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2022.05.12
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目录
重尾分布有三个重要的子类：胖尾分布Fat-taileddistribution，长尾分布Long-taileddistribution和次指数分布Subexponentialdistributions。实际上，所有常用的重尾分布都属于次指数分布类subexponentialclass。
在使用“重尾”Heavy-tailed一词时仍存在一些歧义。于是就出现了另外两种定义。
有一些作者使用该术语来指代并非所有阶矩都是有限的那些分布，也有一些作者使用这个术语来指代那些没有有限方差的分布。
在这里，给出的是最常用的定义，包括其他定义所涵盖的所有分布，以及具有所有幂矩但通常被认为是重尾分布的对数正态分布long-normaldistributions。（有时“重尾”用于任何具有比正态分布更重的尾巴的分布。）
定义
如果X的矩母函数，Mx(t)对于所有t>0都是无限的，则具有分布函数F的随机变量的分布被称为重尾（右）。
也可以写成尾分布函数thetaildistributionfunction：
分布函数为F的随机变量X具有长尾分布，如果对于所有t>0，都满足
或等价于
对于右尾长尾分布的随机变量有一个直观的解释，即在长尾分布随机变量尾部取值已超过某个高水平的条件下，它将超过其他更高水平的概率接近于1。
所有长尾分布都是重尾分布，但反过来不一定成立，且可以构造出非长尾分布的重尾分布。
次指数性是根据概率分布的卷积Convolution定义的。对于具有共同分布函数F的两个独立同分布的随机变量X1,X2,F与自身的卷积，F*2是二重卷积，使用Lebesgue–Stieltjes积分，方法如下：
如果满足以下条件，分布F在正半轴上是为次指数的
这意味着，对于任何n>=1，
对此的概率解释是，对于具有共同分布F的n个独立随机变量X1,….,Xn的总和
这通常被称为单跳singlebigjump或突变理论catastropheprinciple。
如果分布FI([0,∞))为实数，则F为整个实数上的次指数分布。此时I([0,∞))是正半轴的示性函数。或者，当且仅当X^+=Max(0，X)是次指数时，则支撑集为实数轴的随机变量X是次指数的。
所有次指数分布都是长尾分布，但可以构造出非次指数分布的长尾分布的示例。
常见的重尾分布
所有常用的重尾分布都是次指数的。
单尾的包括：
双尾的包括：
与胖尾分布的关系
胖尾分布是指对于较大的x，以幂律的速度x^-a趋向于0。由于这样的幂总是受到指数分布概率密度函数的限制，因此，胖尾分布始终是重尾分布。
但是，某些分布的尾部趋近于零的速率比指数函数慢（表示它们是重尾），而比幂快（表示它们不是胖尾）。例如对数正态分布。当然，许多其他的重尾分布，例如对数逻辑分布和帕累托分布也属于胖尾分布。
重尾密度的估计
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