摘要：本文研究了电影院的座位设计问题，找出了三类影院的“皇帝位”，以及对多方面因素的重新考虑，进行影院设计
问题一：观众视线夹角尽可能大并且上扬头部角度不超过30°，则可以用MATLAB计算出座位距离屏幕前合适距离的区域；再加上排与排之间距离限制，根据这些可以用MATLAB计算出哪几排符合要求。得出结果：IMAX厅及大厅：7、8排；中厅：6、7排；小影厅：4、5排。
问题二：对于该问题，是建立在问题1基础之上的，所以问题2在问题1求解的区域中求解。在问题1区域中，在计算其水平方向视角大于等于36°视野范围内求解区域，并考虑立体声效果与观影效果都较好的区域。听觉效果不可忽略：声像同步，影厅太大这个现象就会体现得比较明显；回声的影响，中间位置最弱。用MATLAB计算视角最优位置，得出结果：IMAX厅及大厅：7、8排中间及两侧座位；中厅：6、7排中间及两侧座位；小影厅：4、5排中间及两侧座位。
问题三：看3D电影眼睛易疲劳，可用问题2中区域向后1-2排考虑。即：IMAX厅及大厅：8排中间及两侧座位；中厅：7排中间及两侧座位；小影厅：5排中间及两侧座位。
问题四：据了解，影院倾斜度不得大于20°，所以用MATLAB求解，让地板线倾角在[20,0]内逐一取值，让最优第一排座位与屏幕距离在[0，20]内逐一取值。记下三种影厅最优值θ均为20°，x的分别取值为：IMAX厅及大厅：5米；中厅：3米；小影厅：2米。
关键词：MATLAB
（一）问题重述
电影院的屏幕宽高比是16:9，观众厅长度与宽度之比为1.5，屏幕距离地面2米，观众厅地面坡度（地板线）为7°，椅子尺寸深度0.5米、宽度0.65米、高度0.42米，椅子的背倾角100°，每排间距为1.2米；三类影院银幕宽度分别为16米、12米，8米，第一排座位距离屏幕分别为8米、5米、4米。同时假设人的座高为0.9米。
现解决以下问题。
1、对于三类不同影院各厅该如何选最佳座位？观影者要尽量让银幕画面填充在视野内，要求观众眼睛到屏幕上、下边的视线的夹角越大越好，且观众看见屏幕上边需上仰头部的角度不超过30°。
2、对于三类不同影院各厅该如何寻找影厅的“皇帝位”？即我们在选座时除了要注意视觉观感的最佳效果，也需要在音效方面达到最佳效果。“皇帝座”不单指影厅里的某一个位置，而是一块区域，是一个既能立体声效果最好、又能享受到最好的观影效果的一块区域。要求(1)其水平方向视角，即眼睛和屏幕两侧水平的夹角要至少大于等于36°；(2)观众眼睛到屏幕上、下边的视线的夹角越大越好，且观众看见屏幕上边需上仰头部的角度不超过30°。
3、我们都知道，3D电影更容易让眼睛疲劳，人眼视觉焦点活动范围越小疲劳程度越轻。对于IMAX影院厅看3D电影又如何选座位？重新考虑地板线、影院第一排座位距离屏幕等因素设计，如何提高观众的满意度？
（二）问题分析
观众视线夹角尽可能大并且上扬头部角度不超过30°，则可以用MATLAB计算出座位距离屏幕前合适距离的区域；再加上排与排之间距离限制，根据这些可以计算出哪几排符合要求。
对于该问题，是建立在问题1基础之上的，所以问题2在问题1求解的区域中求解。在问题1区域中，在计算其水平方向视角大于等于36°视野范围内求解区域，并考虑立体声效果与观影效果都较好的区域。听觉效果不可忽略：声像同步，影厅太大这个现象就会体现得比较明显；回声的影响，中间位置最弱。
3D电影：眼睛易疲劳，可用问题2中区域向后1-2排考虑。
影院倾斜度不得大于20°，所以让地板线倾角在[20,0]内逐一取值，让最优第一排座位与屏幕距离在[0，20]内逐一取值。求解三种影厅最优值。
（三）模型的假设与符号说明
2.1.1模型的假设
忽略观影厅阶梯，将观影厅地面视为斜面。将斜面上所有座位所在平面也看作斜面处理。在计算观影厅长度时将座椅视为一点。忽略观影者两眼之间的距离。忽略观影者双眼到头顶的距离。假设在满足竖直方向最佳的前提下，观影者感受只和水平方向视角和有关，和偏离影厅中轴线的距离无关。
2.1.2符号说明
（四）模型的准备
以题中所给信息，建立影厅剖面图模型，如下图：
图1影院座位设计剖面图
（五）模型的建立与求解
1、问题1模型建立与求解
1.1求解大厅类影院
大厅类影院d=8m，银幕宽度为16米。屏幕高度H=9m。
仰角在满足条件的范围内，最佳座位处视角最大。
以第一排观众为原点，建立平面直角坐标系。其中β在0-30°范围内。最佳位置距第一排距离为x。任意点p坐标为（x，xtanθ），屏幕上下点坐标为A（-d，H-c），B（-d，-h-c），AP斜率记为kAP，BP斜率记为kBP。由斜率公式得：
代入上式，用MATLAB作图得到α与β的关系图像（程序见附录一）：
图2大厅类α与β的关系图像
其中，横轴为β，纵轴为α。
由图像可以看出，β≤30°=0.5236时，α随着β的增加而增加。并且由题可知，当β≤30°时α越大观众满意度越高。所以可以推得最佳位置应当在β=30°处。利用MATLAB求解α和x得
α=29.4978°x=7.8288
此时考虑座位100°背倾角，假设观影时靠背，减去0.9/tan(80*pi/180)m得最佳位置为7.6701m。
但是影院座位为离散，顾要在符合条件的情况下取得最优解。每排间距为1.2米，所以最后解应为6.3918，即第7、8排处。
影厅长度高度均符合要求。
1.2中厅类影院
中厅类影院d=5m，银幕宽度为12米。屏幕高度h=6.75m。同1.1，用MATLAB作图得到α与β的关系图像：
图3中厅类α与β的关系图像
同1.1，由图像可以看出，β≤30°=0.5236时，α随着β的增加而增加。并且由题可知，当β≤30°时α越大观众满意度越高。所以可以推得最佳位置应当在β=30°处。利用MATLAB求解α和x得
x=7.0890α=28.9120°
此时考虑座位100°背倾角，假设观影时靠背，减去0.9/tan(80*pi/180)m得最佳位置为6.9303m。
但是影院座位为离散，顾要在符合条件的情况下取得最优解。每排间距为1.2米，所以最后解应为5.7752，即第6、7排处。
1.3小厅类影院
小厅类影院d=4m，银幕宽度为8米。H=6.5屏幕高度h=4.5m。同1.1，用MATLAB作图得到α与β的关系图像：
图4小厅类α与β的关系图像
x=4.7000α=40.9196°
此时考虑座位100°背倾角，假设观影时靠背，减去0.9/tan(80*pi/180)m得最佳位置为4.5413m。
但是影院座位为离散，顾要在符合条件的情况下取得最优解。每排间距为1.2米，所以最后解应为3.7844，即第4、5排处。
综上所述，得：
表1各类影厅最优排
2、问题2模型建立与求解
2.1问题二模型的建立
在满足问题1的条件下，又要使其水平方向视角，即眼睛和屏幕两侧水平的夹角要至少大于等于36°，做影厅俯视图如下图：
图5影院俯视剖面图
观众在选座时除了要注意视觉观感的最佳效果，也需要在音效方面达到最佳效果，即“皇帝位”。在满足最佳座位选择模型的前提下，“皇帝位”另要求观众水平方向视角，即眼睛和屏幕两侧水平的夹角要至少大于等于36°。基于竖直方向最佳座位选择的基础，现在水平方向研究在满足最佳座位的排，哪几个座位满足“皇帝位”要求。
2.2问题二的求解
取tan54°=1.3763，N取最佳座位选择模型中s1对应值，又由椅宽度为0.65米，求出满足该值的所有观众向左偏离银幕中间的距离以及座位：
表2各类影厅皇帝位
3、问题3模型的建立与求解
3.1问题三模型的建立
在满足问题二的最佳座位选择模型的前提下，考虑3D电影的最佳座位。3D电影更容易让眼睛疲劳，人眼视觉焦点活动范围越小疲劳程度越轻，为避免眼部疲劳，应在保证观影效果的条件下使视觉焦点活动范围较小。
3.2问题三模型的求解
取tan54°=1.3763，N取最佳座位选择模型s1对应值，又由椅子宽度为0.65米、3D电影对座位的要求，求出满足所有观众向左偏离银幕中间的座位，即：利用问题二求得的皇帝位，取每一类影厅视觉焦点活动小的座位，结果如下表：
表33D电影最优座位
4、问题4模型建立与求解
4.1问题四模型的建立
由资料知，影院倾斜度不得大于20°，所以让地板线倾角θ在[20,0]内逐一取值，精度为0.01；让x在[0，20]内逐一取值，精度为0.01。记下最优值θ和x的取值。
4.2问题四模型的求解
地板线、影院第一排座位距离屏幕等因素设计的MATLAB代码见附录2.
得出三类影院的最优倾斜度以及最优第一排座位距离屏幕取值，如下表：
表4各类影厅最优地板线及座位屏幕距离设计
（六）模型的评价与推广
6.1模型的评价
6.1.1模型的优点:
模型抓住影响观众满意程度的主要因素(仰角和视角),合理构造满意度函数,过程清晰明了,结果科学合理。
模型具有较好的通用性,实用性强,对现实有很强的指导意义。
6.1.2模型的不足以及需要改进的地方：
模型主观假设同一排座位观众的满意程度相同,实际情况并非如此,这就使得我们的模型对解决实际问题时有一定的局限性。
模型建立的过程中，没有考虑前排观众额部对后排观众的遮挡,需要进一步的考虑在内。
只考虑了部分观众满意度，没有考虑整体性。需要进一步对整个影厅座位上的观众进行整体性的满意度分析。
6.2模型的推广
（七）参考文献
附录
附录一
%a与b关系
fun1=inline('atan((9*(((10.1-8*tan(b))./(tan(7*pi/180)+tan(b)))+8))./((((10.1-8*tan(b))./(tan(7*pi/180)+tan(b)))+8).^2+(((10.1-8*tan(b))./(tan(7*pi/180)+tan(b)))*tan(7*pi/180)-11+0.9).*(((10.1-8*tan(b))./(tan(7*pi/180)+tan(b)))*tan(7*pi/180)-11+9+0.9)))','b');
b=linspace(0,pi/2,1000);
a=fun1(b);
plot(b,a)
附录二
%最优设计
clear;
clc;
H=9;
h=1.8;
d=8;
c=1.1;
l=0.9;
pi=3.1415926;
t=0;
fork=1:20
forQ=0:0.01:20
z=h*((k-1)*l*cos(Q/180*pi)+d)/(((k-1)*l*cos(Q/180*pi))^2+((k-1)*l*cos(Q/180*pi)*tan(Q*pi/180)-H+c)*((k-1)*l*cos(Q*pi/180)*tan(Q/180*pi)-H+h+c));