线性代数35:独立性，基和维度(Independence,BasisandDimension)TonyShengTan

Abstract:本文是本章最重要的知识点，也是整个线性代数中非常核心的内容，包括independence，basis和dimension等多个概念Keywords:Independence，Basis，Dimension，Span

在没有系统学习线性代数之前，对很多里面的名词有所畏惧，现在思考发现，很多听不懂的名词都是因为不明白背后的原理和知识才会产生畏惧，也有可能这个名词背后真的蕴藏的一个非常深奥的系统知识，但是如果我们慢慢的从头开始抽丝剥茧的把每一个知识点都掌握了，最后听到这个名词就会觉得这是个很平常的词汇而已，但是没有学习之前就会一头雾水，还有一个感觉就是，如果这些基础知识不掌握，论文种可能是个很简单的过程，作者略过了，如果基础不牢就会迷惑，或者自己瞎猜，其实迷惑不可怕，起码自己知道这里有问题，但是瞎猜就有问题了，而且还猜的理直气壮，觉得自己猜的都对，这种人是永远不会进步的。今天我们就逐个解释线性代数中比较常出现的几个非常重要的概念。

Definition:ThecolumnsofAarelinearlyindependentwhentheonlysolutiontoAx=0Ax=0Ax=0isx=0x=0x=0NoothercombinationAxAxAxofthecolumnsgivesthezerovector

定义是说，当向量汇聚成矩阵后，矩阵的nullspace只有0向量的时候，这些向量线性独立，nullspace只有0，说明elimination后的rank=columnnumber。这样nullspace就只有0了。另一个定义：

Definition:Thesequenceofvectorsv1,…,vnv_1,\dots,v_nv1,…,vnislinearlyIndependenceiftheonlycombinationthatgivesthezerovectoris0v1+0v2++0vn0v_1+0v_2+\dots+0v_n0v1+0v2++0vn

x1v1+x2v2++xnvn=0x_1v_1+x_2v_2+\dots+x_nv_n=0x1v1+x2v2++xnvn=0onlyhappenswhenallx’sarezero

这两个向量可以线性组合出二维实数空间的所有向量，也就是说v1v_1v1和v2v_2v2span2\Re^22前面我们介绍过列空间，矩阵列span出来的空间，对应的，矩阵每行span出来的空间叫做rowspace，矩阵A的rowspace与ATA^TAT的columnspace相同。A=[142735]A=\begin{bmatrix}1&4\\2&7\\3&5\end{bmatrix}\\A=123475这个矩阵的列空间：C(A)=x1[123]+x2[475]C(A)=x_1\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}+x_2\begin{bmatrix}4\\7\\5\end{bmatrix}C(A)=x1123+x2475行空间：C(AT)=x1[14]+x2[27]+x3[35]C(A^T)=x_1\begin{bmatrix}1\\4\end{bmatrix}+x_2\begin{bmatrix}2\\7\end{bmatrix}+x_3\begin{bmatrix}3\\5\end{bmatrix}C(AT)=x1[14]+x2[27]+x3[35]同样的矩阵，同样的数字，组合出来的空间却完全不同，列向量在m\Re^mm中，行向量在n\Re^nn