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2018.01.25
抽象代数研究对象是代数结构(集合+一套运算规则)，以本人的理解方式整理了代数结构基础内容，旨在弄清群、环、域等代数结构间的关系。(之前很认真整理了这部分内容，后来装双系统把草稿给丢了，这会重新整理)
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数学的发展通常是先从简单的开始，然后不断放宽限制，推广到更一般化。从初等代数到抽象代数很好说明了这一点。
(1)算术(arithmetic)
(2)初等代数
用符号(成了变量)代替具体的数字，就可以得到更一般化(generalization)的等式，举例如下：
图1从算术到代数的例子
初等代数(elementaryalgebra)是古老算术的推广与发展。在古代，算术积累了大量数量问题的解法，为寻求更系统、更普遍的求解各种数量关系方法，就产生了以解方程为中心的初等代数[2]。从实际问题的数量关系(即代数式：整式、分式、根式)、等量关系(或者不等式)列出列出方程或者方程组。方程(组)包括一元/二元一次方程(linearequationswithone/twovariable)、一元二次方程(quadraticequations)、指数和对数方程(exponentialandlogarithmicequations)、无理方程(radicalequations)、线性方程组(systemoflinearequations)[3]。
高等代数相对于初等代数而言，本质上是一个东西，只是更加系统(深度+广度)。
初等代数再进一步推广(generalization)，那就是抽象代数了。初等代数与抽象代数的界限在于初等代数只考虑实数和复数代数结构。摘录维基百科词条Elementaryalgebra：
Unlikeabstractalgebra,elementaryalgebraisnotconcernedwithalgebraicstructuresoutsidetherealmofrealandcomplexnumbers.
(3)抽象代数
抽象代数(abstractalgebra)、近世代数、现代代数(modernalgebra)指的都是同一个意思(甚至直接称为代数学)。抽象代数主要研究对象是代数结构，包括群、环、域、向量空间。
伽罗瓦(évaristeGalois,1811-1832)是现代群论的创始人(与阿贝尔独立发明)，他利用群的概念彻底解决了用根式求解代数方程的可能性问题[4](称为伽罗瓦理论)，系统阐释了为何五次以上之方程式没有公式解，而四次以下有公式解[5]，使代数学从解方程的科学转变为研究代数结构的科学，即把代数推广到抽象代数[4]。
(4)线性代数
线性代数是抽象代数特殊的一类，其代数结构为：向量空间(vectorspaces，也叫线性空间)+线性变换(linearmappings)。很容易将线性代数和矩阵理论等同起来，但其实是不一样的，讨论线性变换是基于选定一组基的前提下。摘抄mathoverflow上的一个回答(原文在这里)：
Whenyoutalkaboutmatrices,you’reallowedtotalkaboutthingsliketheentryinthe3rdrowand4thcolumn,andsoforth.Inthissetting,matricesareusefulforrepresentingthingsliketransitionprobabilitiesinaMarkovchain,whereeachentryindicatestheprobabilityoftransitioningfromonestatetoanother.
Inlinearalgebra,however,youinsteadtalkaboutlineartransformations,whicharenotalistofnumbers,althoughsometimesitisconvenienttouseaparticularmatrixtowritedownalineartransformation.However,whenyou’regivenalineartransformation,you’renotallowedtoaskforthingsliketheentryinits3rdrowand4thcolumnbecausequestionslikethesedependonachoiceofbasis.Instead,you’reonlyallowedtoaskforthingsthatdon’tdependonthebasis,suchastherank,thetrace,thedeterminant,orthesetofeigenvalues.Thispointofviewmayseemunnecessarilyrestrictive,butitisfundamentaltoadeeperunderstandingofpuremathematics.
既然抽象代数研究对象是代数结构(algebraicstructure)，那什么是代数结构呢。看了多个不同角度描述代数结构，如百度百科代数：代数是研究数、数量、关系与结构的数学分支。还是觉得《[转]MIT牛人解说数学体系》中的描述最深入浅出，如下：
代数主要研究的是运算规则。一门代数，其实都是从某种具体的运算体系中抽象出一些基本规则，建立一个公理体系，然后在这基础上进行研究。一个集合再加上一套运算规则，就构成一个代数结构[1](想想计算机的数据结构：数据+操作)。
抽象代数将初等代数的一些概念延伸。
(1)数–>集合
集合在朴素集合论(naivesettheory)和公理化集合论(axiomaticsettheory)的定义是不一样的，前者指由一些元素组成；后者指具有某种特定性质事物的总体。还是看维基英文词条吧[7]：
Ratherthanjustconsideringthedifferenttypesofnumbers,abstractalgebradealswiththemoregeneralconceptofsets:acollectionofallobjects(calledelements)selectedbypropertyspecificfortheset.
(2)+–>二元运算
加号+被抽象为二元运算*(binaryoperation)，对两个元素作二元运算，得到的新元素仍然属于该集合，这叫封闭性(closure)。实际上，加减乘除都叫二元运算(二元指的是两个操作数)。原文如下[7]：
Thenotionofaddition(+)isabstractedtogiveabinaryoperation,say.Thenotionofbinaryoperationismeaninglesswithoutthesetonwhichtheoperationisdefined.FortwoelementsaandbinasetS,abisanotherelementintheset;thisconditioniscalledclosure.
Addition(+),subtraction(-),multiplication(×),anddivision(÷)canbebinaryoperationswhendefinedondifferentsets,asareadditionandmultiplicationofmatrices,vectors,andpolynomials.
(3)0/1–>单位元
0和1被抽象成单位元(identityelements)，0为加法单位元，1为乘法单位元。单位元是集合的一个特殊元素(跟二元运算有关)，满足单位元与其他元素相结合时，不改变该元素，即满足ae=a与ea=a。可见，单位元取决于元素与二元运算，如矩阵的加法单位元是零矩阵，矩阵的乘法单位元是单位矩阵。值得注意的是，有些集合不存在单位元，如正整数集合(thesetofpositivenaturalnumbers)没有加法单位元(noidentityelementforaddition)。维基百科原文如下：
Thenumberszeroandoneareabstractedtogivethenotionofanidentityelementforanoperation.Anidentityelementisaspecialtypeofelementofasetwithrespecttoabinaryoperationonthatset.Forageneralbinaryoperatortheidentityelementemustsatisfyae=aandea=a.Notallsetsandoperatorcombinationshaveanidentityelement.
(4)负数–>逆元素
负数推广到逆元素(inverseelement)，对于加法，a的逆元素是-a；对于乘法，a的逆元素是倒数a1。直观地说，逆元可以撤销操作，如加了一个数a，再加上该数的逆元-a(相当于撤消操作)，结果还是一样。维基百科原文如下：
Thenegativenumbersgiverisetotheconceptofinverseelements.Foraddition,theinverseofaiswrittena,andformultiplicationtheinverseiswrittena1.Ageneraltwo-sidedinverseelement(leftinverse+rightinverse)a1satisfiesthepropertythataa1=1anda1a=1.
Theideaofaninverseelementgeneralisesconceptsofanegation(signreversal)inrelationtoaddition,andareciprocalinrelationtomultiplication.Theintuitionisofanelementthatcan‘undo’theeffectofcombinationwithanothergivenelement.Whiletheprecisedefinitionofaninverseelementvariesdependingonthealgebraicstructureinvolved,thesedefinitionscoincideinagroup.
(5)结合律
结合律(Associativeproperty)是某些二元运算的性质，有些二元运算没有结合律(如减法、除法、八元数)。原文如下：
Additionofintegershasapropertycalledassociativity.Thatis,thegroupingofthenumberstobeaddeddoesnotaffectthesum.Ingeneral,thisbecomes(ab)c=a(bc).Thispropertyissharedbymostbinaryoperations,butnotsubtractionordivisionoroctonionmultiplication.
(6)交换律
交换律(Commutativeproperty)，改变二元运算符两边的元素不影响结果。并不是所有二次元运算都满足交换律(如矩阵的乘法)。维基百科原文如下：
Abinaryoperationiscommutativeifchangingtheorderoftheoperandsdoesnotchangetheresult.Additionandmultiplicationofrealnumbersarebothcommutative.Ingeneral,thisbecomesab=ba.
Thispropertydoesnotholdforallbinaryoperations.Forexample,matrixmultiplicationandquaternionmultiplicationarebothnon-commutative.
代数结构(R,*)，二元运算根据封闭性、单位元、逆元、结合律、交换律，可以归纳成不同的群。本节介绍的group-like，从最不严格到严格(依次添加限制条件)，其关系图如下：
图1群之间的关系
维基百科有一张表，给出更详细的group-like间的关系，如下：
图2Group-likestructures(sourcefromhere)
原群(magma)是一种基本的代数结构，只要满足两元素作二元运算得到新元素仍属于该集合，即封闭性。维基百科原文如下：
Amagmaisabasickindofalgebraicstructure.Specifically,amagmaconsistsofasetequippedwithasinglebinaryoperation.Thebinaryoperationmustbeclosedbydefinitionbutnootherpropertiesareimposed.
半群(Semigroup)，满足结合律(associativeproperty)的代数结构。V=
Asemigroupisanalgebraicstructureconsistingofasettogetherwithanassociativebinaryoperation.
Asemigroupgeneralizesamonoidinthatasemigroupneednothaveanidentityelement.Italso(originally)generalizedagroup(amonoidwithallinverses)inthatnoelementhadtohaveaninverse,thusthenamesemigroup.
幺半群(monoid)在半群的基础上，还需要满足有一个单位元。维基百科原文如下：
Amonoidisanalgebraicstructurewithasingleassociativebinaryoperationandanidentityelement.Monoidsarestudiedinsemigrouptheoryastheyaresemigroupswithidentity.
群(group)是两个元素作二元运算得到的一个新元素，需要满足群公理(groupaxioms)，即：
如整数集合，二次元运算为加法就是一个群(封闭性是显然的，加法满足结合律，单位元为0，逆元取相反数-a)。维基百科原文如下：
Agroupisasetofelementstogetherwithanoperationthatcombinesanytwoofitselementstoformathirdelementsatisfyingfourconditionscalledthegroupaxioms,namelyclosure,associativity,identityandinvertibility.
Oneofthemostfamiliarexamplesofagroupisthesetofintegerstogetherwiththeadditionoperation
阿贝尔群(AbelianGroup)在群的基础上，还需满足交换律。如整数集合和加法运算，(Z,+)，是一个阿贝尔群。
维基百科原文如下：
Anabeliangroup,alsocalledacommutativegroup,isagroupinwhichtheresultofapplyingthegroupoperationtotwogroupelementsdoesnotdependontheirorder(theaxiomofcommutativity).
环在交换群基础上，进一步限制条件。环、交换环、域间的关系如下：
图3环、交换环、域间的关系
维基百科有一张表从不同角度呈现这三者的关系，如下：
图4Ring-likestructures(sourcefromhere)
环(ring)在阿贝尔群(也叫交换群)的基础上，添加一种二元运算·(虽叫乘法，但不同于初等代数的乘法)。一个代数结构是环(R,+,·)，需要满足环公理(ringaxioms)，如(Z,+,)。环公理如下：
(1)(R,+)是交换群
(2)(R,·)是幺半群
(3)乘法对加法满足分配律Multiplicationdistributesoveraddition
Aringisanabeliangroupwithasecondbinaryoperation(Theabeliangroupoperationiscalled“addition”andthesecondbinaryoperationiscalled“multiplication”inanalogywiththeintegers)thatisdistributiveoveradditionandisassociative.
Onefamiliarexampleofaringisthesetofintegers.Theintegersareacommutativering,sinceatimesbisequaltobtimesa.Thesetofpolynomialsalsoformsacommutativering.Anexampleofanon-commutativeringistheringofsquarematricesofthesamesize.Finally,afieldisacommutativeringinwhichonecandividebyanynonzeroelement:anexampleisthefieldofrealnumbers.
交换环(commutativering)在环的基础上，二元运算乘法还满足交换律。
Acommutativeringisaringinwhichthemultiplicationoperationiscommutative
整环(integraldomain)在交换环的基础上，并满足没有零因子(如此，集合内任意两个元素乘积均不等于0)。维基百科原文如下：
Anintegraldomainisanonzerocommutativeringinwhichtheproductofanytwononzeroelementsisnonzero.Integraldomainsaregeneralizationsoftheringofintegersandprovideanaturalsettingforstudyingdivisibility.Inanintegraldomainthecancellationpropertyholdsformultiplicationbyanonzeroelementa,thatis,ifa≠0,anequalityab=acimpliesb=c.
域(Field)在交换环的基础上，还增加了二元运算除法，要求元素(除零以外)可以作除法运算，即每个非零的元素都要有乘法逆元。由此可见，域是一种可以进行加减乘除(除0以外)的代数结构，是数域与四则运算的推广。整数集合，不存在乘法逆元(1/3不是整数)，所以整数集合不是域。有理数、实数、复数可以形成域，分别叫有理数域、实数域、复数域。域的几种定义，直接看维基百科英文吧：
afieldisanonzerocommutativeringthatcontainsamultiplicativeinverseforeverynonzeroelement,
orequivalentlyaringwhosenonzeroelementsformanabeliangroupundermultiplication.
Assuchitisanalgebraicstructurewithnotionsofaddition,subtraction,multiplication,anddivisionsatisfyingtheappropriateabeliangroupequationsanddistributivelaw.
从有限域到交换环一些代数结构的从属关系如下：
CommutativeringsintegraldomainsintegrallycloseddomainsuniquefactorizationdomainsprincipalidealdomainsEuclideandomainsfieldsfinitefields.
图5Vectoradditionandscalarmultiplication(sourcefromhere)
其他例子，还包括坐标空间(Coordinatespaces)、复数、函数空间(Functionspaces)、线性方程组(linearequations)。详情可查阅维基百科词条：Examplesofvectorspaces.
摘抄维基百科Vectorspace部分内容如下：
Avectorspaceisacollectionofobjectscalledvectors,whichmaybeaddedtogetherandmultiplied(“scaled”)bynumbers,calledscalarsinthiscontext.Theoperationsofvectoradditionandscalarmultiplicationmustsatisfycertainrequirements,calledaxioms,listedbelow.
给定域F，向量空间V记为F-向量空间。其二元运算：
并且满足如下8条公理[10]：
另，若F是实数域，则V称为实数向量空间；若F是复数域，则V称为复数向量空间；若F是有限域，则V称为有限域向量空间。
模(module)是对向量空间的推广，将标量需为域(向量空间)推广到任意环(模)。维基百科module部分原文如下：
Amoduleoveraringisageneralizationofthenotionofvectorspaceoverafield,whereinthecorrespondingscalarsaretheelementsofanarbitraryring.
代数(algebra)将algebraoverafield中的域推广到交换环。维基百科原文如下：
Analgebraoveracommutativeringisageneralizationoftheconceptofanalgebraoverafield,wherethebasefieldKisreplacedbyacommutativeringR.
Analgebraoverafieldisavectorspaceequippedwithabilinearproduct.Analgebrasuchthattheproductisassociativeandhasanidentityisthereforearingthatisalsoavectorspace,andthusequippedwithafieldofscalars.Suchanalgebraiscalledhereaunitalassociativealgebraforclarity,becausetherearealsononassociativealgebras.
格(lattice)是任意两个元素都有上确界和下确界的偏序集合。
Alatticeisapartiallyorderedsetinwhicheverytwoelementshaveauniquesupremum(alsocalledaleastupperboundorjoin)andauniqueinfimum(alsocalledagreatestlowerboundormeet).
Anexampleisgivenbythenaturalnumbers,partiallyorderedbydivisibility,forwhichtheuniquesupremumistheleastcommonmultipleandtheuniqueinfimumisthegreatestcommondivisor.