中级微观练习题及参考答案

中级微观练习题及参考答案第一部分消费者选择理论1.有两种商品,x1和x2,价格分别为p1和p2,收入为m。

当11xx时,政府加数量税t,画出预算集并写出预算线2.消费者消费两种商品(x1,x2),如果花同样多的钱可以买(4,6)或(12,2),写出预算线的表达式。

3.重新描述中国粮价改革(1)假设没有任何市场干预,中国的粮价为每斤0。

4元,每人收入为100元。

把粮食消费量计为x,在其它商品上的开支为y,写出预算线,并画图。

(2)假设每人得到30斤粮票,可以凭票以0。

2元的价格买粮食,再写预算约束,画图。

(3)假设取消粮票,补贴每人6元钱,写预算约束并画图。

4.证两条无差异曲线不能相交5.一元纸币(x1)和五元纸币(x2)的边际替代率是多少6.若商品1为中性商品,则它对商品2的边际替代率7.写出下列情形的效用函数,画出无差异曲线,并在给定价格(p1,p2)和收入(m)的情形下求最优解。

(1)x1=一元纸币,x2=五元纸币。

(2)x1=一杯咖啡,x2=一勺糖,消费者喜欢在每杯咖啡加两勺糖。

8.解最优选择(1)21212(,)uxxxx=(2)2ux=+9.对下列效用函数推导对商品1的需求函数,反需求函数,恩格尔曲线;在图上大致画出价格提供曲线,收入提供曲线;说明商品一是否正常品、劣质品、一般商品、吉芬商品,商品二与商品一是替代还是互补关系。

(1)212xxu+=(2)()212,minxxu=(3)baxxu21=(4)12lnuxx=+,10.当偏好为完全替代时,计算当价格变化时的收入效用和替代效用(注意分情况讨论)。

11.给定效用函数(,)xyxy=,px=3,py=4,m=60,求当py降为3时价格变化引起的替代效应和收入效应。

12.用显示偏好的弱公理说明为什么Slutsky替代效应为负。

15.一个人只消费粮食,第一期他得到1000斤,第二期得到150斤,第一期的粮食存到第二期将有25%的损耗。

他的效用函数为:1212(,)ucccc=1)如果粮食不可以拿到市场上交易,最佳消费,21==**cc2)如果粮食可以拿到市场上交易,两期的价格都是p=1,利息率r=10%,问最佳消费,21==**cc16.有一个永久债券(consol),每年支付5万,永久支付,利率为r,它在市场出售时价格应是多少17.假设你拥有一瓶红酒,第一年价格为15元/瓶,第二年为25元/瓶,第三年为26元/瓶,第四年每瓶价格低于26元,设利息率为5%,你会何时卖掉你的红酒18.课本p173第四题(reviewquestions)。

19.一人具有期望效用函数,其对财富的效用为()uc=他的初始财富为35,000元,假如发生火灾则损失10,000元,失火的概率为1%,火险的保费率为%。

问他买多少钱的保险(K=),在两种状态下的财富各为多少20.一人具有期望效用函数,其对财富的效用为()uc=他的初始财富为10,000元,有人邀请他参加赌博,输赢的概率各为1/2。

问以下情况下他是否同意参加赢时净挣多少时愿意参加(1)赢时净挣10,000,输时丢10,000(2)赢时净挣20,000,输时丢10,00021.某消费者的效用函数为(,)uxyxy=,x和y的价格都是1,他的收入为200。

当x的价格涨至2元时,计算消费者剩余的变化、补偿变换和等价变换。

22.证明当效用函数为拟线形时,消费者剩余的变化、补偿变换、等价变换都相等。

第二部分生产者理论23.给定以下生产函数,求证是否边际产量递减,技术替代率递减,规模报酬递增或递减。

(1)432411xxy=(2)1,)(/121≤+=ρρρρxxy24.给定生产函数2/122/1121),(xxxxf=,已知21.,wwp,则1)当162=x时,求使利润最大化的*1x2)当21,xx都可变时,求使利润最大化的*2*1,xx25.给定生产函数4/122/1121),(xxxxf=,1,421===wwp,求使利润最大化的*2*1,xx26.求条件要素需求和成本函数(1))2,min(21xxy=(2)212xxy+=(3)baxxy21=27.对于生产函数1/41/4ykL=,资本的租赁价格为1元,劳动的工资为1元,固定投入为1000元。

1)写出成本曲线2)计算AC,AVC,AFC,MC3)计算minAC和minAVC时的AC,AVC,y,28.对以下成本函数求供给曲线(1)5308)(23++-=yyyyC(2)5308)(23++-=yyyyC,C(0)=0第三部分市场结构理论29.消费者对商品x和在其它商品上的开支y的效用函数为yxxyxu+-=221),(1)市场上有完全同样的消费者100人,写出市场需求函数。

2)该如何定价使销售收入最大此时价格弹性是多少30.证明所有消费品的收入弹性的加权平均为1,权重为每个消费品的开支比例。

31,给定需求和供给函数:D(p)=1000-60p,S(p)=40p1)求均衡p,q2)当加数量税$5时,求新的均衡价格和数量。

3)消费者和厂商各分担税收的百分比4)税收带来的额外净损失是多少32.需求和供给函数分别为:D(p)=40-p,S(p)=10+p1)求均衡p,q2)如果对该商品进行配额管理,配额定为20,价格定为厂商所能接受的最低价,问该价格是多少3)假如配给券可以买卖,问配给券的价格是多少33.已知某个行业中有n个技术相同的企业,每个企业的成本函数为:0)0(1)(2=+=CyyC产品市场需求函数为:D(p)=求长期均衡价格,厂商个数,以及每个厂商的利润。

34.在一个出租车市场上,每辆车每趟活的经营成本(MC)为5元,每天可以拉20趟活,对出租车的需求函数为D(p)=1200-20.1)求每趟活的均衡价格、出车次数和出租车个数。

2)需求函数改变为:D(p)=1220-20p,如果政府给原有的司机每人发一个经营牌照,出租车个数不变,则均衡价格和利润为多少3)设一年出车365天,r=10%,牌照值多少钱出租车所有者们愿出多少钱阻止多发一个牌照35.给定需求函数p(y)=2000-100y,成本函数c(y)=1000+4y1)在垄断的市场下,价格、产量和利润分别为多少2)如果企业按照竞争市场定价,价格、产量、利润分别为多少36.一个垄断厂商面临学生s的需求函数为sspQ40220-=非学生N的需求函数为NNpQ20140-=。

已知AC=MC=0,则1)当不能差别定价时,如何定价sQ=NQ=π=2)当可以差别定价时,sp=Np=sQ=NQ=π=37.某一厂商在要素市场为买方垄断,在产品市场为卖方垄断,求其要素需求。

38.一个市场的需求函数为:P(Y)=100-2Y,企业的成本函数为:c(y)=4y1)求完全竞争市场的均衡价格和产量2)当市场上有2个企业时,求Cournot均衡的价格和产量。

3)求Cartel均衡时的价格和产量,并说明违约动机。

4)求Stackelberg均衡时各个企业的产量和市场价格。

第四部分对策论(博弈论)39.给定如下支付矩阵PlayerBLRPlayerATB(1).如(T,L)是超优策略,则a-h间应满足什么关系(2)如(T,L)是纳什策略,则a-h间应满足什么关系(3)如(T,L)和(B,R)都是纳什策略,则a-h间应满足什么关系40.在足球射门的例子中,混合策略是什么个人的支付(payoff)为多少第五部分一般均衡理论41.在一个纯粹交换的完全竞争的市场上有两个消费者,A和B,两种商品,X和Y。

交换初始,A拥有3个单位的X,2个Y,B有1个X和6个Y。

他们的效用函数分别为:U(XA,YA)=XAYA,U(XB,YB)=XBYB.求(1)市场竞争均衡的(相对)价格和各人的消费量。

(2)表示帕累托最优分配的契约线的表达式。

42.其它条件相同,如果A的效用函数为U(XA,YA)=XA+YA,求一般均衡价格和契约线。

43.其它条件相同,如果A的效用函数为U(XA,YA)=Min(XA,YA),求一般均衡价格和契约线。

他一天有10小时用于工作或者游泳。

问(1)最佳捕鱼量是多少,工作多少小时(2)有一天他自己玩家家,假装成立了一个追求利润最大化的企业来生产鱼,雇佣自己的劳动,然后再用工资从该企业买鱼,该市场被设为竞争型市场。

问(相对)均衡价格是多少此价格下的生产(消费)和工作量是多少45.罗宾逊每小时可以抓4条鱼(F),或者摘2个椰子(C),他一天工作8小时。

礼拜五每小时可以抓1条鱼,或者摘2个椰子,一天也工作8小时。

罗宾逊和礼拜五的效用函数都可以表示为U(F,C)=FC。

(1)如果两人完全自己自足,各人的消费为多少(2)如果两人进行贸易,各人的生产和消费为多少,交易价格是什么第六部分公共品、外部性和信息46.养蜂人的成本函数为:2()/100HCHH=,果园的成本函数为2()/100ACAAH=-。

蜂蜜和苹果各自在完全竞争的市场上出售,蜂蜜的价格是2,苹果的价格是3。

a.如果养蜂和果园独立经营,各自生产多少b.如果合并,生产多少c.社会最优的蜂蜜产量是多少如果两个厂家不合并,那么如何补贴(数量补贴)养蜂人才能使其生产社会最优的产量47.一条捕龙虾船每月的经营成本为2000元,设x为船的数量,每月总产量为f(x)=1000(10x-x2)。

d.如果自由捕捞,将有多少只船e.最佳(总利润最大)的船只数量是多少f.如何对每条船征税使船只数量为最佳48.一条马路旁住了10户人家,每户的效用函数都可以表示为:U(x,y)=lnx+y,其中x代表路灯的数量,y代表在其它商品上的开支.修路灯的成本函数为c(x)=2x.求社会最优的路灯数量答案第一部分消费者理论1.当11xx≥时,加数量税t,画出预算集并写出预算线预算集:).....(.(11221)1xxmxpxp≤≤+).........(..........)(1112211xxxtmxpxtp≥+≤++过程:()()化简,即可得到上式mxptpxxxp=++-+22111112.如果同样多的钱可以买(4,6)或(12,2),写出预算线。

mxpxp≤+2211则有mpp=+2164,mpp=+21212不妨假设12=p,则可解得:8,211==mp。

预算线为82121=+xx3.(1)0.4100xy+=(图中的黑色线段)(2)0.2100.............300.4106.(30)xyifxxyifx+=≤+=>(图中的蓝色线段)(3)0.4106xy+=(图中的红色线段,一部分与蓝色线段重合)4.证明:设两条无差异曲线对应的效用分别为21,uu,由曲线的单调性假设,若21uu=,则实为一条曲线。

若21uu≠,假设两曲线相交,设交点为x,则21)(,)(uxuuxu==,可推出21uu=,存在矛盾,不可能相交。

Maxf(x)ig(x)≤0(i=1…n)定义:L=()()iiifxgxλ+∑最优性条件为::()()0iiikkgxfxxxλ+=∑;ig(x)≤0;0iλ≤;互补松弛条件:()0iigxλ=;如果iλ=0,则ig<0。

如果iλ<0,则ig=0。

例Max(,)uxy2x+1122pxpxm+≤10x≥,2x≥.2111222132()Lxmpxpxxxλλλ=+--++(注意这里的预算条件与定理的符号相反,从而下面有0iλ≥)121112102xpλλ--+=12310pλλ-+=1122pxpxm+≤10x≥20x≥1320,0,0λλλ≥≥≥互补松弛条件:11122()mpxpxλ--=0④21xλ=0⑤32xλ=0⑥由②知:3121pλλ+=>0,所以由④知:1122pxpxm+=⑦Ⅰ。

如果3λ>0,则2x=0,所以由⑦有11mxp=>0,从而2λ=0再由①有1211112mpλ=由②122312311112ppmpλλλ=-=-3λ必须满足3λ>0,所以,1221112pmp->0m<2214pp所以当m<2214pp时,11mxp=,2x=Ⅱ。

3λ=0,则2x>0,由①知1x≠,所以2λ=0,由因为3λ=0,所以由②知121pλ=,代入①得,221214pxp=,22214pmxpp=-,因为2x>0,所以2214pmpp->0m>2214pp所以,当m>2214pp时,解为:221214pxp=,22214pmxpp=-。

大家也可以通过预算约束把2x表示成11222pxmxpp=-,然后代入到效用函数中讨论其极值。

Accordingtothedefinitionofpresentvalue:()155PresentValue1iirr∞===+∑(End)17.答:计算储存这瓶红酒在各年的回报率:125150.66715r-==,226250.0425r-==,3260,2625xrx-=<<。

因为利息率i=5%>r2,所以应在第二年初卖掉这瓶红酒。

18.课本第四题(reviewquestions)。

答:()104015.421.1PV=。

19.已知最优条件()()()11anaMUcMUcπγγπ==--,和预算约束11naamLccγγγγ-=---。

可得()()211naaccγπγπ-=-,代入预算约束,解出()()()()2222128832.0611amLcγγπγγπγπ--=-+-,()()()()()2222134957.38111namLcγπγγπγγπ--=-+--。

20.答:(1)参加赌博的预期效用是:11/21/22EU==,不参加赌博的效用是100,较大。

所以,此时不参加赌博。

(2)参加赌博的预期效用是:11/21/22EU==,不参加赌博的效用是100,较大。

所以仍不参加赌博。

设()1/21/210010000EUU===,得到30000x=。

所以把(2)代入(1)有:11niiisη=∑=,即得证。

3601200focp-=。

所以,*3p=,100sQ=,80nQ=,540π=。

(2)可以差别定价下,maxsspQ,maxnnpQ,220800focp-=,140400p-=。

所以,*2.75sp=,*3.5np=,110sQ=,70nQ=,547.5π=。

37.1122maxpqwxwx--,iipyyp0yxxiiiiwfocwxx+--=p*DemMR4根据生产函数、需求函数和劳动供给函数就可以解出要素需求。

(2)()()max..48AAAABxystxyu--=()()()48AABAALxyuxyλ=+---()(80)AAfocyyλ--=,()40AAxxλ--=得到:2AAyx=42.(1)max..32AAxAyAxyxystpxpypp++=+...10,10xyfocppλλ-=-=存在内点解时:xypp=max..6BBxByBxyxystpxpypp+=+解出:3.5Bx=,3.5By=。

通过均衡条件:0.5Ax=,4.5By=。

(2)()()max..48BBBBAxystxyu-+-=()()()48BBABBLxyuxyλ=+----...foc0Byλ+=,0Bxλ+=所以,在存在内点解时,BBxy=。

43.(1)由Au可知,A的最优解为AAxy=。

所以,32xyAAxyppxypp+==+。

再由Bu可知,62xyBxppxp+=,62xyByppyp+=。

由均衡条件可知:3332xypp+=所以,3314Bx-=,33154Bx+=,17334AAxy-==。

(2)因为A的偏好是完全互补的,所以,只要约束是凸的,其最优解均为AAxy=,仅定义在[]0,4Ax∈,[]0,4Ay∈。

44.2)45.(1)(2)第六部分公共品、外部性和信息46.a.养蜂人:*max{2-()}2/50100HHHHCHMCHH===果农:*max{3-()}3/50150AAAACAMCAA===b.合并后:,max{2-()3()}HAHAHCHACA+-2/5011503/50150mmHHAA=-===c.社会最优如果指的是两家利润总和最大化,那么就与合并的目标函数相同,所以社会最优的蜂蜜产量是150。

48.已知ln10lniiiiiiuxyxy=+=+∑∑∑,2cx=。

因为社会最优时有:MU=MC,故102x=,即5x=社会最优的路灯数量是5。

THE END
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4.KKT条件公式3也称为互补松弛条件,得到这m个等式松弛条件后联合公式(2)即可解出所有的变量,从而得到最值。不等式约束非线性规划问题中,具体到每一个不等式是否起到约束作用,是根据最值点位置来确定的,通过引入互补松弛条件本质是一种待定系数法。 2.2 代数角度 https://www.dohkoai.com/usr/show?id=22
5.最优性条件解析.docx有了 K-T点的定义,则定理1所表述的一阶必要条件可重新表述为:设在( 2)的某可行点处某种约束规范成立,若其为( 2)的局部极小点,则必为(2)的K-T点。求问题(2)的K-T点需求解下列系统: m l if(x)- Wiigi(x)-? jhj(x)=O (梯度条件)(8a) y j m Wigi(x)=O, i =1,…,m (互补松弛条件https://max.book118.com/html/2021/0111/6131134012003050.shtm
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