女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。
傲慢的人建造巴别塔的故事(创世纪11)如下:
11:1那时，天下人的口音，言语，都是一样。
11:2他们往东边迁移的时候，在示拿地遇见一片平原，就住在那里。
11:3他们彼此商量说，来吧，我们要作砖，把砖烧透了。他们就拿砖当石头，又拿石漆当灰泥。
11:4他们说，来吧，我们要建造一座城和一座塔，塔顶通天，为要传扬我们的名，免得我们分散在全地上。
11:5耶和华降临，要看看世人所建造的城和塔。
11:6耶和华说，看哪，他们成为一样的人民，都是一样的言语，如今既作起这事来，以后他们所要作的事就没有不成就的了。
11:7我们下去，在那里变乱他们的口音，使他们的言语彼此不通。
11:8于是，耶和华使他们从那里分散在全地上。他们就停工，不造那城了。
11:9因为耶和华在那里变乱天下人的言语，使众人分散在全地上，所以那城名叫巴别（就是变乱的意思）。
本文考察了“历史学、科学史、科学理论与伊斯兰几何设计过程”这几个领域之间的关系。巴别塔的主题和多种语言的诅咒贯穿了我对这些话题的讨论，因为无论是在伊斯兰几何图案的研究中还是在跨学科的话语中，都缺乏一种共同的语言。如果巴别塔的诅咒在伊斯兰艺术领域困扰着我们，我们不必绝望，因为它是有希望被纠正的。在圣经的类比中，来自旧约的诅咒最终在新约中被移除。只有通过上帝的恩典和人类爱的真实表现，语言多样性的诅咒和由此造成的语言混乱才会被解除，人们将能够相互理解，就像在圣灵降临节那天一样(使徒行传2:7)。
图1：巴别塔：语言的混乱。古斯塔夫·多雷绘于《朵拉圣经插图》
我从我最初获得材料的过程开始，因为工具和方法对这类工作至关重要。这类信息很少公开披露，也不经常出版。正是从这些经常被忽视的起点出发，人们才能学到最多的东西，因为它们涉及的不仅仅是工具和方法；它们涉及跨学科研究的逻辑过程。
我的叙述始于1971年，当时有一小群对伊斯兰艺术和建筑装饰感兴趣的人参加了一次会议。我们都看着同一座纪念碑和它的同一部分装饰。在每一个案例中，我们的描述、分析，甚至是对装饰部分和形状的命名，都与坐在我们旁边的人完全不同。我们都看到了我们所看到的，我们每个人都用自己的语言和自己的术语说话。我们走了出去，就好像我们没有在一起过，我们没有沟通过，我们没有相互理解过。我们都说着不同的语言。从那一刻起，我就意识到伊斯兰建筑装饰的研究存在一些问题。我们缺乏适当的工具和适当的或通用的语言。如果继续这样下去，我们将永远无法真正对这些材料进行分类、分析和理解。
此后不久，在一个难忘的下午，当我浏览关于伊斯兰建筑的书籍时，我做了一个简单的观察，自十世纪以来，越来越多的几何图形被使用，同时几何设计图案的复杂性也在增加。这些观察引出了一个显而易见的问题：无论是谁创造了这些精细的几何设计，他一定掌握了实用的几何知识，使他能够获得最终的结构或几何图案。如果穆斯林艺术家、工匠、建筑师、建造者、设计师、木匠和工匠知道几何，他们不可能自发地获得它。他们一定学过，因此他们一定被教过。但是他们是如何被教导的呢？有哪些几何知识可用于教学？谁在教学，用什么书或手册？如果存在这样的教科书或手稿，那么我们应该寻找它们，研究它们的性质，澄清它们解决的问题，区分它们认为自己的材料中有问题的部分，并找到它们用来实现现在被公认为艺术杰作的设计和图案的几何构造方法。这种方法将使我们更接近客观理解这些工匠使用的设计方法，并理解伊斯兰几何设计的一步一步的过程。
1971年夏天，当我开始寻找论文题目时，几何和建筑装饰仍然萦绕在我的脑海中。我不禁回想起这个现在颇有回报的项目是如何开始的。我向我的导师解释了我对伊斯兰几何设计发展的观察，并表达了我希望找到一本专门为工匠编写的几何教科书或手稿，教他们如何设计和研究手稿，以便客观地理解伊斯兰几何设计和建筑装饰。人们的第一反应是没有这样的事情。对此，我回答说，我会去寻找它，只有当我找不到它的时候，我才能说没有这样的东西。因此，我面临着一个最强烈的断言，即我的建议和初步结论永远不会被找到为工匠写的手稿的物证所证实，整个项目注定要失败。
然而，我的最终目标仍然是找出工匠们学习的是哪种几何；他们知道什么；他们在设计中遇到了什么问题；而且，如果工匠们也能得到几何理论，那要过多久它才不再是科学界的专有财产。什么时候渗透到工匠和建筑师身上了？科学和伊斯兰文明不仅相遇，而且积极合作吗？
我从艺术和伊斯兰研究的深厚背景以及历史、史学和研究方法的一般背景出发来解决这些问题。最近的三次归功于两位杰出的教授，贝鲁特美国大学的康斯坦丁·祖拉伊克和当时在哈佛的乔治·马克迪西。他们的培训为利用哈佛图书馆系统的丰富资源提供了必要的工具。我阅读了世界各地图书馆收藏的手稿目录和索引。到周末的时候，我已经有了一大堆索引卡，上面提到了几何学手稿。我把它们分类，看看哪些被编辑过，哪些有已知的作者，哪些有已知的内容，哪些在哪个图书馆或城市，等等。当我在翻阅城市的卡片时，我突然想到在印度巴特那的Khudabakhsh图书馆有几份手稿。另一项对索引的研究显示，一些巴特那手稿是在13世纪早期(公元632年/1234年)在美索不达米亚北部的摩苏尔城被复制的。我同时想到两个问题:(1)那些手稿是如何到达巴特那的？(2)一定有人在公元前632年/公元1234年在摩苏尔学习或研究几何，那是谁？
对13世纪穆斯林学校和教学历史的研究表明，当时摩苏尔有两位非常著名的学者:Kamlal-DmYünisbinMan'a和Athiral-Dmal-Abhan。前者被公认为当时摩苏尔穆斯林主校最杰出的教师(该校随后以他的名字命名为"al-Madrasahal-Kamliyah")。
该作品被证明是著名的科学家和数学家Abü'1-Waf'al-Büzjm的作品，他从公元945年到公元987年去世一直居住在巴格达。1855年，奥地利科学历史学家F.Woepcke将该几何文本挑选出来，认为它是一份重要的文件，对伊斯兰艺术史学家来说具有特殊的意义，世界各地的图书馆都有许多手稿的修订本[3]。因此，到了第三周，我已经找到了我要找的那种手稿的一个样本，并确定了它的作者。
在这一点上，一些观察是有序的。首先，简单但正确的推理和逻辑是大多数研究的基础。一般来说，一个人不应该在没有去寻找它之前就否认它的存在。其次，对我的主题提案“没有这样的东西”的强烈回应，很有启发性，似乎反映了第一次世界大战后西方学者的偏见。对他们来说，伊斯兰文明不可能是智力的。他们认为穆斯林工匠是知识和教育程度最低的人，只有最低限度的创造性表达能力，他们的天才，如果他们非常聪明，只包括记住两三个图案。它们的一生只是复制这两三个图案。这种观点也因为早期英国旅行者讲述的轶事故事而激增，例如，阿奇博尔德·克里斯蒂(ArchibaldChristi)的以下引用:
“东方工人在他们的头脑中携带着复杂的图案，并且在没有笔记或指导的情况下轻松地复制它们。有一个故事讲的是一个英国的观察者，看到一个年轻的工匠直接在天花板上画了一幅最精致的图案，[观察者]找到艺术家的父亲，祝贺他儿子的能力，但父亲回答说，他认为这个男孩是一个傻瓜，因为他只知道一种图案，但他的兄弟确实是一个天才——他知道三种!”[4]
据推测，无知的伊斯兰工匠只知道他们十个手指的数目，这表明他们的智力或教育是有限的。这个荒谬的假设是如此根深蒂固，以至于在1971年夏天，对工匠几何知识的调查似乎是荒谬的。没有人询问是谁设计了这些复杂的图案，又是如何设计的。
第三点是否定13世纪可观察到的科学活动是伊斯兰教的可能性，并将其归因于景教东方教会或其复兴，即基督教文明。伊斯兰教和伊斯兰文明没有带来任何新东西，倭马亚王朝只是继承了拜占庭帝国，只是以扭曲的方式复制了它，这种假设是这一领域取得进展的巨大障碍。伊斯兰文明从未有过一丝科学、务实和智力活动的机会。因此，Kamlal-DmYünisbinMan'a被涅斯脱里派教会开除为基督徒。为工匠/建筑师编写的科学几何教科书是不存在的。
图2：1982年，在一个阿拉伯小镇的手工作坊里，有着几何图案和图画的纸卷。
我的下一站是巴黎，检查Abual-Waf,al-Büzjm手稿的波斯语译本。我随身带着一张购物清单，乔治·马克迪希曾这样称呼它，上面列有该图书馆其他可能令人感兴趣的物品。国家图书馆的购物清单包括一份没有标题或作者的手稿，在目录中只被称为“一份带有几何图形的几何问题手稿”[6]。我第一眼看到这份手稿的对开本时，就清楚地知道这是一个比阿布·瓦法手稿更重要的发现。在这里，复杂的几何图案的设计是可识别的重复单位的图纸，这是独特的说明。此外，与Abual-Waf手稿中的简单形状和多边形形成对比的是，这份手稿中的复杂几何形状“关于连锁的相似和全等的图形”，表明了一个更高和更晚的发展阶段。
当我回到剑桥时，我已经找到了一系列的书面材料，从10世纪到19世纪中期的伊斯兰科学和几何设计的历史，躺在世界各地的图书馆和博物馆的储藏室里。事实上，我的材料变得如此令人信服，以至于现在甚至被那些一开始对它表现出强烈怀疑态度的人所使用和传播。虽然找到手稿只花了两个月，但在没有任何支持的情况下获得这些文件的缩微胶卷和/或影印件却花了好几年。与此同时，我在努力解读这些材料，并找到一种合适的语言来讨论它，描述它所涉及的几何图案。
到70年代中期，伊斯兰艺术领域经历了一场压倒性的出版物浪潮，并重新引起了人们的兴趣。与前几十年相比，出版的书籍数量急剧增加。然而，这些出版物的学术水平处于最低点，尤其是在几何和装饰研究方面。这种混乱局面涉及三个方面：
2.视觉描述的扩散和视觉感知心理学作为研究方法。
3.语言学的普及，以及后来的符号学，作为艺术中的“科学”,其语言是最发达的，并且可以被用作工具，以获得对几何图案和艺术的更科学的理解。
上述问题的不足都表明需要一种科学的语言和方法来理解和系统地分类伊斯兰几何图案。
一个非常著名、活跃的国际神秘主义团体支持特定的出版物，并推动某些伊斯兰神秘主义思想。他们的主要学说是“存在的统一原则”。他们试图证明，最终，所有外在表现的差异都是“内在统一的中心”。它们是从边缘到中心、从相对到绝对、从有限到无限、从多重到统一的桥梁”，引用赛义德·侯赛因·纳赛尔的话[9]。许多渗透着这种神秘主题的书籍的介绍和前言都是由赛义德·侯赛因·纳斯尔或泰特斯·伯克哈特写的。这些书包括:NaderArdalan和LalehBakhtiar所著的《统一感:波斯建筑中的苏菲传统》；苏菲:拉勒·巴赫蒂亚尔神秘探索的表达:基思·克里奇洛的伊斯兰图案；和艾瑟·帕尔曼的《伊斯兰艺术中的几何概念》。纳斯尔的主要观点经常在这些书中用几何图形来说明，或者用长引号来引用。一个典型的例子是N.Ardalan的《统一的感觉》中的圆心(图3),其中这两幅(hir)、明显的(manifestofapparent)和隐藏的或内在的(Btin)被表示为圆心，分别代表身体和灵魂:
图3.1和3.2：神秘的象征应用于圆圈和它的中心在N.阿达兰的统一意识b[10]。
“显化(Zhir)：将上帝视为隐藏的和显化的，属于‘空间’——‘合格的’和‘神圣的’空间……作为显化，上帝成为包含一切的现实，“覆盖”并包含宇宙。在这种观点中，物理表现可以被视为一组五个同心圆的最里面的圆圈，后面分别是其他存在状态，最外面的圆圈象征着神圣的本质....”[S。H.Nasr，《伊斯兰教的科学与文明》，第93页。
“隐藏的(Btin)：[这]可以看作是人类微观世界的象征，在人身上，物质是最外在的表现，精神本质是最隐藏的....”[S。H.Nasr，《伊斯兰教的科学与文明》，第94页。][10]
图4.1：在推导所有几何图形时，强调圆的细分。出自I.El-Said，伊斯兰艺术中的几何概念[12]。
图4.2：在推导这个几何图形时，没有出现圆。出自I.El-Said，伊斯兰艺术中的几何概念[13]。
图4.3：圆的方案不适合长矩形单元时，标记一个变异区。选自I.El-Said的《伊斯兰艺术中的几何概念》。
从科学理论中我们知道，有17组不同的二维对称图案，它们在两个独立的方向上是周期性的。自30年代中期以来，这17种图案的对称法则已经被国际晶体学家科学界所确立和认可。然而，到了70年代中期，我们还不承认这一事实，并宣称只有一种方法可以描绘出所有的图案。人们不得不指出，《伊斯兰艺术中的几何概念》这本书的主题包含了一种科学谬误，以满足所期望的神秘解释的需求。
至于最后一本书，L.Bakhtiar的《苏菲：神秘探索的表达》，说几句就够了。在右侧的砌砖图(图5.1)中，A点和B点是四重旋转对称操作4和4'的不同旋转中心，在伊朗伊斯法罕清真寺的砌砖图案中，被宣布为“shuhüd，存在[有意识地见证上帝的存在](A)，和ghabat，不存在[无意识地见证上帝的存在](B)”。伊斯兰几何设计中最流行的图案，互锁的八角星和十字架(图5.2)，变成了“形式，扩张，收缩，慈悲的气息”！[16]这种图案存在于简单的砌砖、瓷砖、木材和纯金中！我想知道做这个设计的工匠是否认为它是形式、扩张、收缩和慈悲上帝的呼吸？这难道不是一个简单的几何设计，包括4点旋转对称吗？(图5.3)相信神秘主义和遵循它的实践并体验它的积极影响是一回事。但是，当一套新的解释和符号在历史真相的幌子下被创造和传播时，情况就完全不同了。在这些关于伊斯兰几何设计、图案和装饰的书籍中，象征性的神秘解释是基于对伊斯兰文学的现代理解。没有书面证据表明这种解释在几百年前艺术形式被创造出来的时候就被赋予了。
图5.1：L.Bakhtiar在《苏菲:神秘探索的表达》一书中对砖砌的两个不同的四重对称中心给出了神秘的解释。
图5.2：L.巴赫提亚在《苏菲:神秘探索的表达》中应用于八角星和十字图案的神秘象征。
图5.3：非常流行的陶瓷图案，8角星和十字图案。
纳斯尔的早期著作揭示了一个教育现代人理解象征主义语言以振兴传统科学的项目的核心。他在《人与自然：现代人的精神危机》中宣称：
“然而，传统科学的这种复兴需要重新发现象征主义的真正含义，并教育现代人理解象征主义的语言，就像教育现代人掌握逻辑或数学语言一样。”
不幸的是，公众仍然没有意识到这一点。如果在这些现在市场上很容易买到的书中，他们的作者已经清楚地表明，提出的观点是对旧形式的现代理解，将它们变成符号，就没有理由反对。问题在于将这些现代神秘主义观点作为历史真理呈现，仿佛这些符号就是艺术形式被创造时的意义。接触过这些书籍的非伊斯兰主义者会错误地认为现代的解释就是历史真相。真正的历史研究与创造和赋予过去的形式以象征意义之间的界限在哪里？我们如何从神秘解释的裹尸布中赎回几何形状、形式和图案，以便看到精确的科学设计的基础？
2.视觉描述、感知和阿恩海姆
与此同时，艺术史理论领域中几种方法的突然流行淹没了伊斯兰艺术。这种情况迫切需要从无助于理解几何和图案的肤浅分析中提取领域。
这些方法中最突出的是视觉感知和视觉描述，由鲁道夫·阿恩海姆推广，他的书刚刚出版，当时他在哈佛教书。这种艺术史方法强调选择性视觉的过程，其研究和理解艺术的主要方法是基于视觉描述和感知的心理解释，包括平衡、运动和张力等元素。重点是人们看到了什么，以及人们看到什么和如何看到的渐进机制。因此，通过图6.1-6.3中的详细顺序，观看Kharraqn(公元486年/公元1093年)穆罕默德·马基(MuhammadMakki)墓中砖墙的图形图，观众试图描绘视觉感知和图案描述的可能选择机制。一个人可能首先注意到v形，然后是垂直的x形或水平的x形，然后才意识到有点或圆，需要平衡它们，连接它们，并在分组中看到方形关系或双边关系。同样，观众开始感知垂直或水平方向、节奏和重复。只要一个人在看，只要有一个停止或视觉暂停，就会有一个直接的选择和新感知的过程。在这一切中，我们仍然停留在表面的描述层面。
图6.1：公元1093年Kharraqan墓塔的全景照片:S.P.和H.N.Seherr-Thoss,《伊斯兰建筑中的设计和色彩》,第53页。华盛顿特区史密森学会(1968年)。
图6.2：公元1093年Kharraqan墓塔的砖砌几何图案，照片：S.P.和H.N.Seherr-Thoss,《伊斯兰建筑中的设计和色彩》,第61页。华盛顿特区史密森学会(1968年)。
图6.3：Kharraqan砌砖图案的基本几何结构的视觉描述和顺序描述。
3.作为时尚的语言学和符号学
理论关系和设计结构
此外，关于这个图案的底层结构(图6.2和6.3)，根据我一直在研究的巴黎手稿“Oninterlockingsimilarandcongruentfigures”(Fitadkhulal-ashklal-mutashbihaawal-mutawfiqa)中的证据(图7)判断，四到五个明确的几何构造步骤可以引导我们找到底层的基本结构:如果我们使用对称操作对结构的元素进行操作或移动，则会出现不同的关系(图6.4和6.5)。通过这种方式，我们可以从相同的基础元素中开发出不同的图案。正如皮亚杰(J.Piaget)所看到的，构成作曲过程的那些元素之间存在着一种紧密的关系，它们合在一起构成一个整体。组合物有规律可循。通过这样的推理，我们非常接近群体结构和群论。
图6.4：从Kharraqan砌砖图案的相同基础几何结构发展出不同的图案。
图6.5：从Kharraqan砌砖图案的相同基础几何结构发展出不同的图案。
图7：巴黎手稿第169号中给出的图案的基础结构的五步构造。
图8：摩苏尔伊玛目易卜拉欣清真寺的木门，日期为公元498年/公元1104年
图9.1：伊斯法罕伊斯兰大教堂清真寺的西北伊旺展示了在伊旺的正面和拱顶内的四个地方大比例使用该图案。照片:S.P.和H.N.Seherr-Thoss,《伊斯兰建筑中的设计和色彩》,第187页。华盛顿特区史密森学会(1968年)。
图10：这幅图展示了建造一个大广场时遇到的问题之一。来自Abü'l-Wafa'al-Büzjni手稿，开罗，Daral-Kutub。
图11.1：欧几里得命题的希腊证明方法出自托马斯·希思爵士，《欧几里得的几何学》。
图11.2：印度的Bhskara方法。出自托马斯·希思爵士，欧几里得《几何原本》[21]。
图12.1：伊斯兰几何设计揭示了关系a2+b2=c2的视觉呈现的伊斯兰方法。
图12.2：伊斯兰几何设计揭示了关系(a+b)2=a2+2ab+b2的视觉呈现的伊斯兰方法。
这种类型的几何代数在绘制的几何插图中提供了许多数学和代数问题，我们看到这些流行的伊斯兰艺术设计中激增，其中一些在这里显示(图6.1-6.5，8，9.1和9.2)，这些将再次出现在稍后讨论的巴黎手稿的几何问题中(图19.1-19.20)。在极少数情况下，建筑师-工匠似乎通过视觉证据无声地宣布他对这一几何事实的准确了解，将他的设计放在装饰的显著位置，如伊斯兰大教堂伊斯法罕清真寺伊旺正面的处理(图9.1)，或者实际上在设计的中心广场中心区域印有他的名字或签名“这是穆罕默德·伊本·穆明·穆罕默德·阿明的作品……”(图9.2)；显然，在这个位置上，他是在向后代宣告，他“知道并且知道他知道……”正如阿拉伯谚语所说。正方形的边(图12.2)表示它被分成两段a和b，其中边的和等于a+b,(a+b)2=a2+2ab+b2。注意，在伊斯法罕墙壁陶瓷设计的情况下(图9.2)，长度a的大小是b的一半，但不一定必须如此。这种特定的比例(a:b=1:2)可能被技术人员使用，因为它简化了测量和切割的任务。图12.1和12.2遵循这一特定的惯例，而图7显示了该定理的更一般的形式，其中a与b不成正比，或者其中小的内部正方形的边是b-a。因此:
在这些几何设计中，穆斯林工匠展示了两种不同的重要关系：毕达哥拉斯定理和二次二项式的展开。
“十二和四的重合暗示了黄道符号控制或包含了四个轴向风筝形状，可以用来象征四个季节、四种元素和热与冷、潮湿与干燥的四种性质；中间的球体象征着国粹，是边界广场的倒影。”[23]
图13：与K.Critchlow在伊斯兰图案b[23]中给出的相同的伊斯兰设计。
图14：伊斯兰工匠的卷轴，上面有几何图形，显示如何添加旁注。
需要一种科学的语言和方法来理解和系统地分类和描述伊斯兰几何图案
图15：《科学美国人》的封面，贴着十边形和五角星形的彭罗斯瓷砖[24]。
图16：来自巴黎伊斯兰几何手稿的180a开本，“相似或一致图形的互锁”，显示了与彭罗斯密铺相似的十角形和五角星的设计。
“不知道自己不知道的人，避开他。而那些一无所知并且知道自己一无所知的人，唤醒他。凡知道的，并且知道自己知道的，就跟随他。”
图17：A.Loeb的平面对称群表记表。
图18：D.Schattschneider的平面对称群符号比较表[28]
群论及其符号系统对伊斯兰艺术的重要性在于，它为伊斯兰艺术中使用的无数几何设计提供了一个精确分类的工具。它也是一个有助于识别设计中使用的对称性的分析工具。此外，它提供了精确的语言和术语，对这些图案感兴趣的人可以通过这些语言和术语就这些图案进行精确的交流。对于参与对称性研究的科学家来说，所有这些似乎都是多余的，但对于艺术史学家来说，这仍然是一个未被认可的工具。
伊斯兰几何设计过程的一个例子
走出伊斯兰几何艺术的对称性，我们将看到伊斯兰几何设计过程的机制。只有当我们按照一步一步的步骤构建几何设计时，我们才能完全理解它。因此，手稿、证据和文件变得至关重要，因为只有它们才能引导我们找到问题的核心。仅仅给原文一个快速的翻译，甚至一个原文的版本是不够的，这两者本身都不能导致对设计过程的理解。这就是为什么我们有必要详细研究现有的科学手稿和旧文献，因为它们可以使我们最接近伊斯兰设计科学的真实历史过程。理解它们的科学意义也很重要，因为只有这样我们才能把它们放在更大的背景下，并认识到它们在几何设计科学中的重要性。例如，下面这个来自巴黎手稿的192b的例子，因为它使用了一个严格的无理数算法，所以很吸引人。虽然基于非常严格的算法和比例，但正如我们将看到的，这种几何设计方法及其形式并不是一个封闭的、没有尽头的系统。它的优势在于其推导的简单性和严密性，因为这两个特点赋予了它从一组简单的比例中产生无限数量的设计变化的开放能力。
在处理原始文件时，如果没有可用于绘制几何插图的文本，则允许在提出问题的解决方案时有所自由。然而，在这些解决方案将只是近似的原始伊斯兰方法的过程。毕竟，有多少当代人对处理一个问题感兴趣，就有多少种不同的方法来处理这个问题。我们应该像对待任何历史文献一样对待这些文献。原著的每一个细节都必须被完整地展现出来，试图尽可能地接近真实，就像任何历史学家都会记录过去的一段插曲一样。在一个人证实了它之后，那么就有解释和暗示可以被建议或给出。
在处理手稿中的几何图形或插图的情况下，人们必须检查原始的物理手稿。这是一个至关重要的问题，因为许多施工标记只是由抄写员的圆规的尖针末端轻轻刮擦纸张表面来标记这些未着墨的结构点。这一事实意味着，照片和缩微胶片不可避免地是不完整的文件，因为它们不能描绘这些未链接的标记，并且必须检查原件以进行任何完整的调查。一般来说，苏联的学者团队仅限于研究手稿的缩微胶片，而无法检查原始手稿。他们为回归这些原始资料所做的努力应该受到赞扬，而其他西方学者对这些原始资料表现出怀疑的态度，缺乏兴趣，也没有能力检索和处理它们。第二，人们希望他们能够更多地了解国际舞台上的一些主要问题和具体的科学发现，这对于认识这些原始文献在伊斯兰科学史上的全球意义有很大帮助。
图19.1：在教科书中，正方形的边长给出的是3+√7。
图19.3：这显示了一个等腰直角三角形，每个边的长度为2个单位，使其斜边BG=√8。
图19.4：斜边BG的中点作为一个圆的中心，画出这个圆的一个弧，使得角α在它的圆周上，使得三角形的所有三个顶点都在圆周上。1个单位圆规开口的长度在圆周上从G标记为D，其中GD=1。点D通过线DB连接到B。线DB=√7，由此可见，角D是直角。
图19.5：这显示了第二个直角三角形，比例为l:√7:√8。
图19.6：这两个三角形一起构成了ABGD的风筝形状。
图19.7：边长为1，2，2，√7的风筝形非对称多边形ABGD的所有顶点都位于圆周上。
图19.8：当在长度为√7的边BD上镜面反射时，四边形风筝形状产生一个所有边都相等(2个单位)的半正五边形，而它的两个对角A和A’都是直角。
图19.1：给定的几何问题用正方形单位设计:3+√7。
图19.2：给定比例为1:2:2:√7的四边形ABGD。
图19.3：第一个三角形是直角等腰，比例2:2:√8。
图19.4：第一个三角形是外切的，在圆周上标出一个长度单位1。
图19.5：第二个三角形DBG，比例1:√7:√8。
图19.6：这两个三角形结合起来形成了不对称的四边形ABGD。
图19.7：边长为1，2，2，√7的非对称四边形ABGD。
图19.8：边长为2个单位的半正五边形。
图19.9：这显示了当宽度=1的指针从A点(图19.9b)和D点(图19.9c)添加到AG和BD两侧，移动A到A′，B到B′，G到G′和D到D′时，宽度等于1个单位的十字形区域是如何产生的。宽度等于1个单位的第三个条带单位从AG上的点A开始测量，并平行于AB绘制(图19.9d)。将1个单位的前两个日晷添加到四边形ABGD中，使其在更大的不对称四边形风筝形状A'B'C'D中保持其原始比例1:2:2:√7(图19.9e)，然后在其直角D'处旋转四次，形成大正方形单位(图19.9f)。
图19.9：在保留原有比例的基础上，增加了日晷带，扩大了四边形。
图19.10：这显示了测量三次等于1个单位的边,√7加上3+√7。1单位带(图19.9中第三个带的结果)显示为围绕正方形的边界。
图19.11：四边形在正方形内旋转，显示所有添加的线，作为添加日晷的结果；此外，比例为1:2:√7的不同线段显示在边上，因为旋转的四边形生成边长为3+√7的较大正方形单位。
图19.12：围绕一个点的4倍旋转的最终图如图所示。由于对称四边形AGBD的特征比例和对直角，这是可能的。图19.13。为了便于视觉阅读，四边形是彩色的。正方形的边表示它被分成两段(a)和(b)，其中边的和=a+b；(a+b)2=a2+2ab+b2。
图19.10：边长为3+√7的大正方形单位
图19.11：不同比例的四边形在4倍旋转中产生了边长为3+√7的大正方形单位。
图19.12：四边形ABGD的4倍旋转中心与所有的线细分。
图19.13：四边形的阴影便于视觉识别，将侧面分为两部分。
图19.14：当我们对整个单元应用镜像反射和滑动的对称操作时，一个图案将发展成镶嵌平面，在244或p4g中。它有一个四重旋转中心，两条垂直的滑移线穿过该中心，将它们带到下一个对映的四重对称中心。双重旋转中心位于正方形的四角，位于两个以直角相交的镜子上。所以2重中心位于镜子上，一个4重旋转对称中心是另一个4重旋转对称中心的滑动图像。
图19.14：四边形在244对称操作中重复；2重中心在垂直相交的镜像线上，而两个4重中心在滑移线上。
图19.15：这显示了以最简单的方式着色的图案，显示了围绕每个正方形的中心旋转的四个小风筝形状。色彩也揭示了这种图案如何成为陶瓷或木制品的一个非常好的主题，只需要三种不同的形状:一个对称的小风筝，一个菱形和一个四边形。
图19.15：图案的简单阴影。
图19.16a：当四边形没有细分，并通过对称操作重复时，我们可以清楚地看到半规则五边形以及它们如何以四重对称244镶嵌平面。半正五边形的两个相对的直角允许四重旋转。
图19.16b：这里，半规则的五边形被涂上了三种颜色，以使它们更容易被看到。
这种密铺(图19.16c1)被称为“开罗最受欢迎的街道瓷砖”。在其中，密铺被认为是六边形的，每个六边形是四个半正五边形的组合。然而，这种密铺是基于半正五边形的4倍旋转，其边等于两个单位和两个相对的直角。后一种特性允许对称群244或p4g的4倍旋转。
图19.16a：没有细分的重复四边形创建了244个半规则五边形镶嵌。
图19.16b：五边形带有阴影，便于视觉识别。
图19.16c2_3：“开罗最受欢迎的街道瓷砖”的五边形镶嵌图案，以及半规则五边形的伊斯兰和西方起源的比较。
图19.17：如图19.9所示，在边长比例为2:2:1:√7的四边形风筝形状的AG和BD边上增加1个单位宽度的日晷，可以使它在较大的形状中保持原来的比例。当这个更大的不对称风筝形四边形围绕一个点旋转四次时，它创建了一个更大的正方形(边长为3+√7的正方形(在手稿的文本中给出),在中心没有留下任何空白区域。
图19.18-19-21：在正方形内，我们看到有三个对称的大小不同的风筝形四边形，它们镜像对称，使两边相等(注意图19.9和19.11)。风筝的形状比例相似，但有三种不同的大小。
图19.19：当这些对称的风筝形状围绕一个点旋转四次时，它们形成一个较大的正方形，并在中心留下一个较小的正方形。我们现在可以看到这个图案是如何与摩苏尔伊玛目易卜拉欣木门上的设计以及伊斯法罕清真寺的设计联系起来的(图7-8)。正方形的边表示它被划分为a和b段，其中边的和=a+b，(a+b)2=a2+2ab+b2。这和第一组理论集中的一模一样，呈现在视觉描述和哈拉坎塔砖墙的结构分析中。
从这个记录了伊斯兰几何设计过程的手稿证据的详细例子中可以学到的主要教训是，每一个几何设计都有一个特定的设计和构造方法。很明显，我们可以总结出，每一个被记录的几何设计问题都有它自己的构造步骤，除了丢番图方程[31]，
与70年代神秘解释的追随者的主张相反，没有其他单一的公式来推导伊斯兰艺术中的所有几何图案。所谓的独特的构造方法是基于圆的细分；它不是科学公式的替代品，也不能作为衍生和构建所有伊斯兰几何图案的唯一方法来传播。图案对称性的科学告诉我们，有17个不同的周期性二维群和7个在单一方向上周期性的群(弦或带)，并且这些群中的每一个都可以有无限数量的不同设计。正如所见，这些伊斯兰几何手稿给了我们基本的17个周期组的无限设计变化的样本；这些记录下来的几何问题或例子反过来可以成为开发许多新设计的基础。
图19.17：不对称的风筝形四边形ABGD的4倍旋转在较大的正方形单元(3+√7)的中心没有留下空白空间。
图19.18：图案被阴影化以显示三个相似但大小不同的对称风筝形状。
图19.19：围绕一个点旋转4次的对称小风筝形状在中心留下一个正方形。
图19.20：中等大小的对称风筝形状。
图19.21：较大尺寸的对称风筝形状。
最后一组插图设计是我试图探索的一个练习，我相信，一旦我们理解了伊斯兰几何设计的丰富传统，它就在我们的指尖。这个边长比例为1:2:2:√7的特殊四边形通过各种对称运算产生了80多种设计。这里展示了其中的一个小样本，以展示这种几何形状的设计潜力:
图20.1：一个2重对称操作，在22'2"2""点群的每一侧旋转180°,生成这些不对称风筝的图案，镶嵌平面。
图20.2：当画出所有边的垂直平分线时，四边形被分成四个区域，生成四个小四边形:
1.边长为1个单位的小正方形。
2.边长等于1.5的矩形。
3.一个小的不对称的风筝形四边形。
4.一个小的不对称的风筝形四边形。
作为细分结果的两个小四边形彼此相似，并且与原始四边形相似，保留了原始的边长比例1:2:2:√7。
图20.3：细分的四边形用于以22’2”2”’的图案镶嵌平面。
图20.4：通过为较小的四边形绘制对角线来增加细分。
图20.5：通过为较小的正方形单元和较小的矩形绘制对角线来增加细分。
图20.6：第二条对角线是为较小的正方形和较小的矩形绘制的。
图20.1：22’2”2”’对称图形中的非对称四边形ABGD。
图20.2：用中垂线细分的非对称四边形ABGD。
图20.3：一个22'2"2'"细分四边形ABGD镶嵌。
图20.4：画出较小四边形的对角线。
图20.5：画出正方形和长方形的对角线。
图20.6：绘制正方形和矩形的第二条对角线。
图21.1-21.12：比例为1:2:2:√7的不对称风筝形四边形ABGD2重和4重旋转产生的图案有多种。这些图案依次通过进一步细分和形状的选择性对称着色而成倍增加，以发展出无限数量的图案，其中一些例子可以在这些照片中看到。
图21.1-21.12：不对称四边形ABGD产生的彩色图案示例(不幸的是以黑白再现)。
“我们观察到，当我们从少量相对简单的模块和组装它们的算法中生成配置，而不是试图对物体进行完整的描述时，我们对明显复杂配置的感知会发生变化。
“一般来说，我们不知道产生给定复杂配置的模块和算法。科学的作用和过程似乎包括寻找适当的模块和算法，这些模块和算法产生的模型的行为与所研究的复杂结构充分相似。模型和观察到的结构之间的类比是有限的，而且非常主观，取决于观察者、实验的目的、背景和背景。
“在设计中，算法方法以简单的方式产生丰富的图案，超越了'肉眼'的曲目。此外，这种生成图案的概念成分具有其自身的美学吸引力，并构成了艺术与科学之间的重要联系。”[32]
IftoA.Loeb"theroleofscienceistosearchforappropriatemodulesandalgorithmswhichgeneratemodelswhosebehaviorresembles"thesimplealgorithmandshapewehaveseeninthisIslamicdesign,thenarttoohastosearchfortheproperscientificlanguagesandtoolstogeneratenewformsandexpressions.
如果对A.Loeb来说，“科学的作用是寻找合适的模块和算法，这些模块和算法产生的模型的行为类似于”我们在伊斯兰设计中看到的简单算法和形状，那么艺术也必须寻找合适的科学语言和工具来产生新的形式和表达。
结论
10多年前，我坚决反对试图将我从实用几何的伊斯兰手稿的核心内容引开，以处理王子和皇家赞助的问题，知识界，或第十世纪巴格达的知识活动及其在我们拥有的第一本实用几何手册的写作中的作用。当时我问了这些问题：这些文本存在和创造的关键在哪里？是在当时那个地方科学的具体成就和准备程度上？这是皇家知识分子的赞助吗？这符合时代的利益和现实吗？是在一个特定的科学家-几何学家身上，还是在他对可用的科学材料的兴趣和游戏中？或者是艺术、工匠和建筑师的内在需求，最终引导科学家创造了这些文本。这难道不是他们存在的真正理由吗？
撰写这些古代手稿的科学家的真正赞助人是艺术。是工匠和建筑师呼吁科学和科学家帮助他们解决他们面临的设计问题。正如伊斯兰艺术在过去的情况一样，科学必须为艺术服务，无论我们今天谈论的是伊斯兰艺术、西方艺术还是一般的艺术，今天比以往任何时候都更是如此，否则我无法想象艺术如何进入21世纪。
穆罕默德奉到启示说:祝你平安。他说:“有知识的与无知识的相等吗惟有理智的人能觉悟。”[33]
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