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2024.08.28山东
花剌子模雕像（乌兹别克斯坦乌尔根奇市）
阿尔-花剌子模的书从讨论二次方程开始。事实上，他思考了以下这个特定问题：
一个平方和十个这个平方的根等于三十九个迪拉姆。这就是说，当它加上十个它自己的根后总和是三十九，它是多少
“一个平方”：“平方的根”是x，所以“平方的十个根”是10x。使用这个表示法，问题转化为求解方程式:
但当时代数符号还没有被发明出来，所以，花剌子模只能用文字描述出来。如同世界各地代数教师的悠久传统一样，他用类似处方的方法解决了这个问题，并用文字说明了这一问题。
解决方案是：将根的数量减半，在这个实例中得5。用5乘自己，乘积是25。把这个加39，和是64。取64的根，是8，从中减去根的数量的一半也就是5，剩下3，这就是你所求的根，本身平方是9。
下面是我们今天的符号计算:
不难看出，这基本上就是我们现在所知道的二次方程公式。
要求解：
花剌子模使用以下规则：
这个公式和现代公式最大的区别是，我们同时考虑了正和负的平方根。
但是取负平方根会得到负值x，当时的数学家还不能接受负数，他们只关心正根。我们还将“-b”放在开头。但这又意味着一个负数。而他更喜欢把它放在结尾，作为减法。最后，他表示方程时，c在等号右边。
而我们将它写成：
如果我们把“-b”放在前面，平方根加上±，记住要考虑c的符号，做一些代数运算，他的公式就变成和我们一样的了。(在这个公式中缺少系数a,因为花剌子模只考虑了一个平方，即a=1。)
但是他没有止步于此。他觉得应该解释为什么他的方法奏效——他没有像我们今天这样，用代数的方式来做这件事，而是用几何论证来做这件事。方法是这样的：
首先，我们有“一个平方和十个平方的根”。用图来说明，画一个我们还不知道边长是多少的正方形。如果我们称边长为x。为了得到10x，我们画一个长方形，一边长为x，一边长为10，如上图所示。
为了解这个方程，也就是确定x，我们先把根（即x）的数目切成两半。从几何上来说，这意味着我们把长方形分成两半，各部分面积为5x，如上图所示。
现在，我们将其中一个半矩形移动到正方形底部，如下图（左）所示。总面积仍然是39。但是请注意，在右下角缺失的小正方形处补齐形成一个大正方形。由于两个长方形的边长为5，所以小正方形的面积必须为25，如下图（右）所示。
当我们通过加一个小方块来完成这个正方形时，大正方形的面积为39+25=64。但这意味着它的边是64的算术平方根，等于8。
由于大正方形的边长是x+5，我们可以得出x+5=8的结论。所以我们减去5，得到x=3。
在花剌子模的规则中，每步都对应到几何论证中的一个步骤。几何论证向我们展示了到底是怎么回事，以及它的运算原理。
如前所述，这个版本的二次方程式假定首项系数为1。现今，我们允许不同的首项系数，把一般的二次方程式写成：
花剌子模会通过除以a并应用他的规则来处理这个问题。
在花剌子模的时代之后，许多其他数学家也在研究二次方程式。他们的方法和几何证明变得越来越复杂。但基本理念从未改变。
早在17世纪，数学家们就提出了用字母来表示数字的想法。笛卡尔建议的惯例我们至今仍然使用:字母表末尾字母表示未知数，字母表开头字母表示已知数。而且到那时，对负数的抵制开始逐渐消失了。
托马斯·哈里奥特和笛卡尔注意到，把所有的方程式写成某物=0要容易得多，只要我们允许一些系数为负，我们就可以做到这一点。
主要优点是：
这三个方程可以被看做一个一般方程的特例，这个一般方程即：
托马斯·哈里奥特
笛卡尔
这将花剌子模的三种不同案例减少到只有一种。此外，虽然人们仍然对负数答案持怀疑态度，但至少可以考虑到它们了。
这意味着解有两个平方根，所以一般的解可以写成：
这就是我们今天所熟悉，并还在使用着的求解一元二次方程的公式。
阿尔-花剌子模的经历，对于我们现在的中学生有很多启发，最重要的是我们平时在学习上不经意发现一些新的问题，不能轻言放弃，要多思考，想办法解决，说不定你的发现会给自己，给别人提供一种解决问题的重要方法！