1、第一阶梯例1我们来计算(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2,这就是说，两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做乘法的平方差公式，利用这个公式计算：(1)(2x+3y)(2x-3y)(2)(1+2a)(1-2a)(3)(2x3+5y2)(2x3-5y2)(4)(-a2-b2)(b2-a2)提示：刚开始使用公式，运算格式可分两步走，第一步先按公式特征写出一个框架，(1)(2x+3y)b，并在框(2x-3y)=()2-()2,第二步分析哪项相当于公式中的a,哪项相当于公式中的架中填数计算。参考答案：(1)(2x+3y)(2x-3
2、y)=2x)2-(3y)2=4x2-9y2(2)(1+2a)(1-2a)=12-(2a)2=1-4a2(3)(2x3+5y2)(2x3-5y2)=(2x3)2-(5y2)2=4x6-25y4(4)(-a2-b2)(b2-a2)=(-a2-b2)(-a2+b2)=(-a2)2-(b2)2=a4-b4说明：平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2的特征是：1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。（2）右边是乘式中两项的平方差：即用相同项的平方减去相反项的平方，在学习平方差公式时还应汪息:公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式一定要认真仔细地对题目
3、进行观察研究，把不符合公式标准形式的题目加以调整，使它变化为符合公式标准的形式，如第（4）小题。例2计算(a+b)2和(a-b)2,可知(a+b)2=(a+b)(a+b尸a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2,即(a+b)2=a2(1)(x+5)2(2)(2-y)22ab+b2,这就是说，两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或者减去）它们积的2倍，这两个公式叫做乘法的完全平方公式。利用这两个公式计算(3)(3a+2b)2提示:在套用完全平方公式进行计算时，一定要先弄清题目中的哪个数或式是a,哪个数或
4、式是b参考答案:(x+5)2=x2+2x5+52=x2+10x+25(2)(2-y)2=22-22y+y2=4-4y+y2(3a+2b)2=(3a)2+2-3a2b+(2b)2=9a2+12ab+4b2(5)(-a+2b)2=(-a)2+2-(-a)2b+(2b)2=a2-4ab+4b2说明：1、(a+b)2=a2+2ab+b2与(a-b)2=a2-2ab+b2都叫做完全平方公式，为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。2、这两个公式的结构特征是：左边是两个相同的二项式相乘，(即二项式的平方形式)，右边是三项式，是左边二项式中两项
5、的平方和，加上(这两项相加时)或减去(这两项相减时)这两项乘积的2倍。3、公式中的字母a、b既可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式等代数式。4、只要符合这一公式的结构特征，就可以运用这一公式，在运用公式时，注意防止发生(a士b)2=a2士b2这样的错误。例3计算(a+b)(a2-ab+b2)和(a-b)(a2+ab+b2),可知(a+b)(a2-ab+b2)=a2-a2b+ab2+a2b-ab2+b3=a3+b3,(a-b)(a2+ab+b2)=a3+a2b+ab2-a2b-ab2-b3=a3-b3,即(a+b)(a2+ab+b2)=a3b3,这就是说，两数和(或差)乘以它们的平方和与它
6、们的积的差(或和)，等于这两个数的立方和(或差)，这两个公式叫做乘法的立方和公式与立方差公式，利用这两个公式计算：(1)(x+2)(x2-2x+4);(2)(3-y)(9+3y+y2);(3)(3x-4y)(9x2+12xy+16y2);一一(5)(3x2-2y2)(9x4+6x2y2+4y4)提示:先弄清题目是用立方和公式还是用立方差公式计算，再弄清题目中哪个数或式是a,哪个数或式是b,最后再代入公式计算。参考答案：(x+2)(x2-2x+4)=(x+2)(x2-x2+22)=x3+23=x3+8(3-y)(9+3y+y2)=(3-y)(32+3y+y2)=33-y3=27-y3(3x-4y
7、)(9x2+12xy+16y2)=(3x-4y)(3x)2+3x4y+(4y2)=(3x)3-(4y)3=27x3-64y(4)!幼d以z一日十=4口一:口，!8+(；8尸上692322.5323827(5)(3x2-2y2)(9x4+6x2y2+4y4)=(3x2-2y2)(3x2)2+3x22y2+(2y2)2=(3x2)3-(2y2)3=27x6-8y6说明：1、注意对公式的理解和记忆（1）项数特征：两项乘三项-积为二项，（2）符号特征：二项的因式若两项都为+”,则三项的因式符号为+,-,+,积的符号与二项因式的符号相同，二项的因式符号若为+,-,则三项的因式符号为+,+,+,积的符号与
8、二项因式的符号相同，即是说公式在各种条件都相符的情况下，所得的积是两数的“立方和”还是两数的“立方差，主要看乘积中第一个乘式是“两数和，还是两数差。2、公式中的字母a、b仍代表任意数或代数式第二阶梯例1利用乘法公式计算：(1)(x+3)(x-3)(x2+9)(2)(a+b)(a-b)(a2-b2)(3)(x-2)(x+2)(x4+4x2+16)(4)(a-b)(a2+ab+b2)(a6+a3b3+b6)提示：1）；小题可两次使用平方差公式;2），；小题先使用平方差公式，再使用完全平方公式;3），小题先使用平方差公式，再使用立方差公式4）。小题两次使用立方差公式O参考答
9、案：(1)(x+3)(x-3)(x+9)=(x-9)(x+9)=(x2-92=x4-81(2)(a+b)(a-b)(a(3)(x-2)(x+2)(x遇到多项式的乘法问题，首先应看看是否符合某个乘法公式，若有恰当的公式使用可大大简化运算过程。例2运用乘法公式计算：(1)(a+b+c)(a-b-c)(2)(a-2b+3c)(a+2b-3c)(3)(x+2y+z)2(4)(2x-3y-4z)2提示：1）（2）小题可利用平方差公式进行计算；（3）（4）小题可利用完全平方公式进行计算。参考答案：(a+b+c)(a-b-c)=a+(b+c)a-(b+c)=a2-(b+c)2=
10、a2-(b2+2bc+c2)=a2-b2-2bc-c2(a-2b+3c)(a+2b-3c)=a-(2b-3c)a+(2b-3c)=a2-(2b-3c)2=a2-(4b2-12bc+9c2)=a2-4b2-12bc-9c2(x+2y+z)2=x+(2y+z)2=x2+2x(2y+z)+(2y+z)2=x2+4xy+2xz+4y2+4yz+z2(2x-3y-4z)2=2x-(3y+4z)2=(2x)2-2-2x(3y+4z)+(13y+4z)2=4x2-4x(3y+4z)+(19y2+24yz+16z2)=4x2-12xy-16xz+9y2+24yz+16z2进行多项式乘法运
11、算时，一定要认真仔细地对题目进行观察研究，把不符合公式标准形式的题目加以调整。适当地添加括号，将有利于应用乘法公式，添加括号方式的不同，可一题多解，如(4)小题还可添加括号为(2x-3y)-4z2，但得出的结果均相同。例3利用乘法公式计算：(1)(x+1)(x-1)(x2+x+1)(x2-x+1)(2)(a+b)(a-b)(a2+ab+b2)(a2-ab+b2)提示：(1)小题前两个因式可利用平方差公式计算，后两个因式也可利用平方差公式计算，也可以将第一个因式与第四个因式结合利用立方和公式，第二个因式与第三个因式结合利用立方差公式(2)小题类似。参考答案：(1)解法一：(x+1)(x-1)(x
12、2+x+1)(x2-x+1)=(x2-1)(x2+1)2-x2=(x2-1)(x4+2x2+1-x2)=(x2-1)(x4+x2+1)=(x2-1)(x2)2+x2-1+12=(x2)3-13=x6-1解法二：(x+1)(x-1)(x2+x+1)(x2-x+1)=(x+1)(x2-x+1)(x-1)(x2+x+1)=(x3+1)(x3-1)=(x3)2-12=x6-1(2)解法一：(a+b)(a-b)(a2+ab+b2)(a2-ab+b2)=(a2-b2)(a2+b2)2-(ab)2=(a2-b2)(a4+2a2b2+b4-a2b2)=(a2-b2)(a4+a2b2+b4)=a6-b6解法二：
13、(a+b)(a-b)(a2+ab+b2)(a2-ab+b2)=(a+b)(a2-ab+b2)(a-b)(a2+ab+b2)=(a3+b3)(a3-b3)=(a3)2-(b3)2=a6-b6说明：进行整式乘法运算时，要注意观察题目的特点，统观全局，恰当地选用所学的乘法公式或用乘法法则进行计算，以上两道小题的解法中，显然解法二先运用立方和，立方差公式，再运用平方差公式，这样做既简便又不易出错。第三阶梯例12五二一一(1)化简化求值：(x+2)(x2-2x+4)+(x-1)(x2+x+1),其中(2)解方程：(2x+1)2-(x+1)(x-1)-3x(x-1)=0提示:用乘法公式进行化简参考答案:(
14、x+2)(x2-2x+4)+(x-1)(x2+x+1)=x3+8+x3-1=2x3+72x-当时,原式=2x+7=2x(-)+7=+7=63272727(2x+1)2-(x+1)(x-1)-3x(x-1)=0解:(4x2+4x+1)-(x2-1)-3x2+3x=04x2+4+1-x2+1-3x2+3x=07x=-2说明:在化简求值和解方程的过程中，如果遇到多项式的乘法，应先观察能否运用乘法公式，如果能运用，很多乘法就可直接应用公式写出结果，这充分简化了计算过程。例2已知a+b=3,ab=-8,求下列各式的值。1)a2+b2(2)a2-ab+b2(3)(a-b)2(4)a3+b3提示：由完全平方
15、公式(a+b)2=a2+2ab+b2,可知a2+b2=(a+b)2-2ab,利用已知条件可求出a2+b2的值，再分别代入(2)，(3)，(4)，可求出(2)，(3)，(4)式的值。注意，第(4)小题应逆用立方和公式。参考答案：a2+b2=(a+b2)-2ab=32-2x(-8)=9+16=25a2-ab+b2=a2+b2-ab=25-(-8)=25+8=33(a-b)2=a2-2ab+b2=a2+b2-2ab=25-2x(-8)=25+16=41(4)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)(a2+b2-ab)=3x25-(-8)=3x33=99说明：灵活运用公式变形和逆用公式，
16、这些都是常用的解题技巧。例3若两个连续自然数的平方差是17，求这两个自然数的和？提示:设一个自然数为X,另一个自然数为x+1,根据题意，列出方程，求出这两个自然数，进而求出它们的和参考答案:解：设这两个连续自然数是x,x+1根据题意得，(x+1)2-x2=17X2+2X+1-X2=172x+1=172x=16x=8.-x+1=8+1=9.-x+(x+1)=8+9=17答：这两个自然数的和是17说明:四、检测题选择题.下列各式能用平方差公式进行计算的是（）A.(a+2)(-a-2)B.(-x-y)(y-x)C.D.(2x+y)(x-2y).若16x2+mxy+81y2是一个完全平方式，则m的值为
17、（）A.36B.72C.-72D.士72.a3-27b3的一个因式是（）A.a2+3ab+9b2B.a2+3ab+9b2C.a2-3ab+b2D.a2-3ab+b2A.81B.17C.49D.145填空题1、33x+2y)=()=9x2-4y22、(-1+2a)(-1-2a)=().2一一3、(0.3x+y)=()4、x2+x+()=5、9x2-()+49y2=(3x-7y)6、(2a+3b)(4a2-6ab+9b2)=()7、()(m4-m2+1)=m6+i8、a2+b2=(a+b)2-()9、(a+b)2=(a-b)2+()10、(p2-q)()=p6-q31、计算:(x+2)(x-2)
18、(x2+4)(2)(x-y+1)(x+y-1)2(a+b+c)(4)(x+3)(x-3)(x2-3x+9)(x2+3x+9)TOCo1-5hzHYPERLINKlbookmark4oCurrentDocument2119-x20-332(6)2025+1日尸一(也了一(3口-切(9/+3油+产)其中=-1=22、化简求值：223、解方程：4(x-3)2-(2x+1)2=(3x+1)(1-3x)+9x2HYPERLINKlbookmark16oCurrentDocument已知+=4.求1+4XXX答案：A组答案：选择题1、B2、D3、A4、C填空题2、1-4a3、0.09x2+0.6xy+y24、5、42xy6、8a3+27b