定义：两数的和乘它们的平方和与它们的积的差，等于这两个数的立方和。
公式：
立方和公式：$a^{3}+b^{3}=(a+b)\left(a^{2}-ab+b^{2}\right)$
立方差公式：$a^{3}-b^{3}=(a-b)\left(a^{2}+ab+b^{2}\right)$
公式推导
$a^{3}+b^{3}$
$=a^{3}+a^{2}b-a^{2}b+b^{3}$
$=a^{2}(a+b)-b\left(a^{2}-b^{2}\right)$
$=a^{2}(a+b)-b(a+b)\quad(a-b)$
$=(a+b)\left[a^{2}-b(a-b)\right]$
$=(a+b)\left(a^{2}-ab+b^{2}\right)$+
二．例题
练习1计算:$(a+b)\left(a^{2}-ab+b^{2}\right)$
于是，我们得到：
【立方和公式】$(a+b)\left(a^{2}-ab+b^{2}\right)=a^{3}+b^{3}$
两个数的和乘以它们的平方和与它们积的差，等于这两个数的立方和．
【例1】计算
(1)$(x+2)\left(x^{2}-2x+4\right)$（2）$(4+m)\left(16-4m+m^{2}\right)$
(3)$(2a+5b)\left(4a^{2}-10ab+25b^{2}\right)$
解$=(1)$由$(x+2)\left(x^{2}-2x+4\right)$
$=(x+2)\left(x^{2}-x\cdot2+2^{2}\right)$
$=x^{3}+2^{3}$
$=x^{3}+8$
(2)原式=$4^{3}+m^{3}=64+m^{3}$。
(3)$\quad(2a+5b)\left(4a^{2}-10ab+25b^{2}\right)$
$=(2a+5b)\left[(2a)^{2}-(2a)(5b)+(5b)^{2}\right]$
$=(2a)^{3}+(5b)^{3}$
$=8a^{3}+125b^{3}$
练习2计算：$(a-b)\left(a^{2}+ab+b^{2}\right)$
我们得到：
【立方差公式】$(a-b)\left(a^{2}+ab+b^{2}\right)=a^{3}-b^{3}$
两个数的差乘以它们的平方和与它们积的和，等于这两个数的立方差．
【例2】计算：(1)$(2x-1)\left(4x^{2}+2x+1\right)$
(2)$\left(\frac{a}{3}-\frac{b}{2}\right)\left(\frac{a^{2}}{9}+\frac{ab}{6}+\frac{b^{2}}{4}\right)$
解:(1)$(2x-1)\left(4x^{2}+2x+1\right)$
$=(2x-1)\left[(2x)^{2}+(2x)\cdot1+1^{2}\right]$
$=(2x)^{3}-1^{3}$
$=8x^{3}-1$
$=\left(\frac{a}{3}-\frac{b}{2}\right)\left[\left(\frac{a}{3}\right)^{2}+\frac{a}{3}\cdot\frac{b}{2}+\left(\frac{b}{2}\right)^{2}\right]$
$=\left(\frac{a}{3}\right)^{3}-\left(\frac{b}{2}\right)^{3}$
$=\frac{a^{3}}{27}-\frac{b^{3}}{8}$
说明：在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构。
【强化训练】
1．填空，使之符合立方和或立方差公式：
(1)$(x-3)(\quad)=x^{3}-27$；
(2)$(2x+3)(\quad)=8x^{3}+27$；
(3)$\left(x^{2}+2\right)(\quad)=x^{6}+8$；
(4)$(3a-2)(\quad)=27a^{3}-8$．
2．填空，使之符合立方和或立方差公式：
(1)()$\left(a^{2}+2ab+4b^{2}\right)$＝______；
(2)()$\left(9a^{2}-6ab+4b^{2}\right)$＝______；
(3)（）$\left(\frac{1}{4}x^{2}-xy+4y^{2}\right)$＝________；
(4)()$\left(m^{4}+4n^{2}+16\right)$＝________。
答案：
强化练习
1.(1)$x^{2}+3x+9;$(2)$4x^{2}-6x+9;$(3)$x^{4}-2x^{2}+4;$(4)$9a^{2}+6a+4$