1、3.3条件分布与独立性条件分布与独立性一、条件分布一、条件分布定义定义3.5设设是二维离散型随机变量，对是二维离散型随机变量，对于固定于固定，若，若，则称，则称（321）为在为在条件下随机变量条件下随机变量的的条件分布条件分布律律（ConditionalProbabilityDistribution），），简称简称条件分布条件分布当当是连续型随机变量时，由于对是连续型随机变量时，由于对任意实数任意实数X和和Y，有，有,),(YXj0jyYP,2,1),(ippyYPyYxXPyYxXPjjijjijijyYX),(YX0xXP0yYP因此，不能直接用条
2、件概率公式，此时我因此，不能直接用条件概率公式，此时我们用极限的方法引入们用极限的方法引入“条件分布函数条件分布函数”的的概念：概念：设设的联合概率密度函数为的联合概率密度函数为，关于关于Y的边缘概率密度函数为的边缘概率密度函数为，给定，给定y，对于任意给定的对于任意给定的0，当，当时，考虑条件时，考虑条件概率概率上式给出了在条件下的条件分布函数为上式给出了在条件下的条件分布函数为此我们引入以下定义此我们引入以下定义),(YX),(yxf),(YX)(yfYRxyYyxXPyyYxyyyyfxyyxfyYyPyYyxXPd)(dd),(,定义定义3.7给定给定y，对
3、于任意给定的，对于任意给定的0，若对任意的实数，若对任意的实数x，极限，极限存在，则称此极限为在存在，则称此极限为在条件条件下的下的条件分布函数条件分布函数，记为，记为设设的联合分布函数为的联合分布函数为，概率密，概率密度函数为度函数为，若在点，若在点处处连续，连续，Y的边缘概率密度函数为的边缘概率密度函数为连续，连续，且且，则有，则有0yYyPlim0yYyxXP,lim0yYyPyYyxXPyY)(yxFYX),(YX),(yxF),(yxf),(yx),(yxf)(yfY0)(yfY)(yxFYXlim0yYyxXP,lim0yYyPyYyxXP亦即亦即（322
4、）这样，若记这样，若记为在为在的条件下的条件下X的的条件概率密度函数条件概率密度函数，则由上式知，则由上式知（323）类似地）类似地,我们可以定义我们可以定义和和yFyFyxFyxFYY,lim0yFyFyxFyxFY00lim,limyFyyxFY,)(d),(yfxyxfYx)(yxFYXxYxyfyxfd)(),()(yxfYXyYyfyxfyxfYYX,)()(xyFXY)(),()(xfyxfxyfXXY二、独立性二、独立性由由1.5知，若知，若，则称，则称A与与B是相互独立的类似可引出随机变量的独是相互独立的类似可引出随机变量的独立性概念立性概念定义定义3
5、.8设设是二维随机变量，若对任是二维随机变量，若对任意实数意实数x和和y,有有，即即（324）)()()(BPAPABP),(YX,yYPxXPyYxXP)()(),(yFxFyxFYX则称则称X与与Y是是相互独立的相互独立的随机变量的独立性是概率论中的一个随机变量的独立性是概率论中的一个重要概念，在大多数情形下，概率论和数重要概念，在大多数情形下，概率论和数理统计是以独立随机变量作为其主要研究理统计是以独立随机变量作为其主要研究对象的对于离散型和连续型随机变量，对象的对于离散型和连续型随机变量，我们分别有下列的定理我们分别有下列的定理定理定理3.1设设为二维离散型随机变量
6、，其为二维离散型随机变量，其联合分布律为联合分布律为则则Y与与X相互独立的充要条件是对于任意的相互独立的充要条件是对于任意的,有有（325）即有即有,成立成立),(YX,2,1,jipyYxXPjiji,2,1,),(jiyxji,jijiyYPxXPyYxXPjijippp,2,1,ji定理定理3.2设设是二维连续型随机变量，是二维连续型随机变量，其联合概率密度函数为其联合概率密度函数为，则，则X与与Y相相互独立的充要条件是对平面上任意点互独立的充要条件是对平面上任意点,几乎处处有几乎处处有*（326）（*这里的这里的“几乎处处几乎处处”可理解
7、为平面上使可理解为平面上使（326）不成立的点）不成立的点的全体只能形的全体只能形成面积为零的区域）（证明从略）成面积为零的区域）（证明从略）定理定理3.3若若，则则X与与Y相互独相互独立的充要条件是立的充要条件是=0更一般地，二维随机变量的有关概念更一般地，二维随机变量的有关概念也可以推广到也可以推广到n维随机变量维随机变量),(YX),(yxf),(yx)()(),(yfxfyxfYXyx,),(,222121NYX以推广到以推广到n维随机变量的情形比如，维随机变量的情形比如，n维维随机变量随机变量的分布函数定义为的分布函数定义为，其中其中为任意实数为任意实数若
8、若n维随机变量维随机变量的分布函数的分布函数已知，则的已知，则的k（）维边缘分布函数随之而定，如维边缘分布函数随之而定，如关于关于、关于、关于的边缘分布函数就的边缘分布函数就分别为分别为nXXX,21,221121nnnxXxXxXPxxxFnxxx,21nxxxF,21nXXX,21nXXX,21nk1nXXX,211X,21XX,111xFxFX,2121,21xxFxxFXX若对任意的实数若对任意的实数有有，则称则称是相互独立的是相互独立的进一步，若对任意的实数进一步，若对任意的实数有有，其中其中F、、依次为依次为、的分布函数，则称随机变量的分布函数，则称随机变量和和是相互独立的是相互独立的nxxx,21nXXXnxFxFxFxxxFn212121,nXXX,21nmyyyxxx,2121nYmXnmyyyFxxxFyyyxxxF,21212121XFYFnmYYYXXX,2121mXXX,21nYYY,21mXXX,21nYYY,21现在，我们不加证明地给出一个有用结论现在，我们不加证明地给出一个