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2024.08.28山东
花剌子模雕像(乌兹别克斯坦乌尔根奇市)
阿尔-花剌子模的书从讨论二次方程开始。事实上,他思考了以下这个特定问题:
一个平方和十个这个平方的根等于三十九个迪拉姆。这就是说,当它加上十个它自己的根后总和是三十九,它是多少
“一个平方”:“平方的根”是x,所以“平方的十个根”是10x。使用这个表示法,问题转化为求解方程式:
但当时代数符号还没有被发明出来,所以,花剌子模只能用文字描述出来。如同世界各地代数教师的悠久传统一样,他用类似处方的方法解决了这个问题,并用文字说明了这一问题。
解决方案是:将根的数量减半,在这个实例中得5。用5乘自己,乘积是25。把这个加39,和是64。取64的根,是8,从中减去根的数量的一半也就是5,剩下3,这就是你所求的根,本身平方是9。
下面是我们今天的符号计算:
不难看出,这基本上就是我们现在所知道的二次方程公式。
要求解:
花剌子模使用以下规则:
这个公式和现代公式最大的区别是,我们同时考虑了正和负的平方根。
但是取负平方根会得到负值x,当时的数学家还不能接受负数,他们只关心正根。我们还将“-b”放在开头。但这又意味着一个负数。而他更喜欢把它放在结尾,作为减法。最后,他表示方程时,c在等号右边。
而我们将它写成:
如果我们把“-b”放在前面,平方根加上±,记住要考虑c的符号,做一些代数运算,他的公式就变成和我们一样的了。(在这个公式中缺少系数a,因为花剌子模只考虑了一个平方,即a=1。)
但是他没有止步于此。他觉得应该解释为什么他的方法奏效——他没有像我们今天这样,用代数的方式来做这件事,而是用几何论证来做这件事。方法是这样的:
首先,我们有“一个平方和十个平方的根”。用图来说明,画一个我们还不知道边长是多少的正方形。如果我们称边长为x。为了得到10x,我们画一个长方形,一边长为x,一边长为10,如上图所示。
为了解这个方程,也就是确定x,我们先把根(即x)的数目切成两半。从几何上来说,这意味着我们把长方形分成两半,各部分面积为5x,如上图所示。
现在,我们将其中一个半矩形移动到正方形底部,如下图(左)所示。总面积仍然是39。但是请注意,在右下角缺失的小正方形处补齐形成一个大正方形。由于两个长方形的边长为5,所以小正方形的面积必须为25,如下图(右)所示。
当我们通过加一个小方块来完成这个正方形时,大正方形的面积为39+25=64。但这意味着它的边是64的算术平方根,等于8。
由于大正方形的边长是x+5,我们可以得出x+5=8的结论。所以我们减去5,得到x=3。
在花剌子模的规则中,每步都对应到几何论证中的一个步骤。几何论证向我们展示了到底是怎么回事,以及它的运算原理。
如前所述,这个版本的二次方程式假定首项系数为1。现今,我们允许不同的首项系数,把一般的二次方程式写成:
花剌子模会通过除以a并应用他的规则来处理这个问题。
在花剌子模的时代之后,许多其他数学家也在研究二次方程式。他们的方法和几何证明变得越来越复杂。但基本理念从未改变。
早在17世纪,数学家们就提出了用字母来表示数字的想法。笛卡尔建议的惯例我们至今仍然使用:字母表末尾字母表示未知数,字母表开头字母表示已知数。而且到那时,对负数的抵制开始逐渐消失了。
托马斯·哈里奥特和笛卡尔注意到,把所有的方程式写成某物=0要容易得多,只要我们允许一些系数为负,我们就可以做到这一点。
主要优点是:
这三个方程可以被看做一个一般方程的特例,这个一般方程即:
托马斯·哈里奥特
笛卡尔
这将花剌子模的三种不同案例减少到只有一种。此外,虽然人们仍然对负数答案持怀疑态度,但至少可以考虑到它们了。
这意味着解有两个平方根,所以一般的解可以写成:
这就是我们今天所熟悉,并还在使用着的求解一元二次方程的公式。
阿尔-花剌子模的经历,对于我们现在的中学生有很多启发,最重要的是我们平时在学习上不经意发现一些新的问题,不能轻言放弃,要多思考,想办法解决,说不定你的发现会给自己,给别人提供一种解决问题的重要方法!