日本的数学家们比较重视现代数学知识的整理和传播，他们编写了大量的介绍现代数学基础知识的专业书籍。2019年笔者在日本旅游期间，着重考察了在东京的几家大型书店里正在销售的数学专业类新书的情况。虽然所有笔者在书店里看到的大量数学专业新书在日本的购物网上都可以买到，但是日本的读书人似乎还保留着逛实体大型书店的传统习惯。能够在实体大型书店里亲眼见到门类众多、琳琅满目的数学新书，并且能够随手翻阅浏览，进而挑选适合自己的数学书，这种体验是网购所无法提供的。
在当今的日本数学界，活跃着一大批热心于数学写作与传播的数学家，尽管他们在各种专业数学杂志以及国际数学会议的场合，一般都用英文来进行写作和交流，但同时他们又坚持用本国的语言来写作大量的现代数学专业书籍，这样就能够促使大家一起来学习和理解高度复杂的现代数学知识，而不是让少数的几个人知道新的数学理论。日本的数学家们已经形成了用日语来进行现代数学写作的风气，由此就容易做到尽快地将新的数学理论“本土化”，这包括了确定和统一大量的日语数学专业名词，以及给出新数学理论的日语表达与解说的方式，而不是仅仅让大家去阅读英语数学书（在日本不允许发行影印的英文数学书）。其实如何让下一代的数学新人继承与掌握好现代数学的庞大知识体系，并且始终保持日本数学与科学在世界上的领先地位，一直是许多日本数学家们所担忧的问题。
本文记录下了笔者在东京的几家大型书店里，所看到的抽象代数方面的大部分专业新书，并且对其中少量图书的内容作了一些简单的说明。
抽象代数起源于19世纪伽罗瓦等数学家在群论方面的工作，在20世纪初数学公理化的思潮中，形成了环、域和线性代数的抽象理论。线性代数后来又进一步发展成了关于环上的模的理论。与此同时，表示论也发展了起来，群表示论是其中最基本的内容。在20世纪的下半叶，对代数的结构和代数表示论的研究取得了很大的进步。
从1930年代开始，随着范德瓦尔登的两卷名著《代数学》的发表，抽象代数得到了进一步的发展，抽象代数方法被运用到了数学的各个领域中，特别是数论领域和代数几何学领域。
在1950年代，由于受拓扑学发展的影响，同调代数诞生了，由此促进了同调方法在数学的其他分支学科中的运用。例如在代数几何中就用到了关于交换环的同调代数理论。与此同时，范畴理论也发展起来了，并且范畴的语言和方法已经逐步渗透到了很多数学领域中。
目前在（抽象）代数学领域中比较成熟的分支学科（或方向）有：
集合论、矩阵与行列式论、多项式与代数方程论、域与伽罗瓦理论、线性空间、张量积与外积、群论、有限群、有限单群、结晶体群、典型群、拓扑群、紧群、李群、李代数、代数群、环论、代数、模论、表示论、代数表示论、同调代数、霍普夫（Hopf）代数、交换环论、范畴与函子、不变量理论、幂级数环、唯一分解整环、交换环的同调理论、优秀（excellent）环、Hensel环与逼近定理、理想的胎紧闭包（tightclosure）、二次型、Clifford代数、微分环、Witt向量、赋值论、阿代尔与伊代尔、Cayley代数、若尔当（Jordan）代数、格论、Boole代数、对称空间、齐性空间上的群作用、不连续群、模表示、酉表示、无限维表示、群作用与不变量、D-模、量子群、无限维李代数。
下面分别对每张书店里的书架照片，从左至右地列出各本新书及其作者：
图1：这里从左至右的数学新书是：《代数学（第1卷）》、《李代数入门》、《代数簇理论》、《通向研究生院的代数学演习（习题集）》、《平面代数曲线浅说》、《容易理解的代数》、《代数学1：群论入门》、《代数学2：环、域和伽罗瓦理论》、《代数学3：更多的代数理论》、《面积中心的代数几何学》、《范德瓦尔登·现代代数学1》、《代数学入门》、《代数学I：群与环》、《代数学II：环上的模》、《代数学III：域与伽罗瓦理论》、《代数入门·群与模》、《理工基础：代数系》、《伽罗瓦与伽罗瓦理论》、《伽罗瓦的数学：域论入门》、《伽罗瓦理论》、《伽罗瓦理论入门》
1．《代数学（第1卷）》
“代数学”一词就是指抽象代数学。日本的大学数学系一般都比较重视抽象代数的教学，这是因为抽象代数目前已经成为了许多数学分支的通用语言。
2．《李代数入门》
李代数是一种不满足运算结合律的代数系统，李代数与李群有着十分密切的对应关系，它们在数学和物理学中有不少重要的用处。
3．《代数簇理论》
作者是川又雄二郎。
4．《通向研究生院的代数学演习（习题集）》
日语书名中所说的“大学院”，就相当于是我们国内大学里的研究生院。
5．《平面代数曲线浅说》
作者是今野一宏。
6．《容易理解的代数》
抽象代数其实是一门难以理解的学问，所以很需要一些像这样的面向初学者的阐释性读物。
7．《代数学1：群论入门》
作者是雪江明彦。这卷书和下面的两卷书一起组成了一套抽象代数三部曲。由于现代数学的迅速发展，过去只讲群、环、域的大学抽象代数课程体系已经远不能适应现在的需要，而雪江明彦的这套抽象代数教程的内容，则代表了21世纪抽象代数课程的一个比较完整的体系。
8．《代数学2：环、域和伽罗瓦理论》
作者是雪江明彦。
9．《代数学3：更多的代数理论》
作者是雪江明彦。第3卷所讲的“更多的代数理论”，其内容包括了：域论的进一步发展、交换环理论入门、赋值与完备化、张量代数与双线性形式、表示论入门、同调代数入门。
10．《面积中心的代数几何学》
这是一本关于代数几何的初级读物。
11．《范德瓦尔登·现代代数学1》
这是范德瓦尔登的两卷经典名著《代数学》的日译本的第一卷。由于日译本将原来的第一卷分为了两卷，因此《代数学》的日译本就分为了三卷出版。另一方面，日译本是根据1937年的第二版翻译的，那时该两卷名著的书名还是《现代代数学》，一直要等到1955年出版第四版的时候，才将书名中的“现代”两字去掉，变成了《代数学》。
《范德瓦尔登·现代代数学1》的内容有：数与集合、群、环与域、有理整函数、域论。范德瓦尔登的两卷《代数学》总结了到1930年为止的抽象代数的基本理论，对现代数学的发展影响极大。范德瓦尔登的这两卷经典名著《代数学》，有科学出版社的两卷中译本。
12．《代数学入门》
作者是川口周。
13．《代数学I：群与环》
这本和下面的两本又是一套抽象代数的三部曲，其作者是代数学家桂利行，他还写了一本比较受欢迎的《代数几何入门》。
14．《代数学II：环上的模》
作者是桂利行。
15．《代数学III：域与伽罗瓦理论》
16．《代数入门·群与模》
17．《理工基础：代数系》
18．《伽罗瓦与伽罗瓦理论》
伽罗瓦理论起源于法国数学家伽罗瓦在研究一元代数方程的解是否有根式表示问题时，所作出的重要发现：即可以将复杂的扩域问题转化为比较简单的具有对称性的置换群结构问题，由此彻底解决了5次以上的代数方程何时有根式解的经典问题。伽罗瓦的成就引起了后来的数学家们研究群论的极大兴趣，经过不断的提炼和改善，最终形成了对20世纪现代数学的发展具有重要影响的伽罗瓦理论，例如伽罗瓦群就是代数数论中的类域论的出发点。
19．《伽罗瓦的数学：域论入门》
作者是小林吹代。
20．《伽罗瓦理论》
21．《伽罗瓦理论入门》
图2：这里从左至右的数学新书是：《泛函分析·理论与应用入门》、《李代数论》、《不可能性的证明》、《近代分析》、《数论入门》、《矩阵论》、《同调代数学》、《抽象代数几何学》
22．《泛函分析·理论与应用入门》
作者是加藤敏夫。
23．《李代数论》
作者是松岛与三。
24．《不可能性的证明》
作者是津田丈夫。
25．《近代分析》
作者是吉田耕作。
26．《数论入门》
该书译自I.M.Vinogradov的《ElementsofNumberTheory（数论原理）》。
27．《矩阵论》
作者是远山启。
28．《同调代数学》
作者是中山正、服部昭。
29．《抽象代数几何学》
作者是永田雅宜、宫西正宜、丸山正树。
图3：这里从左至右的数学新书是：《算子代数入门》、《有限群论》、《半群论》、《数理逻辑》、《现代分析学》、《交换环论》、《代数数论》、《积分论》、《数理逻辑引论》
30．《算子代数入门》
作者是大矢雅则等人。
31．《有限群论》
作者是伊藤升。
32．《半群论》
作者是田村孝行。
33．《数理逻辑》
作者是松本和夫。
34．《现代分析学》
该书译自W.Rudin的《PrinciplesofMathematicalAnalysis（数学分析原理）》。
35．《交换环论》（松村英之）
作者是松村英之（MatsumuraHideyuki），该书后来被译成了英文，英文版书名是《CommutativeRingTheory（交换环论）》，这是交换代数的一本很基本的参考书。
36．《代数数论》
作者是河田敬义。
37．《积分论》
38．《数理逻辑引论》
作者是前原昭二。
39．《交换环论入门》
该书译自代数几何学家M.Reid写的《UndergraduateCommutativeAlgebra（本科交换代数）》，这是一本交换代数入门书。交换代数是代数几何最基本的语言。
40．《通过例题来学习集合与逻辑》
作者是铃木登志雄。
41．《集合入门》
作者是坪井明人等人。
43．《通过例题来展开学习集合与拓扑》
作者是海老原。
44．《范畴与模》
作者是清水勇二。
45．《范畴理论》
该书译自SteveAwodey写的《CategoryTheory（范畴理论）》的第2版。范畴理论是一种比较抽象的代数理论，这个理论提炼了现代数学的一些分支的共性，使得数学各分支的研究可以作一些一致化和简单化的处理，从而更加揭示其本质。范畴理论不仅是同调代数、代数拓扑和代数几何的基本语言，它还被应用到了计算机科学和数学物理等领域。
46．《范畴论的方法·Abel范畴与三角范畴的同调代数》
作者是中冈宏行。
47．《基础范畴论》
该书译自TomLeinster写的《BasicCategoryTheory（基础范畴论）》。
48．《适用于量子计算模型与逻辑的范畴论》
该书译自ChrlsHeunen的原著。
49．《编码逻辑入门》
50．《范畴理论的发展脚步》
除了以上照片中的新书外，书店里还有下面的抽象代数新书：
51．《代数学讲义》
作者是数学大师高木贞治。
52．《现代代数学》
作者是服部昭。
53．《近代代数学》
作者是秋月康夫、永田雅宜。
54．《代数概论》
作者是森田康夫。
55．《代数入门》
作者是上野健尔。
56．《抽象代数入门》
作者是永田雅宜。
57．《代数学》
作者是津村博文。
58．《代数学1：基础编》
这是代数几何学家宫西正宜为大学代数学课程所编写讲义的第1卷，其内容包括了：集合论、初等数论、线性代数、一元多项式、群论、环论。
59．《代数学2：发展编》
宫西正宜所写的代数学讲义第2卷的内容有：代数方程与伽罗瓦理论、有限群的复表示、交换环论、代数群与不变量理论。
60．《代数系入门》
作者是松坂和夫。
61．《代数基本概念》
该书译自I.R.Shafarevich的《BasicNotionsofAlgebra（代数基本概念）》，有世界图书出版公司的英文影印版和高等教育出版社的中译本。
62．《用例题形式探求代数学的本质》
作者是小林正典。
63．《整数与群、环、域》
作者是河田直树。
64．《理解群、环、域》
65．《线性代数》
该书译自P.D.Lax的《LinearAlgebraandItsApplications（线性代数及其应用）》。除了包含线性代数的常规内容外，这本名著还特别讲授了在实际使用线性代数理论时，会遇到的众多课题，例如有向量和矩阵的微积分、矩阵不等式、动力系统、凸性、正矩阵等内容。
66．《线性代数学入门》
作者是奥川光太郎。
67．《向量空间入门》
作者是小松醇郎。
68．《线性代数学》
作者是佐武一郎（J.Satake）。该书在日本是一本推荐比较多的经典教材，它在1958年出版，并且在1975年被美国MarcelDekker出版社译成了英语出版，书名为《LinearAlgebra》，《线性代数学》一书曾经获得过日本数学会2006年度的出版奖。该书重点突出，以矩阵的对角化为中心而展开，在第一、二、三章分别讲了矩阵、行列式、线性空间后，着重讲了第四章“矩阵的正规化”和第五章“张量代数”。
图5：佐武一郎的《线性代数学》
69．《线性代数学》
作者是川久保胜夫。
70．《线性代数与群》
作者是赤尾和男。
71．《矩阵特论》
作者是草场公邦。
72．《矩阵的特征值》
73．《矩形矩阵的行列式》
作者是中神祥臣。
74．《矩阵分析笔记》
作者是山本哲朗。
75．《若当标准形与张量代数》
作者是衫浦光夫。
76．《线性代数演习（习题集）》
作者是斋藤正彦。
77．《伽罗瓦理论讲义》
78．《代数方程与伽罗瓦理论》
作者是中岛匠一。
79．《伽罗瓦理论》
该书译自J.Rotman的《GaloisTheory（伽罗瓦理论）》，有世界图书出版公司的英文影印版。
80．《从对称性来讲的群论入门》
该书译自M.A.Armstrong的《GroupsandSymmetry（群与对称）》。
81．《交换环论》
作者是新妻弘。
82．《理想理论入门》
83．《理想论入门》
作者是成田正雄。
84．《交换域论》
85．《微分域的理论》
作者是西风久美子。
86．《群论基础》
作者是永尾凡。
87．《群论引论》
作者是星明考。
88．《群论序说》
89．《Sylow定理》
作者是佐藤隆夫。
90．《经典群》
该书译自H.Weyl的《TheClassicalGroups（经典群）》，有世界图书出版公司的英文影印版。
91．《结晶群》
92.《李群与表示论》
作者是小林俊行、大岛利雄。该书是表示论方面的一部巨著。
93．《从例题来学李群、李代数》
作者是示野信一。该书由作者的研究生授课讲义整理而成，通过精心安排大量的例题和习题，来指导学生学习比较抽象的李群与李代数的经典理论，其内容包括了李理论的概述、旋转群与它的一般化、矩阵的指数函数、闭线性群的李代数、3维空间的旋转、线性群的拓扑、闭线性群之间的同态映射、SU（2）与sl（2，C）的表示、SU（3）与sl（3，C）的表示、极大环面。
94．《话说李群》
作者是佐武一郎。
95．《李群论》
该书译自C.Chevalley的《TheoryofLieGroups（李群理论）》，有世界图书出版公司的英文影印版。
96．《连续群论基础》
作者是村上信吾。
97．《话说李代数》
98．《李代数与量子群》
作者是谷崎俊之。
99．《结晶基底与几何结晶》
作者是中岛俊树。
100．《无限维李代数》
101．《奇点与根系》
102．《Abel群与代数群》
103．《线性代数群的基础》
作者是堀田良之。该书运用代数几何中的概形来讲授代数闭域上线性代数群的基础理论，内容包括预备知识、Jordan分解、代数群的李代数、商、Borel理论、根系与Weyl群、约化群、不变映射。
104．《有限群的表示》
105．《群的表示》
106．《群与表示》
作者是横田一郎。
107．《线性代数与群表示I》、《线性代数与群表示II》
作者是平井武。
108．《群表示论解说》
作者是高濑幸一。
109．《酉表示入门》
110．《群与拓扑》
111．《D模》
作者是竹内洁。
112．《环与模的同调代数理论》
作者是岩水。
113．《格论》
作者是岩村联。
114．《范畴理论基础》
该书译自S.MacLane的《CategoriesfortheWorkingMathematician（给工作中的数学家的范畴理论）》，有世界图书出版公司的英文影印版。