根据国际数学奥林匹克竞赛(IMO)官网消息。2024国际数学奥林匹克竞赛成绩已经公布，中国队以五枚金牌一枚银牌、总分190分的成绩获得总分第二。而同样是五枚金牌一枚银牌的美国队，以192分的总分力压中国队获得总分第一，中国队因此未能获得六连冠。获得第三名是韩国队，总分168分。
第四到十名为：印度、白俄罗斯、新加坡(并列第六)、英国(并列第六)、匈牙利、土耳其(并列第九)、波兰(并列第九)。
另外：中国台北11名、中国香港第18名、中国澳门第79名。
传统强队俄罗斯的选手继续以个人名义参加本次竞赛，于是没有官方的队伍排名。他们的总成绩达到185分，可排进前三。
值得一提的是本次竞赛仅有一人获得了满分(absolutewinner)，他是中国队的史皓嘉。
有108多个国家和地区共609位选手参加了此次竞赛。从国家数量和人数规模来讲，国际数学奥林匹克竞赛已经成为世界上规模最大的年度国际交流活动之一。这样的活动，其实为促进各国教育文化交流，选拔顶尖人才起到了非常正面的作用。
最后，祝贺中国队！
刚开始的打乱顺序是障眼法，不影响最后存在一组的配对成功，只影响具体哪两张最终配对。
注意这里名字字数不重要，无论怎么轮换到最后，上面那个公式不会改变。(这两句看不懂可以不看，主要理解后面能首位配对就行)
这个时候面上三张插到中间，目的是保证第一张后和最后一张是配对的，也是那个公式得出的推论。
注意，插中间，插中间，插中间。重要的事情发三遍。不能放最后。
这里刘谦说了一句随便怎么插都行，意味着这三张你随便打乱往中间放都行。
这时候，魔术的结果已经确定，就是当前队列的第一张和最后一张。
下一步就把第一张收藏。手里还省七张，配对张在最后一张。
然后按南方人北方人拿张数往中间插，这一步无所谓。因为配对张在最后一张，不影响。
就是说这一步你不做也行。
下一步，你可能扔掉1张或者2张，让你还剩5张或者6张。不过配对张依然在最后。
这里和男女没关系，你是男的也可以扔两张，女的扔一张也行。
刘谦说每个人混乱的方式不一样，——不，每个人的最后一张都是你想要的。
下一步，按“见证奇迹的时刻”字数轮换，这里含什么不重要，重要的是这是7个字。
你愿意的话“龙年我要发大财”也行。
如果是剩下5张牌，这次轮换后，轮换张会在第3张。
如果是剩下6张牌，这次轮换后，轮换张会在第5张。
如果5张，排列是ABXCD，X是配对牌。那么她删除的规则就是：
第一次：AXCD
第二次：AXD
第三次：XD
第四次：X，成功
如果6张，排列是ABCDXE，X是配对牌。那么删除的规则就是：
第一次：ACDXE
第二次：ACXE
第三次：ACX
第四次：AX
第五次：X，成功
所以，小尼哥应该插错了，或者扔错了。中间插中间的时候一定要中间.
原文作者：AnnaKramer，《量子》杂志特约撰稿人
翻译作者：Math001，哆嗒数学网群友
许多人是在中学时期完成了自己的第一次数学证明。这是古希腊数学家欧几里得证明的命题：质数有无穷多个。仅需几行文字，只用到整数和乘法这些简单概念。
证明是这样的。假设质数是有限多个，那么把它们都乘起来再加个1，会得到新的一个整数。这个数将引发一个矛盾。这个矛盾说明了质数只能是无限多个。
之后的数学家有一个迷之爱好：不断用不同方法给出这个命题的不同证明。
为什么要这么做呢？其中一个原因，就是好玩儿。另外还有更为重要原因，“我认为娱乐数学和严肃数学之间的界限非常小，”马里兰大学计算机科学教授威廉·加萨奇（WilliamGasarch）说。今年早些时候他在网上发布了一个新证明。
加萨奇的证明只是一系列新证明中的最近案例。在2018年，黑山大学的罗梅奥·梅斯特罗维奇（RomeoMe?trovi）编制了一份包含近200个“质数无穷多个”的数学史综述。事实上，在解析数论领域，数学家连续变量来研究整数。这样的历史大约起源于1737年，数学巨匠莱昂哈德·欧拉（LeonhardEuler）利用无穷级数1+1/2+1/3+1/4+1/5+…发散，再次证明存在无穷多个质数。
奥地利格拉茨科技大学的数学家克里斯蒂安·埃尔肖尔茨（ChristianElsholtz）最近也发表了一个新证明。他表示，与数学家将简单引理组合成复杂定理，最终获得结论的过程相反。他把这个流程反了过来。“我使用费马大定理，这其实一个非常难证明的定理。然后我用它得出一个非常简单推论。”这样的反向工作或许可以揭示数学的不同领域之间的隐藏联系，他说。
人们似乎互相杠上了，都想搞出一些“荒诞的高级”证明。蒙特利尔大学数学家安德鲁·格兰维尔（AndrewGranville）说道，他也提供了两个新证明。“它必须好玩。做一些技术上炫技的事情并非重点。你之所以想“显摆”，只能是因为它有趣。”
格兰维尔表示，这种友好的比拼实际上有一个严肃的目的。数学家的工作不仅仅是解决抛来的具体数学问题。“数学的创造过程不是仅仅机械式的接受问题，然后机械式地解决它。数学是人们基于已知成果，创造技术和发展思想的方式。”
正如加萨奇所说：“所有的论文，它们从给出质数是无穷全新证明思路开始的，然后过渡到了严肃的数学。你今天看到的还只是质数，明天你就在研究平方密度了。”
加萨奇的证明基于这样一个事实：如果你用有限种的颜色给自然数染色，那么总会存在一对相同颜色的数字，他们加起来之和也被染了相同颜色。这是伊萨伊·舒尔（IssaiSchur）于1916年证明的定理。加萨奇利用舒尔定理，证明了如果质数是有限的，那么将存在一个完全立方数（就是形如某个整数三次方的自然数）等于另外两个完全立方数的和。然而，早在1770年，欧拉已经证明不存在这样的三个立方数。这是费马大定理的n=3情况，该定理假设对于n>2时，方程x^n+y^n=z^n没有正整数解。基于这种矛盾，加萨奇推断出质数必然是无穷多个。
格兰维尔在2017年的一个证明中使用了费马的另外一个定理。格兰维尔先引用了巴特尔·伦德特·范德瓦尔登（BartelLeendertvanderWaerden）于1927年提出的一个定理，该定理表明，如果你用有限种颜色给整数染色，那么存在任意长度的同色等差数列。与加萨奇类似，格兰维尔从一个假设开始，即质数是有限的。然后，他使用范德瓦尔登定理找到了一列公差为4、颜色相同的完全平方数。但费马已经证明这样的序列不存在。矛盾！由于如果质数是有限的，这样的序列是存在的，但它却不能存在，因此质数必然无穷多个。格兰维尔的证明是最近第二个利用范德瓦尔登定理的证明，莱文特·阿尔波格（LeventAlp?ge）在2015年的一篇论文中也使用了这个定理，他发表了这篇论文的时候还是本科生，现在是哈佛大学的博士后。
格兰维尔特别喜欢埃尔肖尔茨的一篇论文，该论文同样运用了费马大定理以及反证法，即先假设质数只有有限个。与加萨奇一样，埃尔肖尔茨也融入了舒尔定理，尽管方式略有不同。埃尔肖尔茨还提供了另外证明，使用了克劳斯·罗斯（KlausRoth）于1953年提出的一个定理，该定理表明，密度足够大整数子集必须包含一组长度为3的等差数列。
通过这些方面的工作，一些更深刻甚至实际的数学问题有望得到解答。例如，如果在一个只有有限个质数的环境中，基于大数质因数分解难度的公钥加密体系，是否将变得非常容易破解。埃尔肖尔茨想知道证明质数是无穷多是否与证明破解这种加密体系的难度之间存在某种联系。埃尔肖尔茨表示：“现在看貌似有一些弱关联，如果能看到更深层次的联系拿奖很有趣。”
格兰维尔反问自己，对质数无穷多个的新证明的痴迷，“只是出于好奇，还是在下一盘长远的大棋？”他自问自答道，“我不能告诉你！”
最近，有一个新闻，大概是说一些机构的研究人员合作，通过“苏格拉底式”严格推理，成功让GPT-4得出了P≠NP的结论！
这句话的表述就很“艺术”，让人很容易理解成为:研究人员通过Chatgpt-4的帮助，让它进行某种模式的推理，在事实上得到P≠NP的结论。这样PvsNP这个数学界和理论计算机界的著名问题以被否定形式的解决。
然而，他们的论文更多的可能是那句话的字面意思：我们把问题和某些人的之前论文中做过的东西的输入Chatgpt，然后Chatgpt说，你是对的。——然后，事实上证明是否真成功证明，我不负责。
或者，我把这个故事添油加醋说一个故事性更强的版本：
3、利用数学界的反映佐证：要是有希望是要给正确的证明，数学界早就欢呼雀跃了，然后并没有。
这些质疑的人中，还有人实名的。即是说，实名反对。
目前，克雷研究所的千禧年问题的PvsNP的主页，该问题还是“未解决”状态。
根据国际数学奥林匹克竞赛(IMO)官网消息。2023国际数学奥林匹克竞赛成绩已经公布，中国队以全队金牌、总分240分的成绩获得总分第一。中国对已经连续五年获得该项赛事的第一名！
美国和韩国分列第二三名，成绩分别是222分和215分。第四到十名为：罗马尼亚、加拿大、日本、越南、土耳其、印度、中国台北。
另外：中国香港第24名、中国澳门第48名。
本次竞赛，共有5人获得个人满分。
有112多个国家和地区共618位选手参加了此次竞赛。从国家数量和人数规模来讲，国际数学奥林匹克竞赛已经成为世界上规模最大的年度国际交流活动之一。这样的活动，其实为促进各国教育文化交流，选拔顶尖人才起到了非常正面的作用。
最后，祝贺中国队夺得五连冠！
常量
?∞
??
?
运算
+-×·÷/±
√㏒㏑
∑∏
∩∪
∫∮
⊕⊙
关系
=≠≈≡～∽≌∝?
<>≮≯≤≥≦≧
?????
∈??
逻辑
???∴∵∧∨
几何
△?
∠⊥∥
单位
%‰
㎜㎝㎞㎡㏄㎎㎏
括号
[]{}
箭头
←↑→↓?↖↗↘↙?????
上下标
xx1x2x3xxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxx
x′x″x
书写修饰
*■
①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩
ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧⅨⅩⅪⅫⅰⅱⅲⅳⅴⅵⅶⅷⅸⅹ
英文字母
A
B
C
D
E
F
G
H
I?
J
K
L
M
N
O
P
Q
R?
S
T
U
V
W
X
Y
Z
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
k
l
m
n
o
p
q
r
s
t
u
v
w
x
y
z
希腊字母
Α
Β
Γ
Δ
Ε
Ζ
Η
Θ
Ι
Κ
Λ
Μ
Ν
Ξ
Ο
Π
Ρ
Σ
Τ
Υ
Φ
Χ
Ψ
Ω
α
β
γ
δ
ε
ζ
η
θ
ι
κ
λ
μ
ν
ξ
ο
π
ρ
σ
τ
υ
φ
χ
ψ
ω
阿拉伯数字
0123456789
本文借着这个热点事件，从数学史的角度来讲讲，当一个数学家宣布一个数学大问题被自己证明后，有哪些可能的走向。因为这些历史故事都非常精彩，读者们可以通过我们哆嗒数学网提供的线索，搜搜故事的完整版。张益唐教授的这篇论文，大致也就是这几种可能吧。
1、论文是正确的，并且很快通过同行专家审稿验证的流程，被学界承认。
经典案例：张益唐关于弱孪生质数猜想的证明
这是吃瓜群众最愿意看到的走向。其实最难发生，但确实发生过。最近的最经典例子就是张益唐的那篇成名作了。
2、论文是本质上正确的，经过漫长的审稿，几经漏洞修补，但最终确认是正确的。
经典案例：怀尔斯对费马大定理的证明
这是数学界内重大问题的常态。越是重大问题，审稿越是小心。庞大复杂的数学证明，也时常会有各种不易发现逻辑漏洞，好在有办法修补漏洞保证了正确性。
3、论文是正确的，但是业内专家都没看懂，不承认他是正确的，然后作者努力给他们讲懂。
数学论文有没有其他同行专家都没看懂，然后产生误判的情况。菲尔兹奖得主维拉尼的自传中就描述过这样的情况。
维拉尼是波兹曼方程研究的顶级专家，他写了一本自传《一个定理的诞生》。这本书描述了他获得菲尔兹奖的过程。他提到，他获得菲尔兹奖那篇核心成果的论文中有一个关键步骤，由于审稿专家没有看懂而被多次拒稿。他非常无奈，因为这个步骤他已经解释了无数遍了，但还是有人不懂。而维拉尼采取的办法是，继续在各个地方开关于论文的讨论班，耐心解释证明细节。同时，在书写中又做了一些必要的优化。最终，论文被同行们承认。
4、论文是正确的，但超越了时代，业内专家都看不懂。多年后被承认是正确的。
经典案例：伽罗瓦对五次方程无根式解的证明
5、论文业内专家说论文错，作者坚持自己对，但不解释，然后长期扯皮。
经典案例：望月新一ABC猜想的例子
神仙打架这个在数学界也是会发生的，而且是打群架。
6、论文是错误的，很快被发现错误，证明失败。
论文被发现错误，并被具体的指出，这是发生几率最高的事情。
7、论文的错误过于离谱或者论文细节太缺失，业内专家都不削于发表看法。
这种情况经常见于一些没有专业训练所谓“民科”的证明宣布，但实际上也有业界大佬干这种事情。最近的例子就是阿蒂亚宣布对黎曼猜想的证明。
2018年，菲尔兹奖得主宣布证明了黎曼猜想，并在一个讲座中公布了一个5页纸的证明。由于证明细节大量缺失，而且在本来不长的论文还写了很多与数学证明的技术无关的物理思想，所以数学界没有把这个证明宣布当成一次严肃的学术发布。出于对老数学家的尊重，也没有人公开发表看法。即便过去获得过菲尔兹奖，如果论文的东西没有具体的技术性内容，学界同样对它没有兴趣。
8、论文被业内专家承认是对的，得到学界认可。但多年后发现错误，然后重新开放问题。
经典案例：肯普对四色猜想的(错误)证明
有没有可能，包括证明发布者在内的所有的专家都错了。这尽管非常罕见，也是有可能的。
总结一下，一篇数学大问题的论文要获得快速通过需要：
1、论文的核心过程和核心结论本质上是正确的。
2、论文的书写条理清晰、文字易读。
3、面对提问积极解释和回应。
张益唐11月8日《关于朗道-西格尔零点猜想》学术报告速记。
要点：
1、张益唐没有完全解决朗道-西格尔零点猜想本身，而是解决了一个更弱的一个命题。但这个更弱的问题也是一个突破。原本的表述“本质上”解决朗道-西格尔零点猜想就是在这个部分解决的意义下说的。
2、论文中给的指数2024都还可以改进，按张教授设想改进到几百应该没问题，但是离1的目标这个办法应该不太可能。
3、如果这个方法成立，按张益唐推测，这也许是解析数论的突破。之前都是想办法取构造zn（后文会讲是什么zn)，而这个办法是另外一种操作。
4、论文还没有完全定稿，有很多细节需要补充。尤其是一些计算细节。
一、问题介绍
对于迪利克雷L函数，
其中χ(n)是实本原狄里克雷特征函数，χ是希腊字母,读作kai。
那么，朗道-西格尔零点猜想可以表述为，
而张益唐教授这篇论文证明的是
这里，张教授补充。这其实是比黎曼猜想弱得多的猜想，但有媒体说论文有可能推翻黎曼猜想。对于这点，张教授回应是——我没那个本事，也不会有人信。
另外，证明过程还会用到一个很初等的恒等式：
问题拆解
对于一个有限长度的实数数列，
如何判断它们都是大于等于零的，或者说如何知道这里面有没有负数。这样的问题和我们数论问题有什么关系呢？
例1：
考虑质数的特征函数：
然后对于正整数N，定义长度为N-2的序列xn如下：
这个序列中要有小于零的数，只能是后两项都等于1。就是说，xn为负的充要条件是N=n+(N-n)是两个质数的和。
那么N取遍所有偶数，如果能证明对所有偶数生成的这些序列中都有负数的话，那就证明了哥德巴赫猜想。
例2
设f(t)是[0,T]上的连续实函数。且有N个零点，t1,t2,...,tN。这N个零点之间的间隔都大于c，即t(n+1)>tn+c。如果0 那么就能找到要么同正要么同负的两个数，但是这个办法不总是好用。 那么，还可以找一个非负数列yn,按如下操作判定是否有负数： 而塞尔伯格给了一个改进，我们直接找zn是某个数列yn的平方形式，就是说他改进的流程变成这样： 按张教授介绍，之前做弱孪生质数的办法就是这种。之前他们的估计始终有个ε跨不过去，我就用一种办法把它跨过去了，但用的zn基本上是之前他们做的zn。而后来梅纳德的办法是找了新的zn，就大大改进了结果。 回到西格尔零点 问题的办法还是要找个xn小于零，办法还是试图找到zn，然后让和式小于零。但非常难找到，我找到很多能接近零的，但始终跨不过0这个点。 新思路 张教授的新思路是用不同路径找到两组序列an+bn和cn+dn，满足xn(an+bn)^2和xn(cn+dn)^2都和零非常接近。然后利用一通操作（比如柯西不等式）得到矛盾。 假设xn都是大于零的，那么利用之前的那个初等的等式得到： 这会导致矛盾。 自塞尔伯格以来，人们一直在考虑有没有不是平方形式的yn来做这些问题。但是一直没产生更好的办法。感觉zn平方的办法人们已经做到极致了，应该尝试新的办法。大家肯定想过，不过现在还是在zn平方里在做。如果这个办法奏效，张教授认为应该是一个突破，这个思路可以被用于解决数论中的其他问题。 后记 提问：你之前说的本质上解决是什么意思？ 张教授：（如前文所诉）在这个部分解决的意义下把这个问题的进展做了推进。 提问：2024还能改进吗？ 张教授：肯定可以，但自己没去算过，感觉上改进到几百应该问题不大。 提问：这个成果有还有什么应用？ 张教授：在质数等差级数分布上能有很多很好的结果。另外，了解到解析数论和代数数论中的问题也和这个有关，但自己没做这方面研究，不了解具体细节。 如果把接下来要讲的事情写成一个故事，故事主角——一个17岁的高中生——和他父亲的对话应该是这样的： 主角：爸爸，我要去解决一个数学难题，它将近30年没人解决了。 爸爸：啥？这个问题啊……孩子，听我说，数学会教你做人的…… 主角：你们做不出来，不代表我做不出来！我还有机会，我会全力以赴的！ 然后，在博览群书半个月后，这个难题被这个少年解决了…… 这不是某个“民科”的自我臆想，也不是某个爽文小说里的场景，而是最近在数学界发生的真实新闻。 丹尼尔·拉尔森(DanielLarsen)，在他17岁，还没有任何高等教育经历的时候，解决了一个27年没有解决的数论的世界难题——卡尔迈克数满足伯特兰假定。名词都看不懂？别急我们会介绍这个问题，高中级别数学水平的人，应该能看懂问题本身。 费马小定理、卡尔迈克数和伯兰特假定 对于正整数p和a，如果p和a互质，p还是质数且的话，那么a^p-a(x^y表示x的y次方，下文同)一定是p的倍数，这就是费马小定理。但是反过来，哪怕对于所有和p互质的a，都满足a^p-a是p的倍数这个条件，并不一定能得到p一定是质数，就是说p有可能是合数。那么这些合数就叫做卡尔迈克数。最小的卡尔迈克数的例子就是561。 这个原始定义要验证起来比较麻烦。1899年，数学家柯瑟尔特(AlwinKorselt)提出了一种判定卡迈克尔数的等价办法：一个合数n是否是卡尔迈克数，等价于n同时满足下面两个条件： 1、n的质因数分解中，每个质因数只出现1次。 2、对于n的每个质因数p，n-1都是p-1的倍数。 比如前面的561，它分解后是3×11×17。三个质因数只出现了1次。n-1是560，对应的三个p-1是2、10、16。560分别是这三个数的倍数，所以561是卡尔麦克数。所以由这个办法，你可以很容易判定561,1105,1729,2465这四个数是卡尔迈克数。 自561被发现是卡尔迈克数后，越来越多的卡尔迈克数被发现。人们问卡尔迈克数是否是无穷多个。这个问题却异常的难，到1994年才被阿尔福德(RedAlford)、格兰维尔(AndrewGranville)，波梅兰斯(CarlPomerance)三位数学家解决，论文发表在数学界最顶级的期刊《数学年刊》上。三位数学家的论文其实证明了这样一个命题：当n足够大的时候，小于n的卡尔迈克数至少有n^(2/7)个。 然后，丹尼尔·拉尔森在17岁读高中的时候解决了这个问题。 兴趣起点 丹尼尔·拉尔森显然被这个热点事件影响到了。他决定去了解这方法的工作，尤其是优化后的梅纳德和陶哲轩的工作。但是，这些论文太难了，也非常复杂。数学论文总是这样，我要阐述一个定理，会引用很多之前的已经做好的结论。但是，当你翻开这些这些引用的参考文献的时候，你发现，这些参考文献又引用了更多的前置结论——然后不断引用，大量套娃。 一般人遇到这种事情，会选择放弃。但是丹尼尔·拉尔森选择了坚持。在不断追溯参考文献的过程中，丹尼尔·拉尔森找到一篇自己能看懂的关于卡尔迈克数的一系列论文，于是开始了这方面的研究。 当然，对于丹尼尔·拉尔森，他还有一个优势，就是他的数学教授父亲迈克尔·拉尔森。 爸爸：我原以为的结局不是这样的 当父亲迈克尔·拉尔森知道他的儿子试图解决这样的问题的时候，他显然不看好。作为职业数学家的迈克尔·拉尔森显然知道问题的水有多深。 但是，这位爸爸并没有阻止儿子的行动，因为他了解儿子。一旦确定要做什么事情，儿子会异常执着，谁也劝不回来。也许，这位父亲的心中还有另外的想法——让真正专业的数学问题赋予他一段失败的经历，或许也不错。按通俗戏谑地讲，就是让数学教他做人。 然而，故事的发展没有走通常的路径，儿子成功了。 问题真被解决了 最终，论文几经细节修改后，被确认是正确的。“这是一篇任何数学家都会引以为傲的论文。他是一位中学生‘小孩儿’写出来的。”格兰维尔评价道。 结局 现在丹尼尔·拉尔森在麻省理工学院上大学了。现在他没确定下一步去解决什么问题，他说他要做的是保持心态开放享受大学生活，并安安静静的上课。 但很多人已经在憧憬这位数学天才到了研究阶段的表现了。 在现代数学家看来，这类问题最好的办法把他们看成超图——一堆三个节点或更多的节点组成的集合。15个女生就是节点，三人同组就看成这三个节点用三条线段(图论术语会说三条边)连接成的三角形。 柯克曼女生问题实际上就是问，有没有一种三角形的排列，把这些女生节点连接起来，并且，这些三角形还不能共边。共边意味着两个女生被同组安排了两次。题设要求的安排意味着女生们每周都能相聚一次，而每一天都是和新朋友一起散步。 2022年1月，四位数学家通过一份长达50的论文，证明了只要节点足够多，总是可以构造这样的超图。伯明翰大学的数学家罗(AllanLo)说：“为了得到这个结果，他们用的办法的技术性程度令人惊叹。”康隆也说：“这是一个非常优秀的成果。” 研究团队建立了一个满足埃尔德什苛刻要求的系统方法，该系统方法从一个随机选择的三角形的开始，极其小心地设计以后续过程以满足他们的要求。“证明里那些复杂困难的分支情况的数量是非常惊人的。”康隆说。 他们的证明策略是从一个三角形开始，细致的构造这个超图。举个例子，你可以试想一下我们提到的15个女生，然后两两相连做线段。 我们需要从这些线段上描出我们需要的、满足条件的一堆三角形：第一，任意两个三角形不共边。(满足这样条件的系统叫做施泰纳三元系)第二，让每个三角形的子集占用足够多的节点。 数学家们对此有个通俗的类比。 现在假设我们不是在描三角形，而是在用乐高积木建造房屋。你建造的前几个房子非常宏伟、坚固和精致。你建好这些后，就把它们放在旁边备用。数学家把它们称为”吸收器“。 现在，用剩下的乐高积木继续随意的建造房屋。当剩下的乐高积木越来越少的时候，你会发现一些散落的积木，和一些搭建不完善的房屋。这个时候，你可以从吸收器上抽出几个积木块，用在不完善的建筑上。因为吸收器非常的坚固，抽出一些积木不会导致严重的后果。 施泰纳三元系中，你的构造的房屋就是吸收器。吸收器在这里就是精心挑选的线段(边)。如果发现无法把剩余的三元组搭建成满足条件的三角形时，可以使用吸收器中的线段进行调整。当你做完这些调整后，吸收器本身也融入到了各个三角形之中。 吸收器的办法有时会遇到阻碍。但是数学家们修补了这个问题，他们找到了一种新办法绕过这些阻碍。比如，有一种叫做迭代吸收器的，它将线段划分成嵌套集合序列，于是每个吸收器都是会为下一级迭代服务。 ”十多年来，进步巨大，“康隆说。”这已经是某种艺术形式，如果看成艺术，他们展示了一个非常高级的艺术。“ 即便有了迭代吸收器，埃尔德什问题也依旧很难。”这就是问题没有得到解决的原因“，论文其中一个作者索尼(MehtaabSawhney)说。 比如，在迭代吸收的其他应用中，一旦你完成了一个集合的构建——无论是三角形、泰纳三元系，还是其他结构——你可以认为事情告一段落并扔在一边。然而，埃尔德什的条件要求让这四位数学家不能这样做。有问题的三角形很容易触及多个吸收器的节点。 “一个你在500步前选择的三角形，你需要以某种方式记住，并知道如何处理它，”索尼说。 这四个人最终发现，如果他们选择的三角形足够精细，他们就可以绕过每一个小问题。“最好的办法是考虑每个由100个三角形组成的子集，并保证以正确的可能性挑选三角形，”索尼说。 论文的作者们乐观地认为，他们的这个方法可以推广到别的问题。他们已经将他们的方法应用于一个关于拉丁方的问题——一个简化版的数独问题。 除此之外，还有几个问题最终可能被吸收器方法解决。“组合学中，尤其是在组合设计论中，随机过程是一个非常强大的工具。”其中一个也是关于拉丁方的问题叫做Ryser-Brualdi-Stein猜想，自1960年代以来一直没有解决。 智利大学的数学建模中心的副主任斯坦恩(MayaStein)说，虽然吸收器方法可能需要进一步发展才能解决这个问题，但自30年前方法建立以来，它已经走过了漫长的道路。“看到这些方法是如何进步和丰富起来，真是人生一大幸事。” 下面的问题都是世界难题。如果你能解决其中任何一个都能在数学界斩获一个大奖。下文中，符号x^y表示x的y次方。 1、哥德巴赫猜想猜想：每个不小于6的偶数，都可表示为两个奇质数之和。 2、考兰兹猜想，也叫3x+1猜想。给定一个正整数初始值n，如果n是偶数，则将其除以2，如果是奇数，就计算3n+1。这样会得到一个新的正整数。照着这样的操作一直进行下去，会得到一个正整数序列。考兰兹猜想说，无论给定怎么样的初始值。这个序列最终会进入4,2,1,4,2,1......这样的循环。 3、勒让德猜想：任意两个相邻完全平方数之间，都存在至少一个质数。即，对任意正整数n，存在质数p，满足n^2 4、孪生质数猜想：存在无限多个质数p，使得p+2也是质数。 5、梅森质数猜想：形如2^n-1的正整数中，有无穷多个质数。这个猜想大约在1639年提出，已经经过380多年了。 6、n^2+1猜想：存在无穷多个自然数n，使得n^2+1是质数。 7、费马数猜想：数列F(n)=2^(2^n)+1，n=0,1,2,3,4,...其中的自然数称为费马数。证明费马数中只有有限多个质数。当n=0,1,2,3,4时，费马数F(n)是质数；1732年欧拉发现F(5)是合数.此后没有再发现其它费马数是质数.。 8、奇完美数猜想：是否存在是奇数的完美数。一个正整数是完美数是指，它的所有真因数(非它自身的因数)之和等于它本身的自然数。比如6的真因数是1,2,3而1+2+3正好等于6。 9、完美长方体猜想：是否存在一个完美长方体。完美长方体是指这个长方体的长、宽、高以及其所有的面对角线和体对角线都是正整数。相当于寻找三个正整数a,b,c，使得a^2+b^2,a^2+c^2,b^2+c^2,a^2+b^2+c^2这四个数的平方根都是整数。 10、黎曼假设：该问题提出于1859年，即讨论黎曼ζ函数的零点分布情况.数论中有一些与之等价的命题. 11、欧拉常数是有理数还是无理数？其中的定义是1+1/2+1/3+...+1/n-lnn在n→∞时的极限。 12、对于黎曼ζ函数，当k为正奇数时，ζ(k)是否为超越数。你可以用简单的高数知识证明，k为正偶数时，ζ(k)是关于π的有理系数多项式，所以是超越数。 13、埃尔德什倒数和猜想。如果A是一个正整数的无穷子集，A中所有数的倒数和发散，那么A包含任意长度的等差数列。格林和陶哲轩合作证明了A为质数集合的特殊情况，这个成果帮助后者得到菲尔兹奖。 14、n≥5时，拉姆齐数R(n,n)的值是多少。现在已知的是R(1,1)=1，R(2,2)=2，R(3,3)=6,R(4,4)=18,n≥5的任何一个数都没有结果。哪怕知道R(5,5)是43到48这6个数中的其中一个，也无法把它验证出来。 15、华林问题各种值的确定。对于正整数m,n,如果任何一个正整数都能写成n个非负整数m次方之和，而且n还是满足这个条件的最小的，我们就说g(m)=n。比如四平方和定理：每个正整数均可表示为4个(非负)整数的平方和。而7不能表示为3个整数的平方和，相当于说g(2)=4。对于正整数m,n,如果除了有限个情形外任何一个正整数都能写成n个非负整数m次方之和，而且n还是满足这个条件的最小的，我们就说G(m)=n。现在知道的很少的几种情况是g(2)=4,g(3)=9,g(4)=19,g(5)=37,g(6)=73,G(2)=4,G(4)=16，还没有找到确定所有的g(m),G(m)的一般方法。有个具体的猜想是g(m)=2^m+[(3/2)^m]-2，这里方括号表示取整。 本文编译自量子杂志网站 原文作者：SteveNadis 编译作者：Math001 安那克萨哥拉斯的本来的那个问题其实在1882年就解决了。德国数学家林德曼用一套经典方法证明了尺规作图化圆为方是不可能的。他证明了圆周率π是超越数。但是尺规作图是不可能做出超越数的线段长度的，所以证明了问题的不可能性。 问题并没有因此终结，意外的是，数学家们还在这个问题上工作着。1925年数学家塔尔斯基唤醒了这个问题，他修改了原始问题的规则：如果把圆分成完全相同的有限多块，这些小块是否能重新拼成一个面积相同的圆呢？这样的问题有个统一的名字，叫做等体分解。 换句话说，如果两个物体可以分解成大小和形状完全同部分，那么这两个物体就是同等体分解的。更精确的说，如果两个物体能分解成有限多个部分，每个部分完全一致，那么就说这两个物体就是同等体分解的。 1964年的一篇论文让塔尔斯基版本的化圆为方问题有了第一次实质性的进展。论文的结论是，用剪刀是无法完成化圆为方的等体分解。着意为着，如果要解决这个问题，可能需要把圆分解成更复杂的分型：一种可能布满小洞或者无限锯齿的形状。 1990年，数学家拉茨科维奇(MiklósLaczkovich)响亮的从正面解决了塔尔斯基的问题：塔尔斯基的化圆为方问题是成立的。 拉茨科维奇证明的是，用一种复杂和非常规的图形对圆进行分解，用不超过10的50次方个小块进行移动(连旋转都不用)，这些小块就能重新拼成正方形。 但是拉茨科维奇不直接操作几何图形而得到这个结果的。实际上，他把原本的几何问题转化成了图论问题。用两个顶点集合，一个集合对应圆，一个几何对应正方形，然后之间建立两个顶点集合之间的一一对应关系，从而完成的证明。 有数学家认为，拉茨科维奇的结果让人“瞠目结舌”，拉茨科维奇的向大家展示了如何“把一个圆的掰成直的”。 拉茨科维奇的证明还有一个瑕疵。这个证明是存在性证明，在数学界被称为“非构造性证明”。他证明了事情可以办到，但没有给出分解的具体办法来说明如何办到。更让人不爽的是，分解的小块是“不可测的”，这意味着这些小块的面积不存在。 几十年后的2016年，格拉博斯基(ukaszGrabowski),玛斯(AndrasMáthé)以及皮胡尔科(OlegPikhurko)共同撰写的论文让这个问题又有了重大进展。和拉茨科维奇的论文不同，证明几乎是构造性的，就是说分解的每一个小块都有明确的描述。但还是有一个瑕疵：把圆分解成的小块并没有填充满正方形的全部，还有很小很小的一部分没有填充。这没有填充的部分面积是零，数学家称为“零测度集”。 尽管还是没做到完全覆盖，但也是这个问题的重大进步——除了一个零测度集合，我们按塔尔斯基的规则成功的用构造性的方法化圆为方。 一年后，加州大学的马克斯(AndrewMarks)和多伦多大学的安格(SpencerUnger)在这个问题上有取得重大进展，他们第一次用完全构造性的方法证明了塔尔斯基版本的化圆为方——而且是完整的拼成，没有任何多余部分。论文完整描述了如果把圆分成小块，然后重新拼成一个等体积的正方形，不再有多余的零测度集合。 这一次分成的小块更多，需要大约10的200次方块，每一个小块的结构依然很复杂。论文作者认为，这是一个缺陷，因为这些小块要站在数学家的立场才能理解，很难用形象的方式展示出来。 这就留下了改进的空间，用更少数量的小块，或者更简单的形状的小块。数学家并没有停止探索，他们已经用计算机做了一个实验，据说22块就可以，但目前还没有给出这个的证明。 2022年7月19日，2022年度软科世界一流学科排名公布。数学学科排名方面，前十的院校较去年毫无变化，甚至前五的座次都没有改变。来自法国的巴黎萨克雷大学排名第一，美国的普林斯顿大学排名第二，法国的索邦大学排名第三。第四到十名分别为：剑桥大学(英国)、牛津大学(英国)、麻省理工学院(美国)、斯坦福大学(美国)、苏黎世联邦理工学院(瑞士)、纽约大学(美国)、德克萨斯大学奥斯汀分校(美国)。前五名大学中，法国两所、英国两所、美国仅有一所。前十中美国占据其中五所，法国、英国分别占据两所，瑞士一所。 亚洲方面，有五所亚洲高校排名前50，并有5所高校并列在51-75名的位次。以色列的耶路撒冷希伯来大学排名第一，总名次是第17，日本的京都大学排名第二，总排名25名。中国内地的北京大学排名亚洲第三，总排名第42。第四、第五分别是以色列的特拉维夫大学和日本的东京大学，总排名分别是第43、第49。剩余亚洲前10的院校为，中国医药大学(中国台湾)、复旦大学(中国内地)、阿卜杜勒阿齐兹国王大学(沙特)、新加坡国立大学(新加坡)、清华大学(中国内地)。值得注意的是，来自中国台湾的中国医药大学，中国台湾的高校少见得在数学学科如此高的排名.另外，中国香港的高校继续在前10中消失。 中国高校有97所大学进入榜单，数量上较于去年下降4所。在中国的高校的排名中，排名第一的是北京大学，世界排名第42名。三所学校并列第二，分别是中国医药大学(中国台湾)、复旦大学、清华大学，他们位列51-75名次区间，中山大学、中国科学技术大学位列76-100名次区间。这些学校组成了中国的数学六强。而中国香港排名最高的是香港城市大学、香港中文大学、香港科技大学，排名是151-200。最后，哆嗒数学网下面再次为你奉上所有中国高校的排名。 根据国际数学奥林匹克竞赛(IMO)官网消息。2022国际数学奥林匹克竞赛成绩刚刚公布，中国队以全队满分的成绩获得总分第一，参加比赛的6个人全部获得满分42分，全队获得可能的最高分数252分。韩国和美国分列第二三名，成绩分别是208分和207分，传统强队俄罗斯队没有参加。第四到十名为：越南、罗马尼亚、德国、伊朗(并列第8)、日本(并列第8)、以色列(并列第10)、泰国(并列第10)。 从1994年美国队参加国际数学奥林匹克竞赛之后，总分第一的队伍中，全队均获得个人满分的情况在之前国际数学奥林匹克竞赛历史上28年再未出现过，中国队创造了历史。(这里排除参加人数不满额的全队满分) 本次竞赛，共有10人获得个人满分。 另外，中国台湾获得总分第14名，中国香港获得总分第19名，中国澳门获得总分第49名。 从奖牌来看，中国队参赛的6个队员全部获得金牌。韩国3金3银，美国四金一银一铜。 有104多个国家参加此次竞赛。从国家数量规模来讲，国际数学奥林匹克竞赛已经成为世界上规模最大的年度国际交流活动之一。这样的活动，其实为促进各国教育文化交流，选拔顶尖人才起到了非常正面的作用。 最后，祝贺中国队以创造历史的成绩夺冠！ 附本届竞赛题目（官方版) 本文编译自+Plus网站 原文作者：MarianneFreiberger、RachelThomas 维娅佐夫斯卡(MarynaViazovska)是2022年菲尔兹奖得主之一。菲尔兹奖每四年颁发一次，只颁发给40岁以下的数学家，被誉为数学界的最高荣誉之一。 维娅佐夫斯卡是史上第二位女性菲尔兹奖得主，她获奖的成果和我们日常生活中经常见到的一些事物有关。 从桔子开始 运水果的确不是一件轻松的事情。不仅水果会经常被挤变形，即使不考虑变形，把桔子考虑成最简单的球形，也会有问题。无论你怎么装箱，都会留下缝隙。这就自然的会提出一个几何问题：我们如何排布这些球状水果，能让水果尽量多的装到箱子里？比如怎么样装桔子，可以让桔子占箱子里的空间比率最大？ "假设有个巨大的箱子以及数量巨多的球体，"维娅佐夫斯卡说，"同时简化一下问题，球体是刚性的不能被挤压，另外每个球都是相同大小。我们要尽可能多的在箱子里放置这些球。" 如果盒子很小，那么答案可能和盒子的形状有关。但如果盒子很大，形状的影响可以忽略不计，答案只取决于盒子的体积。“这在直观上很显然，存在一个最大的可以用等大小球体填充的体积比，虽然在数学上需要做一些工作才能证明这一点。”球体堆积问题就是找到这个最高比率，也称为球体堆积常数。 再来一个更简单的例子，让我们降低一个维度：我们不是将球体排布到3维空间中，而是将圆盘排布到2维空间中。“在2维空间中，最佳排布是蜂窝状排布，”维娅佐夫斯卡解释说。通常的蜂窝每个单元都是六边形，六边形整齐地组合在一起，彼此之间没有空间。如果您以相同的模式排布圆盘，您确实会出现间隙，我们能证明这的确是最密集的排布“这样，我们就用这些同样大小的圆盘覆盖了90%多一点的面积。”实际上二维球体堆积常数的精确值为 "三维空间的情形被称为开普勒猜想，已经400多年没有解决了，"维娅佐夫斯卡说，"三维空间里我们不止一个最佳堆积，我们有很多比率相等的最佳堆积。"其中一种你在菜市场也见过，就算把桔子摆成金字塔的形状(见上图，我们用球代替桔子)。这种方式的堆积密度大约是74%。实际上三维球体堆积常数的精确值为 1998年有一位数学家给出了这种堆积是最佳堆积的证明。海尔斯(ThomasHales)用250页的传统形式的数学论文，加上3GB的计算机代码和数据做计算试图证明它。这是富有争议的证明方式，因为没人能在有生之年去验证计算机产生的数据，所以海尔斯工作是否是完成了证明还没有最终确定。也有专家团队说有99%把握确认这套证明是对的，他们使用了计算机形式逻辑参与验证。 高纬度的球体堆积 为了把控更高的维度，我们要从二维转向三维，我们把思绪再次回到中学阶段。如果你也是那种三维立体图形画图困难户，那你就要感谢代数的作用了。三维空间中的点由3个坐标值表示，线和平面等形状用相应的方程表示。如果你无法想象图形之间的关系，这些方程可以帮到你。 在高维空间中，也适用同样的原理。n维空间的点由n个坐标值表示。和2维以及3维空间一样，你可以给出高维空间中距离和体积的概念，然后定义包括高维球之类的各种形状，这些都是用方程来定义。虽然这些图形无法作图了，但是用代数方法可以处理它们。所以，你同样可以定义高维空间中球体堆积以及堆积密度的具体含义。 回到2维和3维的情形，我们来看看如何从2维的情况推广到3维：先用刚才2维上的蜂窝排布的方式把3维的球体在平面上铺一层，从2维角度看，这是最佳堆积。然后在这一层上铺第二层，第二层的球都铺在第一层的凹陷处。然后继续第三层、第四层……这样的确会产生一个最佳堆积，所以人们会想当然的认为，这种推广方式会自然的推广到高维情形。 哎呀，但事与愿违。知道其中一个维度的最佳堆积和对推算下一个维度的最佳堆积并没什么用。下图展示了4维到26维目前人们知道的最佳的堆积的下界。从图上看，呈指数级下降趋势。 寻找上界 我们寻找的数是某种意义的最大值，比如说堆积密度的最大值。但是，往往没那么好的运气说找到就找到，这时候我们就要退而求其次，去找一个上界：一个数，那个还没求出的堆积常数一定不超过这个数。 不同维度的堆积常数上界陆续被人们提出。2003年科恩(HenryCohn)和艾尔基斯(NoamElkies)研究出了一个非常有趣的求上界的办法，可以用于任何维度的计算。但这个办法有实际操作上的难度，所以两个人也只把这些上界算到32维的情况。结果就是下图，包含4到28维的情况，绿色是下界，蓝色是上界。 这里值得注意的是8维和24维，它们上界和下界几乎重合。如果真是重合的，那我们实际上就知道了对应维度的球体堆积常数。科恩和艾尔基斯没能证明它：因为存在某种非常不爽的可能性，球体堆积常数介于上下界之间肉眼无法分辨的微小的缝隙中。科恩在《美国数学会通告》(NoticesoftheAmericanMathematicalSociety)发文说："对于信仰数学之美的人来说，这应该不可能，但信仰不是证明。" 缝合缝隙 维娅佐夫斯卡在科恩和艾尔基斯的工作基础上，缝合了8维空间上的缝隙。随后，又在科恩、库马尔(AbhinavKumar)、米勒(StephenD.Miller)、拉德申科(DanyloRadchenko)的帮助下，完成24维的工作。如果忽略球体本身这个形状，只考虑球心，那你就得到了点在空间中的配置。除了每个点的坐标，我们用点与点的距离统计来描述这个配置：产生的最小距离有哪些，它们占比多少？ 这是物理学中经常用的办法。"天文学家经常干这种事情，"维娅佐夫斯卡说。"他们观测星空，计算恒星之间的距离。他们忽略空间的几何形状，只记录每两个恒星之间的距离。实际上，这些距离的统计数据一定会满足某种限制。如果你想让一定数量的恒星保持这种距离，又有一定数量的恒星保持那种距离，还有一定数量的恒星保持再一种距离，那么空间中可能不会出现这种恒星排布。" 用类似的思想，科恩和艾尔基斯证明了球体堆积的距离分布也需要满足特定的限制，这让他们得到了球体堆积常数的上界。要完全满足这种限制，你需要找一个性质非常特别的函数，这就是难点。科恩和艾尔基斯只能逼近这个函数，这就是他们只能从逼近层面得到上界的原因。 这就是维娅佐夫斯卡真正实现的东西：用了一个前人从没考虑过的“大胆构造”,它做出了一个满足条件的函数。 维娅佐夫斯卡证明了8维空间中球体堆积常数是： 就是说等体球体最多能填充25%左右的8维空间. 使用的填充方法叫做E8格球体填充。所用的球体半径都是1/√2，球心是全部格点(坐标都是整数的点)以及两个格点连线的中点(还要求格点端点的所有坐标值之和为偶数)。E8格和E8例外李群有关系。在8维空间里，就没办法图形展示了。24维空间用的是利奇格(Leechlattice)堆积，比E8格要复杂，得到24维空间的球体堆积常数是 迷之维度 到底是什么让8维和24维如此特别？"每个人都问我这个问题——我也不知道，这是个迷，"维娅佐夫斯卡说。"在这两种维度中，那些点能被精妙的配置，使得我们能精确的计算出来，但这样性质良好的配置其他维度都没有。你问我原因，我真不知道。" 但是已经够了，就8维和24维的证明已经足以让维娅佐夫斯卡获得数学界的至高荣誉了。未来，无论谁用何种方法解决其他维度的情况，都能为这个人带来极高的荣誉。 梅纳德(JamesMaynard)是2022年菲尔兹奖得主之一。菲尔兹奖每四年颁发一次，只颁发给40岁以下的数学家，被誉为数学界的最高荣誉之一。 梅纳德是数论的顶级专家，这次得奖几乎是众望所归的。 数论、质数 "数论在我心目中的地位是独特的，甚至在我正式学习它之前就已经如此，"梅纳德说。数论，研究整数性质以及研究整数之间相互结合产生新数的学科。数论就是梅纳德的一个学术性的游乐场，这是让梅纳德从孩提时代就流连忘返的地方。 处于数论中心位置的东西就是质数，只能被1和其本身整除的正整数。因为不能再因数分解，质数经常被人们描述成数论的原子。每个其他正整数都能被这样的原子"做"出来，任何正整数都能写成一些质数的乘积。比如24=2×2×2×3，再比如110=2×5×11。 其他的质数，也能用类似的办法写成这样质数乘积的形式。 孪生质数猜想 梅纳德一个最重要的贡献就是关于孪生质数猜想的。几千年前，我们就已经知道质数有无穷多个，但是这些质数排布在数轴上的时候，却没有非常明显的规律。"通常情况下，你顺着数轴的方向看，质数之间的间隔会越来越大，"梅纳德说，"但是孪生质数猜想说，就算从大面上质数的间隔越来越大，也有极少数的质数会互相挨着非常接近。理解质数间隔是理解质数分布最基本的问题。" 除了2，左右质数都是奇数，所以质数之间最近的间隔就是2了(只看大于2的质数)。刚开始，很容易找到一些间隔最小的质数，它们被称为孪生质数：3和5、5和7、11和13都间隔2。但随着数的增大，这种质数在数轴上越来越难找到。数学家们都相信，能找到无穷多的孪生质数，这就是孪生质数猜想。 孪生质数猜想是数论中最著名的猜想之一，它表述简单，但一直没被证明，几百年来一直让数学家着迷。经过数百年的探索，在2013年取得了一个重大突破。张益唐证明了有无穷多对质数，它们的间隔小于7000万。"对数学家来说，这是一个巨大的突破。这是人类第一证明了质数具有一个有限的间隔"，梅纳德说，"尽管7000万比2大很多很多，但7000万比无穷大小多了。" 张益唐的突破和筛法有关系。筛法是在证明过程中，筛掉不需要整数的办法。最初等的例子是埃拉托色尼筛法，他能筛掉所有不是质数的数。从2开始，在数轴上去掉所有2右边所有2的倍数。这样2的右边，最小没被去掉的整数就是3，再把3右边所有3的倍数去掉。这样3右边没去掉的整数是5，这样重复操作下去。桑达拉姆筛法也能筛掉不是质数的那些数，但它基于一种算术级数(就是等差数列)来做筛选。 "筛法是数论研究中，将已理解的信息转换为你试图知道的信息的有利工具，"梅纳德说，"如果你知道关于算术级数的一些具体技术手段，那么你就可以用它转换一些关于质数最近间隔的信息。"筛法初看下很简单，但很多时候，要用一些很强的数学结论才能让它发挥作用。张益唐的成果的强大在于，可以通过控制输入的方式来让筛法得到想要的信息。 梅纳德的方法却不同："不是对筛法去改进输入而是改进筛法本身，这个方法在将一种类型的信息转换为另一种类型的信息方面变得更加有效，这意味着我们只需更弱的输入来获得关于素数间隔的结果。"通过这种新方法，将间隔从7000万大幅减少到只有600。在与更多的数学家进行了一系列合作之后，我们现在已经知道存在无穷对质数，它们之间的间隔只有不超过246。 即使取得如此巨大的进展，孪生质数猜想的证明仍然难如登天。工作仍在继续，通常这需要全新的方法去证明。在新方法的研究中，梅纳德证明了一个有趣的结果，给定任何一个10进制正整数，存在无穷多个质数，它的十进制表示不包含给定的正整数(包含是字符串意义的包含，比如1231，312都包含12，但不包含39)。在这个阶段很难知道孪生质数猜想何时会被完全证明，但梅纳德依然乐观的表示：“我们离证明孪生素数猜想还有差一个关键思想，但也许我们只差关键思想。” 要么全都是要么全都不是 数论中有大量长期存在的猜想以及悬而未决的问题。证明孪生质数猜想可能还有一段很长的路要走，但最近梅纳德与他的同事库库洛普洛斯(DimitrisKoukoulopoulos)证明了另一个重要猜想。 1941年提出的达芬-谢弗(Duffin-Schaeffer)猜想，它是一个关于有理数逼近无理数能力的一个猜想。实数是由有理数和无理数组成的。有理数能写成两个整数p和q的商p/q，而无理数是写不成这样形式的那些实数。最著名的就是圆周率π，它等于3.1415926...是一个不能写成整数之商的无理数。我们只能用有理数去逼近它。比如，我们只用保留两位小数的3.14来作为π的近似值，那么对应的分数就算314/100。但用的两个数都有点大，实际上22/7是一个更精确的逼近。 "就是说22/7可以算是更有效捕捉π的算术信息的近似值，"梅纳德说。理解实数的有效逼近(也称为丢番图逼近)以及这些逼近的分布可以为数论学者提供非常重要的信息。达芬-谢弗猜想使得有效逼近在什么情况下存在或者不存在的判断变得简单。 如果你试图让你的近似值具有一定的精确性。而且这个近似值会随着分母q的变化而得到一个p/q。达芬-谢弗猜想说，通过简单的计算可以告诉您，在"几乎"意义下，要么对所有数都有指定类型的有效逼近，要么没有。 "达芬-谢弗猜想说，要么是那种除了极少数的例外都能做有效逼近，要么根本做不到有效逼近。"梅纳德说，"而且猜想告诉你了一个简单步骤来让你知道能做还是不能做。" 这初看下似乎没那什么用，但它为数学家提供了一个强大的工具。“有很多数学命题，数学家希望它任何情况下都是对的，但事实证明有一些令人讨厌的反例，”梅纳德说。“但如果这些反例情况相当罕见，那么结果就是这些反例并不那么重要。” 玄幻 梅纳德的工作被描述为“非常巧妙，经常在当前技术看似无法解决的重要问题上取得令人惊讶的突破。”尽管他硕果累累，获得菲尔兹奖仍然令他惊异。“当坐在办公桌前拨弄数学玩具的时候，我不觉得自己在数学上获得了巨大的荣誉！” 虽然获得菲尔兹奖这个数学界最高的奖项之一是一项巨大的荣誉，但梅纳德依然觉得这个奖项令人敬畏，而且有点玄幻。“可以这样说，我脑海中浮现的数学史上的传奇数学家们都是令人敬畏的。当我还是个孩子的时候，这些数学家都是我仰望的人。”他说。"我也得奖了，这太玄幻了！" 许埈珥是2022年菲尔兹奖的得主之一。菲尔兹奖每四年颁发一次，只颁发给40岁以下的数学家，被誉为数学界的最高荣誉之一。 许埈珥的故事在数学界一定会是一段经典的传奇 这位数学家太非同寻常 能成为顶级数学家的人，在他们小时候一般都被视为“神童”。很早就表露出天赋，在学校里夺得所有的数学竞赛的奖牌，并按照命中注定的伏线走向通往伟大的道路。 许埈珥是完全的另类。小学时成绩就不好，高中时觉得上学无聊，书不念了去写诗。他最终选择了做数学，不是因为这个学科，而是因为一个人。就当他即将从首尔大学的物理及天文专业毕业的时候，他了解到著名数学家广中平佑在他学校开着一门课。“我对数学一无所知，但我看过广中平佑自传。这人非常有趣，所以我就选这门课了” 课程是对广中平佑所作工作的即时反馈，讲述了他最近产生的对数学的思考洞见。"这是我第一次见把数学当职业的真人"，许埈珥说，"我第一次把数学当作人类活动而接触这个学科"。这种人类活动带来的愉悦让许埈珥深陷其中，如痴如醉。 肉眼可见的数数 组合数学就不太一样：组合数学是数数的艺术，数的东西总能数得出来。因为那些东西都是有限多个，而且还是离散的。组合数学中最典型的问题是，一种扑克牌的牌型有多少种。“所有的东西都是实实在在的，你甚至可以触摸到它们”，许埈珥说，“组合数学就算我肉眼能看到的那部分数学。” 如果数数被认为是数学的基柱之一——人们小时候做的第一类数学活动，从生物角度看，我们人类在诞生之初就做在做这样的事情——那么还有一个基柱必须是几何。“几何对所有人来说都是相同的，”许埈珥说。“我们是视觉动物，视觉是我们的主要感官。我们通过视觉产生的几何而不是通过声音、味道或气味来了解我们周围的世界。” 虽然您可以在不遇到概念困难的情况下进行大量计数，但几何图形更具欺骗性。一个多节土豆的形状是我们一看到它就会立即得到的东西，但是当我们没有图片来描述它时，我们很快就被难住了。“几何很难形式化，”Huh说。“它包含大量信息，尤其是当您将其与我们的语言和逻辑的复杂性进行比较时。” 虽然你可以在不基于任何高深数学概念的情况下进行数数，但几何上的计数会有很多误导。比如我们很容易看清一个长有很多疙瘩的土豆，但当我们没有一个合适的图形描述它的时候，我们就会犯难。"几何很难被形式化"，许埈珥说，"尤其和我们的语言和逻辑对比的时候，你会发现几何包含的信息实在太多了。" 然而，当你使用方程的时候，奇迹发生了。比如方程y=x精确定义了一条平面上的直线。对直线上每个点匹配一个坐标(x,y)，然后这些把满足方程的所有坐标标记出来即可。 同样的方法，你可以回忆你中学学过的方程y=x2，这是一条抛物线。 类似的，不同的方程能描绘出不同的形状。这就和那种不规则的土豆不同，我们就可以用代数工具来研究几何了。数学中这是一个专门领域，叫做代数几何。 “在代数几何中，为了精确表述一个几何空间，你要做的就是写下一个方程，甚至这个方程都不是很复杂，比如多项式方程。”许埈珥说，“你可以把它写在你的小本本上，然后看看——这是你可以看得见摸得着的东西。这是我职业生涯初期中唯一能动手做的东西。这就是为什么代数几何也吸引了我。 唯一的最小值 许埈珥获得菲尔兹奖的数学成果是非常艰深的理论，涉及代数簇和霍奇理论。但当让许埈珥说出一个他自己引以为傲的成果时，他说的是一种用一些简单信息暗含深刻结果的一些数学方法。这个方法建立了连续和离散的桥梁，就算不从数学考虑也很有意思。 为了描述这个方法，我们还是从之前的抛物线y=x2开始。 这个抛物线有个重要性质，就是在蓝色的点处取得唯一的最小值。 抛物线只有一个最小值的原因是，它不会向上凸出。这与下面显示的曲线y=x^4+2x2-x/2形成对比，该曲线在底部有一个向上的凸起，会产生两个局部的最小值(极小值)。 换种说法，我们说抛物线的上方区域是(下)凸的，但第二条曲线不是。标准说法是，一个区域是凸的是指，其内部任何两个点连接的线段仍然在其内部。那么抛物线就是凸函数。而第二个函数是非凸函数。 当一个函数涉及多个变量的时候，也有凸的概念。如果是两个变量，就对应只有一个山谷的概念，而不是复杂的山脉。如果是更高的维度，图像无法画了，但依然可以定义凸的概念。 求最优解 但是，如果这个函数是凸函数，那么问题就容易得多，因为凸函数的极小值是唯一的(所以这个极小值就是最小值)。你甚至可以用一种“凭感觉”的手段来寻找这个最小值：就算你不看图像，你也能感受到走那边是往下走的，向那个方向走一小段，然后继续“凭感觉”探路。对于更多变量的函数无法画图像的时候，这个手段依然奏效。 但对于非凸函数，这种“凭感觉”的方法就会误导你：你得到的可能是众多极小值中的一个，你无法确定它是某个局部的低点，还是全局的最小值。 建立联系 对于优化问题，数学中的凸分析是个无价之宝。但问题是，凸分析针对的函数是连续函数。如果不是身处连续的曲线上，而是在一个和别的岛屿分离的小岛上，那你周围就没有信息让你“凭感觉”探路了。 "但是，我们身处世界是越来越数字化的，也就是离散化的"，许埈珥说，“我们会经常对某些离散情形做最优化，为此你需要一种不同的技术手段。”尽管搞优化的学者们已经开发了一个框架来处理离散问题，但这两个领域直到最近还没有明确地联系起来。"尽管连续情形和离散情形两者问题类似，但还没找到直接的连续，"许埈珥说。 许埈珥在他和同事们所做的就是通过巧妙的观点转变找到这样的联系。上面的方程y=x2描述了一条连续的曲线，但它本身是由有限数量的离散信息定义的——这就是我们很容易将它写在小本本上的原因。我们只需要知道变量x和y的幂的次数，这些它们系数是多少，以及等号的位置。因此，这个方程可以视为离散对象。 基于这个观点许埈珥和布兰登(PetterBr?ndén)研究出了一种适用于洛伦兹多项式的深层理论。对于洛伦兹多项式，两种凸性的角度——一种从连续角度一种从离散角度——通过多项式的两种不同视图自然地联系在一起：一方面作为连续对象，另一方面作为离散对象。 “找到这种形式联系非常令人满意。”许埈珥说，“对我们来说，更让人欣喜的是，一旦有了这样的联系，你可以用一种非常自然和简单的方法去解决那些被认为技术性很强且非常难的问题。” 数学是人性的镜子 如果数学领域的界限的产生如此偶然，那么数学中一些最深奥的问题跨越这些界限也就不足为奇了。从这个意义上说，我们开发的数学是我们人性的一面镜子。“它展示着，我们是谁，我们如何思考。” 度米尼尔-柯平(HugoDuminil-Copin)是2022年菲尔兹奖得主之一。菲尔兹奖每四年颁发一次，只颁发给40岁以下的数学家，被誉为数学界的最高荣誉之一。 相变和普适性 度米尼尔-柯平因为在统计物理中对相变的数学理论的工作而受到数学界的认可。在日常生活中，我们经常看见相变发生：比如低于零度的时候水会结冰。相变是一个复杂的系统，就拿水分子来说，在一些特定的临界温度附近，分子行为会发生非常剧烈变化。 “作为数学家，我们做的事情是通过对这些物理现象建立数学模型，去理解相变是怎么发生的”，度米尼尔-柯平说到。比如规则晶格模型通过对分子排布的描述来理解这些现象。实际上液态水分子的位置并没有那么规整，在现实中，他们不会像晶格描述的那样排布在空间中。但为了对这种系统进行研究，通常会简化的认为分子按这种非常规整的方式排布。 虽然这个假设不完全符合事实，但度米尼尔-柯平说用这种方式研究的系统却可以解释现实中发生的现象。"这就和一个深刻的理论有关系了，叫做普适性(universality)。我试图用数学的方式去理解它" 普适性就像一种梦幻的场景：一些情况下，数学模型中的琐碎细节并不影响全局行为。原因是如果一个系统涉及多个不同的随机过程，那么底层机制的一些细节就和全局无关了，比如水分子的运动。在水结冰的过程中，无论你把水分子的排布看成怎么样晶格排列，你研究的相变的性质都是相同的。 "这让数学家和物理学家都安心，因为很多系统都具有相同的行为表现。那么你只需要选择最简单的情况来研究，就是那种规整的规则晶格。"从数学上来说，您可以从这种更为简单的问题描述中得到更多信息。数学模型不一定就是物理现实，但由于普遍性，你的结果都是相同的，和初始假设用精确的物理描述结果是一样的。 漂亮的问题 统计物理中有很多问题受到度米尼尔-柯平青睐：很多是看似简单但需要新数学方法来攻克的问题。一个例子是他在做博士后时做的第一个猜想。 “想象一下，你现在在一个蜂窝面前，”度米尼尔-柯平说，蜂箱的形成了平面上的六边形平铺，蜂箱壁的挡板和挡板转角标记成为六边形(蜂窝格子)的点和边。你选择一个点作为起点，然后在六边形的边界上行走，但有一点，你不能回到任何之前走过的地方，边和点都不行。这个规则叫做自规避行走。 现在的问题是，有多少种自规避行走的走法？就如他所说，规则非常简单，小孩子都能玩。如果让你走一步，那么有三种走法，如果让你走两步，就有6种走法，如果让你走三步，就有12种走法。如果走的步数越多，情况就会越来越复杂。而且为了不走重复路线，你去数这些走法的数量就越来越困难。“你很快就会发现到你无法准确计算出走法的数量，这是一个很难把控的数。”下图是走5、6、7步时候的走法示意。 1980年统计物理学家尼恩胡斯(BernardNienhuis)给出了一个惊人的猜想，他说这个数不仅能把控，而且有一个对数量级的精确限制。他猜想，如果走n步，那么自规避行走数量的增长速度是(√(2+√2))^n(先根号2，再加上2，然后整体再开根号，再n次方)。 这个问题不止数学家关心。上世纪40年代，保罗·弗洛里(PaulFlory,1974诺贝尔化学奖得主)和奥尔(W.J.C.Orr)引入了自规避行走来研究长链分子(聚合物)，以及去理解聚合物的行为。“这与物理关系密切，例如如果试图理解DNA分子的行为。这些聚合物会自规避行走，原因是显然：它们是分子组成的一个长序列，不会在同一个地方重合。” 根据牛津大小数学研究所官网消息。牛津大学数学博士李奇曼(JaredDukerLichtman)证明了埃尔德什众多数论猜想的其中一个——埃尔德什本原集猜想。 专业数学的成果往往很难被普通大众理解，而这个猜想却不一样，问题本身是中学生能明白问题说什么的。借着这个机会，我们来介绍一下。 首先，一个正整数集合A如果里面任意两个元素都都没有一个是另外一个的倍数的情况发生，那么我们说这个这个集合叫做本原集。 比如如果A是所有质数组成的集合，那么A是本原集。 如果A是正好是有2两个质因数的那些正整数组成的结合，那么A是本原集。 对于任意正整数k，如果A是正好有k个质因数的那些正整数组成的集合，那么A是本原集。 对于一个正整数，如果它所有非本身的因数之和等于其本身，这个数叫做完美数(比如6非本身的因数有1,2,3，这三个数加起来正好是6，所以6是一个完美数。另外28也是完美数)。如果A是所有完美数组成的集合，那么A是本原集。(证明留作习题，难度是初中级别的) 如果A是本原集，我把A中的每一个数n都取出来，计算一下对应的n·ln(n)的倒数，再把所有的这些倒数加起来，这样会得到一个计算结果（详细的符号见下图），我们把这个数记作f(A)。 1935年，埃尔德什本人证明了f(A)有一个统一的常数上界。 1988年埃尔德什猜想，当A取所有质数的时候，能得到最小的上界。就是说，下面的不等式成立。 李奇曼今年26岁，他35岁的导师梅纳德(Maynard)也是数论界大名鼎鼎的人物。他导师看到这个证明后先是惊了一下，然后小小的酸了一下：“这运气也太好了吧”。当然梅纳德的同等或超过这个成果的重量级成果很多…… 本文作者：基斯·德夫林，斯坦福大学数学教授 哆嗒数学网小编按：本文依据中国的社交媒体的语境，做了些许修改，不影响总体意思。 你也许经常在社交媒体上看到类似如下的观点： 因为西方帝国主义或殖民主义的思想，产生了2+2=4的这种思想文化产物。而我们只能以这种方式去思考这个问题。 就问题本身，这其实是教育专家和中小学老师们经常讨论的教育问题之一。但是，很多时候社交媒体中的讨论是失控的。大多情况下，他们根本不知道问题是什么(或者说知道的人微乎其微)。而大部分人都没就事论事，都在谩骂或者攻击自己画的靶子。 如何看待2+2=4是一种文化产物这句话？ 我们稍后会回来讨论这个问题。但是，我们先用社交媒体上的争吵的例子来设置场景。 社交媒体上的疯狂讨论 通过向那些不言自明的知识询问“你怎么知道的”来提出质疑，在各个学科都屡见不鲜，——即使是我们通常认为理所当然的最基础的想法。讨论通常用简单的例子来说明，其中一些还会用图像和谚语来反复解释。2+2=4也是同样类型的问题。 例如早在20世纪初，怀特海和罗素就撰写了一部研究数学逻辑基础的三卷本巨著《数学原理》。其中他们使用了更简单的恒等式1+1=2作为一个说明性的例子，用350多页的篇幅，从书中的第一性原理开始，通过逻辑演绎来证明它是真的。 他们的目的不是检验这个命题在现实生活意义下是否正确。这显然是正确。他们是为了确定数学的逻辑正确性。因为罗素展示过一些看似显然的数学事实最后导致了逻辑矛盾的例子，所以他们有了做这项工作的动机。他们证明了1+1=2这种基本的等式可以形式化的证明，以及如何证明。 怀特海和罗素是幸运的，因为1910年还没有网络社交媒体，这两位学者完全在剑桥大学的象牙塔世界中开展工作，因此没有引来过多的嘲讽。但是对于在纯粹学术世界（甚至可以说是与世隔绝的世界）之外的人来说，使用如此简单的例子来讨论学术问题，无异于在斗牛场上向公牛抖动红布——于是，在讨论2+2=4这个恒等式的网络讨论中，引来了许多“公牛”——尽管这绝不是社交媒体第一次因为它不理解的事情而失去集体意识。（奥威尔在他的反乌托邦未来主义小说《一九八四》描写过2+2=4这一场景，这可能使这块“破红布”在当前的网络氛围中显得更加鲜红。） 网络大军对于2+2=4的讨论中，真正忽略的关键词其实是“思想”。 在这个特定的背景下，这个词带来了巨大的冲击。之前讨论的基本问题是（正在讨论同样是）：数学的本质是什么，谁来制定数学的规则，谁来决定哪些人可以参与，什么是正确或好的数学，数学在社会中扮演何种角色，我们到底在谈论谁的社会？ 2+2=4之所以常常被这样的讨论，是因为在任何人类的文化圈，无论按计数还是算术的角度来说，它的结果都等于4，没有任何异议。在所有的文化圈内，都认为是对的。实际上，历代思想家和作者们一直在使用这样的语句来说明什么是“显然的事实”。从16世纪开始，经常将其与2+2=5的这样的“显然的错误”来与其对比。 觉得它没有异议原因是，如果你在现实生活中数数，2个2个合起来就是4个。现在我们不得不用这个简单可笑、毫无争议、普遍认同的例子来讨论做数学研究的潜在深层次问题。现实总是这样充满戏剧性。 在网络讨论中真正涉及的问题之前，让我们还是回到问题本身。2+2=4是否是一种文化产物？我再次强调，为清楚起见，我们讨论的问题不是去纠结如果你左手拿2个东西，右手拿2个东西，然后你总共拿了4个东西这样的问题。网络大军中的有些人过多在这样层次的问题上纠缠，只能显露他们的无知——甚至缺乏基本的常识。但是，社交媒体上这样的人非常多。 数学是一种文化产物吗 所以，你同意2+2=4这个命题是一种文化产物吗？ 从我本人的经验来看，具有博士学历以上的数学专家们会强烈反对2+2=4是文化产物的说法。在这样文化氛围中，2+2=4一个普遍的事实，无论是从理论上讲，还是从经验上讲。我长大成人后一直处于这样的文化中，我也绝对的这样看待2+2=4的。 为什么会这样？或者说，这种经验主义的想法从何而来？ 是的，任何从事数学研究的人最终都会有一种强烈的感觉，那就是做数学是一个发现的过程——发现关于抽象领域的永恒真理。 为什么呢？通过回顾人类大脑的进化以及其运行机制，我们来寻找答案。有在抽象领域发现知识的感觉是充分沉浸在数学思考中的必然结果。毕竟，无论我们思考的是眼睛看到的东西还是其他感官体验到的东西，我们对现实的感知都会归结为人的神经活动。因此，人类创造的抽象世界也不可避免地有现实世界的投射。我们的创造活动和其他活动的区别只是：一个是由大脑思考引发的神经活动模式，一个是由感官输入引发的神经活动模式。这个层面讲，模式是相似的，也就会有相似的“真实”的感觉。 [题外话：我每每在公开讲座种被问道“数学是发明还是发现的时候”，我总会回答“既是发明，又是发现”，这就是原因] 但无论这种感受如何而来，那种在永恒的“柏拉图领域”中发现真理的过程的感觉会诱使你认为一切都是经验的。 我的一生都被这种文化包围，我能理解这个。但关键是，这是某种文化圈内部的观点。它多大程度上经得起我们进一步的推敲。 对于2+2=4，如果我寻求的某种绝对的确定答案，我当然可以回归到我的生活经验。如果我左手有两个东西，而右手也有两个，那我总共有四个。对此我绝无异议。刚开始的时候，学者们的讨论也没在这里纠结。在我看来，网络大军种有人说这也是问题的关键，并给出其它答案，纯粹是为了享受打嘴仗的过程。但我看来，这是一种哗众取宠。(从最坏的角度来说) 但，让我们更进一步。 我很小的时候就学会2+2=4了。然后，到了高中，我接触到了新知识0.999…=1.这个没有办法用具体的实体办法来验证正确性了。但是我能用简单的逻辑论证来让我相信这个结果。 但这只是因为我接受了这样一种思想，即你可以通过基于一组初始假设（“公理”）的逻辑推理得出正确答案。后来，随着年龄见长和知识量的扩充，我才明白了一个道理：公理作为事实被承认，只是因为老一辈的数学家认为它应该是真理，并把它们设置成为了公理。（毋庸置疑，他们设置公理的时候有着充分的理由——至少，在把数学看成为某种目的服务的工具的这种数学文化中是合理的，比如，把数学看成对太阳系和其他物理系统的提供准确预测、数值描述的工具。） 然而，尽管我知道事情的真相是这样的，但我仍然将0.999…=1视为与2+2=4具有相同地位的经验事实（对于抽象的数学柏拉图领域来说）。换句话说，我相信它。 另一方面，我绝不相信下面的等式： 1+2+3+4+5+…=–1/12 我知道那个逻辑链条，“0.999…=1”不过是逻辑链条上的一环。这样的推理不可逆转的得到了这个反直觉的结论。(所以之前不应该是“另一方面”，而应该是同一理由) 这一个逻辑链条散发着诱人的理性，在逻辑上是形式推理的正确，我只需要一堆初始要件就可以做出解释，从而得到整个数学大礼包。这些要件是一些初看起来非常简单，又能具体抽象描述的经验事实的文化产物。诸如我的左手拿两个东西，右手拿两个，我总共拿了四个东西。 当我们得到数学大礼包后，如果你坚决不允许逻辑链条在中途断裂的话，你会发现自己将面对一些高度反直觉的等式，尤其是当我们不得不处理无穷带来的问题的时候，比如0.999...。如果回避这样的问题，绝大多数数学教授都会失业。(嗯？)所以，我也和所有数学家一样，被限制在这个大礼包之中。 在数学大礼包里的真理中，一些能在日常生活中验证(2+2=4)。一些符合人们的直觉，并和现实世界中大量的观测结果相符(0.999…=1)。还有一些，专业的数学家(也只能是他们)会给一些美妙的解释，让你超脱对现实世界的第一感觉去理解它(1+2+3+…=–1/12)。 这个数学大礼包是一种文化产物。难道还能不是？我觉得，很多关于“所有数学都是文化产物”这样问题的讨论，都没有搞清数学“真理的普遍性”的提法本身就是基于某种文化的思想。 我们数学家认为数学与文化无关的原因是：我们处于认为它无关的文化之中。在数学家之外更广泛的范围，我也怀疑在工业化的现代社会的大多数人都认为数学是“文化中立”的学科。 我需要补充一点，数学并非是一幅“西方文化”图景。它根植于任何依托工程技术发展壮大的文明，最远可以追溯到一万年前苏美人开始有计数历史的年代。 顺便说一句，原始讨论中对帝国主义和殖民主义的提及显然促成了某种煽动效应。从表面上看（就像我第一眼看到的那样），论点基于算术是西方社会的发明，但事实并非如此。 实际上，计数和算术远远早于西方社会的成型。很多文化都认为它推动了数学的进步。这里说这个是先澄清一个事实，因为对科学技术的高度依赖，西方社会才将数学置于中心舞台，让它成为除了母语外唯一的必修的中小学课程。 数学是谁的文化？ 如我所述，2+2=4的讨论引发了对专业数学在文化中扮演的角色的思考。中小学数学教育也是这次讨论的一部分。所以也引来了不同背景的学生的参与。 中小学教育工作者传授学科知识的目的与高等教育不同。中小学教育试图将下一代带入他们成长的文化中，并使他们熟悉社会并在社会的各个方面传承文化。在这些传授的文化中，包括一些“学术学科”，数学学科(或者说数学学科的一部分)也是其中之一。 Bishop特别解释了他所说的“数学是人类文化的产物”的具体含义，同时阐述了它横跨所有的现代文化成为一种普适性的知识体系的过程。 他发现现代人类社会中，人们都会进行以下活动： 计数、定位、测量、设计、玩耍以及解释 他提到，“数学作为一种文化性知识，产生于人们持续、有意识的方式参与这六种普遍活动” 他继续详细阐述了这个观点。我会让你和我本人一样，自我思考一下，在你看完那六项活动后，你的脑海中已经勾勒出这六项活动如何产生数学的一些典型场景。这与我在《数学犹聊天：人人都有数学基因》一书中阐述的因数学思维能力的进化从而获得的理性重构的解释没有区别。 你的意见是什么？ 人们对数学持有不同的文化观吗？ 这里文化的含义是什么？它是谁的文化？ 在您的学校里，物理系、生物系和统计系是否认可数学系为他们开设的核心课程，或者说应该如何在开设课程上与他们达成一致？ 驱动数学研究的目标是什么，找寻数学真理还是别的什么？公理的设置和定理的证明只是达成目标的中间过程？ 谁来决定什么人能进入数学学术界？ 谁来决定用于数学研究的科研经费的分配？ 关于数学伦理的工作应该数学家来做还是别的人来做？ 我还能提出更多类似的问题。但我希望你明白我想表达的重点：如果你相信存在一种我们称之为“数学”的纯粹知识体系或纯粹思维方式，那你在相信一种神话。 当然，在某些数学文化中，数学看起来都很纯粹且定义明确。在纯数学的各个分支以及物理学家和工程师所做的数学尤其如此。但是，这很大程度取决于数学在对应领域扮演的角色！所以，如果你在那种文化中，这一切似乎都没有争议。在更模糊的生物学和统计学世界中，就没那么清晰了。如果数学应用于当今社会学和政治学的许多重要领域时，情况会更混乱。 [题外话：最后一点我有亲身经历。首先，1987年把我英国的研究带到斯坦福，试图用数学来发展信息和通信理论，以理解新兴信息技术的作用。研究其在生产生活中发挥的作用，并指导新信息技术的开发和使用。后来，在斯坦福大学继续研究，尝试将数学用于IT和建筑行业，然后用于美国国防部各个分支机构的项目。那些项目都超级混乱。我们参与其中的所有人都没有对我们正在使用或研究的数学有任何具体的讨论。在许多情况下，称其为数学的唯一理由是它使用数学符号，并且是研究数学的数学家做出来的！虽然我们确实在学术会议上发表过演讲，偶尔也会在同行评审的期刊上发表论文，但成功与否很大程度上取决于我们的工作对我们经费提供者是否有用。] 但这就是问题所在。我们可以合理地提出这些问题（并且在某些情况问题还不简单），这些问题能提出来就表明数学是文化的产物。即使是看似纯粹和定义明确的东西，这种确定感只有在你深度置于产生它的文化里时，才会存在。 当然，你也许不同意我的看法。我懂了，这肯定表明我们遵循着不同的数学文化。 编译：Math001 今天，我们来玩一个游戏。玩这个游戏需要一个无限行无限列的表格，以及三枚硬币。三枚硬币放在表格的左上角。就像下面图中表示的那样。 游戏只有一种操作。你可以拿掉任何一枚硬币，但是需要马上在这枚硬币的右边和下边的格子里补上两枚硬币。比如，如果你拿掉了上方第二个硬币，你需要按下图中的方式，马上补上两枚。 再补充一个规则吧。只有一枚硬币右边和下边的格子全都是空格子的时候，你可以拿掉硬币，并补上两枚。哪怕有一个格子不是空的，这枚硬币都不能拿掉。你就只能拿别的按规则可以拿掉的硬币。 我们把左上方2×2的格子圈出来，把它叫做银行，如下图红框部分。 你会直观地感受到，整个游戏过程中，硬币逐渐增多，总体是向右下方流动的。 我们的问题是，你有什么策略，可以让银行中的硬币全部流出银行。就是说左上2×2的格子中，不再有任何一枚硬币。或者，你会觉得总会有硬币留在银行中，但你需要清晰精准地说明这一点。 这个问题其实有点难的，你可以做做实验，多想一会儿。待会儿我们解谜的时候，你会感受到数学的神奇。(在一串长空格后，我们开始解密) 解密开始： 在具体说明这个问题之前，你可能做了很多次实验了。是不是开始怀疑，如果严格按照游戏规则，是不可能把银行清空的。 对的！如果你有这个想法，那恭喜你，这就是这个问题的正确答案。那么，剩下的事情就是严谨地证明你的猜想。 证明的方法也许不唯一，这里讲述一个本人认为非常巧妙的一个办法。 我们的证明过程会去设计一个不变量，利用这个不变量来说明按照游戏规则，我们无法搬空银行。不变量是一个数学概念，简单的说，它表达的是无论局面如何变化，那些在万变之中永远不变的东西。不变量的思想几乎贯穿数学这门学科的所有分支，甚至有观点认为，数学本身就是研究各种不变量的学科。 为了说明问题，我们做一些准备工作。我们用如下的方式给每个格子标记一个数。 标记的规则是这样的： 第一排，从左边第一个开始分别标记1,1/2,1/4,...，总之右边的那个数是之前数的一半。 第二排，从左边第一个开始分别标记1/2,1/4,1/8,...，就是起始的数是上一排的一半，但总是保证右边的那个数是之前数的一半。 第三排，继续1/4,1/8,1/16,... 以此类推…… 表格标记完后，你会发现，你任意取一个格子和它右边以及下边相邻格子标记的数都是这个格子的一半。 准备工作完毕，我们来设计我们的不变量了。 首先，我们来看看，所有格子的数加起来会等于多少。这里有无穷个数求和，我们的策略是先求出每一行的和，再把这些和加起来。 第一行就是，1+1/2+1/4+...，结果是2； 第二行，1/2+1/4+1/8+...，结果是1； 第三行，1/4+1/8+1/16...，结果是1/2； …… 最后再来2+1+1/2+...，加起来等于4。 就是说所有数字加起来的和是4。 我们再来看看规则。每次操作，我们都会把原本的硬币去掉，并在右侧和下侧添加上两枚新的硬币。虽然，表格中的硬币会增加一个，但是替换上的硬币覆盖格子中标记数的总和之前那枚硬币覆盖标记数是相等的。这意味着，无论多少此操作，所有硬币覆盖格子中标记数的总和不变。 那么，按照初始的三个硬币摆放的位置。三枚硬币覆盖的标记数之和是1+1/2+1/2=2。银行中，标记数之和是2+1/4=9.要把所有硬币在银行内清空，意味着银行内没有硬币，所有硬币都在银行外。根据之前的分析，就是说要达到一种状态，银行外硬币覆盖的标记数之和保持初始的2不变。但是，银行外标记数之和为4-9/4=7/4，比2小。 所以不能清空银行。 另外，实际上通过之前的讨论，你可以证明：哪怕把硬币完全清理出初始的三个位置，都是不可能的。因为，剩余的标记数之和是2，需要无限个硬币才能达到。而有限次操作，最多生成有限枚货币。 作者，MathRoc，哆嗒数学网群友 诗人林珊在《山行》中写道：“我还是去得晚了一些‖满山的黄叶已经落尽了‖只有风，从山顶袭来‖枯草里的星辰是什么时候撒下的‖瓦楞上的残雪是什么时候落下的‖香山寺的钟声也无法给予我‖想要的答案”。或许这正是我本科四年的学习生活的真实写照。 当我初踏入大学校园时，草平雨新路无尘，一切都是可爱的模样。但入学后我发现自己与数学系的学生之间有很大的差距。他们或是在高中便已学完大一、大二的内容，或是在竞赛中取得了很好的成绩，少数则在初中时便学习了大学内容，一言以蔽之，有深厚的数学基础和非凡的学习能力。当时的我想迅速追赶，但竭尽所能也难以望其项背，从此便进入了漫长的迷茫期。 起初未接触数学系的同学，自然不知道需要在何阶段读何书，我便试图同时看多门课的入门书。尽管举步维艰，我仍在坚持，去教室的路上、吃饭时、睡前，无时不在看书。我仍以高中形成的观念来看待“怎样才算学会了”——题目可以不费力地独立解决，也曾四本书并进，正文能懂但对题目畏葸不前，就此断定是因太笨没学会。于是换书来啃，一个月内如此往续，应有10本以上，比如数学分析、高等代数、解析几何、概率论、组合数学、图论、近世代数、实分析。现在看来，所选的书是最难的那一批，所做的皆为无用功。 经此一役，我向很厉害的学弟请教，他指出我应该先读大一内容——数分、高代，并分别推荐了史济怀、李炯生(号称亚洲最难)的教材。诚然，对已有基础或学习能力强的人来说，它们确是非常不错的入门教材。但对当时基础千疮百孔的我而言，这无疑是一剂虎狼猛药。 我再次被习题拦在了门外，但也开始主动寻找“没学明白”的症结所在。我发现，对教材难度预设的太高，我应该选择更合适的书。自此，踏上了寻找适合自己的书籍的漫长历程。 迷茫时期持续了近两年，为此付出的代价也是不小的。此间我为转数学系辗转奔波过，比如咨询教务处老师、给校长信箱写信以期有一次转专业考核的机会。转专业政策是只看原专业的排名，或有省级以上的竞赛证书等的证明，因此所有努力是徒劳的。在朋友的劝慰下我走出了这段晦暗的时期，继续踏上那条前路似无光的寻书之旅。奇迹的是，我此后竟未被生活击倒过。 后来在阅读了潘承洞先生的《阶的估计基础》后，我发现更喜欢的是一直在被偏废的渐近分析。我是足够幸运的，因为我能比一些朋友更早知道自己的兴趣爱好；我也应该省思，因为这一过程耗费了本应绽放的青春。 大三下、大四上开始为考研准备，但择校成为了最大的问题。我的兴趣尚算广泛，准确来说很偏(渐近分析、特殊函数、解析数论)，含解析数论方向的学校大多考研难度大，而含前两者的学校几乎没有，所以备选的学校很少。在一番衡量后我选择解析数论方向，正当满心欢喜地备考时，专业课来了。在大一到大三上，我们都在学习专业基础课，大三下开始才学习真正的专业课。这对我来说，无疑是极大的考验。 当我全部通过以后，迷茫期的代价姗姗来迟——机械制图与机械设计是对我而言最难的两门课，它们需要重修，此时距考研初试只有一月余。经过一番思想斗争，我决定放弃考研，并竭我所能通过它们，最终如愿以偿。 等毕业后，也就是去年，我全身心地投入考研，现在已被志愿高校拟录取。不太恰当地说，“细思皆幸矣，下此便翛然”。当然，不取“老”之意。 学习历程皆陈于此，接下来我想聊聊网络数学竞赛。 在我看来，网络数学竞赛应是一场盛筵，智者得以提升，慧者得以洞悉，而平庸者如我得以开阔眼界、培养文献检索能力以及与更多人交流。 谈谈我的经验吧！起初我在各种习题书中寻找偏难怪的题目，但转念一想，网络竞赛不是要选拔人才，也不是真正的竞赛，而是出题人与答题者互相学习交流的一次绝佳的机会。于是我转向寻找趣味性、普适性的问题。为熊赛和八一杯提供的是难题，自然无人答出，此后我多次反思，决定降低难度、仍保持普适趣味性但架构纸老虎——能用简单知识解决的难题，这一次又给八一杯献上两题，后来发现每题都有人给出正确解答，甚至给出了新解法。 我编写过《阶的估计基础》习题解答，此过程可谓“大胆假设，小心求证”。想我所敢想，但也向诸多朋友、学长请教，以保证解答的严谨性。 网络上数学的小圈子里常称彼此为“数学人”。那么，究竟怎样才算一个合格的“数学人”呢？在我看来，这与“数学”和“人”密不可分。我们不仅仅需要“数学品位”和“数学钻研”，更需要向人请教和适当的人际交往。 请允许我讲一些关于学习的粗浅的见解： 全文如下： 我们谴责疯狂、非正义以及威胁人类生存不可逆转的战争。虽然我们的损失和数百万乌克兰人民的损失和他们正在遭受的苦难无法相提并论，但我们也痛心的看到我们多年以来的全部梦想和全部努力毁于一旦。我们努力的目标和现在正在发生的可怕事件以及相应的责任渐行渐远。不过，环顾我们已经破碎的梦想，我们依然感到我们背负了一笔巨额的债务，在我们这代人的有生之年都无法偿还。 德米特里·贝利亚耶夫(牛津大学教授) 安德烈·奥昆科夫(莫斯科大学教授，2006年菲尔兹奖得主) 茱莉亚·佩夫佐娃(华盛顿大学教授) 斯坦尼斯拉夫·斯米尔诺夫(圣彼得堡大学教授，2010年菲尔兹奖得主) ——编者注：各个教授的身份为小编补充 国际数学联盟(IMU)执行委员会决定如下： 2、参加线上举办的国际数学家大会免费。 3、国际数学联盟全体大会(GeneralAssembly,GA)将在俄罗斯之外的地方线下举办。 4、联盟全体大会之后一天，在相同会场举行颁奖典礼，颁发国际数学联盟2022年度的奖项。 5、国际数学家大会和国际数学联盟全体大会的日期不变。 6、我们将进一步补充关于这两个活动更多的实用信息。 18届国际数学联盟全体大会决定把2022年国际数学家大会举办权授予俄罗斯圣彼得堡。为了大会的成功举办，俄罗斯的同事在抗击全球疫情的大背景下，为准备大会做出了令人钦佩的奉献。我们对这些工作表示衷心感谢。在此之前的7月份，在圣彼得堡已经举行了一次全体大会的会议。 国际数学家大会是聚集全世界数学家的会议，其地位不可或缺。它抛开政治和文化差异，讨论数学。国际数学联盟全体大会是国际数学联盟的最高会议。在这个会议上，每隔四年会做出包括换届选举和预算在内的重要决议。 但是，最近俄乌局势发生剧烈变化。俄罗斯的行动受到世界范围的谴责，已经不可能在俄罗斯举办线下活动。实际上，联合国秘书长在2022年2月23日就呼吁：“出于人道，不要让这场战争在欧洲爆发，这可能是本世纪初以来最严重的战争。”这一呼吁并没得到重视。 我们，国际数学家大会执行委员会，对局势进行了深入分析。我们强烈谴责俄罗斯的行动，并对乌克兰的同行和人民致以最深切的同情。 就国际数学联盟全体大会而言，面对面的会议非常重要。然而，由于不能在圣彼得堡会面，我们的全体大会将在俄罗斯以外举办。 国际数学联盟执行委员会，2022年2月26日，于柏林 2022年国际数学界最大盛会必然是定于7月在俄罗斯举行的国际数学家大会(ICM)，世界上最优秀的数学家届时汇聚一堂，参加这个四年一度的数学交流活动。另外，大会最重要的一个议程莫过于颁发菲尔兹奖的新得主，这个奖项被誉为数学界最高奖项之一。 然而，俄罗斯和乌克兰两国局势的剧变，让这个大会的举办充满了变数。 美国数学学会(AMS)领导团队对当前的乌克兰局势及其对计划于俄罗斯圣彼得堡的2022年国际数学家大会(ICM)的影响感到担忧。国际交流活动对数学的健康发展至关重要。国际数学家大会也是支持和庆祝这些发展的不可替代的契机，但当前局势并不支持。美国数学会没有计划参加在圣彼得堡举行的会议。我们也敦促国际数学联盟不要在2022年7月在俄罗斯举办国际数学家大会。 AMS-NSF-Simons-ICM旅行资助项目(为参加国际数学家大会的师生提供交通补助的项目——哆嗒数学网编者注)已暂停。已经通过申请的人士将收到来自美国数学学会的进一步通知。 美国数学学会是一个由全球30000名个人和570家研究机构组成的专业协会，致力于推进数学研究和学术交流，并通过提供学术出版、学术会议、宣传活动、求职服务等方式联系全球数学界。 主办方的ICM2022官网，目前没有受到俄乌局势影响。 愿世界和平！ 根据教育部官网2月14日消息，《关于公布第二轮“双一流”建设高校及建设学科名单的通知》发布，我们哆嗒数学网小编最关心的是数学学科建设名单。 如果把北京大学、清华大学计算在内，本轮名单共有15所高校的数学学科被列入“双一流”建设学科名单，比第一轮名单数量上增加1所。其中湘潭大学和南方科技大学是新被列入名单的高校。而首轮被列入名单的东北师范大学的数学学科被撤销。 下面是“双一流”建设数学学科的完全名单（以学校代码为序） 北京大学(自主确定建设学科并自行公布)清华大学(自主确定建设学科并自行公布)北京师范大学首都师范大学南开大学吉林大学复旦大学上海交通大学中国科学技术大学山东大学湘潭大学(新)中南大学中山大学四川大学南方科技大学(新) 给予公开警示（含撤销）的首轮建设学科名单： 东北师范大学：数学学科予以撤销，根据学科建设情况调整为“教育学” 沃尔夫数学奖被视为数学界最重要的三大奖项之一，大多数时候为每年颁发一次。2021年沃尔夫数学奖空缺，没有颁发。著名华人数学家陈省身、丘成桐分别在1983年和2010年获得该奖。 这几天总有人cue我们哆嗒数学网的小编关于一则新闻的看法，这是中科大官网在其首页发布的一篇新闻稿，标题叫《中国科大首次实验排除实数形式的标准量子力学》，大意是说中科大的潘建伟、潘建伟、陆朝阳等人与国外研究机构合作，“排除以实数形式描述标准量子力学的可能性”。 确立“客观实在”是非常烧脑且困难的问题。哲学史上发生过这样的讨论，如何确立一个东西是客观实在呢？你得有一个标准吧，先给一个实在的定义吧。于是有人说，我要是能实实在在看见某件东西，那东西就是客观实在的。于是有人反驳，如果你闭上双眼，什么也看不见，这世界上就没有客观实在的东西吗。于是又有人说，我看不见，别人能看见也行，也算客观实在。于是，有人继续反驳，海洋深处有一条所有人没见过的鱼，在渔夫没打捞上来的时候，没人见过，那么这条鱼是被打捞上来的时候，才成为实在的吗？于是，他们又有了新的解决方案，把“上帝”请了出来，上帝他能看见的就是实在…… 数学哲学中，也有一个很烧脑的问题。数学本身是宇宙中的客观的实在，还是说它只是人类大脑中的造物。或者说数学是发明还是发现。很多人如果没有深入思考过这个问题，会脱口而出，当然是发现，1、2、3……，三直线、角形、圆形都摆在那里，实实在在的，我们只是用我们的符号表述了它。但进一步想，真正直线存在吗？直线上的无穷多个点，真的是客观存在的吗？或者说，这种数学中关于无穷的表述，是一种关于实在的表述吗？《几何原本》中，那种无法分割，没有大小的点，人类真发现过？如此这般，数学到底是发明还是发现，你是不是开始动摇了。 还有一种关于这个问题更烧脑的引申：如果遥远一个行星上有一种智慧生物，但和人类不一样的是他们是类似“虫族”像蜜蜂的生物群体。有蜂后、蜂王、工蜂之类的天然差别，他们分工不同，能有能力输出智力成果只有蜂王，其他工蜂提供蜂王思考的所需，然后集体产出智力成果。那么，这种生物研究出来的数学，和人类是否一样？——如果你之前认同的是数学是大脑的造物，那么这里不同结构大脑产生的数学，就可能是不同的。如果的确是一种对实在的发现，那么这里的两种数学应该相同。 上面的问题真不是在杠，的确是一些严肃的哲学或者数学哲学中的问题。因为问题复杂，一些数学哲学家甚至认为数学既是发明，也是发现，需要具体问题具体分析。 而得到问题答案不是最重要的。讨论哲学里的问题，大多时候，目标不是为了得到一个确信的答案，而在于思考和讲道理的过程，在这样的过程中能得到思考方式、证明方式才是真正重要的收获。人类历史中，从思考宇宙是什么开始，我们在讨论过程中知道了首先看清宇宙，要看清宇宙我们就要有看清的工具，于是有了望远镜，还有了各种宇宙探测器。 回到这里的主题。你现在知道要证明“确立复数的客观实在性”是多么困难的问题了吧。 我们的总结如下: 一、如果你坚持全部数学都是人脑中的造物，那么你无论怎么样的物理实验都无法确立它。 二、如果你认为数学是一种客观实在，需要用实验确立这种实在性。这种实验也许能提供一个视角。但是，在量子力学出现之前，复数已经出现在了其他学科中被冠以了各种物理意义。不能说，只有标准量子力学的实验结果才能确立它。 所以，我们认为，这个表述多少有点夸张了。 Ourresultsdisprovethereal-numberdescriptionofnatureandestablishtheindispensableroleofcomplexnumberinthequantummechanics 我们的结果证否了关于自然的实数描述，确立了复数在量子力学中不可或缺的作用。 之后修改成了： Ourresultsdisprovethereal-numberformulationandestablishtheindispensableroleofcomplexnumbersinthestandardquantumtheory 我们的结果证否了关于实数的公式，确立了复数在标准量子理论中不可或缺的作用。 无论如何，也没有哪一句，有中科大新闻稿中那句话那么夸张。 2022年，世界国际数学家大会(ICM)将在俄罗斯的圣彼得堡召开。大会的组委会早些时候公布了本届大会的特邀报告人，并采访了其中来自俄罗斯的数学家。 叶夫根尼·费金(EvgenyFeigin)，物理和数学科学博士，俄罗斯高等经济学院数学系教授，同时也是俄罗斯斯科尔科沃科学技术研究院教授。本次大会受邀作45分钟报告。这个访谈有意思的在于，我们可以窥见俄罗斯基础数学人才的培养轨迹。 ——你是如何进入数学领域的？ 从8年级开始，我就在莫斯科第57中学数理班学习。我们有很多数学内容在学，各种门类，而且非常严肃。我的数学生涯从这个时候就开始了。进入大学的前一年，我上了一个数学数学夜校。一方面是处于兴趣，另一方面也是进入大学的学前准备。从某种意义来说，我真正的数学学术工作从那时开始。 当我从中学毕业后，我同时进入了莫斯科国立大学和莫斯科独立大学学习(独立大学这里提供五年制的学习，但不授予学士和硕士学位)。在校期间，我非常清楚第一年该做什么。我想学习更多的新东西，我要不断地给自己的学习加码。这几学期，独立大学让这些成为可能。强力的老师，有趣的课程，稍不注意成绩就会考不好，等等。我在那儿选了很多有难度的课程。可以说，独立大学可以看成一个入门学校，有一些学生只在独立大学一所学校学习，但这样的学生很少。总的来说，独立大学被看成是一种提供额外学习的学校。 我重这两所大学毕业后，我进入研究生的学习。答辩后，我得到了一份的德国科隆大学的博士后职位，在那边待了一年。 ——同时学习两所大学的课程是不是会很难？ 独立大学不是一个常规的教育机构。这里没有全日制的培养，是专门的额外补充教育。这里的课程的老师都是非常强的数学家。一个不太为人知的情况是，高等经济学院的数学系是十多年前由有独立大学的骨干教授团队决定设立的。我这一代做数学的人很多都有独立大学的背景。 ——作为一个数学家，你现在在做什么 简而言之，我在做可在代数几何、数学物理和组合学中的应用的表示论。宏观来说，表示论是一种通过变换来研究对象的方式。这些对象可能是几何图形、代数结构或者离散对象。通过观察内部结构，你可以描述你感兴趣的对象。我最喜欢的就是表示论有着大量应用。这再一次证实，数学不是被分割成独立的部分，而是一个大而统一的整体。表示论很好的说明了这一点，它很自然的出现在数学和物理的不同领域中。 ——你怎么进入这个方向的？ 从学生时代我就开始学表示论了，表示论的涉及的范围很广，你可以在学表示论的同时学习概率论、代数几何、量子场论、凸几何或组合学。 ——你准备在国际数学家大会的做哪方面的报告？ 在这次大会上，我将讲一下我在半单李代数的有限维表示的工作进展。简单的说，这种方法基于利用Poincaré-Birkhoff-Witt定理对表示进行阿贝尔化的思想。在这种方法的框架下，有可能获得关于代数、几何和组合性质的经典对象的许多结果，以及发现与箭图和凸几何表示论数学分支的意想不到的联系。我就准备谈谈这些。 ——对于国际数学家大会，你怎么看？ 实际上，我从来没有去过国际数学家大会。这是一个盛大的活动，大量数学家从世界各地汇聚到此。当然，国际数学家大会是一个科学学术活动，但是它也带来了巨大的社会效应和和普及效应。国际数学家大会向世人展示了数学的浩瀚如烟。学者们一般在一起都是开小议题的学术会议，他们讨论某个方向框架下的狭窄议题。国际数学家大会在具体的学术交流上可能效率不高，但是国际数学家大会有巨大的社会影响力。 ——你为什么会受邀成为国际数学家大会的报告人？是因为某项具体的工作吗？ ——对一个数学家来说，最重要的素质是什么？ 最重要的事情就是让数学变得有趣。数学家应该被新思想带来的快乐、研究中的美妙事物所驱动前进。数学科学应该是“燃”起来的，思考它的时候是非常好玩的。 2021年12月，2022年国际数学家大会(ICM)组委会在其官方网站宣布，启动了该届大会志愿者的招募程序。招聘需求和流程都能在ICM官网找到。 2022年国际数学家大会定于2022年7月6日至14日在俄罗斯的圣彼得堡举办。新一届的菲尔兹奖届时也会在大会上公布。菲尔兹奖有着“数学届的诺贝尔奖”的称谓，被认为是数学领域的最高奖项之一(部分人认为“之一”两字可以去掉)。 志愿者被要求必须年满18周岁，并有熟练使用俄语和英语与人交流的能力。如果你能熟练使用其他语言，诸如中文、西班牙语、法语、德语等，这些语言能力能成为你的加分项。同时组委会也希望，申请人热爱数学，遵守志愿者计划规程，并有出色团队合作能力。 组委会宣传成为ICM志愿者是一个独一无二的自我提升机会和个人经历，他们总结的成为的志愿者好处。 成为志愿者的好处： 能参加一个四年一度的世界上最重要的数学盛会 加入国际数学届 交到新朋友 英语的具体实践以及了解其他语言 这是一个可以得到就读大学认可的社会实践活动 提高专业技能、沟通技巧以及其他能力的提升 收到大会的礼品和专属纪念品 享受一次数学盛宴，难忘的经历 参加签名会 参加大会志愿者的散伙饭派对 志愿者大礼包括以下内容： 国际数学家大会专属志愿者服装 专业培训 免费住宿 免费餐食 免费交通 参与证书 健康保险 申请截至日期：2022年3月1日 功能区和班次安排：2022年4月 培训：2022年6月 证件和制服发放：2022年6月 翻译，math001，哆嗒数学网翻译组成员 本文原载于ICM2022官网 前苏联数学家的柯尔莫哥洛夫是现代概率论的创立者之一。另外，柯尔莫哥洛夫还对拓扑学、几何学、数理逻辑、经典力学、湍流理论、算法复杂性理论、信息论、函数论、三角级数理论、测度论、函数逼近论、集合论、微分方程理论、动力系统理论、泛函分析诸多领域有所涉猎。他的成果对现代数学产生了深远影响。 初入数学 1903年4月25日柯尔莫哥洛夫出生于坦波夫。他的父亲是一名农艺师，而他的母亲玛丽亚·柯尔莫哥洛娃却因难产而死。这位未来的数学家实际上是被他母亲的姐妹们带大的，其中薇拉·柯尔莫哥洛娃是他的法定收养人。姐妹们为当地的孩子经营了一所学校，学校还办了一本叫做《春燕》的杂志。孩子们在《春燕》上发表自己创作，有诗歌、绘画还有各种小故事。柯尔莫哥洛夫的第一个数学”成果”也在这个杂志上发表：他发现前几个奇数之和一定是完全平方数，比如1+3+5=32。 1910年，柯尔莫哥洛夫和他的姨妈搬到莫斯科，以便柯尔莫哥洛夫能进入一所预科学校学习。他们选择了私立的雷普曼预科学校。这是一所拥有一流教师的教育机构，这个机构采用了一系列当时看来比较独特的教学方法(一些方法现在看来也很独特)。比如，男女不分班，老师不给学生打分数，如果学生对某学科有兴趣，学生可以跨班到高中班学习。 1920年，柯尔莫哥洛夫进入莫斯科大学数学系学习。起初，柯尔莫哥洛夫感兴趣的是俄国史，而且研究非常深入。他利用15、16世纪抄书吏留下的材料对下诺夫哥罗德的土地问题进行研究。前苏联历史界的领军人物亚宁这样回忆柯尔莫哥洛夫退出历史研究的原因：“柯尔莫哥洛夫多次说过他不再搞历史的情况。当他在讨论班上对他的研究作报告的时候，讨论班的主持人巴赫鲁申教授非常认可报告的成果，但是他说柯尔莫哥洛夫的结果并不完全可靠。因为，在历史学里，每个结论都需要多个证据的证明来确定。说到这，他总是说：‘我之所以决定投身科学领域，因为那里只需要一条证明就能得到最终结论。’”就这样，历史学界永远失去了一位学术天才，而数学界却多了一位巨星。 柯尔莫哥洛夫这样描述他进入数学研究的情况。“在决定进入严肃的科学领域之前，我当然要力争向最好的数学家学习。我非常幸运，我能和乌里松、亚历山大洛夫、斯特潘诺夫一起学数学，另外鲁津是我学习过程中最主要的的老师。” 在莫斯科大学学习期间，柯尔莫哥洛夫经历了严重的经济困难，但是数学方面的成功大大弥补了他生活上的不方便。奖学金不足以能完全应付日常开销。“我通过一年级考试的头一个月，作为一个二年级的学生，我可以得到每月16千克面包和1千克黄油的配给。对于那个年代，这是一个丰盈的物质保障。我为自己置办了衣物，还自己亲手做了自己穿的木鞋。” 初露锋芒 1922年，柯尔莫哥洛夫因为构造了一个傅里叶级数处处不收敛的可积函数而闻名世界。每个可积函数可以表示为无限个正余弦曲线之和——即傅里叶级数。取出这个无限和的前面部分，并计算部分和可以得到一个序列，这个序列可以收敛于一个确定的数。19岁的大学生柯尔莫哥洛夫给出一个不成立的反例，震惊当时的数学界。 1924年，这位数学家开始研究概率论和大数定律。大数定律是描述大量重复实验结果表现的一个理论。他证明了大数定律的一个版本(柯尔莫哥洛夫强大数定律)，独立同分布的随机变量变量适用于大数定律的充要条件是每个随机变量期望存在。柯尔莫哥洛夫是在和另外一位前苏联概率论顶级专家辛钦进行长期和卓有成效的合作后，得到这个成果的。 一般认为，柯尔莫哥洛夫对概率论方面有一项影响重大的工作，他给与了概率论以现代视角。他对概率论提出了一个公理化方案，这项方案至今被绝大多数领域内专家接受。 1931年，柯尔莫哥洛夫被推举为莫斯科大学教授，1935年到1939年期间，他担任该校数学力学研究所所长。1933年他提出了一种非参数检验的方法，这个方法今天称为柯尔莫哥洛夫-斯米洛夫检验(K-S检验)。此方法可用于样本和参考概率分布的验证比对。 军事研究 二战期间，所有的研究都为军事服务，柯尔莫哥洛夫研究了炮火的最佳散布策略(人工散布)。战后，他重返了和平的研究。1930年代后期，柯尔莫哥洛夫一直对湍流问题感兴趣，他在1941、1942年和1962年的著作中对此进行了研究。他发展了“局部各向同性湍流”理论，这些研究有助于进一步描述湍流的结构。1946年，这位数学家在苏联科学院地球物理研究所建立了大气湍流实验室。 1953年，柯尔莫哥洛夫提出“算法”的一种新定义。这个定义的特别之处是，问题本身和问题的解都以某种一维拓扑复形的形式表示，算法过程的每个阶段都是将一个复形处理成另一个复形（通过特定的规则）。 改革家 1960年代，苏联领导人决定对数学教育和教学体系改革，因为当时的数学课程教给学生的知识过于陈旧，最新的数学成果完全没有涉及。柯尔莫哥洛夫在这些改革中发挥了非常重要的作用。在他的领导下，新的课程和教材被开发出来，并陆续再版。 1976年，柯尔莫哥洛夫在莫斯科大学力学数学系建立了数理逻辑部。1980年，柯尔莫哥洛夫担任该部主任直到1987年逝世。纵观柯尔莫哥洛夫一生，他获得了大量奖项和荣誉，得到了广泛认可，这些认可远远超出了数学界。 前身为上海交大的世界大学学术排名的“软科世界大学学术排名”10月25日公布了“2021中国最好学科排名”，包括96个一级学科，其中也包括了数学学科排名。 中国最好学科排名的指标体系由人才培养、科研项目、成果获奖、学术论文、学术人才5个指标类别组成，下设17个指标维度，包括50余项测量指标。由于部分指标在不同学科门类的适用性和重要性存在差别，因此中国最好学科排名在不同学科采用差异化的指标体系。中国最好学科排名首先在各个指标维度的层面计算每所高校的得分，令该指标维度表现最好的高校为该维度的最高分（例如50、100、200），其它高校按其与最高值的比例得分，一所高校的总得分由各指标维度得分加和得出。 有138所高校进入数学排名，比去年增加4所。前10名的高校几乎没有变化，四川大学从12名上升3位到第9名，而东南大学被挤出前十。北京大学依然是第一名，复旦大学和清华大学分列第二、三名。第四到第十名分别是：山东大学、中山大学、浙江大学、中国科学技术大学、西安交通大学、四川大学、上海交通大学。 以下哆嗒数学网的小编奉上全部排名： 每年下半年，《美国新闻和世界报导》都会公布年度大学排名，也就是常说的每年的USNEWS排名。近日，USNEWS公布了2022全球最佳大学排名已经公布。该排名还针对数学学科有分类排名，我们哆嗒数学网小编当然最关心数学排名啦。 从全球的数学排名来看，排名前三名都被美国高校占据。第一是美国的麻省理工学院，第二斯坦福大学，第三名是普林斯顿大学，当然第三名有并列情况，同是第三名的还有法国的索邦大学。第五到第十名分别是、剑桥大学(英国)、加州大学伯克利分校(美国)、哈佛大学(美国)、巴黎大学(法国)、牛津大学(英国)、苏黎世联邦理工学院（瑞士）。前10名的高校较去年没有变化，只是做了位次上的调整。 亚洲方面，占据这个区域前10名的有6所中国高校。第一名是中国内地的复旦大学。同样来自中国内地的北京大学和电子科技大学分列二、三名。第四到第十名分别是：沙特国王大学(沙特)、上海交通大学(中国内地)、东南大学(中国内地)、新加坡国立大学(新加坡)、阿米喀布尔理工大学(伊朗)、浙江师范大学(中国内地)、伊斯兰阿扎德大学(伊朗) 而中国榜单方面，共有52所中国高校进入数学学科的排名。其中内地高校46所、香港高校6所。台湾和澳门均无高校进入数学学科的榜单。前三名是复旦大学、北京大学、电子科技大学。第四到第十名分别是：上海交通大学、东南大学、浙江师范大学、中国科技大学、清华大学、南开大学、香港中文大学。去年排名中国第一的曲阜师范大学今年没有出现在榜单中。 以下奉上全部中国高校排名列表 根据10月6日美国数学会（AMS）官网发布的消息。2022年美国数学会李理论谢瓦莱奖（ChevalleyPrizeinLieTheory）授予香港中文大学数学系卓敏讲座教授何旭华，以表彰他在李理论至少三个方向上取得的重大进展，包括p进数群的赫克代数的余中心，仿射德利涅-卢斯蒂格簇，半单群的模表示论等方面的研究。 何旭华教授于1996年以30分的成绩获得第37届国际数学奥林匹克竞赛(IMO)金牌，这项赛事的满分为42分，当年金牌分数线为28分。之后，何进入北京大学数学科学学院学习，于2001年获学士学位。本科毕业于后赴美国麻省理工学院攻读博士学位，师从著名数学家师治·卢斯蒂格，2005年获博士学位。曾在香港科技大学、美国马里兰大学任教。现为香港中文大学数学系卓敏讲座教授。他的研究方向是算术几何，代数群和表示理论。曾获2013年晨兴数学奖、2020年科学探索奖，并曾受邀在2018年国际数学家大会上作45分钟报告。 谢瓦莱奖于2014年由乔治·卢斯蒂格设立，以纪念布尔巴基学派创始成员、著名数学家谢瓦莱（ClaudeChevalley，1909—1984）。该奖每两年颁发一次，授予李理论（包括李群和李代数）方向过去六年中的重大成果，获奖人须获得博士学位不满25年。 偶然在网上看到一个问题表述是这样的： 设S是一个由解析函数为元素构成的集合，对每个固定的复数z，集合{f(z):f∈S}都是可数集。 问题是：S这个集合是否一定是可数集合。 为了消除大家所看书本的歧义，这里说明一下，本文的可数包括了有限和无穷可列的情况。 本以为这个问题是某本分析教材上的小练习，结果我翻阅了一些资料后发现，问题的答案很有趣，是让人吃惊的那种有趣。 问题的答案是，你认为S一定可数，那么就是说你不承认连续统假设。反过来，如果你认为S不一定可数，那么你就承认了连续统假设。 也就是说，这个问题的YES等价于连续统假设不成立。 因为连续统假设在ZFC中不可判定，这意味着，这样的S是否可数，在数学界最广泛承认的公理体系ZFC中不可判定。 要证明这件事情，不需要用到过于高深的数学知识，只要对复变函数和集合论的一些基础知识就可以。这些知识包括： 1、知道无穷序数和基数的概念(因为显示希伯来字母会有莫名其妙的问题，这里我们用aleph代替这个字母)。尤其知道可数基数aleph_0，最小的不可数基数aleph_1，以及实数基数c的概念和基本性质。 这里强调一下，网上一些人，甚至一些科普书籍中，都不假思索的把aleph_1当成实数的基数。这是不符合通常习惯的，aleph_1当成实数基数只有一种可能，就是连续统假设成立。而实数的基数一般用c表示。少数情况下，我也见过用不带下标的aleph表示。但如果要用aleph_1表示实数基数，一定要强调是承认了连续统假设，这时候c=aleph_1。如果不承认就是c>aleph_1。 2、知道复变里的解析延拓定理的内容。只需要知道，不要求清楚证明的细节。 3、知道选择公理以及它的变种良序原理。我们经常用良序原理来进行超限归纳。而且我们很多时候提到选择公理的时候，不区分用的是它的原始版本还是良序原理版本。 我们开始我们的证明了，先看连续统假设不成立，即c>aleph_1情况。 这种情况比较简单。不妨假设S中函数的个数只有aleph_1个，如若不然，就取一个相同基数的子集。 对于S中不同的两个解析函数f,g,做集合S(f,g)={z:f(z)=g(z)}，那么S(f,g)是可数集合。这是因为，如果这个集合不可数，那么S(f,g)在复平面上上必有聚点。那么根据解析延拓定理，f和g是相同的解析函数。 那么，把f,g跑遍S中所有的不同函数对，∪S(f,g)这个并起来的集合就是aleph_1个可数集的并，所以只有aleph_1个元素。因为c>aleph_1，而复数有c个。这样必然有一个复数w不在∪S(f,g)里。这意味着，S中的函数在z=w处，取值都互不相同。就是说{f(w):f∈S}的基数是aleph_1，不可数。不能满足设定需要达到的条件。 再看续统假设成立，即c=aleph_1情况。 这里，我们就要使用超限归纳法了。我们要用这个办法构造出有个aleph_1个解析函数的集合，满足题设的条件。 我们取Q为实部和虚部都是有理数的复数组成的集合。这个集合是可数而且稠密的。 根据选择公理，我们用序数给所有复数一个编号，让第α个复数为z_α。因为复数只有aleph_1个，所有α只需要取遍可数序数就可以，因为可数序数的个数正好aleph_1。 这意味着对于一个复数z_α，下标比α小的复数只有可数多个。 我们试图构造“一列”解析函数f_α，其中下标α也跑遍所有可数序数。注意，这里“一列”标上的引号，表示它并不是通常意义的数列。这列函数满足对于这样的条件：如果β≥α，那么函数f_β(z_α)∈Q。这样对于任意一个固定的复数z_α，所有的函数值被分成两部分，β≥α的部分，因为函数值都在Q中，这些值只能由可数多个。而β<α的部分，因为可数序数的性质，也只能产生可数个函数值。这样能保证这样的“一列”解析函数满足设定的条件。 说明一下，下面的所有希腊字幕的下标，都是可数序数。 初始值的f_0定义为零函数吧，并不太重要。 然后，假设对于所有的β<α中的f_β已经定义好，现在来定义f_α。因为α是可数序数，所以有可数个函数f_β，另外把下标小于α的复数z_β也提出来，也是可数个。 因为f_β和z_β分别都有可数个，所以我们分别重新排成函数列和数列。f_β重排成函数列g_n，z_β重排成数列w_n。 然后，按如下模式，我们再递归的定义一列函数p_n，过程如下 p_0(z)=s_0,其中s_0∈Q，但s_0≠g_0(w_0),这很容易办到，因为Q中无限个元素。 p_(n+1)(z)=p_n(z)+a_n*(z-w_0)(z-w_2)...(z-w_n) 这里需要适当的设定a_n的值，让其满足a_n趋于零的速度足够快，保证p_n的内闭一致收敛性，另外p_n(w_n)也不能等于g_n(w_n)。这两点都可以利用在原点附近设定了一个关于n的一个合适无穷小来设定，因为每次添加都是添加了一个多项式，只要保证a_n这个因子能让系数足够小就可以了。于是，对于a_n我们还能有无穷多个选项备选，使之满足这两个条件。在这无穷多个备选项中，我们还需要再选精细一点，还要保证p_n(w_n)∈Q，这个可以通过Q的稠密性，并解一个一元一次方程满足。 这样，p_n将一致收敛的于一个解析函数，这个函数就是要定义的f_α，注意这个时候f_α(w_n)=p_n(w_n)=p_(n+1)(w_n)=...=p_(n+k)(w_n)。 而且，这个定义的f_α满足如果β≥α，那么函数f_β(z_α)∈Q（为什么？留作习题吧~~）。 于是完成全部证明。 2021年5月26日，2021年度软科世界一流学科排名公布。数学学科排名方面，来自法国的巴黎萨克雷大学排名第一，美国的普林斯顿大学屈排名第二，法国的索邦大学排名第三。前三名与去年没有变化。第四到十名分别为：剑桥大学(英国)、牛津大学(英国)、斯坦福大学(美国)、麻省理工学院(美国)、纽约大学(美国)、苏黎世联邦理工学院(瑞士)、德克萨斯大学奥斯汀分校(美国)。前五名大学中，美国仅有一所，这个种情况在这个排名中，是及其罕见的。不过前十总体格局还是美国优势占据其中五所，法国、英国分别占据两所，瑞士一所。 亚洲方面，有五所亚洲高校排名前50，加上6个并列的51-75排名的6所，亚洲排名前十的有11所高校。日本的京都大学排名第一，总排名23名。以色列的耶路撒冷希伯来大学排名第二，总排名第24。同样来自以色列的特拉维夫大学排名亚洲第三，总排名第37。来自中国的北京大学、复旦大学分列亚洲第四、第五，总排名分别是第41、第47。值得注意的是，前十名大学中，没有来自中国香港的大学，而去年还有两所. 中国高校有101所大学进入榜单，数量上较于去年下降1所。在中国的高校的排名中，排名第一的是北京大学，世界排名第41名。第二名是复旦大学，世界排名第47名。清华大学、中国科学技术大学位列51-75名次区间，香港城市大学、上海交通、中山大学、武汉大学位列76-100名次区间。这些学校组成了中国的数学八强。最后，哆嗒数学网下面再次为你奉上所有中国高校的排名。 2021年5月11日，著名的大学排名机构泰晤士高等教育再次更新了2021中国评级。这个评级按照中国教育部的学科划分，以及类似的评级模式，对世界范围内的大学进行了一番“学科评级”。所以，在泰晤士排名的官方网站上，把这个评级命名为“中国学科评级”。 该评级把对应学科进行评级，分为A+,A，A-,B+,B,B-,C+,C,C-共9个等级。参评学校的评分的前11.11%会被评为A+，而下一个11.11%的分段获得A，以此类推。 评分因素参考五大指标，分别是：教学（学习环境），研究（发表量、收入和声誉），引用（研究影响力），国际视野（国际教师、学生和国际合著）和行业收入（知识转移）。 数学学科方面，我们哆嗒数学网的小编整理了该学科评级。共有100所中国高校进入榜单。值得注意的是，去年该机构把山东大学只被评为B，而今年山东大学评级是A-。 另外，从世界范围来看，数学学科共有122所大学被评为A+。其中美国共有42所大学被评为A+，遥遥领先于其他国家。接下来是中国的12所，内地7所，香港5所。排在第三的是英国的11所。 然而，尽管“高等数学”和“纯英文”吸引了足够多的眼球。但转发各路小编们还是低估了这位卖鸡蛋的大爷。视频中这位老师看的根本不是《高等数学》，而是看的一本物理学的专业教材。从拍摄到的目录来看，目录中的“布里渊区”、“费米面”、“维格纳-赛茨法”等，应该是固体物理的内容。 经过我们哆嗒数学网的群友的s取证。这位物理老师看的是由美国物理学家基泰尔（CharlesKittel）写著的《固体物理导论》，英文名字叫IntroductiontoSolidStatePhysics，是物理专业的经典教材之一。下图目录中的内容一样，但排版不一样，应该是版本不同。 化学工业出版社也有这本书的翻译版本。这本书应该比一般的《高等数学》教材难得多，毕竟《高等数学》这门课只是理工科大学生在大学一年级上的入门课程。 作者：Math001 《数论导引》是英国顶级数学家Hardy的名著，英文原名叫做AnIntroductiontotheTheoryofNumbers直译一般应该是《数论导引》。但是，为了销售上的考虑，图灵出版社翻译这本书的时候，将书名定成了《哈代数论》，当当有售，现在巨贵。如此名著中既然这样写了，我们就要认真考证一下，到底怎么回事。 第一反应是不是翻译成中文后，阴差阳错出现了搬运错误。上面中文版的截图是该书的第6版，于是我也找到英文版的第6版来对比。结果，不出我所料，英文版和中文版的内容果然对不上。出乎我意料的是，中英对照的差异——比我原想的大的多。 首先，英文版中列出了两行实数，分别列出了哪些是已经被证明了是无理数的数，哪些还没有被证明是无理数的数。两行数，每行4个数，共8个。而中文版中对应的两行数变成每行3个数，共6个。然而，数的个数还不是最大的差异。在已经被证明了是无理数的那一行中，中文版里列入了eπ，而英文版里并没有eπ，而是另外两个数。而还没有证明是无理数的那一行，英文版里本来有e+π，但是中文版里把这个数去掉了。 ——遗憾的是，e+π以及eπ这两个数的是否是无理数，到目前为止，依旧是未解之谜，人类中没人知道。这些问题涉及数学里的一个研究分支，叫做超越数论。 超越数论里有个非常重要的猜想，叫做沙努尔猜想。如果这个猜想成立，那么很多数的无理性以及超越性都能得到证明，包括e+π和eπ。 在介绍这个猜想之前，首先要介绍一下在有理数数域上线性相(无)关和代数相(无)关的概念。 沙努尔猜想说：如果n个复数x1,x2,...,xn在有理数域上线性无关，那么这2n个复数中x1,x2,...,xn,e^x1,e^x2,...,e^xn至少能找到n个复数有理数域上代数无关。（其中e^x表示e的x次方） 知道了沙努尔猜想，我们就可以在假设这个猜想成立的情况，证明e+π和eπ都时无理数（实际上能证明都是超越数）。 1和πi显然在理数域上线性无关，所以1、πi、e、-1这4个数中，能找到2个代数无关。（注意e^πi=-1） 如若不然存在非零二元有理系数多项式f(x,y)满足f(e,π)=0。那么令g(x,y)=f(x,iy)·f(x,-iy)，这是一个非零有理系数多项式。而g(e,πi)=0,与πi和e代数无关矛盾。 那么e+π不可能是有理数。如若不然，e+π=q是有理数，则令f(x,y)=x+y-q,f(e,π)=0,矛盾。同样的方式，也可证明eπ不可能是有理数。 好了，我想科普的内容就是这个沙努尔而猜想。如果读者你能有幸解决他，得几个数学界的大奖是没问题的。甚至如果你没满40岁的话，冲击一下数学界的最高奖菲尔兹奖也是有机会的。 如果，你能证明eπ、e+π是无理数的话，拿个数学的博士学位应该没问题吧。 米歇尔·奥丁说出了我的心声：“尽管数学家几乎不知道索菲娅·科瓦列夫斯卡娅的作品，但他们都看过她的肖像。”我曾经在索菲娅·科瓦列夫斯卡娅的纪念活动中，去帮助女孩子们，让她们对学数学产生兴趣。我知道科瓦列夫斯卡娅是一位开创性的女数学家，但是我对她的生活和工作的细节却是一无所知。 当我偶然发现奥丁的《纪念索菲娅·科瓦列夫斯卡娅》(RememberingSofyaKovalevskaya)一书时（2008年以法语出版，2011年以英语出版），我决定是时候纠正这种状况了。这本书不是一本普通的数学家传记。正如奥丁在引言中所写，这本书不是一本历史书，它也不是一本数学书或者一本小说。这是一个不拘一格的、独特的作品，它不屑于一个简单的标签。当你读的时候把你的期望放在一边。用《MarceltheShell》里一句智慧的话来说，“真的，你只要搭个便车就行了。” 1850年，科瓦列夫斯卡娅在莫斯科出生。1868年，她步入了一场交易性的婚姻，因此她离开了俄罗斯，最终跟随柏林大学著名的数学家卡尔·魏尔斯特拉斯学习数学。因为柏林大学不招收女学生，所以卡尔·魏尔斯特拉斯私下里教她。1874年，她在缺席的情况下获得了哥廷根大学的博士学位。拿到学位后，几年内她没有找到工作，并且生下了女儿。最后，在米塔-列夫勒的努力帮助下，科瓦列夫斯卡娅在斯德哥尔摩找到了一份私人教师的工作（一个学术级别低于教授的职位）。1888年，她获得了一项殊荣，这使她有可能在斯德哥尔摩获得教授的永久职位。不幸的是，在那不久之后她就死了。她精通多种语言，无论是俄语、波兰语、法语、德语、英语还是瑞典语。除了数学事业外，她还会写小说和戏剧。 科瓦列夫斯卡娅在广泛的分析领域研究了几个问题。她的博士论文包括三篇关于三个不同主题的论文，任何一篇都足以独立获得学位。它们涵盖了偏微分方程、阿贝尔函数和土星环的形状。她晚年最重要的工作是研究像陀螺一样的旋转（也就是说，在一个点保持固定的情况下的转动）。欧拉和拉格朗日解出了两种最简单的“陀螺”，科瓦列夫斯卡娅发现了另一种可以被分析的“陀螺”。正是这部作品为她赢得了1888年的勃丁奖。奥丁通过科瓦列夫斯卡娅的“陀螺”与科瓦列夫斯卡娅邂逅，并在涉及科瓦列夫斯卡娅关于这个问题的工作的章节中深入到了数学的核心细节。 尽管科瓦列夫斯卡娅取得了成功，但她确实遇到了困难，她的声誉也因此经历了起起伏伏。其中造成声誉受损的原因，有一些是因为在她死后，她的一篇论文被发现有一个致命的错误，这是一个不幸的情况，即使是有成就的，细心的研究人员偶尔也会遇到这种情况；有一些是由于人们对妇女的角色和行为的偏见。 在读这本书的时候，我碰巧重读了弗朗西斯·苏的《人类繁荣的数学》，这是他在一月份作为即将退休的美国数学协会主席发表的演讲。在演讲稿中，他引用哲学家西蒙娜·韦伊（数学家安德烈·韦伊的妹妹）的话“每一个人都在为了被不同地解读而发出无声的呼喊”并对此进行了反思。 例如，奥丁的书中包括了摘录自卡尔·魏尔斯特拉斯的另一位学生卡尔·龙格的一封信： 星期六我们在她的公寓举行了一次非常有趣的聚会。聚会由科瓦列夫斯卡娅太太和四位年轻的数学家组成，我们像往常一样交谈。她大约30岁，面容娇嫩，她很体贴，还有点悲伤（距离弗拉基米尔（科瓦列夫斯卡娅的丈夫）自杀已经有两个月了），她微笑时相当迷人。对我来说，和一位女士谈论数学并能完全自由地畅谈是很奇怪的。她对这方面的问题很了解。我知道这一点，尤其是当她就着我的工作，提出了很有价值的问题的时候。在这之前，我曾想象过她可能是个鼻子尖锐，长相古板，戴着眼镜的人，但我惊奇地发现，科学教育竟能与如此完美的女性气质相提并论[原文如此] 正如奥丁费尽心力所观察到的，龙格对科瓦列夫斯卡娅是一位优秀的数学家和一位有魅力的女性的惊讶表明，“这种刻板印象可以存在于物种之前。”一次又一次地阅读回忆，我觉得科瓦列夫斯卡娅正被其他人的观念和信念所掩埋。 科瓦列夫斯卡娅和两位数学界的早期女性苏菲·姬曼、艾米·诺特一样，都是英年早逝。当她在热那亚和斯德哥尔摩之间旅行时感染肺炎时，年仅41岁。关于那个故事，奥丁写道： 在丹麦，又是一个寒冷的冬天，天空飘着雨雪。火车站台上有风，渡轮上也有风，风从一个地方呼呼地一路吹到另一个地方。在这种情况下，当然，当索菲娅到达斯德哥尔摩时，她病了。一开始病情并不明显，因为她在2月6日（星期五）教这学期的第一节课，然后她去参加了天文台的一个聚会，因为发烧，她提前离开了，之后，她还乘错了公共汽车，那时候的天气非常寒冷……之后，她变得更糟了，就上床睡觉了。周一，她看起来似乎好多了，她和米塔格·莱夫勒谈论了她对欧拉方程的看法……但是她的病已经转变成了肺炎，那时是在19世纪，比发现青霉素的时候早了40年……即使你是41岁的杰出科学家，即使你有很多科学、个人和文学方面的计划，你还是死在了肺炎的手上。正如索菲娅所说，正如她生病前写给朋友的信中所说，即使你很快乐，你也会死，就像那时的索菲娅一样，然后，就是索菲娅所做的那样，她最终死于肺炎。 奥丁独特的表达使《怀念索菲娅·科瓦列夫斯卡娅》成为一本引人入胜的、感人的书。它不是传统传记的替代品，但对于任何有兴趣从另一个角度看待科瓦列夫斯卡娅的人来说，它是一本引人入胜的读物。 数学学科排名方面，美国院校依然霸榜，占据前十名中的六个席位。另外英国占据两席，瑞士占据一席。本次排名中，来自亚洲新加坡的新加坡国立大学挤进前十，排在第九位。第一到第十分别是：麻省理工学院(美国)、斯坦福大学(美国)、哈佛大学大学(美国)、剑桥大学(英国)、牛津大学(英国)、加州大学伯克利分校(美国)、普林斯顿大学(美国)、苏黎世联邦理工学院(瑞士)、新加坡国立大学(新加坡)、加州大学洛杉矶分校(美国)。 亚洲方面的前十排名中，来自中国的高校占据了其中6个，其中4个来自内地，2个来自香港。来除了总排名第9的新加坡国立大学排在亚洲第一外。其余第二到第十名分别为：清华大学(中国内地，18名)、北京大学(中国内地，19名)、东京大学(日本，并列24名)、南洋理工大学(新加坡，31名)、香港科技大学(中国香港，36名)、香港中文大学(中国香港，37名)、上海交通大学(中国内地，44名)、复旦大学大学(中国内地，并列45名)、京都大学(日本，并列45名)。 中国高校共有49所大学进入榜单。其中内地高校36所，香港高校和台湾高校各6所，澳门高校1所。在中国的高校的排名中，排名第一的是清华大学，世界排名第18名。北京大学和香港科技大学分列第二和第三位。哆嗒数学网下面再为你奉上所有中国高校的排名。 作者：KevinHartnett，《量子》杂志记者 翻译，TonyLee，哆嗒数学网翻译组成员。 随机性似乎使得数学命题的证明更困难。但实际上，经常会让事情更容易。 在数学家可用的所有工具当中，随机性似乎没什么用处。数学具有逻辑性和严谨性，它主要的目标是在浩瀚的对象“海洋”中寻找秩序和结构。正是因为数学世界不是随机的，整个数学宏伟目标才有可能实现。 事实证明，随机性在很多方面对数学有帮助。 抽象概念可以引导一些在科学和数学中有潜力的想法。下面与我们一起来看看吧。 如果一个问题不太可能直接解决，那么人们可能用间接的方式尝试间接解决。例如，如果您在考虑某一类型的对象的存在性，你可以这样思考:随机选择其中一个对象，则选中一个具备所需性质的对象的可能性要大于0。这种“概率方法”是数学家保罗·埃尔德什（PaulErds）开创的。 随机性也可以用来寻找非随机的固定路径。最近关于网格上棋盘式图案的证明就是这种情况。研究人员对一种叫做渗流模型的过程感兴趣。在这个过程中，您想知道如果仅在一种颜色的点上移动，那么观察点在什么条件下可以从网格的一侧移动到另一侧。 当你根据确定性的规则——沿着规则网格的严格确定的线——绘制这样的路径时，路径中后续的每一步都被之前的每一步所约束。对于一个复杂的网格，此要求是一个负担。这类似于俄罗斯方块拼图中的前几块比较容易放置，您可以把它们放在任何您想放的地方，但之后方块的放置就难很多，因为它们必须符合您已经放置的所有方块。 然而，当您的路径随机进行时，您不必担心您过去走过的每一步。从某种意义上说，每一步都像第一步一样自由：只要掷硬币决定下一步去哪里。 数学家试图利用这个事实。用一种叫做被称为KPZ公式的推导关系，将随机网格的结果转换为确定性的结果，反之亦然。“在这样的理论下，这意味着你可以随意在确定环境下计算或者在随机环境下计算”，布兰迪斯大学数学家、论文合著者奥利维耶·伯纳迪如是说道。这一新的工作与以前（更难证明的）关于在规则网格上渗流的结果是一致的，这也使KPZ公式得到了验证。 如果一个数学问题比较简单，那数学家可能不需要使用随机性。但对数学家而言，大多数重要的数学问题都很难直接回答了。“这可能是显而易见的，但我还是重申一下，在大多数情况下，对于数学或理论物理方面的问题，如果不借助一些工具，直接回答是不可能的”。纽约大学数学家保罗·布尔加德（PaulBourgade）如是说道。“我们只是没有解决问题的工具”。在某些情况下，随机性使事情变得更松散，足以问题的解决成为可能。 作者：ThomasM.Antonsen等 翻译，独行者，哆嗒数学网翻译组成员。 的洛伦兹分布情况下，SCN的宏观状态将由一个单一复数变量 来表示，我们由此得到如下公式： 其中复变量z的极角表示的是SCN的总体全局视神经上核相位。因此我们的假设将一个N维系统简化为这种单一，一致性的复数常微分方程，以使我们能够快速遍历每一个变量空间，并能对动态系统有更深刻的理解。 尽管假说仍然需要对等式1所表示的宏观状态行为进行研究，这种假说仍然旧展示了这种降低维度能力的作用，不仅仅对等式1有效，还对非常多的情况有作用。这些场景包括，在伦敦千禧桥上的人行横道上人致振动、约瑟夫森结电路、鸟鸣的模型建立和脉冲耦合神经元网络构建。这个模型还可加入更多额外的动态特征，例如某一个视神经上核对另一个的延时影响，不同网络拓扑、空间耦合和反馈控制模型的效果。 正如图像一所示，该模型是一个性质相异的动态空间，它拥有三个变量体系。我们认为一个正常人的昼夜节律是与外部24小时周期相协调的，在z相位空间中是有一个对应的固定点（在图1a和1b中的一个黑点）。图1c所示的状态是一个人的昼夜周期节律与外部24小时周期是不同步的。该图表明这个人的昼夜相位和外部刺激的相位变化曲线最终形成了一个封闭曲线，在z相位上组成一个周期性轨道。图1a和图1b的动态关系之间其实也有差别；通过鞍结分岔过程处理，除了对应的固定点，图1b还有两个另外的固定点，一个不稳定（显示成未闭合的圆）和一个鞍结（表示成一个交点）。鞍结的不稳定特性就形成了一个环，而且z相位可以通过两个相反的方向到达固定点。 在动态系统应用的SIAM会议上（DS17），爱德华·奥特将会出席朱桢·摩斯尔名为“大型多个联动的昼夜调节器的应急行为”的讲座。该讲座将于今年五月在犹他州雪鸟市举行。他同时会组织并在“使用备用电脑来学习动态系统”的系列讲座上发表讲话，而米歇尔·吉瓦将会在“对称性、非对称性和网络同步”的系列讲座上发表演讲。 作者：EricaKlarreich，《量子》杂志记者 翻译，Erica，哆嗒数学网翻译组成员。 在他28岁的时候，彼得·舒尔茨(PeterScholze)正在揭开数论与几何之间深刻联系的神秘面纱。 在2010年，一个令人震惊的传闻在数论界传开并传到了韦恩斯坦(JaredWeinstein)的耳中。传言，德国波恩大学的某个研究生发表了一篇论文，仅用了37页就重写了“Harris-Taylor”，这个高深莫测的定理本来用了228页的一本小书的篇幅来证明的。然而，这个22岁的研究生发现了一种法涉及到数论和几何之间的广泛联系方法，回避了证明中最复杂部分。 “一个这么年轻的人做出了如此革命性的成果，这实在是太惊艳了，”波士顿大学34岁的数论学家韦恩斯坦如是说。“这实在是让人敬佩。” 波恩大学的数学家们早已意识到他超凡的数学思维，他们也在仅仅两年后就任命舒尔茨为正式的教授。在他发表了这篇关于Harris-Taylor的论文后，整个数论和几何领域的专家们也开始注意到了舒尔茨. 一类被他称之为“状似完备空间(perfectoidspace)”的“分形”结构，作为舒尔茨的关键革新虽然问世才几年，但是它已经在算术几何，一个数论和几何的交叉领域，产生了深远的影响。Weinstein认为，舒尔茨的工作具有一种预判的功能，“他甚至能在工作还没开始之前，就能看清它的后续步骤是什么”。 许多数学工作者对于舒尔茨的反应是“一种威望、恐怖和激动的结合体”，和舒尔茨共同撰写了多篇论文的密歇根大学的数学家巴特(BhargavBhatt)这样评价。 这种反应的产生并不是因为他的个性，恰恰相反他的同事们一致描述他是平易近人的。舒尔茨在波恩大学的同事赫尔曼(EugenHellmann)说：“他从来不会让你觉得他是如何高高在上的。” 实际上，这是因为他那令人难以置信的深入研究数学现象本质的能力。不同于多数数学家，他通常不是从一个想解决的特定问题入手，而是从他自己想要明白的一些难以理解的概念开始。但那之后，他所创造的那些结构“在成千上万个其他方向上都有从未被预见到的应用，只是因为它们正是应该去考虑的正确对象”，与舒尔茨合作过的普林斯顿大学数论学家卡拉亚尼(AnaCaraiani)这样说。 学习算术 在他14岁的时候，舒尔茨开始自学大学数学，当时他就读于海因里希·赫兹中学，这是柏林的一所专精于数学和科学的精英高中。舒尔茨说，在这所高中，“只要你对数学感兴趣，你就不会无法融入其中”。 在16岁时舒尔茨了解到在十年前怀尔斯(AndrewWiles)证明了最著名的17世纪数学难题，也就是费马大定理。这个定理说明，如果n大于2,那么方程x^n+y^n=z^n不存在全部非零的正整数解。舒尔茨如饥似渴地想要学习它的证明，但他迅速发现尽管问题描述起来很简单，解决它需要用到一些最前沿的数学。他说：“我当时什么都不懂，但它实在是令我着迷。” 因此舒尔茨退而寻求他需要学习什么才能理解费马大定理的证明。“直到现在，这仍然很大程度上是我学习的方式，”他说，“实际上我从未真正学习过线性代数之类的基础知识，我只是在学习其他东西的时候将它搞懂了。” 当舒尔茨钻研这个证明时，他被证明涉及的数学对象所吸引：被称为模形式和椭圆曲线的结构，这些结构神奇地统一了数论、代数、几何和分析这些不同的领域。他表示阅读涉及的这些对象的理论比问题本身更加有趣。 舒尔茨的数学品味逐渐成型。如今，他仍然被那些求解简单方程整数解的问题所吸引。这些具体的整数解让更加深奥的数学结构在他面前都变得具体。“说到底，我对算术感兴趣。”他说如果发现当他抽象的构造能带来关于整数的一些小发现时，他会感到无法言语的开心。 在高中之后，舒尔茨在波恩大学继续追求着他对数论和几何的这种兴趣。他的同学赫尔曼回忆到，舒尔茨在他的数学课上从来不记笔记。舒尔茨可以迅速理解课程的材料，“不仅仅是表层的理解，而且是某种意义上很深度的真正理解，这样他也不会遗忘。” 舒尔茨开始了在算术几何领域的科研生涯，这个领域使用几何工具来研究多项式方程的整数解,例如xy2+3y=5这种方程的整数解。对于这种类型的一些方程，研究它们在被称为p进数(p-adicnumber)的数域中的解有着丰硕成果。p进数和实数一样是通过填补整数和有理数之间的间隙构造的（通常称其为完备化），但是关于“这些间隙之中什么样的数是彼此接近”的的概念和通常理解不同：在p进数当中，两个数的差是小的并不能说明它们是接近的，实际上只有它们之间的差可以被p整除足够多次，它们才被认为是接近的。 这是一个奇怪的判断依据，但它是有用的。以3进数为例，它提供了一种自然的方式去研究形如x2=3y2的方程，因为在其中有着3这样一个关键的因子。 舒尔茨说，p进数“和我们的通常感觉差别很大”。但是这些年来它们对他来说变得很自然。“如今我认为实数比p进数要难以捉摸得多。我和p进数相处得太久了，以至于现在实数对于我来说显得非常陌生。” 数学家们在1970年代注意到，如果通过构造一个以p进数为底且每一层环绕下面一层p次的无穷的数系的塔来扩张p进数，许多关于p进数的问题会变得更加容易。在这个无穷的塔的“顶部”的数域是一个“分形”的对象，这也是舒尔茨之后发展的状似完备空间理论的最简单的例子。 舒尔茨给他自己布置了这样一个任务：理清为什么这种无穷环绕的构造能使如此多的有关p进数和多项式的问题变得简单。“我尝试理解这种现象的内核，”他说，“但是并没有能解释它的一般性理论。” 他最终意识到，给很多种数学结构构造出状似完备空间是可行的。他证明了这些状似完备空间能够将关于多项式的问题从p进数的世界转移到一个不同的数学世界，在其中算术变得更加简单（例如，在做加法时不需要进位）。“状似完备空间最怪异的性质是它们可以在两个数域间魔术般地移动。”韦恩斯坦说。 舒尔茨“准确找到了正确且最简洁的方法来整合前人的全部工作，对这些工作他给出了一个优雅的刻画。随后，就因为他发现的是真真切切的正确框架，他又做出远超已知结论的成果。”赫尔曼说。 俯瞰丛林 尽管状似完备空间的理论极其复杂，但舒尔茨的讲座和论文以清晰而闻名。韦恩斯坦称：“在舒尔茨向我解释前，我什么也不理解。” 卡拉亚尼说，每当舒尔茨阐述他的想法，总是想方设法降低难度，试图让那些研究生新生水平人能够理解。“在他的想法中有一种开放和包容的感觉，”她说，“并且他不仅仅和部分资深专家交流想法，实际上一大批的年轻人都有机会与其接触。”卡拉亚尼认为舒尔茨友好且平易近人的举止使得他成为该领域的理想领袖。她提到有一次当她和舒尔茨在与一群数学家进行艰难的“远足”时，他是那个四处奔跑来确保每个人都能跟上的人。 尽管有了舒尔茨的解释，状似完备空间对于其他学者而言仍然是难以驾驭的，赫尔曼说：“如果你离他描绘的道路偏离了一点，那你就会发现自己处于如同丛林中央一般的困境。”但他认为舒尔茨本人“永远不会在丛林中迷失，因为他从未打算在丛林里纠缠。他总是在为了某种清晰明了的概念而寻找俯瞰整个丛林的视角。” 舒尔茨通过强迫自己飞过丛林里的藤蔓来避免被它们所困：就像他大学时一样，他喜欢不写下任何东西来工作。那样他就必须用最清晰的方法来阐明他的想法，他说：“你的大脑只有有限的能力，因此不能在其中做太过复杂的事。” 当其他数学家正开始尝试理解状似完备空间时，舒尔茨和他的合作者已经毫不意外的利用它做出最深刻的发现了。在2013年，他在网上贴出的一个结果“着实让学界震惊”，韦恩斯坦说，“我们都没有意识到这样一个定理即将诞生。” 舒尔茨的结果扩大了互反律的适用范围。互反律用“时钟的算术”（这个时钟不一定是12小时制的）来处理多项式的性质。“时钟的算术”（例如对于有12个小时的时钟，5+8=1）是数学中最自然且被广泛研究的有限数系。 互反律是有着200年历史的二次互反律的推广，而二次互反律是数论的奠基石，也是舒尔茨本人最喜欢的定理之一。这条定律陈述了给定两个素数p和q，在大多数情况下，p在有q个小时的时钟上是一个完全平方数当且仅当q是在有p个小时的时钟上的完全平方数。例如，因为5=16=42，5在有11小时的时钟上是平方数，而由于11=1=12，11在有5小时的时钟上也是平方数。 “我认为这令人震惊，”舒尔茨说，“从表面看来这两者似乎毫无关联。” “你可以把很多的现代代数数论解释为是对推广这一定律的尝试。”韦恩斯坦说。 20世纪中叶，数学家们发现了互反律和似乎完全不同的主题之间的惊人联系：研究诸如埃舍尔(M.C.Escher)著名的“天使与恶魔”的“双曲”几何。这一联系是“朗兰兹纲领”的核心部分，这一纲领是一些揭示数论、几何与分析之间关系的定理与猜想的合集。如果这些猜想能够被证明，我们通常能得到具有强大威力的工具。比如费马大定理的证明能够被归结于解决朗兰兹纲领的一个小部分（看出这个联系也很难）。 数学家们逐渐意识到朗兰兹纲领已经远远超出了双曲圆盘：它也可以在高维的双曲空间和其他情况下的簇中被研究。如今舒尔茨展示了如何把朗兰兹纲领延伸到“双曲三维空间”（一种双曲圆盘的三维类比）中的很多结构。通过构造一个状似完备空间版本的双曲三维空间，舒尔茨发现了一系列全新的互反律。 “舒尔茨的工作完全地改变了我们对能做到的和可能做到的事的看法。”卡拉亚尼说。 韦恩斯坦称舒尔茨的成果表明朗兰兹纲领“比我们所想象的还要深刻...它更加系统化，它无所不包”。 极速前进 和舒尔茨讨论数学就如同寻求一条“先知的预言”，韦恩斯坦认为。“如果他说：“是，这可以。”那么你可以对它抱有信心；反之你则应该立刻放弃；如果他说他不知道——他确实也有不知道的时候——那么你很幸运，因为你手中有了一个有趣的问题。” 卡拉尼亚说，与舒尔茨的合作并不是像预想中一样压抑的经历。当她与舒尔茨合作时，从来没有一丝紧迫感，她说：“感觉就像我们总是走在正确的路上——用最好的方法证明了我们能得到的最一般性的定理，总是正确地做出了关键的构造。” 但他一点也不倾向于把这种激情浪漫化。当被问起是否有感觉自己注定要成为一个数学家时，他表示反对。“那听起来太哲学了”，他说。 从私人角度来说，他日渐增长的名气（例如，三月时他成为德国著名的莱布尼兹奖的最年轻得主，该奖项授予250万欧元的研究经费）让他有些许不适。“有时这有些让我不知所措，”舒尔茨说：“我试图让我的日常生活不被它影响。” 舒尔茨继续探索状似完备空间，但他也涉足其他有关代数拓扑的数学领域，该领域运用代数来研究几何。“在过去的一年半中，舒尔茨已经完全成为了这一学科的大师，”巴特称，“他改变了这一领域的思考方式。” 但是对舒尔茨而言，他到目前为止的工作只是热身。“我仍然处于试图了解“那里有什么”的阶段，有一天也许我会用自己的语言来重新描述它们。”他说，“我觉得我并没有真正地开始研究这一领域。” 根据腾讯科技网站消息，2020年“科学探索奖”颁奖仪式在11月14日北京举行。50位获奖人经过层层选拔，最终从1200余名申报人中脱颖而出，每位获奖人由腾讯基金会资助的300万元人民币奖金，此300万奖金会在未来五年内以每年60万的额度发至获奖者，并且由获奖者完全自由支配。 何旭华，研究方向为代数方向，为2018年国际数学家大会45分钟报告人。火箭理由是：“肯定他对德利涅-卢斯蒂格簇的研究进展，支持他在表示论和算术代数几何方向努力攻坚”。 郁昱，研究方向为密码学方向，获奖理由为”肯定他在伪随机性和抗泄漏密码等可证明密码理论方面的成绩，支持他在基于编码和格问题的后量子密码领域进行探索“。 “腾讯会长期保持对‘科学探索奖’的投入，助力国家基础研究的长远发展。我们也希望同更多的人一起努力，让科学成为时尚，让创新成为年轻一代的追求。”马化腾表示。 据美国数学会（AMS）官方网站消息，2021年度科尔代数学奖（ColePrizeinAlgebra）颁给许晨阳教授，以表彰他在代数领域取得的最新杰出成果：许晨阳与合作者们一起发展了K-稳定法诺簇模空间的代数理论，并且用K-稳定性实现了研究极小模型纲领中奇点的一个全新途径。 科尔代数奖每三年颁发一次，以奖励在过去六年中出现的著名代数研究。该奖项和科尔数论奖设立于1928年，被认为是数学中代数分支领域最高奖项之一。也是其他更为著名奖项——比如菲尔兹奖、阿贝尔奖——的前哨奖之一。 许晨阳教授在北京大学完成本科学业，在普林斯顿大学完成研究生学业。后在麻省理工学院担任博士后职位。他于2012年入职北京大学国际数学研究中心，2013年晋升为该中心教授。2018年，他加入麻省理工学院，2020年成为普林斯顿大学教授。也是从2018年开始，许晨阳教授在包括数学领域最顶级期刊AnnalsofMath在内的诸多顶级期刊上发表了多篇论文，此次科尔代数学奖特别奖励其中的5篇论文。 许晨阳教授的主要研究领域是高维代数簇的双有理几何学，按美国数学会官网介绍，他喜欢探索这门学科与其他领域的联系。 根据中国科学技术大学科研部网站消息。中国数学家，中国科大几何与物理研究中心创始主任陈秀雄教授与王兵教授成功证明了“哈密尔顿-田”(Hamilton-Tianconjecture)和“偏零阶估计”（PartialC^0-conjecture)这两个国际数学界20多年悬而未决的核心猜想。日前，国际顶级数学期刊《微分几何学杂志》（Journalofdifferentialgeometry）发表了这一成果，论文篇幅超过120页，从写作到发表历时11年。 在闻名于微分几何界的西蒙斯几何物理中心网站，大家可以找到王兵教授的学术演讲视频，大多也和里奇流有关。 最后，祝贺中科大，祝贺陈秀雄教授和王兵教授。向每一位十年、甚至几十年甘坐冷板凳的基础数学家们致敬。 作者：MarianneFreiberger，+Plus记者 翻译，清风掠旷野，哆嗒数学网翻译组成员。 在最近一次的“科幻、科学”活动的投票中，有人想要了解这个问题，于是我们邀请了FrancescaVidotto和GeorgeEllis来为大家解答这些问题。 空间就是你站在的地方 空间就是一个舞台，物理的大戏不断在其中上演。如果你手上正好有一部手机，你可以很容易地借助手机内置的GPS装置确定你在空间中的位置，当然，是以地球的位置作为参考的坐标。当你开始移动的时候，对应的坐标的变化就刻画出了你的行动轨迹。空间和身处空间这个舞台中的物体无关。它不在乎你，或者其他任何在它之中的物体如何变化。即使所有的物体都消失，空间仍然存在。 以上是我们在学校学习到的空间的样子——一个刚性的盒子，万事万物都被包含在这个盒子里——并且，很难想像除此之外还有其他的空间的样子。这个观点在牛顿1687年出版《自然哲学的数学原理》之后占据了主导地位。牛顿在书中写道：绝对的、真实的、数学上的空间始终保持着一种不变和静止的状态，它与一切外在事物无关。 牛顿没有宣称他能够证明物理上的空间真的如上所述。“他意识到，他的陈述只是一个假说”，荷兰奈梅亨大学的理论物理学家FrancescaVidotto这样说，“但这个假说是这样强大，以至于我们可以据此建造桥梁，甚至探索外太空。”牛顿关于空间的假说如此强大，它强大到足以覆盖几个世纪以来关于这种抽象的、独立于物理实体之外的虚空是否真的存在的哲学争论的价值。 GPS卫星。如果它与地球，以及其他所有的一切都消失，空间还存在吗？（图片由NASA提供） 手指之间的空间 有一套数学体系牛顿的假设发展而来的，它是建造桥梁、制造飞船的基础知识。它基于一个和我们的直觉相符合的认识：空间是连续的。理论上，我们可以将空间任意放大，并且不会出现它分解为一块块最小像素之类的情况。 “把你的手指分开10厘米”，南非开普敦大学的宇宙学家和数学家GeorgeEllis解释道，“如果你相信你两跟手指之间有一条由点构成的连续的线，那就意味着你相信，在你的两根手指之间存在不可数无限多的点。那是完全不合理的。我认为那只能是一个数学上的想法，而不应该在现实世界中成立。” 空间扭曲 当超大质量的物质集中到一个非常小的空间区域（当超大质量的恒星向自身内部坍缩时候才会发生），时空变得非常弯曲，以至于形成了黑洞。黑洞对物质的引力非常非常地大，同时时空的弯曲程度又非常高，以至于没有任何物质可以从它周围逃逸，哪怕光也不能。这意味着外界无法看到黑洞内部的样子。我们也无法进入黑洞而后再出来，向周围人讲述所见所闻。不论黑洞之中发生什么，外界都无从得知。 粒子和波 20世纪早期物理学的另一个重大发现是量子力学。量子力学描述构成物质的最微小粒子的行为。它的基础是一种违反人类直觉的概念——微小粒子（例如电子）的行为，有时像撞球，有时像波，它们同时具有粒子和波的特性。基于这一概念的最著名的结果是海森堡不确定性原理。假设有一个粒子，我们想要研究它的位置和动量（动量=质量×速度）。不确定性原理表明，如果我们测量的位置越精确，那么相应的动量的误差就越大，反之亦然。如果动量测量越精确，那么位置测量的不确定性就会增加。这不是因为我们不知道粒子在哪里，而是它某种程度上同时出现在许多地方。用Δx表示位置的不确定性，用Δp表示动量的不确定性，海森堡不确定性原理可以表述如下： Δx×Δp≥h/(4π) h=6.60606957×10^(-34)m2kg/s 尽管如此，这个不等式仍然表明，位置和动量不能同时地任意小。 最小的长度尺度 E=mc2 E表示能量，m表示质量，c表示光速。 因此，将一个粒子限制在狭小空间就意味着在这个空间集中了巨大的质量。如果空间R足够小，以至于低于某个临界值，这是探测粒子的质量将变得极其地大，足以形成黑洞，吞噬掉空间R以及所有在它内部的物质。临界长度称为普朗克长度，其数量级为10^(-35)m。这一数值难以想象地小，但它远不是0。所以，根据这个思想实验，所有足够小的空间都把自己隐藏起来了，所以我们什么也看不到。 “这告诉我们，在普朗克尺度下讨论距离和长度是没有意义的。”Vidotto说道。但，那是否表明，我们无法看到任何比普朗克长度小的东西？抑或是不存在比普朗克长度小的东西？“在我看来，这是个最基本的问题”，Vodotto说，“你可以把发现普朗克长度以下的物质视为一项伟大的发现。” 所以，我们可以认为，空间是由许多普朗克长度尺寸的粒子组成的。我们再也无法把空间无限细分。“我认为，我们有理由相信，时空是由不可再分的粒子构成的，”Ellis说道，“把你的手指分开10cm，中间确实有大量的实体粒子，但总不是无限的。” 让我们接受最小长度的理由来自将相对论与量子力学结合起来的朴素尝试。但这一朴素尝试很快陷入困境，因为它给出了矛盾的、荒谬的预测。物理学家目前还没有提出非常成熟的量子引力理论。目前有两个可能正确的理论——弦论和圈量子引力论。“这两个理论都表明存在这一基本尺度，”Vodotto说道，“但也有一些理论框架没有用到基本尺度这一概念。” 那么是否可以通过实验验证呢。“首先，你要知道，那是真的真的真的很小很小很小，”Vidotto解释道，“日常生活的尺度与质子大小尺度的差别，跟质子尺度与普朗克长度尺度的差别是一样大的。那是真的太太太太小了。”探测普朗克长度尺度的物理现象需要的能量超过了人类目前的科技所能达到的极限。 “我认为，假如有一天我们看到了时空不连续的痕迹，那应该是宇宙学领域的进展，”Vidotto说道，“这种不连续有可能在宇宙微波背景辐射（大爆炸辐射的残留）中留下了一些痕迹。从宇宙微波背景辐射中，我们能够提取到早期宇宙的部分信息。现今宇宙的结构，包括恒星、星系、星系群等等的形成都可以追溯到早期宇宙的状态。或许，未来的某一天，我们能够理解早期宇宙的状态是如何直接地导致了量子不连续的结果。” 就算时空本质的粒子属性终有一天会被证实，这也不妨碍我们在日常生活中遵循牛顿的直觉。作为对世界本质的描述，牛顿物理只是近似正确。但这种程度的近似足够完美地解决我们日常生活的时空尺度下的所有问题。正如Vidotto指出的那样，“一个优秀的物理学家，总是能够根据适用场景选择适合的物理理论。”