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1、概率论概率论二、边缘分布二、边缘分布边缘分布函数边缘分布函数离散型随机变量的边缘分布律离散型随机变量的边缘分布律连续型随机变量的边缘概率密度连续型随机变量的边缘概率密度概率论概率论二维联合分布全面地反映了二维随机变量二维联合分布全面地反映了二维随机变量(X,Y)的取值及其概率规律的取值及其概率规律.而单个随机变量而单个随机变量X,Y也具有自己的概率分布也具有自己的概率分布.那么要问那么要问:二者之间有二者之间有什么关系呢什么关系呢这一节里这一节里,我们就来探求这个问题我们就来探求这个问题.概率论概率论二维随机变量二维随机变量(X,Y)作为一个整体作为一个整体,具有分布函具有分布
2、函数数,Fxy而而和和都是随机变量都是随机变量,XY也有各自的分也有各自的分布函数布函数,分别记为分别记为,XYFxFyXFxPXx变量变量(X,Y)关于关于X和和Y的边缘分布函数的边缘分布函数.依次称为二维随机依次称为二维随机,YFyPYyPXYyFy一、边缘分布函数一、边缘分布函数,PXxY,Fx概率论概率论一般地，对离散型一般地，对离散型r.v(X,Y)，那么那么(X,Y)关于关于X的边缘分布律为的边缘分布律为X和和Y的联合分布律为的联合分布律为,2,1,),(jipyYxXPijji11,ijijjjPXxYy
3、p,2,1iixXP二、离散型随机变量的边缘分布律二、离散型随机变量的边缘分布律.iP11iiijjijjXxXxXxYyXx,Yy概率论概率论(X,Y)关于关于Y的边缘分布律为的边缘分布律为jyYPjiijjiippyYxXP.11,1,2,j概率论概率论YX1y2yjyip1x11p12pjp11p2x21p22pjp22pix1ip2ipijpipjp1p2pjp我们常将边缘概率函数写在联合概率我们常将边缘概率函数写在联合概率函数表格的边缘上，由此得出边缘分布这函数表格的边缘上，由此得出边缘分布这个名词个名词.概率论概率论例例11袋中有二个白球，
4、三个黑球，从中取两次球袋中有二个白球，三个黑球，从中取两次球第第一一次次取取到到黑黑球球第第一一次次取取到到白白球球定定义义01:X第二次取到黑球第二次取到黑球第二次取到白球第二次取到白球01Y求求(X,Y)(X,Y)的联合分布及边缘分布的联合分布及边缘分布,,分有放回和无放回讨论分有放回和无放回讨论..解：有放回解：有放回01011jpXYip53535253535252525352535201011jpXYip425342534352415253525352不放回不放回概率论概率论联合分布与边缘分布的关系：联合分布与边缘分布的关系：由联合分布可以确定边缘分布由联合分布可以确
5、定边缘分布;但由边缘分布一般不能确定联合分布但由边缘分布一般不能确定联合分布.概率论概率论对连续型对连续型r.v(X,Y)，X和和Y的联合概率密度为的联合概率密度为那么那么(X,Y)关于关于X的边缘概率密度为的边缘概率密度为),(yxp事实上事实上,三、连续型随机变量的边缘概率密度三、连续型随机变量的边缘概率密度xdyyxpxpX),()(),()(xFxFXxdudyyup),(概率论概率论(X,Y)关于关于Y的边缘概率密度为的边缘概率密度为dxyxpypY),()(y),()(yFyFYydvdxvxf),(概率论概率论例例2设随机向量
6、设随机向量(X,Y)服从区域服从区域D上的均匀分布上的均匀分布,其中其中D=(x,y),x2+y21,求求X,Y的边缘密度函数的边缘密度函数p1(x)和和p2(y).解解(1)由题意得由题意得:其其它它011),(22yxyxpdyyxpxp),()(1XY-112x1y2x1y当当|x|1时时,p(x,y)=0,所以所以,p1(x)=0当当|x|1时时,222211111),()(xxxxdyyxpxp22111xxdy212xxxx概率论概率论1|01|12)(21xxxxp1|01|12)(22yyyyp同理,均匀分布的边缘密度不再是一维均匀分布均匀分布的边缘密
7、度不再是一维均匀分布概率论概率论例例3设设(X,Y)的概率密度是的概率密度是其其它它,00,10),2(),(xyxxcyyxp求求(1)c的值；的值；（2两个边缘密度。两个边缘密度。=5c/24,c=24/5.100(2)xdxcyxdy解解(1)故故yxxy01x123022cxxdx2),(1Rdxdyyxp概率论概率论例例3设设(X,Y)的概率密度是的概率密度是解解求求(1)c的值的值;(2)两个边缘密度两个边缘密度.其其它它,00,10),2(),(xyxxcyyxpdyyxpxpX,(2)xxy0yx1xxx当当时时
8、,01x暂时固定暂时固定.,00dxyxpdxyxpdxyxpxpxxX.0,0,01xpyxpyxxX故故都都有有对对时时或或当当概率论概率论),2(5122xx注意取值范围注意取值范围xdyxy0)2(524综上综上,.,0,10,25122其其它它xxxxpXxxyxxy01xx当当时时,01x.,00dxyxpdxyxpdxyxpxpxxX概率论概率论例例3设设(X,Y)的概率密度是的概率密度是解解(2)求求(1)c的值的值;(2)两个边缘密度两个边缘密度.其其它它,00,10),2(),(xyxxcyyxpdxyxpypY,.0
9、,0,01ypyxpxyyY故故都都有有对对时时或或当当.,1011dxyxpdxyxpdxyxpypyyyY时时当当yxyyy11y暂时固定暂时固定0yx概率论概率论),2223(5242yyy1)2(524ydxxy其其它它,010),2223(524)(2yyyyypY综上综上,注意取值范围注意取值范围概率论概率论在求连续型r.v的边缘密度时，往往要求联合密度在某区域上的积分.当联合密度函数是分片表示的时候，在计算积分时应特别注意积分限.概率论概率论若二维随机变量若二维随机变量X,Y具有概率密度具有概率密度,x,y211222)()1(21exp121)
10、,(xrryxp1)()(22222211yyxr则称（则称（X,Y服从参数为服从参数为的二维的二维正态分布正态分布.r,2121其中其中均为常数均为常数,且且,0,0211|rr,2121),(),(222121rNYX记记作作概率论概率论二维正态随机变量的边缘概率密度二维正态随机变量的边缘概率密度解解dyyxpxpX),()(进行配方，得进行配方，得对对中，中，在在yyyxrxr2222212121212212122222121212122121yyxrxr21212112222121xxryr概率论概率论dueexpuxX221221212122
11、1212121xe21212121xexexpxX21212121211，这这表表明明，NX概率论概率论因因此此有有的的地地位位是是对对称称的的，与与的的密密度度函函数数可可知知，由由YXYXyeypyY22222221222,NY这这表表明明，布布是是一一元元正正态态分分布布二二元元正正态态分分布布的的边边缘缘分分则则有有，),(),(222121rNYX即即如如果果211，NX222,NY结论（一）概率论概率论结论（二）无无关关布布中中的的常常数数的的参参数数与与二二元元正正态态分分上上述述的的两两个个边边缘缘分分布布中中r但它们的边缘分布却都是一样
12、的但它们的边缘分布却都是一样的.不同的二维正态分布不同的二维正态分布,也就是说也就是说,对于给定的对于给定的不同的不同的对应对应,2121r边缘概率密度为一维正态分布的二维随机向量不一定边缘概率密度为一维正态分布的二维随机向量不一定是二维正态分布是二维正态分布.结论（三）概率论概率论四、课堂练习四、课堂练习设设(X,Y)的概率密度是的概率密度是,0,0,yexyxfxy其其它它求求(X,Y)关于关于X和和Y的边缘概率密度的边缘概率密度.概率论概率论xyxxy0xx,Xfxfxydy解解暂时固定暂时固定当当时时,0x当当时时,0x00XfxdyyXxfxedyxeyxe故故,0,0,0.xXexfxx暂时固定暂时固定概率论概率论yxxy0,Yfyfxydx暂时固定暂时固定yyy暂时固定暂时固定当当时时,0y当当时时,0y00Yfydx0yyYfyedxyye故故,0,0,0.yYyeyfyy概率论概率论1.在这一讲中，我们与一维情形相对照，介在这一讲中，