初中数学解答题综合训练50题含完整答案
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一、解答题
1.问题探究
（1）请在图①、图②各作两条直线，使它们将正方形与半。O的面积三等分;
（2）如图③，在矩形ABCZ）中，A8=3,8c=4,请在图③中过顶点A作两条直线，使
它们将矩形A8CO的面积三等分，并说明理由；
问题解决
（3）位于宝鸡市凤翔区的机场将计划于2024年建成通航.如图④，在机场旁边有一块
平行四边形4BCD空地，其中AB=AC=IOO米，BC=120米，根据视觉效果和花期特
点，机场设计部门想在这块空地上种上等面积的三种不同的花，要求从入口点A处修两
条笔直的小路（小路面积忽略不计）方便旅客赏花，两条小路将这块空地的面积三等
分.那么设计部门能否实现自己的想法？若能实现，请通过计算，画图说明；若不能,
图①
2.如图，四边形ABC。是平行四边形，ND4G45。，以线段AC为直径的圆与AB和
AO的延长线分别交于点E和尸.过点8作4c的垂线，垂足为求证：E,H,尸三
点共线.
3.如图，已知△A8C的三个顶点均在格点上，求/8AC的余弦值.
4.已知矩形48C。的边A8=21,BC=T9,r是给定的小于1的正实数.
⑴在矩形ABCO内任意放入114个直径为1的圆.证明：在矩形4BCO内一定还可以
放入一个直径为r的圆，它和这114个圆都没有交点(也不在某个圆的内部)；
⑵在矩形A8C。内任意放入95个单位正方形(边长为1的正方形).证明：在矩形ABCO
内一定还可以放入一个直径为，的圆，它和这95个正方形都没有交点(也不在某个正
方形的内部).
5.将1,2,3,…，16这16个数分成8组(％4)，(《，打)，…，(/，5)，若
22
M-用+…+|q-可=62.求(q-4)+(a2-b2)+--+(ai-b8)的最小值.
必要时可以利用排序不等式(又称排序原理)：设凡4/…《当，其"%…为两
组实数，ZiKZzS.Yz,是yKy2K…K”的任一排列，则
XX,+占LW用4+&Zz+…x"z“ 6.若一个三位数f=人(其中。，4c不全相等且都不为0),重新排列各数位上的数 字必可得到一个最大数和一个最小数，此最大数和最小数的差叫做原数的差数，记为 T(t).例如，357的差数7(357)=753—357=396. (1)7(384)=； ⑵已知一个三位数^(其中的差数丁记)=792,且各数位上的数字之和为 一个完全平方数，求这个三位数： (3)若一个三位数正(其中a,b都不为0)能被4整除，将个位上的数字移到百位得 到一个新数前被4除余1,再将新数个位数字移到百位得到另一个新数丽被4除余 2,则称原数为4的“闺蜜数”.例如：因为612=4x153,261=4x65+1,126=4x31+2, 所以612是4的一个闺蜜数.求所有小于500的4的“闺蜜数常,并求丁)的最大值. 7.一个多位数N(NNIO)乘以11,得到一个新的数，我们把这个新数的首位和末位上的 数字去掉后剩下的数叫做多位数N的“留守数”，如果两个多位数的“留守数”的数字相同 或之和相等，我们称这两个多位数为“挛生数(ID：721x11=231,67x11=737,A21 和67的“留守数”均为3(3=3),所以21和67是“李生数”；再如：:36x11=396, 108x11=1188,，36的留守数是9,108的“留守数”的数字之和为9,9=1+8,所以36 和108是“李生数”. (1)42的“留守数”是_；42与2021_“挛生数”(填“是”或“不是 (2)如果两个两位数M和N是“挛生数”(MNN),其中M=10+)，N=10c+d,且 试卷第2页，共14页 3a+b=l\(a>b)tc+dvlO其中〃，c均为1到9之间的整数，b,d均为。到9之间 的整数，求出所有符合条件的两位数N. 8.【阅读】下列是多项式9-6x+5因式分解的过程： X2-6X+5=X2-6X+9+5-9=(X-3)2-4=(X-3+2)(X-3-2)=(A:-1)(X-5).请利用上 述方法解决下列问题. 【应用】 (1)因式分解：Y+8X-9; (2)若笛>5,试比较/一44-5与0的大小关系； (3)【灵活应用】若/+〃一2a-8〃+17=0,求4+8的值. 9.某商场经营甲、乙两种商品，甲种商品每件进价100元，售价比进价多40%,乙种 商品每件售价160元，售价比进价多 (1)求每件甲种商品的售价和每件乙种商品的进价； (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共100件，花去11120元，求该商场购进乙种商品 多少件？ (3)春节期间，该商场对甲、乙两种商品进行如下优惠活动： ①不超过2000元，不优惠： ②超过2000元且不超过2500元，九折优惠； ③超过2500元，八折优惠. 按照上述优惠条件，忧忧第一天只购买乙种商品一次性付款1760元，第二天只购买甲 种商品一次性付款2016元，那么这两天忧忧在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？ 10.因式分解： (l)2(x2+6x+l)'+5(x2+1)(X24-6X4-1)+2(X2+1)" ⑵丁(尸2)3+月2一刈3+22(%- II.在平面直角坐标系中，抛物线y=3谓-10ar+c分别交x轴于点4、8(4左B右)、 交y轴于点C且O8=OC=6. (1)如图1,求抛物线的解析式； (2)如图2,点P在第一象限对称轴右侧抛物线上，其横坐标为3连接BC,过点尸 作BC的垂线交x轴于点D,连接。，设△BC。的面积为S,求S与，的函数关系式(不 要求写出，的取值范围)； (3)如图3,在(2)的条件下，线段8的垂直平分线交第二象限抛物线于点区连 接E。、EC、ED,且NEOC=45。，点N在第一象限内，连接0MDN〃EC,点、G在 DE上,连接NG,点M在BV上，NM=EG,在NG上截取N〃=NM,连接MH并延长 交CD于点、F,过点H作//KJ_FM交EO于点K,连接尸K,若NFKG=NHKD,GK= 2MM求点G的坐标. 12.已知如图AABC是锐角三隹形，分别以边AB、AC为边向外作△A3。和AACE, △A3。和AACE均为等边三角形，且BE和CO交于点F,连接AF. (1)求证：AACD-AEB； (2)求出NCFE的度数； (3)求证：ZAFB=ZBFC=ZAFC. 13.先阅读后解题. 己知m2+2fn+n2-6n+10=0,求m和m的值. 解：把等式的左边分解因式：(冽2+2〃[+1)+(〃2-6〃+9)=0. 即(7M+1)2+(w-3)2=0. 因为(机+1)2>0,(〃-3)2>0. 所以〃+1=0,n-3=0即m=-I,n=-3. 利用以上解法，解下列问题： (1)已知：/-4%+)N+2y+5=0,求x和y的值. (2)已知。，。，c是的三边长，满足〃2+/=]2a+8b-52且"BC为等腰三角形, 试卷第4页，共14页 求c. 14.人和人之间讲友情，有趣的是，数与数之间也有相类似的关系.若两个不同的自然 数的所有其因数(即除了自身以外的正因数)之和相等，我们称这两个数为“亲和数”.例 如：18的正因数有1、2、3、6、9、18,它的真因数之和为1+2+3+6+9=21；51的 正因数有1、3、17、51,它的真因数之和为1+3+17=21,所以称18和51为“亲和数”.又 如要找8的亲和数，需先找出8的真因数之和为1+2+4=7,而7=1+3+3,所以8的 亲和数为Ix3x3=9,数还可以与动物形象地联系起来，我们称一个两头(首位与末位) 都是1的数为“两头蛇数例如：121、1351等. (1)10的真因数之和为： (2)求证：一个四位的“两头蛇数”而与它去掉两头后得到的两位数的3倍的差，能 被7整除； (3)一个百位上的数为4的五位“两头蛇数”，能被16的“亲和数”整除，若这个五位“两 头蛇数”的千位上的数字小于十位上的数字，求满足条件的五位“两头蛇数 15.先化简，再求值：6ab-{-2b2-2[a2+2a-4(y+ab-2)]-3ia2+2b2')}-4(ab+ —a2-b),其中。、“满足(a+b-3)2+(ab+4)2=0. 4 16.如图，等边△AOA,点C是边AO所在直线上的动点，点。是x轴上的动点，在矩 形COE/中，8=6,DE=6,则。尸的最小值是多少？ 17.解方程组1+二1+"产=34 (x4-2)2+(y+3)2+(x+2)(y+3)=741 18.如图1,直线〃：丫=履与直线〃：相交于点A(4.3),直线〃：y= gx+b与x轴交于点8,点E为线段AB上一动点，过点E作E尸〃)，轴交直线//于点 F,连接BF. (1)求左、力的值； (2)如图2,若点尸坐标为(8,6),NOPE的角平分线交x轴于点M. ①求线段OM的长； ②点N在直线〃的上方，当△OFN和△0尸例全等时，直接写出点N的坐标. 19.如图，已知尺/AABC和RiACDE,ZACB=ZCDE=9(r,RCAB=NCED,4C=8, BC=6,点。在边AB上，射线CE交射线84于点尸. (1)如图，当点尸在边AB上时，联结4E. ①求证：AE//BC； ②若砂=gb,求80的长； (2)设直线AE与直线C。交于点尸，若△尸CE为等腰三角形，求M的长. 20.如图，在中,ZBAC=90°,ZABC=40°f将△ABC绕A点顺时针旋转得 到aAOE,使。点落在BC边上. (1)求NBA。的度数； (2)求证：A、D、B、E四点共圆. 试卷第6页，共14页 E 21.如图，在矩形4BC￡)中，AB=6,AD=S,点E,尸分别是边CO,8c上的动点, 且NAFE=90。 (1)证明：AABFsAFCE； (2)当OE取何值时，NAEO最大. 22.如图，在平面直角坐标系中，4(2,0),8(0,2),。(4,0),0(3,2),P是以AOB 外部第一象限内的一动点，且/8以=135。，则2"+尸。的最小值是多少？ 23.在一次游戏中，魔术师请一个人随意想一个三位数次(a,b,。依次是这个数的 百位、十位、个位数字)，并请这个人算出5个数,bac、力ca、ca%与cba的和N, 把N告诉魔术师，于是魔术师就可以说出这个人所想的数茄？若N=3194,请你当魔 术师，求出该三位数次. 24.如图，在ZkAB。中，AB=AD,以48为直径的圆交A。于点M,交8。于点0,延 长A0至点C,使OC=AO,连结CO,BC. (1)求证：四边形A4CO是菱形； (2)若AM=3,80=45,求cos/OAB. 25.如图，在等腰R/AABC中，ZE4C=90°,ADLBC,垂足为。，点E为AC边上一 点，连接七。并延长至尸，使￡D=H>,以防为底边作等腰心△￡<；〃. (1)如图1,若NA0E=3O。，AE=4,求CE的长； (2)如图2,连接防，OG,点”为防的中点，连接。M,过。作0〃_LAC,垂足 为H,连接AG交。〃于点N,求证：DM=NG； (3)如图3,点K为平面内不与点。重合的任意一点，连接K￡),将KD绕点。顺时针 旋转90。得到K'。，连接KA,KB,直线K&与直线协交于点尸，以为直线8c上一 动点，连接47并在47的右侧作C7)'_L4y且CD=A",连接AC',。为2C边上 一点，CD=3CQ,AB=\2yf2.当取到最小值时，直线CP与直线BC交于 点S,请直接写出△BPS的面积. 26.如图，在AABC中，ZACB=120°,AC=bC=2,点Z)是48边上的一个动点，连 接8,将△BCO绕点C顺时针旋转至“CE,连接OE,求△1￡花面积的最大值. 试卷第8页，共14页 A 27.如图所示，ACA.BC,ADLBD，试证明：A、B、C、。在同一圆上. 28.小明遇到这样一个问题： 如图1,在锐角AABC中，AD,BE,CF分别为AABC的高，求证：AFEACB. 小明是这样思考问题的：如图2,以SC为直径作半圆O。，则点尸，E在上， 4FE+NBCE=180。，所以？A庄ACB. (1)请回答：若NABC=40。，则NAEF的度数是 (2)参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3,在锐角AABC中，AD,BE,CF 分别为AABC的高，求证：NBDF=NCDE. 29.己知，如图，四边形A8co中，ZA=90°,AB=56,8C=8,8=6,AD=5.试 判断点A,B,C,。是否在同一圆上；若在，请证明，并求出该圆的面积；若不在， 请说明理由. 30.直线y=H+攵与％轴交于A,与y轴交于。点，直线的解析式为y=X+Z, k 与x轴交于B. （1）如图1,求点4的横坐标； （2）如图2,。为BC延长线上一点，过。作x轴垂线于点E,连接CE,若CO=C4, 设AACE的面积为S,求S与k的函数关系式； （3）如图3,在（2）的条件下，连接0。交4c于点尸，将△CDF沿CF翻折得到AFCG, 直线尸6交。￡于点K,若3NACE—NCTO=45。，求点K的坐标. 图1图2图3 31.某公司推出一款电子产品，经市场调查发现，该产品的日销售量y（个）与销售单 价X（元/个）之间满足次函数关系.销售单价、口销售量、口销售利润的几组对应值 如表: 销售单价X（元/个）60657()75 日销售量y（个）1801308030 日销售利润卬（元）180019501600750 注：日销售利润=口销售量X（销售单价-成本单价） （1）求y关于x的函数表达式； （2）该产品的成本价是元/个，求日销售利润W的最大值； （3）直接写出单价X满足什么条件时，销售利润不低于1920元. 32.某班期中考试结束后，语文、数学、英语获得90分以上的学生人数分别是22人、 18人、20人，其中语文和数学两科都获得90分以上的学生人数有3人，语文和英语两 科都获得90分以上的学生人数有9人，数学和英语两科都获得90分以上的学生人数有 7人，并且语文、数学、英语三科都没有获得90分以上的学生人数有5人.问这个班 最少有几个学生？最多有几个学生. 33.某年级语文、数学、英语三门课程，期中考试成绩统计如下：至少一门课上90分 的有200人，语文上90分的有122人，数学上90分的有82人，英语上90分的有90 人,语文与数学两科上90分的有48人，数学与英语两科上90分的有28人，英语与语 文两科上90分的有23人，问语文、数学和英语三科都上90分的有几人？ 试卷第10页，共14页 34.从1到100的正整数中能祓3整除或能被5整除的正整数共有多少个？ 35.20人分为2组，每组10人，并且每组选出正、副组长各一人，共有多少种不同的 方法？ 36.(1)6本书分给2个人，每人3本，有多少种不同的分法？ (2)6本书分成2堆，每堆3本，有多少种不同的分法？ (3)6本书分成3堆，每堆的书本数分别是3,2,1,有多少种不同的分法？ (4)6本书分成3堆，每堆2本，有多少种不同的分法？ 37.(1)从10本不同的书中取3本书，分别送给3位朋友，每人恰好一本，共有多少 种不同的方法？ (2)从10本不同的书中任取3本书送给1位朋友，共有多少种不同的方法？ 38.利用123,4,5,6共可组成 (1)多少个数字不重复的三位数？ (2)多少个数字不重复的三位偶数？ (3)多少个数字不重复的4的倍数？ 39.360可以被多少个不同的正整数整除(包括1和360在内)？ 40.在平面直角坐标系中，以原点为中心"为半径的圆的内部共有多少个格点？(格 点指的横坐标和纵坐标都为整数的点) 41.解方程：^3x-5-s[x+2=\. 42.如图，在ZkABC中，D是边BC上一点,且 (1)请判断直线AC是否是。。的切线，并说明理由； ⑵若CD=2,CA=4,求弦AB的长. 43.如图，菱形ABCD,NABC=120。，点E为平面内一点，连接4E. (1)如图I,点七在5c的延长线上，将AE绕点A顺时针旋转60。得AF,连接E尸交AB 延长线于点从若NAM=15。，HF=4,求4E的长； (2)如图2,点石在CA的延长线上，将AE绕点4逆时针旋转60。得4凡点M为CE的 中点，连接BM,证明：FM=￡BM； (3)如图3,将48沿4S翻折得4E(NR4EV120。)，连OE交AS于点S,当OS取得最 大值时，连接了。，若AT=3,AO=6,求70-77的最大值. 44.对于平面直角坐标系直万中的线段AB,给出如下定义：线段AB上所有的点到x轴 的距离的最大值叫线段AA的界值，记作叫人如图，线段A8上所有的点到x轴的最大 距离是3,则线段4B的界值%=3. ⑴若4(-1,-2),B(2,0),线段48的界值叫"=,线段48关于直线丁=2 对称后得到线段CO,线段CO的界值卬⑺为; (2)若七(-1,加)，F(2,机+2),线段所关于直线丁=2对称后得到线段G”： ①当加＜0时，用含血的式子表示 ②当叱;〃=3时，加的值为； ③当34%〃W5时，直接写出/的取值范围. 45.如图1,“8C中，AC=BC=4,N4CB=90。，过点。任作一条直线8,将线段 BC沿直线C。翻折得线段CE,直线AE交直线CD于点凡直线BE交直线CO于G点. 试卷第12页，共14页 (1)小智同学通过思考推得当点E在A8上方时，的角度是不变的，请按小智的思 路帮助小智完成以下推理过程: 9：AC=BC=EC, B、E三点在以C为圆心以4c为半径的圆上， NAEB=N4CB,(填写数量关系) ZAEB=°. ⑵如图2,连接5F,求证A、8、尸、C四点共圆； (3)线段AE最大值为，若取3C的中点M,则线段M尸的最小值为. 46.如果一个整数P能分解成两个两位数的乘积，且这两个两位数各数位上的数字之和 相等，把这样的整数P称为“最美数”，把这样的分解称为“最美分解”. 例如：因为448=32x14,3+2=1+4,所以448是“最美数”； 又例如：因为391=23x17,2+3#1+7,所以391不是“最美数” ⑴判断286(填“是”或“不是”)“最美数”； ⑵若一个，最美数”P进行“最美分解"P=Ax8,证明：A+2B能被3整除； (3)把一个“最美数”P进行“最美分解"，即。=4><8.其中A=10a+3,B=lOc+d, (1<<5,0 方数，求所有满足条件的整数P. 47.已知：数轴上A,8两点表示的有理数为小b,且(a-4与M+2|互为相反数. (1)A,B各表示哪一个有理数？ ⑵点C在数轴上表示的数是c,且与A,8两点的距离和为11,求数c的值. (3)小蚂蚁甲以1个单位长度/秒的速度从点B出发向其左边6个单位长度处的一颗饭粒 爬去，3秒后位于点A的小蚂蚁乙收到它的信号，以2个单位长度/秒的速度也迅速爬向 饭粒，小蚂蚁甲到达后背着饭粒立即返回，与小蚂蚁乙在数轴上。点相遇，则点。表 48.在等边AABC中，。是边AC上一动点，连接8￡),将BO绕点。顺时针旋转120。， 得到。石，连接CE. (1)如图1,当B、A、E三点共线时，连接AE,若A8=2,求CE的长； (2)如图2,取CE的中点尸，连接。尸，猜想AO与。尸存在的数量关系，并证明你 的猜想； (3)如图3,在(2)的条件下，连接BE、M交于G点.若G尸=。尸，请直接写出当凄 BE 的值. 49.已知A-2B=la2-lab,B=-a2-6ab+l. ⑴求A； (2)已知(a+1)2+步2|=0,求A的值. 50.如图，AB=BC,ZABC=/BCE=a,点。是8c上一点，与座相交于点凡 ￡NBFD=a. (1)求证：△BFDsZVAHD； (2)求证：AD=BE\ (3)若点。是BC中点，连接尸C,求证：FC平分NDFE. 试卷第14页，共14页 参考答案： 1.(1)见解析；(2)见解析；(3)设计部门能实现自己想法，理由见解析 【解析】 【分析】 ⑴分别作AD、边的三等分点，再分别过三等分点作直线即可；作圆心角为60。的扇形即 可； (2)首先求得矩形48CO的面积，再根据三等分面积及三角形面积公式，即可求得8P,DQ 的长，即可作出； (3)过A作AF±CD,根据勾股定理可求得AE的长，再根据矩形的面积可求得 A凡再根据三等分面积及三角形面积公式，即可求得BP,OQ的长，即可作出. 【详解】 解：(1)如图: 图② 如图：设过点A的直线分别交BC、CD于P、Q,使直线AP、AQ把矩形面积三等分 图③ SMBP=SXQ=；S矩=4 ix3xP=4,gx4xOQ=4 Q BP=-DQ=2 3f 当3P=余DQ=2时，将矩形面积三等分. （3）设计部门能实现自己想法. 如图：过A作AE_L8C,AFLCD 答案第1页，共79页 图④ \AB=AC BE=-BC=60 2 :.AE=>JAB2-BE2=V1OO2-6O2=80 SmARrn=BCAE=120x80=96(M) SpqABco=CDAF=100xAF=9600 ，A尸=96 设过点A的直线分别交BC,CO于P,Q 使直线AP,4Q把平行四边形ABC。的面积三等分 则S^ABP=S^ADQ=1x9600=3200 .,.gBPAE=goQAF=3200 1^Px80=1x96xDQ=3200 2()0 .-.BP=80,DQ=— OfV) 二.当P8=80m,OQ=茅m直线AP,AQ把平行四边形48co面积三等分. 【点睛】 本题考查了等分面积问题，勾股定理，找到三等分点，画出三等分线是解决本题的关键. 2.见解析 如图：证明尸，A,B,。四点共圆.可得NCBE二NAPC.①，证明C,E,B,〃四点 共圆，可得NC”E=NC8E.②，证明C,”,尸，P四点共圆，可得 由①代换可得NC//E+NCH尸=180。.可得结论； 如图，延长8〃与直线AO相交于点尸，连接C尸. 答案第2页，共79页 因为ND4C=45。，BP1AC, 所以/94=45。. 又NBC4=ZZMC=45。， 所以N6P4=N8C4,于是尸，A.B,C四点共圆. 所以NC8E=NAPC.① 连接CE,由AC为圆直径，得《*90。=/训, 所以C,E,B,”四点共圆， 于是NCHE=NCBE.② 连接CF,由4C为圆直径，得NCFP=90。=NCHP, 所以C,H,尸，尸四点共圆， 于是NAPC=18()。一NCH/L③ 由②，①，③，ZCHE=ZCBE=ZAPC=180°-ZCHF, 所以ZCHE+NCHF=180°. 所以￡,”,产三点共线. 本题考查了圆内接罩边形的判断及性质，难度较大，解题的关键是构造圆内接四边形. 3.运 5 先作辅助线8O_LAC于点D,AE_CB交CB的延长线于点E,然后根据等积法即可求得8。 的长，即可求得相应的角的三角函数值. 答案第3页，共79页 解：作BQ_LAC于点。，作4E_LC8交C8的延长线于点E, 由图可得, BC=2,AE=3,AC=3&,AB==\Ao, BCAEACBD 9：SAABC= .2'3_3丘BD 1— 解得，BD=近， *AD=>JAB2-BD2=J10-2=2收, AD2>/2_2>/5 cosZ.BAC ~ABVio5- 本题考查解直角三角形，解答本题的关键作B￡>_LAC于点。，作AE1CB交C8的延长线于 点、E,构造直角三角形，根据SM8C两种表示法，求出80的长度，进而求解. 4.(1)证明见解析； (2)证明见解析. (1)将矩形48CO的每条边向内缩进g得到矩形AqCA，再把直径为1的小圆缩小为一 点。进行考虑，将原直径为1的圆扩大，即以原圆心为圆心，直径为2作114个新的圆， 计算可得114个新圆的面积和小于矩形。的面积，即可证明在矩形ABC。内一定还可 以放入一个直径为广的圆，它和这114个圆都没有交点(也不在某个圆的内部)； (2)将矩形A3。的每条边向内缩进g得到矩形A用GA，再把直径为1的小圆缩小为一 点。进行考虑，把每个小正方形加框，即在小正方形的每条边的外部和一个长和宽分别为1 和g的矩形，4个角上加上一个直径为1的四分之一圆弧，计算此时95个加框图形的面积 总和小于矩形A4GA的面积，即可证明在矩形A5CO内一定还可以放入一个直径为广的圆, 答案第4页，共79页 它和这95个正方形都没有交点（也不在某个正方形的内部）. （1） 解：将矩形A8C。的每条边向内缩进得到一个长和宽分别为20和18的矩形A4GA（如 图1所示），则矩形4由6。的面积为20x18=360.对矩形ABCO内任意放入的114个直径 为1的圆，分别以这114个圆的圆心为圆心，直径为2作114个新的圆（如图2所示）.因为 这114个新圆的面积和等于114x1x12=114万＜114x3.15=359.1小于矩形的面积. 所以在矩形A4GA内，一定存在一点0,它在这114个新的圆的外部.因为点。到矩形 A8CD每条边的距离都大于且点。到每个旧圆圆心的距离都大于I,所以以点。为圆心, 直径为〃的圆一定在矩形A8CD内，且与矩形内原有的114个直径为1的个圆都没有交点， 也不在某个圆的内部. 所以在矩形4BCD内一定还可以放入一个直径为一的圆，它和这114个圆都没有交点（也不在 某个圆的内部）. 图1图2 （2） 将矩形A5C。的每条边向内缩进得到一个长和宽分别为20和18的矩形A与GA，则矩 形44GA的面积为20x18=360.对矩形A8CD内任意放入的95个单位正方形，将这95 个单位小正方形的每一个都加一个框：在小正方形的每条边的外部加一个长和宽分别为1 和g的矩形，4个角上加上一个直径为1的四分之一圆弧（如图3所示）. 图3 答案第5页，共79页 因为这95个加框的图形的面积和等于950+卜95(3+亍卜359.8125小于矩形 A/iCA的面积.所以在矩形A8GA内，一定存在一点0,它在这95个加框的图形的外 部.因为点。到矩形A3CO每条边的距离都大于g,且点0到每个单位正方形的边上的点的 距离都大于所以以点。为圆心，直径为，的圆一定在矩形A6CO内，且与矩形内原有的 95个单位正方形都没有交点，也不在某个正方形的内部. 所以在矩形48CD内一定还可以放入一个直径为广的圆，它和这95个正方形都没有交点(也 不在某个正方形的内部). 本题主要考查了用创新性数学思维解决实际问题，解题关键是使用"缩''、"放”的构思作为证 题技巧. 5.482 先根据题意设出一组实数，按照题干信息得出4+/+…+6=37,根据排序不等式，当伉， 外,…，”从小到大排列时，+…+6〃的值最大，S的值最小，然后分类进行讨 论，得出结果即可. 由对称性，不妨设i=l,2,8,且4<生<… 则62=k-R+loj-R+…+|%-勾=佃一4… =(4+&+…+火+伪+8+…+々)-2(q+4+…+仆) =(1+2+…+16)—2(q+/+…+勾)=136—2(4+%+…+4), ...%+a2+…+/=37, ,/>1,%之2,…，^>8, :.%+/+，一"-1+2H---F8=36, 若田之8,则---1"%+仆之1+24---F6+8+9=38>37,不符合要求， 答案第6页，共79页 w 于是q=1,q=2,6=3,q=4,a5=5,6=6,%=7,仆=9,R,比，…,优是8, 10,11,12,13,14,15,16的一个排列，且4>9, =S=（4-4）-+（々2一4）+…+（4-bj =储+a2+,,,+4）+（"+区+…+%-2（3+地+…+她） =（F+2+…+16~）—2（q4+a力2+…+a8a）. 根据排序不等式，当4，b2t仄从小到大排列时，4[+〃24+~+/々的值最大，S的 值最小. 当4，”2，…,与从小到大排歹】时，S——4）2+（%—4）2+…+（%—4）2 =（1-8『+（2-10）2+（3-11）2+（4-12）2+（5-13）2+（6-14）2+（7-15『+（9-16）2=482, *,（4一4）~+（%-打）~*,--->■（4-88）~的最小值为482. 或："+22+...+162=史幽但竺%496, 6 当伪，b2t〃从小到大排列时， 岫+她+…+她=1x8+2x10+3x11+4x12+5x13+6x14+7x15+9x16=507, S=（“一4）+（q一a）2+…+（%—A）=1496—2x507=482. （4）3（%仇）3'（仆4）2的最小值为482. 本题主要考查力数列最小值计算，根据题干信息得出规律是解决本题得关键. 6.（1）495 （2）916 （3）693 （1）根据新定义直接计算，即可得出答案； 答案第7页，共79页 （2）由一个三位数标（其中的差数7（布）=792,可得。=9,再根据三位数而 （其中a>b>l）的各数位上的数字之和为一个完全平方数，可得6=16-9-1=6,依此即可 求解； （3）由一个三位数而（其中。、b都不为0）能被4整除，可得人=1或3或5或7或9, 再根据将新数个位数字移到百位得到另一个新数两被4除余2并且av5,可得。=2,从 而得到所有小于500的4的“闺蜜数"，进一步求得了（，）的最大值. 7（384）=843-348=495, 故答案为：495； 一个三位数（其中〃">1）的差数7（￡记）=792 T（a\b\=ab\-\ba =100+10Z+l-100-10^-6/ =99。-99 =792, a=9, ，一个三位数M的各位数字之和为9+1+6=6+10, *：a>b>\t l ll ,各数位上的数字之和为一个完全平方数， :b=6, a\b=916， 即这个三位数为916； （3） 三位数而被4除余I, ，力=1或3或5或7或9, V将新数个位数字移到百位得到另一个新数两被4除余2并且a<5, 答案第8页，共79页 。=2, ..所有小于500的4的“闺蜜数”，是212,232,252,272,292, 了。)的最大值是922—229=693. 本题考查了完全平方数，本题主要应用“差数”“闺蜜数”的定义和整数性质，先将三位“差数” 进行预选，然后再从中筛选出符合题意的数.这是解答数学竞赛题的一种常用方法. 7.(1)6,不是 (2)N取值为14、23、41 (1)根据“留守数'’和“享生数”的概念直接计算即可得出结果： 211 (2)根据初+方=11以及b的取值范围得出从而得出。可取1、2、3,然后根 据M和N是“李生数”可得c+d取值，从而得出N. (1) 解：-.-42x11=462, .42的“留守数”是6； .-2021x11=22231, 2021的“留守数”是2+2+3=7, 42与2021不是“挛生数”； (2) 解：.3a+6=U(a>3且b为0到9之间的整数， :.b=[\-3a,即OWU-%49, —KaK—，即a可取1、23, 33 -.Mxll=(10tz+Z>)x(10+l)=1006i+10(+/)+Z>, .Nxll=(10c+d)(10+l)=100c+10(c+d)+d且c+d<10, 「.i当a=l时，匕=11-3。=11-3=8不符合题意，舍去； 正当。=2时，6=11-初=11-6=5不符合题意，舍去； 答案第9页，共79页 沆当。=3时，/=11-3=11-9=2,A/xl1=100x3+10x(3+2)+2=352,则加的“留守数” 是5, M和N是“挛生数”(M丰N), :.c+d=5f ①取c=l,则d=4,A^xl1=100x1+10x(1+4)+4=154,N=14； ②取c=2,则d=3,Nxll=100x2+10x(2+3)+3=253,N=23： ③取c=3,则d=2,A^xl1=100x3+10x(3+2)+2=352,N=35=M,不合题意，舍弃： ④取c=4,则d=l,/Vxl1=100x4+10x(4+1)+1=451,N=41； 综上所述，N的取值为14、23、41. 本题考查了数字变化类规律.读懂题意，弄明白“留守数”和“挛生数''的概念是解题的关键. 8.⑴(x+9)(x-l) (2),f-4工-5>0 (3)5 (1)先配方，然后利用平方差公式因式分解即可； (2)先配方，然后利用平方差公式因式分解，根据条件得出x+l>0,x-5>0即可； (3)先列用配方法化为偶次方的和为0,根据偶次方非负性质，得出々-1=0,6-4=0解一 元一次方程即可. 解：f+8X-9=X2+8X+16-9-16=(X+4)2-25=(X+4+5)(X+4-5)=(X+9)(X-1), 解:x2-4x-5=x2-4x+4-5-4=(x-2)2-9=(x-2+3)(x-2-3)=(x+l)(x-5),,/x>5, Ax+l>0,x-5>0, .\(x+l)(x-5)>0, 答案第10页，共79页 .,.x2-4x-5>0; (3) 解：-a+b-2a-8b+\7=Of 〃2―2°+1+〃-泌+16=(a-Ip+p-4)2=0, V(a-l)2>0,(Z-4)2>0, ：.a-\=O,。-4=0, \a=1,b=4, :.a+b=5. 本题考查配方法化为完全平方数，平方差公式因式分解，比较大小，半负数性质，代数式的 值，掌握配方法化为完全平方数，平方差公式因式分解，比较大小，非负数性质，代数式的 值是解题关键. 9.(1)每件甲种商品的售价是140元，乙种商品的进价是128元 (2)该商场购进乙种商品40件 (3)这两天忧忧在该商场购买甲乙两种商品一共27或29件 (1)由甲的售价比进价多40%,乙的售价比进价多!，分别计算甲的售价，乙的进价即可 解题； <2)设乙种商品x件，根据购进甲、乙两种商品共100件，花去11120元，列方程、解方 程即可解题； (3)分两种情况讨论. 解:甲售价：100x(1+40%)=140(元) 乙进价：160+[1+￡)=128(元) 答：每件甲种商品的售价是140元，乙种商品的进价是128元. 设乙种商品x件, 答案第11页，共79页 100x(100-x)+128x=11120 x=40 答：该商场购进乙种商品40件. 第一天：1760-160=11(件) 第二天：2016+90%+140=16(件)或2016+80%+140=18(件) 11+16=27(件)或11+18=29(件) 答：这两天忧忧在该商场购买甲乙两种商品一共27或29件. 10.(1)9(A:2+4A-+1)(X+1)2 (2)(x-y)(y-z)(z-x)(xy+yz+zx) (1)先将d+6x+l和炉+1分别看作一个整体，利用十字相乘法因式分解，再利用提公因 式法因式分解，最后利用公式法中的完全平方公式因式分解； (2)原式是关于x、y、z的轮换式，若将原式视为关于x的多项式，则当x=y时，原式=0, 故原式含有因子x-几又因为原式是关于x,y,z的轮换对称式，故原式还含因子)t, 又因为原式为X,)，，2的五次式，因此可以设-(y-z)3+y2(z-x)3+z2(x-y)3 =(-v-y)(y-2)(2-x)[A(x24-/4-z2)4-B(A7+jz+zx)],利用待定系数法即可求解. 解：2(x2+6x+l)~+5(x2+l)(x2+6x+l)+2(x2+1)' =(2x2+12x+2+x2+l)(x2+6x+l+2x2+2) =9(X24-4X+1)(X2+2X+1) =9(x2+4X+1)(X+1)2 解:当”=y时，原式等于o,故原式含有因子x-y, 答案第12页，共79页 又因为原式是关于-y,z的轮换对称式，故原式还含因子尸；， 又四为原式为X，y,Z的五次式，故可设X‘(y-Z)3十 =(X_y)(y_Z)(Z_X)[A(12+y2+22)+33+了2+2^)] 令x=_l,y=OtZ=1得2A—B=-1, 令x=0,y=l,z=2得5A+2B=2, 解得A=0,B=l, JflUx2(y-z)3+y2(z-x)3+z2(x-y)3=(x-y)(y-z)(z-x)(xy+yz+zx). 本题主要考查了十字相乘法、提公因式法、公式法以及待定系数法，熟练掌握和运用这些方 法因式分解是解题的关键. II.(1)产-力+如+6；(2)5=-2尸+：+36；(3)G(--,-) 848455 (1)待定系数法求二次函数解析式即可； (2)分类讨论，过点P作尸轴于点。，①当点。在“轴正半轴时，②当点。在x轴负半