)\(AA^{*}=A^{*}A=|A|E\) (2)\(|A^{*}|=|A|^{n-1}\(n\geq2),\\\\{(kA)}^{*}=k^{n-1}A^{*},{{\\}\left(A^{*}\right)}^{*}=|A|^{n-2}A(n\geq3)\) (3)若\(A\)可逆，则\(A^{*}=|A|A^{-1},{(A^{*})}^{*}=\frac{1}{|A|}A\) (4)若\(A\)为\(n\)阶方阵，则： \(r(A^*)=\begin{cases}n,\quadr(A)=n\\1,\quadr(A)=n-1\\0,\quadr(A) 6.有关\(\mathbf{A}^{\mathbf{-1}}\)的结论 \(A\)可逆\(\LeftrightarrowAB=E;\Leftrightarrow|A|\neq0;\Leftrightarrowr(A)=n;\) \(\LeftrightarrowA\)可以表示为初等矩阵的乘积；\(\LeftrightarrowA;\LeftrightarrowAx=0\)。 7.有关矩阵秩的结论 (1)秩\(r(A)\)=行秩=列秩； (2)\(r(A_{m\timesn})\leq\min(m,n);\) (3)\(A\neq0\Rightarrowr(A)\geq1\)； (4)\(r(A\pmB)\leqr(A)+r(B);\) (5)初等变换不改变矩阵的秩 (6)\(r(A)+r(B)-n\leqr(AB)\leq\min(r(A),r(B)),\)特别若\(AB=O\)则：\(r(A)+r(B)\leqn\) (7)若\(A^{-1}\)存在\(\Rightarrowr(AB)=r(B);\)若\(B^{-1}\)存在\(\Rightarrowr(AB)=r(A);\) 若\(r(A_{m\timesn})=n\Rightarrowr(AB)=r(B);\)若\(r(A_{m\timess})=n\Rightarrowr(AB)=r\left(A\right)\)。 (8)\(r(A_{m\timess})=n\LeftrightarrowAx=0\)只有零解 8.分块求逆公式 \(\begin{pmatrix}A&O\\O&B\\\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}A^{-1}&O\\O&B^{-1}\\\end{pmatrix}\)；\(\begin{pmatrix}A&C\\O&B\\\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}A^{-1}&-A^{-1}CB^{-1}\\O&B^{-1}\\\end{pmatrix}\)； \(\begin{pmatrix}A&O\\C&B\\\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}A^{-1}&{O}\\-B^{-1}CA^{-1}&B^{-1}\\\end{pmatrix}\)；\(\begin{pmatrix}O&A\\B&O\\\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}O&B^{-1}\\A^{-1}&O\\\end{pmatrix}\) 这里\(A\)，\(B\)均为可逆方阵。 1.有关向量组的线性表示 (3)\(\beta\)可以由\(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}\)线性表示\(\Leftrightarrowr(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s})=r(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s},\beta)\)。 3.有关向量组的线性表示 (3)\(\beta\)可以由\(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}\)线性表示\(\Leftrightarrowr(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s})=r(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s},\beta)\) 4.向量组的秩与矩阵的秩之间的关系 (1)若\(r(A_{m\timesn})=r=m\)，则\(A\)的行向量组线性无关。 (3)若\(r(A_{m\timesn})=r=n\)，则\(A\)的列向量组线性无关。 5.\(\mathbf{n}\)维向量空间的基变换公式及过渡矩阵 若\(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}\)与\(\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n}\)是向量空间\(V\)的两组基，则基变换公式为： \((\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n})=(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n})\begin{bmatrix}c_{11}&c_{12}&\cdots&c_{1n}\\c_{21}&c_{22}&\cdots&c_{2n}\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\c_{n1}&c_{n2}&\cdots&c_{{nn}}\\\end{bmatrix}=(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n})C\) 其中\(C\)是可逆矩阵，称为由基\(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}\)到基\(\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n}\)的过渡矩阵。 6.坐标变换公式 若向量\(\gamma\)在基\(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}\)与基\(\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n}\)的坐标分别是\(X={(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})}^{T}\)， \(Y=\left(y_{1},y_{2},\cdots,y_{n}\right)^{T}\)即：\(\gamma=x_{1}\alpha_{1}+x_{2}\alpha_{2}+\cdots+x_{n}\alpha_{n}=y_{1}\beta_{1}+y_{2}\beta_{2}+\cdots+y_{n}\beta_{n}\)，则向量坐标变换公式为\(X=CY\)或\(Y=C^{-1}X\)，其中\(C\)是从基\(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}\)到基\(\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n}\)的过渡矩阵。 7.向量的内积 \((\alpha,\beta)=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots+a_{n}b_{n}=\alpha^{T}\beta=\beta^{T}\alpha\) 8.Schmidt正交化 若\(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}\)线性无关，则可构造\(\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{s}\)使其两两正交，且\(\beta_{i}\)仅是\(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{i}\)的线性组合\((i=1,2,\cdots,n)\)，再把\(\beta_{i}\)单位化，记\(\gamma_{i}=\frac{\beta_{i}}{\left|\beta_{i}\right|}\)，则\(\gamma_{1},\gamma_{2},\cdots,\gamma_{i}\)是规范正交向量组。其中\(\beta_{1}=\alpha_{1}\)，\(\beta_{2}=\alpha_{2}-\frac{(\alpha_{2},\beta_{1})}{(\beta_{1},\beta_{1})}\beta_{1}\)，\(\beta_{3}=\alpha_{3}-\frac{(\alpha_{3},\beta_{1})}{(\beta_{1},\beta_{1})}\beta_{1}-\frac{(\alpha_{3},\beta_{2})}{(\beta_{2},\beta_{2})}\beta_{2}\)， ............ \(\beta_{s}=\alpha_{s}-\frac{(\alpha_{s},\beta_{1})}{(\beta_{1},\beta_{1})}\beta_{1}-\frac{(\alpha_{s},\beta_{2})}{(\beta_{2},\beta_{2})}\beta_{2}-\cdots-\frac{(\alpha_{s},\beta_{s-1})}{(\beta_{s-1},\beta_{s-1})}\beta_{s-1}\) 9.正交基及规范正交基 向量空间一组基中的向量如果两两正交，就称为正交基；若正交基中每个向量都是单位向量，就称其为规范正交基。 1．克莱姆法则 线性方程组\(\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n}=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n}=b_{2}\\\quad\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\cdots+a_{{nn}}x_{n}=b_{n}\\\end{cases}\)，如果系数行列式\(D=\left|A\right|\neq0\)，则方程组有唯一解，\(x_{1}=\frac{D_{1}}{D},x_{2}=\frac{D_{2}}{D},\cdots,x_{n}=\frac{D_{n}}{D}\)，其中\(D_{j}\)是把\(D\)中第\(j\)列元素换成方程组右端的常数列所得的行列式。 2.\(n\)阶矩阵\(A\)可逆\(\LeftrightarrowAx=0\)只有零解。\(\Leftrightarrow\forallb,Ax=b\)总有唯一解，一般地，\(r(A_{m\timesn})=n\LeftrightarrowAx=0\)只有零解。 3.非奇次线性方程组有解的充分必要条件，线性方程组解的性质和解的结构 (1)设\(A\)为\(m\timesn\)矩阵，若\(r(A_{m\timesn})=m\)，则对\(Ax=b\)而言必有\(r(A)=r(A\vdotsb)=m\)，从而\(Ax=b\)有解。 (2)设\(x_{1},x_{2},\cdotsx_{s}\)为\(Ax=b\)的解，则\(k_{1}x_{1}+k_{2}x_{2}\cdots+k_{s}x_{s}\)当\(k_{1}+k_{2}+\cdots+k_{s}=1\)时仍为\(Ax=b\)的解；但当\(k_{1}+k_{2}+\cdots+k_{s}=0\)时，则为\(Ax=0\)的解。特别\(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\)为\(Ax=b\)的解；\(2x_{3}-(x_{1}+x_{2})\)为\(Ax=0\)的解。 (3)非齐次线性方程组\({Ax}=b\)无解\(\Leftrightarrowr(A)+1=r(\overline{A})\Leftrightarrowb\)不能由\(A\)的列向量\(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}\)线性表示。 4.奇次线性方程组的基础解系和通解，解空间，非奇次线性方程组的通解 (1)齐次方程组\({Ax}=0\)恒有解(必有零解)。当有非零解时，由于解向量的任意线性组合仍是该齐次方程组的解向量，因此\({Ax}=0\)的全体解向量构成一个向量空间，称为该方程组的解空间，解空间的维数是\(n-r(A)\)，解空间的一组基称为齐次方程组的基础解系。 (2)\(\eta_{1},\eta_{2},\cdots,\eta_{t}\)是\({Ax}=0\)的基础解系，即： 1.矩阵的特征值和特征向量的概念及性质 (1)设\(\lambda\)是\(A\)的一个特征值，则\({kA},{aA}+{bE},A^{2},A^{m},f(A),A^{T},A^{-1},A^{*}\)有一个特征值分别为\({kλ},{aλ}+b,\lambda^{2},\lambda^{m},f(\lambda),\lambda,\lambda^{-1},\frac{|A|}{\lambda},\)且对应特征向量相同（\(A^{T}\)例外）。 (2)若\(\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n}\)为\(A\)的\(n\)个特征值，则\(\sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}=\sum_{i=1}^{n}a_{{ii}},\prod_{i=1}^{n}\lambda_{i}=|A|\),从而\(|A|\neq0\LeftrightarrowA\)没有特征值。 (3)设\(\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{s}\)为\(A\)的\(s\)个特征值，对应特征向量为\(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}\)， 若:\(\alpha=k_{1}\alpha_{1}+k_{2}\alpha_{2}+\cdots+k_{s}\alpha_{s}\), 则:\(A^{n}\alpha=k_{1}A^{n}\alpha_{1}+k_{2}A^{n}\alpha_{2}+\cdots+k_{s}A^{n}\alpha_{s}=k_{1}\lambda_{1}^{n}\alpha_{1}+k_{2}\lambda_{2}^{n}\alpha_{2}+\cdotsk_{s}\lambda_{s}^{n}\alpha_{s}\)。 2.相似变换、相似矩阵的概念及性质 (1)若\(A\simB\)，则 3.矩阵可相似对角化的充分必要条件 (1)设\(A\)为\(n\)阶方阵，则\(A\)可对角化\(\Leftrightarrow\)对每个\(k_{i}\)重根特征值\(\lambda_{i}\)，有\(n-r(\lambda_{i}E-A)=k_{i}\) (2)设\(A\)可对角化，则由\(P^{-1}{AP}=\Lambda,\)有\(A={PΛ}P^{-1}\)，从而\(A^{n}=P\Lambda^{n}P^{-1}\) (3)重要结论 4.实对称矩阵的特征值、特征向量及相似对角阵 (1)相似矩阵：设\(A,B\)为两个\(n\)阶方阵，如果存在一个可逆矩阵\(P\)，使得\(B=P^{-1}{AP}\)成立，则称矩阵\(A\)与\(B\)相似，记为\(A\simB\)。 (2)相似矩阵的性质：如果\(A\simB\)则有： 1.\(\mathbf{n}\)个变量\(\mathbf{x}_{\mathbf{1}}\mathbf{,}\mathbf{x}_{\mathbf{2}}\mathbf{,\cdots,}\mathbf{x}_{\mathbf{n}}\)的二次齐次函数 \(f(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})=\sum_{i=1}^{n}{\sum_{j=1}^{n}{a_{{ij}}x_{i}y_{j}}}\)，其中\(a_{{ij}}=a_{{ji}}(i,j=1,2,\cdots,n)\)，称为\(n\)元二次型，简称二次型.若令\(x=\\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{1}\\\vdots\\x_{n}\\\end{bmatrix},A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{{nn}}\\\end{bmatrix}\),这二次型\(f\)可改写成矩阵向量形式\(f=x^{T}{Ax}\)。其中\(A\)称为二次型矩阵，因为\(a_{{ij}}=a_{{ji}}(i,j=1,2,\cdots,n)\)，所以二次型矩阵均为对称矩阵，且二次型与对称矩阵一一对应，并把矩阵\(A\)的秩称为二次型的秩。 2.惯性定理，二次型的标准形和规范形 (1)惯性定理 对于任一二次型，不论选取怎样的合同变换使它化为仅含平方项的标准型，其正负惯性指数与所选变换无关，这就是所谓的惯性定理。 (2)标准形 二次型\(f=\left(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\right)=x^{T}{Ax}\)经过合同变换\(x={Cy}\)化为\(f=x^{T}{Ax}=y^{T}C^{T}{AC}\) \(y=\sum_{i=1}^{r}{d_{i}y_{i}^{2}}\)称为\(f(r\leqn)\)的标准形。在一般的数域内，二次型的标准形不是唯一的，与所作的合同变换有关，但系数不为零的平方项的个数由\(r(A)\)唯一确定。 (3)规范形 任一实二次型\(f\)都可经过合同变换化为规范形\(f=z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+\cdotsz_{p}^{2}-z_{p+1}^{2}-\cdots-z_{r}^{2}\)，其中\(r\)为\(A\)的秩，\(p\)为正惯性指数，\(r-p\)为负惯性指数，且规范型唯一。 3.用正交变换和配方法化二次型为标准形，二次型及其矩阵的正定性 设\(A\)正定\(\Rightarrow{kA}(k>0),A^{T},A^{-1},A^{*}\)正定；\(|A|>0\),\(A\)可逆；\(a_{{ii}}>0\)，且\(|A_{{ii}}|>0\) \(A\)，\(B\)正定\(\RightarrowA+B\)正定，但\({AB}\)，\({BA}\)不一定正定 \(A\)正定\(\Leftrightarrowf(x)=x^{T}{Ax}>0,\forallx\neq0\) \(\LeftrightarrowA\)的各阶顺序主子式全大于零 \(\LeftrightarrowA\)的所有特征值大于零 \(\LeftrightarrowA\)的正惯性指数为\(n\) \(\Leftrightarrow\)存在可逆阵\(P\)使\(A=P^{T}P\) \(\Leftrightarrow\)存在正交矩阵\(Q\)，使\(Q^{T}{AQ}=Q^{-1}{AQ}=\begin{pmatrix}\lambda_{1}&&\\\begin{matrix}&\\&\\\end{matrix}&\ddots&\\&&\lambda_{n}\\\end{pmatrix},\) 其中\(\lambda_{i}>0,i=1,2,\cdots,n.\)正定\(\Rightarrow{kA}(k>0),A^{T},A^{-1},A^{*}\)正定；\(|A|>0,A\)可逆；\(a_{{ii}}>0\)，且\(|A_{{ii}}|>0\)。 1.事件的关系与运算 (1)子事件：\(A\subsetB\)，若\(A\)发生，则\(B\)发生。 (2)相等事件：\(A=B\)，即\(A\subsetB\)，且\(B\subsetA\)。 (3)和事件：\(A\bigcupB\)（或\(A+B\)），\(A\)与\(B\)中至少有一个发生。 (4)差事件：\(A-B\)，\(A\)发生但\(B\)不发生。 (5)积事件：\(A\bigcapB\)（或\({AB}\)），\(A\)与\(B\)同时发生。 (6)互斥事件（互不相容）：\(A\bigcapB\)=\(\varnothing\)。 (7)互逆事件（对立事件）：\(A\bigcapB=\varnothing,A\bigcupB=\Omega,A=\bar{B},B=\bar{A}\)2.运算律(1)交换律：\(A\bigcupB=B\bigcupA,A\bigcapB=B\bigcapA\)(2)结合律：\((A\bigcupB)\bigcupC=A\bigcup(B\bigcupC)\)(3)分配律：\((A\bigcapB)\bigcapC=A\bigcap(B\bigcapC)\)3.德$\centerdot$摩根律 \(\overline{A\bigcupB}=\bar{A}\bigcap\bar{B}\)\(\overline{A\bigcapB}=\bar{A}\bigcup\bar{B}\)4.完全事件组 \({{A}_{1}}{{A}_{2}}\cdots{{A}_{n}}\)两两互斥，且和事件为必然事件，即${{A}{i}}\bigcap{{A}{j}}=\varnothing,i\nej,\underset{i=1}{\overset{n}{\mathop\bigcup}},=\Omega$ 5.概率的基本公式(1)条件概率:\(P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}\),表示\(A\)发生的条件下，\(B\)发生的概率。(2)全概率公式：\(P(A)=\sum\limits_{i=1}^{n}{P(A|{{B}_{i}})P({{B}_{i}}),{{B}_{i}}{{B}_{j}}}=\varnothing,i\nej,\underset{i=1}{\overset{n}{\mathop{\bigcup}}}\,{{B}_{i}}=\Omega\)(3)Bayes公式： \(P({{B}_{j}}|A)=\frac{P(A|{{B}_{j}})P({{B}_{j}})}{\sum\limits_{i=1}^{n}{P(A|{{B}_{i}})P({{B}_{i}})}},j=1,2,\cdots,n\)注：上述公式中事件\({{B}_{i}}\)的个数可为可列个。(4)乘法公式：\(P({{A}_{1}}{{A}_{2}})=P({{A}_{1}})P({{A}_{2}}|{{A}_{1}})=P({{A}_{2}})P({{A}_{1}}|{{A}_{2}})\)\(P({{A}_{1}}{{A}_{2}}\cdots{{A}_{n}})=P({{A}_{1}})P({{A}_{2}}|{{A}_{1}})P({{A}_{3}}|{{A}_{1}}{{A}_{2}})\cdotsP({{A}_{n}}|{{A}_{1}}{{A}_{2}}\cdots{{A}_{n-1}})\) 6.事件的独立性(1)\(A\)与\(B\)相互独立\(\LeftrightarrowP(AB)=P(A)P(B)\)(2)\(A\)，\(B\)，\(C\)两两独立\(\LeftrightarrowP(AB)=P(A)P(B)\);\(P(BC)=P(B)P(C)\);\(P(AC)=P(A)P(C)\);(3)\(A\)，\(B\)，\(C\)相互独立\(\LeftrightarrowP(AB)=P(A)P(B)\);\(P(BC)=P(B)P(C)\);\(P(AC)=P(A)P(C)\);\(P(ABC)=P(A)P(B)P(C)\) 7.独立重复试验 1.随机变量及概率分布 取值带有随机性的变量，严格地说是定义在样本空间上，取值于实数的函数称为随机变量，概率分布通常指分布函数或分布律 2.分布函数的概念与性质 定义：\(F(x)=P(X\leqx),-\infty 性质：(1)\(0\leqF(x)\leq1\) (2)\(F(x)\)单调不减 (3)右连续\(F(x+0)=F(x)\) (4)\(F(-\infty)=0,F(+\infty)=1\) 3.离散型随机变量的概率分布 \(P(X=x_{i})=p_{i},i=1,2,\cdots,n,\cdots\quad\quadp_{i}\geq0,\sum_{i=1}^{\infty}p_{i}=1\) 4.连续型随机变量的概率密度 概率密度\(f(x)\);非负可积，且: (1)\(f(x)\geq0,\) (2)\(\int_{-\infty}^{+\infty}{f(x){dx}=1}\) (3)\(x\)为\(f(x)\)的连续点，则: \(f(x)=F'(x)\)分布函数\(F(x)=\int_{-\infty}^{x}{f(t){dt}}\) 5.常见分布 (1)0-1分布:\(P(X=k)=p^{k}{(1-p)}^{1-k},k=0,1\) (2)二项分布:\(B(n,p)\)：\(P(X=k)=C_{n}^{k}p^{k}{(1-p)}^{n-k},k=0,1,\cdots,n\) (3)Poisson分布:\(p(\lambda)\)：\(P(X=k)=\frac{\lambda^{k}}{k!}e^{-\lambda},\lambda>0,k=0,1,2\cdots\) (4)均匀分布\(U(a,b)\)：\(f(x)=\{\begin{matrix}&\frac{1}{b-a},a (5)正态分布:\(N(\mu,\sigma^{2}):\)\(\varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{{(x-\mu)}^{2}}{2\sigma^{2}}},\sigma>0,\infty (6)指数分布:$E(\lambda):f(x)={\begin{matrix}&\lambdae^{-{λx}},x>0,\lambda>0\&0,\\end{matrix}$ (7)几何分布:\(G(p):P(X=k)={(1-p)}^{k-1}p,0 (8)超几何分布:\(H(N,M,n):P(X=k)=\frac{C_{M}^{k}C_{N-M}^{n-k}}{C_{N}^{n}},k=0,1,\cdots,min(n,M)\) 6.随机变量函数的概率分布 (1)离散型：\(P(X=x_{1})=p_{i},Y=g(X)\) 则:\(P(Y=y_{j})=\sum_{g(x_{i})=y_{i}}^{}{P(X=x_{i})}\) (2)连续型：\(X\tilde{\}f_{X}(x),Y=g(x)\) 则:\(F_{y}(y)=P(Y\leqy)=P(g(X)\leqy)=\int_{g(x)\leqy}^{}{f_{x}(x)dx}\)，\(f_{Y}(y)=F'_{Y}(y)\) 7.重要公式与结论 (1)\(X\simN(0,1)\Rightarrow\varphi(0)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}},\Phi(0)=\frac{1}{2},\)\(\Phi(-a)=P(X\leq-a)=1-\Phi(a)\) (2)\(X\simN\left(\mu,\sigma^{2}\right)\Rightarrow\frac{X-\mu}{\sigma}\simN\left(0,1\right),P(X\leqa)=\Phi(\frac{a-\mu}{\sigma})\) (3)\(X\simE(\lambda)\RightarrowP(X>s+t|X>s)=P(X>t)\) (4)\(X\simG(p)\RightarrowP(X=m+k|X>m)=P(X=k)\) (5)离散型随机变量的分布函数为阶梯间断函数；连续型随机变量的分布函数为连续函数，但不一定为处处可导函数。 (6)存在既非离散也非连续型随机变量。 1.二维随机变量及其联合分布 由两个随机变量构成的随机向量\((X,Y)\)，联合分布为\(F(x,y)=P(X\leqx,Y\leqy)\) 2.二维离散型随机变量的分布 (1)联合概率分布律\(P\{X=x_{i},Y=y_{j}\}=p_{{ij}};i,j=1,2,\cdots\) (2)边缘分布律\(p_{i\cdot}=\sum_{j=1}^{\infty}p_{{ij}},i=1,2,\cdots\)\(p_{\cdotj}=\sum_{i}^{\infty}p_{{ij}},j=1,2,\cdots\) (3)条件分布律\(P\{X=x_{i}|Y=y_{j}\}=\frac{p_{{ij}}}{p_{\cdotj}}\)\(P\{Y=y_{j}|X=x_{i}\}=\frac{p_{{ij}}}{p_{i\cdot}}\) 3.二维连续性随机变量的密度 (1)联合概率密度\(f(x,y):\) (2)分布函数：\(F(x,y)=\int_{-\infty}^{x}{\int_{-\infty}^{y}{f(u,v)dudv}}\) (3)边缘概率密度：\(f_{X}\left(x\right)=\int_{-\infty}^{+\infty}{f\left(x,y\right){dy}}\)\(f_{Y}(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}{f(x,y)dx}\) (4)条件概率密度：\(f_{X|Y}\left(x\middle|y\right)=\frac{f\left(x,y\right)}{f_{Y}\left(y\right)}\)\(f_{Y|X}(y|x)=\frac{f(x,y)}{f_{X}(x)}\) 4.常见二维随机变量的联合分布 (1)二维均匀分布：\((x,y)\simU(D)\),\(f(x,y)=\begin{cases}\frac{1}{S(D)},(x,y)\inD\\0,其他\end{cases}\) (2)二维正态分布：\((X,Y)\simN(\mu_{1},\mu_{2},\sigma_{1}^{2},\sigma_{2}^{2},\rho)\),\((X,Y)\simN(\mu_{1},\mu_{2},\sigma_{1}^{2},\sigma_{2}^{2},\rho)\) \(f(x,y)=\frac{1}{2\pi\sigma_{1}\sigma_{2}\sqrt{1-\rho^{2}}}.\exp\left\{\frac{-1}{2(1-\rho^{2})}\lbrack\frac{{(x-\mu_{1})}^{2}}{\sigma_{1}^{2}}-2\rho\frac{(x-\mu_{1})(y-\mu_{2})}{\sigma_{1}\sigma_{2}}+\frac{{(y-\mu_{2})}^{2}}{\sigma_{2}^{2}}\rbrack\right\}\) \(X\)和\(Y\)的相互独立:\(\LeftrightarrowF\left(x,y\right)=F_{X}\left(x\right)F_{Y}\left(y\right)\): \(\Leftrightarrowp_{{ij}}=p_{i\cdot}\cdotp_{\cdotj}\)（离散型）\(\Leftrightarrowf\left(x,y\right)=f_{X}\left(x\right)f_{Y}\left(y\right)\)（连续型） 6.两个随机变量简单函数的概率分布 离散型：\(P\left(X=x_{i},Y=y_{i}\right)=p_{{ij}},Z=g\left(X,Y\right)\)则： \(P(Z=z_{k})=P\left\{g\left(X,Y\right)=z_{k}\right\}=\sum_{g\left(x_{i},y_{i}\right)=z_{k}}^{}{P\left(X=x_{i},Y=y_{j}\right)}\) 连续型：\(\left(X,Y\right)\simf\left(x,y\right),Z=g\left(X,Y\right)\)则： \(F_{z}\left(z\right)=P\left\{g\left(X,Y\right)\leqz\right\}=\iint_{g(x,y)\leqz}^{}{f(x,y)dxdy}\)，\(f_{z}(z)=F'_{z}(z)\) (1)边缘密度公式：\(f_{X}(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}{f(x,y)dy,}\)\(f_{Y}(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}{f(x,y)dx}\) (2)\(P\left\{\left(X,Y\right)\inD\right\}=\iint_{D}^{}{f\left(x,y\right){dxdy}}\) (3)若\((X,Y)\)服从二维正态分布\(N(\mu_{1},\mu_{2},\sigma_{1}^{2},\sigma_{2}^{2},\rho)\)则有： (4)若\(X\)与\(Y\)独立，且分别服从\(N(\mu_{1},\sigma_{1}^{2}),N(\mu_{1},\sigma_{2}^{2}),\)则：\(\left(X,Y\right)\simN(\mu_{1},\mu_{2},\sigma_{1}^{2},\sigma_{2}^{2},0),\) \(C_{1}X+C_{2}Y\tilde{\}N(C_{1}\mu_{1}+C_{2}\mu_{2},C_{1}^{2}\sigma_{1}^{2}C_{2}^{2}\sigma_{2}^{2}).\) (5)若\(X\)与\(Y\)相互独立，\(f\left(x\right)\)和\(g\left(x\right)\)为连续函数，则\(f\left(X\right)\)和\(g(Y)\)也相互独立。 1.数学期望 离散型：\(P\left\{X=x_{i}\right\}=p_{i},E(X)=\sum_{i}^{}{x_{i}p_{i}}\)； 连续型：\(X\simf(x),E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}{xf(x)dx}\) 性质： (1)\(E(C)=C,E\lbrackE(X)\rbrack=E(X)\) (2)\(E(C_{1}X+C_{2}Y)=C_{1}E(X)+C_{2}E(Y)\) (3)若\(X\)和\(Y\)独立，则\(E(XY)=E(X)E(Y)\) (4)\(\left\lbrackE(XY)\right\rbrack^{2}\leqE(X^{2})E(Y^{2})\) 2.方差：\(D(X)=E\left\lbrackX-E(X)\right\rbrack^{2}=E(X^{2})-\left\lbrackE(X)\right\rbrack^{2}\) 3.标准差：\(\sqrt{D(X)}\)， 4.离散型：\(D(X)=\sum_{i}^{}{\left\lbrackx_{i}-E(X)\right\rbrack^{2}p_{i}}\) 5.连续型：\(D(X)={\int_{-\infty}^{+\infty}\left\lbrackx-E(X)\right\rbrack}^{2}f(x)dx\) (1)\(\D(C)=0,D\lbrackE(X)\rbrack=0,D\lbrackD(X)\rbrack=0\) (2)\(X\)与\(Y\)相互独立，则\(D(X\pmY)=D(X)+D(Y)\) (3)\(\D\left(C_{1}X+C_{2}\right)=C_{1}^{2}D\left(X\right)\) (4)一般有\(D(X\pmY)=D(X)+D(Y)\pm2Cov(X,Y)=D(X)+D(Y)\pm2\rho\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}\) (5)\(\D\left(X\right) (6)\(\D(X)=0\LeftrightarrowP\left\{X=C\right\}=1\) 6.随机变量函数的数学期望 (1)对于函数\(Y=g(x)\) \(X\)为离散型：\(P\{X=x_{i}\}=p_{i},E(Y)=\sum_{i}^{}{g(x_{i})p_{i}}\)； \(X\)为连续型：\(X\simf(x),E(Y)=\int_{-\infty}^{+\infty}{g(x)f(x)dx}\) (2)\(Z=g(X,Y)\);\(\left(X,Y\right)\simP\{X=x_{i},Y=y_{j}\}=p_{{ij}}\);\(E(Z)=\sum_{i}^{}{\sum_{j}^{}{g(x_{i},y_{j})p_{{ij}}}}\)\(\left(X,Y\right)\simf(x,y)\);\(E(Z)=\int_{-\infty}^{+\infty}{\int_{-\infty}^{+\infty}{g(x,y)f(x,y)dxdy}}\) 7.协方差 \(Cov(X,Y)=E\left\lbrack(X-E(X)(Y-E(Y))\right\rbrack\) \(\rho_{{XY}}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}}\),\(k\)阶原点矩\(E(X^{k})\);\(k\)阶中心矩\(E\left\{{\lbrackX-E(X)\rbrack}^{k}\right\}\) (1)\(\Cov(X,Y)=Cov(Y,X)\) (2)\(\Cov(aX,bY)=abCov(Y,X)\) (3)\(\Cov(X_{1}+X_{2},Y)=Cov(X_{1},Y)+Cov(X_{2},Y)\) (4)\(\\left|\rho\left(X,Y\right)\right|\leq1\) (5)\(\\rho\left(X,Y\right)=1\LeftrightarrowP\left(Y=aX+b\right)=1\)，其中\(a>0\) \(\rho\left(X,Y\right)=-1\LeftrightarrowP\left(Y=aX+b\right)=1\)，其中\(a<0\) 9.重要公式与结论 (1)\(\D(X)=E(X^{2})-E^{2}(X)\) (2)\(\Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)\) (3)\(\left|\rho\left(X,Y\right)\right|\leq1,\)且\(\rho\left(X,Y\right)=1\LeftrightarrowP\left(Y=aX+b\right)=1\)，其中\(a>0\) (4)下面5个条件互为充要条件： \(\rho(X,Y)=0\)\(\LeftrightarrowCov(X,Y)=0\)\(\LeftrightarrowE(X,Y)=E(X)E(Y)\)\(\LeftrightarrowD(X+Y)=D(X)+D(Y)\)\(\LeftrightarrowD(X-Y)=D(X)+D(Y)\) 注：\(X\)与\(Y\)独立为上述5个条件中任何一个成立的充分条件，但非必要条件。 1.基本概念 总体：研究对象的全体，它是一个随机变量，用\(X\)表示。 个体：组成总体的每个基本元素。 简单随机样本：来自总体\(X\)的\(n\)个相互独立且与总体同分布的随机变量\(X_{1},X_{2}\cdots,X_{n}\)，称为容量为\(n\)的简单随机样本，简称样本。 统计量：设\(X_{1},X_{2}\cdots,X_{n},\)是来自总体\(X\)的一个样本，\(g(X_{1},X_{2}\cdots,X_{n})\)）是样本的连续函数，且\(g()\)中不含任何未知参数，则称\(g(X_{1},X_{2}\cdots,X_{n})\)为统计量。 样本均值：\(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}\) 样本方差：\(S^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}{(X_{i}-\overline{X})}^{2}\) 样本矩：样本\(k\)阶原点矩：\(A_{k}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{k},k=1,2,\cdots\) 样本\(k\)阶中心矩：\(B_{k}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{(X_{i}-\overline{X})}^{k},k=1,2,\cdots\) 2.分布 \(\chi^{2}\)分布：\(\chi^{2}=X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+\cdots+X_{n}^{2}\sim\chi^{2}(n)\)，其中\(X_{1},X_{2}\cdots,X_{n},\)相互独立，且同服从\(N(0,1)\) \(t\)分布：\(T=\frac{X}{\sqrt{Y/n}}\simt(n)\)，其中\(X\simN\left(0,1\right),Y\sim\chi^{2}(n),\)且\(X\)，\(Y\)相互独立。 \(F\)分布：\(F=\frac{X/n_{1}}{Y/n_{2}}\simF(n_{1},n_{2})\)，其中\(X\sim\chi^{2}\left(n_{1}\right),Y\sim\chi^{2}(n_{2}),\)且\(X\)，\(Y\)相互独立。 分位数：若\(P(X\leqx_{\alpha})=\alpha,\)则称\(x_{\alpha}\)为\(X\)的\(\alpha\)分位数 3.正态总体的常用样本分布 (1)设\(X_{1},X_{2}\cdots,X_{n}\)为来自正态总体\(N(\mu,\sigma^{2})\)的样本， \(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i},S^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}{{(X_{i}-\overline{X})}^{2},}\)则： 4)\({\\}\frac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\simt(n-1)\) 4.重要公式与结论 (1)对于\(\chi^{2}\sim\chi^{2}(n)\)，有\(E(\chi^{2}(n))=n,D(\chi^{2}(n))=2n;\) (2)对于\(T\simt(n)\)，有\(E(T)=0,D(T)=\frac{n}{n-2}(n>2)\)； (3)对于\(F\tilde{\}F(m,n)\)，有\(\frac{1}{F}\simF(n,m),F_{a/2}(m,n)=\frac{1}{F_{1-a/2}(n,m)};\) (4)对于任意总体\(X\)，有\(E(\overline{X})=E(X),E(S^{2})=D(X),D(\overline{X})=\frac{D(X)}{n}\)