K-Means算法是无监督的聚类算法，它实现起来比较简单，聚类效果也不错，因此应用很广泛。K-Means算法有大量的变体，本文就从最传统的K-Means算法讲起，在其基础上讲述K-Means的优化变体方法。包括初始化优化K-Means++,距离计算优化elkanK-Means算法和大数据情况下的优化MiniBatchK-Means算法。
K-Means算法的思想很简单，对于给定的样本集，按照样本之间的距离大小，将样本集划分为K个簇。让簇内的点尽量紧密的连在一起，而让簇间的距离尽量的大。
如果用数据表达式表示，假设簇划分为$(C_1,C_2,...C_k)$，则我们的目标是最小化平方误差E：$$E=\sum\limits_{i=1}^k\sum\limits_{x\inC_i}||x-\mu_i||_2^2$$
其中$\mu_i$是簇$C_i$的均值向量，有时也称为质心，表达式为：$$\mu_i=\frac{1}{|C_i|}\sum\limits_{x\inC_i}x$$
如果我们想直接求上式的最小值并不容易，这是一个NP难的问题，因此只能采用启发式的迭代方法。
K-Means采用的启发式方式很简单，用下面一组图就可以形象的描述。
上图a表达了初始的数据集，假设k=2。在图b中，我们随机选择了两个k类所对应的类别质心，即图中的红色质心和蓝色质心，然后分别求样本中所有点到这两个质心的距离，并标记每个样本的类别为和该样本距离最小的质心的类别，如图c所示，经过计算样本和红色质心和蓝色质心的距离，我们得到了所有样本点的第一轮迭代后的类别。此时我们对我们当前标记为红色和蓝色的点分别求其新的质心，如图4所示，新的红色质心和蓝色质心的位置已经发生了变动。图e和图f重复了我们在图c和图d的过程，即将所有点的类别标记为距离最近的质心的类别并求新的质心。最终我们得到的两个类别如图f。
当然在实际K-Mean算法中，我们一般会多次运行图c和图d，才能达到最终的比较优的类别。
在上一节我们对K-Means的原理做了初步的探讨，这里我们对K-Means的算法做一个总结。
首先我们看看K-Means算法的一些要点。
1）对于K-Means算法，首先要注意的是k值的选择，一般来说，我们会根据对数据的先验经验选择一个合适的k值，如果没有什么先验知识，则可以通过交叉验证选择一个合适的k值。
好了，现在我们来总结下传统的K-Means算法流程。
输入是样本集$D=\{x_1,x_2,...x_m\}$,聚类的簇树k,最大迭代次数N
输出是簇划分$C=\{C_1,C_2,...C_k\}$
1)从数据集D中随机选择k个样本作为初始的k个质心向量：$\{\mu_1,\mu_2,...,\mu_k\}$
2）对于n=1,2,...,N
a)将簇划分C初始化为$C_t=\varnothing\;\;t=1,2...k$
b)对于i=1,2...m,计算样本$x_i$和各个质心向量$\mu_j(j=1,2,...k)$的距离：$d_{ij}=||x_i-\mu_j||_2^2$，将$x_i$标记最小的为$d_{ij}$所对应的类别$\lambda_i$。此时更新$C_{\lambda_i}=C_{\lambda_i}\cup\{x_i\}$
c)对于j=1,2,...,k,对$C_j$中所有的样本点重新计算新的质心$\mu_j=\frac{1}{|C_j|}\sum\limits_{x\inC_j}x$
e)如果所有的k个质心向量都没有发生变化，则转到步骤3）
3）输出簇划分$C=\{C_1,C_2,...C_k\}$
K-Means++的对于初始化质心的优化策略也很简单，如下：
a)从输入的数据点集合中随机选择一个点作为第一个聚类中心$\mu_1$b)对于数据集中的每一个点$x_i$，计算它与已选择的聚类中心中最近聚类中心的距离$D(x_i)=arg\;min||x_i-\mu_r||_2^2\;\;r=1,2,...k_{selected}$
c)选择一个新的数据点作为新的聚类中心，选择的原则是：$D(x)$较大的点，被选取作为聚类中心的概率较大d)重复b和c直到选择出k个聚类质心e)利用这k个质心来作为初始化质心去运行标准的K-Means算法
在传统的K-Means算法中，我们在每轮迭代时，要计算所有的样本点到所有的质心的距离，这样会比较的耗时。那么，对于距离的计算有没有能够简化的地方呢？elkanK-Means算法就是从这块入手加以改进。它的目标是减少不必要的距离的计算。那么哪些距离不需要计算呢？
elkanK-Means利用了两边之和大于等于第三边,以及两边之差小于第三边的三角形性质，来减少距离的计算。
第一种规律是对于一个样本点$x$和两个质心$\mu_{j_1},\mu_{j_2}$。如果我们预先计算出了这两个质心之间的距离$D(j_1,j_2)$，则如果计算发现$2D(x,j_1)\leqD(j_1,j_2)$,我们立即就可以知道$D(x,j_1)\leqD(x,j_2)$。此时我们不需要再计算$D(x,j_2)$,也就是说省了一步距离计算。
第二种规律是对于一个样本点$x$和两个质心$\mu_{j_1},\mu_{j_2}$。我们可以得到$D(x,j_2)\geqmax\{0,D(x,j_1)-D(j_1,j_2)\}$。这个从三角形的性质也很容易得到。
利用上边的两个规律，elkanK-Means比起传统的K-Means迭代速度有很大的提高。但是如果我们的样本的特征是稀疏的，有缺失值的话，这个方法就不使用了，此时某些距离无法计算，则不能使用该算法。
在统的K-Means算法中，要计算所有的样本点到所有的质心的距离。如果样本量非常大，比如达到10万以上，特征有100以上，此时用传统的K-Means算法非常的耗时，就算加上elkanK-Means优化也依旧。在大数据时代，这样的场景越来越多。此时MiniBatchK-Means应运而生。
顾名思义，MiniBatch，也就是用样本集中的一部分的样本来做传统的K-Means，这样可以避免样本量太大时的计算难题，算法收敛速度大大加快。当然此时的代价就是我们的聚类的精确度也会有一些降低。一般来说这个降低的幅度在可以接受的范围之内。
在MiniBatchK-Means中，我们会选择一个合适的批样本大小batchsize，我们仅仅用batchsize个样本来做K-Means聚类。那么这batchsize个样本怎么来的？一般是通过无放回的随机采样得到的。
为了增加算法的准确性，我们一般会多跑几次MiniBatchK-Means算法，用得到不同的随机采样集来得到聚类簇，选择其中最优的聚类簇。
初学者很容易把K-Means和KNN搞混，两者其实差别还是很大的。
K-Means是无监督学习的聚类算法，没有样本输出；而KNN是监督学习的分类算法，有对应的类别输出。KNN基本不需要训练，对测试集里面的点，只需要找到在训练集中最近的k个点，用这最近的k个点的类别来决定测试点的类别。而K-Means则有明显的训练过程，找到k个类别的最佳质心，从而决定样本的簇类别。
当然，两者也有一些相似点，两个算法都包含一个过程，即找出和某一个点最近的点。两者都利用了最近邻(nearestneighbors)的思想。
K-Means是个简单实用的聚类算法，这里对K-Means的优缺点做一个总结。
K-Means的主要优点有：
1）原理比较简单，实现也是很容易，收敛速度快。
2）聚类效果较优。
3）算法的可解释度比较强。
4）主要需要调参的参数仅仅是簇数k。
K-Means的主要缺点有：
1）K值的选取不好把握
2）对于不是凸的数据集比较难收敛
3）如果各隐含类别的数据不平衡，比如各隐含类别的数据量严重失衡，或者各隐含类别的方差不同，则聚类效果不佳。
4）采用迭代方法，得到的结果只是局部最优。
5）对噪音和异常点比较的敏感。
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