山东平邑一中高62级2023年11月月考数学试题
注意事项：
2．客观题请将选出的答案标号（A、B、C、D）涂在答题卡上，主观题用0.5mm黑色签字笔答题．
第I卷（共60分）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1.直线的倾斜角是
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】
直线方程化为点斜式，求出直线斜率，即可求出倾斜角.
【详解】化为，
斜率为，所以倾斜角为.
故选:D.
【点睛】本题考查直线的一般式方程，涉及直线的倾斜角和斜率的关系，属于基础题.
2.“”是“方程表示椭圆”的（）
A.充要条件B.必要不充分条件
C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可.
【详解】等价于.
若，则方程表示单位圆.
若方程表示椭圆，则椭圆方程可化为，
则且.
故“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件.
故选：B.
3.已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则＝（）
A.﹣3B.3C.6D.9
【分析】根据线面垂直的向量表示即可求解.
【详解】因为，所以，解得，
所以.
故选：B
4.已知实数满足，则的最大值是（）
A.B.4C.D.7
【答案】C
【分析】法一：令，利用判别式法即可；法二：通过整理得，利用三角换元法即可，法三：整理出圆的方程，设，利用圆心到直线的距离小于等于半径即可.
【详解】法一：令，则，
代入原式化简得，
因为存在实数，则，即，
化简得，解得，
故的最大值是，
法二：，整理得，
令，，其中，
则，
，所以，则，即时，取得最大值，
法三：由可得，
设，则圆心到直线的距离，
解得
故选：C.
5.直线被圆所截得的弦长为（）
A.B.4C.D.
【分析】利用圆的一般方程得出圆心坐标和半径，再结合点到直线的距离公式与勾股定理即可求解.
【详解】由题意知，圆心，圆C的半径为3，
故C到的距离为，
故所求弦长为．
故选：C
6.直三棱柱如图所示，为棱的中点，三棱柱的各顶点在同一球面上，且球的表面积为，则异面直线和所成的角的余弦值为（）
【答案】A
【分析】先根据已知条件求出侧棱长，然后建立空间直角坐标系，求出直线和的方向向量，从而可求解.
【详解】因为在直三棱柱中，所以球心到底面的距离，
又因为，所以，所以，所以底面外接圆半径，
又因为球的表面积为，所以，
而，所以，
以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则
，，，，
，
设直线和所成的角为，则
.
故选：A.
7.若圆与圆仅有一条公切线，则实数a的值为（）
A.3B.C.D.1
【分析】利用两圆的位置关系计算即可.
【详解】由题意可知两圆相内切，易得两圆圆心，且两圆半径分别为，
8.已知椭圆C：的左、右顶点分别为A，B，P为C上异于A，B的一点，直线PA，PB与直线分别交于M，N两点，则的最小值为（）
A.B.7C.D.6
【分析】计算直线PA和直线PB的斜率之积为常数，据此分别用同一参数表示直线方程，求出坐标，得到，利用均值不等式求最值.
【详解】设，则，
由椭圆方程可知，故顶点，，
则直线PA和直线PB的斜率之积，
设直线PA的方程为，则与的交点，
直线PB的方程为，则与的交点，
所以，当且仅当时等号成立．
故选：D
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9.已知AB为圆直径，直线与y轴交于点M（A，B，M三点不共线），则（）
A.l与C恒有公共点
B.是钝角三角形
C.的面积的最大值为l
D.l被C截得的弦的长度最小值为
【答案】ABD
【分析】M是一个在圆内的定点，可以判断AB选项；根据AB是定值可以判断到的距离最大时，三角形面积最大，从而判断C选项；l被C截得的弦的长度的最小时，圆心到直线的距离最大，从而判断D选项.