概率型动态规划主要用于求解具有随机性和马尔可夫性的一类问题，如决策过程、排队论等。
01
根据问题的特性，动态规划可以分为确定型和概率型两类。
02
确定型动态规划主要用于求解具有重叠子问题和最优子结构特性的一类问题。
动态规划通过将原问题分解为子问题，并从子问题的最优解逐步推导出原问题的最优解，实现最优化目标。
最优化原理
动态规划通过建立问题的递推关系，将原问题转化为子问题，通过求解子问题的最优解，逐步推导出原问题的最优解。
递推关系
动态规划通过利用子问题的重叠性，避免重复计算子问题，提高算法的效率。
子问题的重叠性
状态转移方程
状态转移方程描述了从子状态到父状态的转移过程，通过状态转移方程可以计算出每个状态的最优解。
状态变量
状态变量是用来描述问题状态的变量，通过状态变量的取值范围和状态转移方程，可以确定问题的最优解。
状态转移图
状态转移图是用来表示状态转移关系的图形，通过状态转移图可以直观地理解状态转移过程。
边界条件是用来限制问题解的范围的条件，通过边界条件可以缩小问题的解空间，提高算法的效率。
边界条件
初始状态
终止条件
初始状态是问题求解的起点，通过设置合理的初始状态，可以简化问题的求解过程。
终止条件是问题求解的终点，通过设置合理的终止条件，可以确定问题的最优解。
递归算法的优点是思路清晰，易于理解。但是，对于大规模问题，递归算法可能会导致大量的重复计算，效率低下。
示例：斐波那契数列、背包问题等。
递归算法是动态规划中最基础的算法，通过将问题分解为子问题，并求解子问题来得到原问题的解。
备忘录方法的优点是提高了算法的效率，避免了重复计算。但是，备忘录方法的实现相对复杂，需要维护一个备忘录数据结构来存储子问题的解。
示例：最长公共子序列、最长递增子序列等。
备忘录方法是为了解决递归算法中的重复计算问题而提出的。通过使用备忘录来存储已经计算过的子问题的解，避免重复计算。
迭代法是另一种实现动态规划的算法，通过迭代的方式来求解原问题。迭代法将原问题转化为一个迭代过程，通过迭代更新状态和最优解。
迭代法的优点是避免了重复计算，提高了算法的效率。但是，迭代法的实现相对复杂，需要设计合适的迭代过程和状态转移方程。
示例：矩阵链乘法、背包问题等。
子问题的重叠性是动态规划中常见的问题之一，它会导致算法效率低下。
总结词
详细描述
无解或无界问题是动态规划中的一种特殊情况，它会导致算法无法找到最优解或最优解不存在。
在某些动态规划问题中，可能存在无解或无界的情况，即不存在一个有效的解决方案能够满足问题的约束条件或目标函数。在这种情况下，算法需要能够检测到无解或无界的情况并采取相应的处理措施，如返回空解或抛出异常。
这是一种常见的优化问题，通过动态规划可以求解。
背包问题是一个经典的优化问题，涉及到如何在满足总重量限制的前提下，选择一组物品，使得所选物品的总价值最大。通过动态规划，可以将问题分解为更小的子问题，并逐个求解，最终得到最优解。
排班问题是一个具有实际应用背景的问题，通过动态规划可以高效地求解。
最短路径问题是图论中的经典问题，通过动态规划可以找到从起点到终点的最短路径。
最短路径问题是在有向图或无向图中找到从起点到终点的最短路径。这个问题可以通过动态规划来解决。通过将问题分解为更小的子问题，并利用子问题的最优解来求解原问题，可以高效地找到最短路径。
动态规划理论在不断发展和完善中，未来将有更多的学者和研究机构投入其中，深入研究动态规划的基本原理、算法设计和应用领域。
随着动态规划应用的广泛和深入，算法的优化和改进成为了一个重要的研究方向。
未来将有更多高效的算法和优化技术被提出，以提高动态规划的求解速度和精度，满足大规模复杂问题的求解需求