1、第第4章章固有频率的适用计算方法固有频率的适用计算方法4-1单自在度系统单自在度系统一一列方程法列方程法单自在度无阻尼自在振动系统运动0mxkx只需列出单自在度无阻尼自在振动系统的运动微分只需列出单自在度无阻尼自在振动系统的运动微分方程，就可以得到振动系统的固有频率方程，就可以得到振动系统的固有频率nkm第第4章章固有频率的适用计算方法固有频率的适用计算方法4-1单自在度系统单自在度系统一一列方程法列方程法例4-1-1：建立图4-1-1(a)所示的均质杆绕O点作微幅转动振动系统的运动微分方程。解：单自在度系统，取均质杆为研讨对象，画其受力图如图(b)。根据动量矩定理0()oJMF
2、22oJkacl第第4章章固有频率的适用计算方法固有频率的适用计算方法4-1单自在度系统单自在度系统一一列方程法列方程法即解：单自在度系统，取均质杆为研讨对象，画其受力图如图(b)。根据动量矩定理0()oJMF22oJkacl220oJkacl振动系统固有频率：22233313nokakakaJmlml第第4章章固有频率的适用计算方法固有频率的适用计算方法4-1单自在度系统单自在度系统二能量法二能量法原理：原理：对于单自在度无阻尼自在振动系统，其呼应为简谐振对于单自在度无阻尼自在振动系统，其呼应为简谐振动，系统动，系统或或。在静平衡。在静平衡位置，势能为位置，势能为0，
3、动能到达最大，即：，动能到达最大，即：。在最大位移处，动能为在最大位移处，动能为0，势能到达最大，势能到达最大，即：即：。所以有：。所以有：例：对图例：对图4-1-1所示的振动系统，系统的动能所示的振动系统，系统的动能TUconst()0dTUdtmax0,UTTmax,0UUTmaxmaxUT2012TJ系统的势能系统的势能21()2Uka第第4章章固有频率的适用计算方法固有频率的适用计算方法4-1单自在度系统单自在度系统二能量法二能量法令例：对图例：对图4-1-1所示的振动系统，系统的动能所示的振动系统，系统的动能2012TJ系统的势能系统的势能21()2Uka0=sinnt
4、那么有：0222220000111=JJ(-cos)=Jcos222nnnnTtt0222220111=()(sin)=sin222nnUkakatkat最大动能022max01=J2nT022max1=2Uka最大势能：由maxmax=UT022220011J=22nka得：系统的固有频率20=nkaJ第第4章章固有频率的适用计算方法固有频率的适用计算方法4-2多自在度系统多自在度系统4-2-1求特征值法求特征值法令对于多自在度振动系统，其无阻尼自在振动运动微分方带入方程4-2-1并消去项得欲使方程有非0解，令方程的系数行列式等于0可得到特征方程的n个特征根，即振动系
5、统的固有频率0MXKX4-2-1sin()Xutsin()t2()0KMu特征方程，又称振幅方程2=0KM(1,2,.,)niin第第4章章固有频率的适用计算方法固有频率的适用计算方法4-2多自在度系统多自在度系统4-2-1求特征值法求特征值法例4-2-1：2个自在度振动系统，其运动微分方程为：令其特征方程的系数行列式等于0得即：1122020020xxmkkxxmkk222=02kmkkkm222(2)(2)=0kmkmk可得固有频率2122=0.2192=2.2808kmkm第第4章章固有频率的适用计算方法固有频率的适用计算方法4-2多自在度系统多自在度系统4-2-
6、2计算固有频率的近似法计算固有频率的近似法一、瑞利法一、瑞利法Rayleigh法法瑞利法从单自在度振动系统固有频率计算的能量方法出发，对于多自在度振动系统，在作无阻尼自在振动时，呼应为同步振动。系统的动能可表示为：系统的势能设maxmaxTU12TTXMX12TUXKXsininiXut带入得最大动能2max2TniiiTuMumax12TiiUuKu最大势能第第4章章固有频率的适用计算方法固有频率的适用计算方法4-2多自在度系统多自在度系统4-2-2计算固有频率的近似法计算固有频率的近似法一、瑞利法一、瑞利法Rayleigh法法带入公式得：利用4-2-7准确计算多自在度
7、振动系统的固有频率，前提条件是需求知系统的振型，这是无法做到的。但振动系统的一阶振型的近似值普通可以预测，大都数情况下与其静载荷作用下产生的静变形非常接近。例如例4-2-1所给出的振动问题，假设取maxmaxTU代入式4-2-7进展试算：2TiiniTiiuKuuMu4-2-7111u第第4章章固有频率的适用计算方法固有频率的适用计算方法一、瑞利法一、瑞利法Rayleigh法法假设取假设取与准确解相比，一阶固有频率的相对计算误差21111121111=0.33301311021TnTkkkkuKukkmuMummm112u代入式4-2-7进展试算21111121122
8、2=0.22201912022TnTkkkkuKukkmuMummm211u222222211115=1.66701311021TnTkkkkuKukkmuMummm1.35%-26.92%二阶固有频率的相对计算误差瑞利法的计算精度决议瑞利法的计算精度决议于对振型的假设。计算于对振型的假设。计算一阶固有频率精度较高一阶固有频率精度较高但数值偏大但数值偏大第第4章章固有频率的适用计算方法固有频率的适用计算方法二、邓克利法Dunkenley法对于二个自在度系统：展开整理对于多自在度振动系统，假设用柔度法建立的运动微分方程可表示为：XMX4-2-8同样地令同样地令sinnXu
9、t2()0IMu20IM特征方程特征方程22111122222112221-0-1-mmmm1112221211221221421()0mmmm(a)第第4章章固有频率的适用计算方法固有频率的适用计算方法二、邓克利法Dunkenley法普通有，即因此有设为方程的两个根，那么有比较ab两式，可得422222121211111()0b11122221211mm222122211111122222112111mm第第4章章固有频率的适用计算方法固有频率的适用计算方法二、邓克利法Dunkenley法用Dunkenley法求解上例普通地，对于具有n个自在度的振动系统即Dunke
10、nley法计算自在度的振动系一致阶固有频率的计算公式。111222222211121111+++=nnnniiiinmmmm11211112kkKkkk11122211125=2mmmmmkkk210.2kmDunkenley法计算结果偏小法计算结果偏小第第4章章固有频率的适用计算方法固有频率的适用计算方法4-3传送矩阵法传送矩阵法TransferMatrixMethod传送矩阵法属于一种半解析数值解法，其根传送矩阵法属于一种半解析数值解法，其根本思绪：将系统离散成假设干单元，每一个本思绪：将系统离散成假设干单元，每一个单元与临近单元界面上用位移协调条件和力单元与临近单元界面
11、上用位移协调条件和力的平衡条件予以联络；每一单元可以用牛顿的平衡条件予以联络；每一单元可以用牛顿第二定律建立运动方程，从而建立单元两端第二定律建立运动方程，从而建立单元两端之间的传送矩阵。求解从系统的边境开场，之间的传送矩阵。求解从系统的边境开场，在边境上有的外力及位移关系是知的，求出在边境上有的外力及位移关系是知的，求出另一侧的力和位移；依次进展下去最后可得另一侧的力和位移；依次进展下去最后可得到问题的解。传送矩阵法既可求振动系统的到问题的解。传送矩阵法既可求振动系统的固有频率，也可以求振动系统的强迫振动呼固有频率，也可以求振动系统的强迫振动呼应问题。应问题。第第4章章固有频率的适用计算方
12、法固有频率的适用计算方法4-3传送矩阵法传送矩阵法TransferMatrixMethod4-3-1传送矩阵法分析轴的纵向振动传送矩阵法分析轴的纵向振动图4-3-1轴的纵向振动离散化模型第第4章固有频率的适用计算方法章固有频率的适用计算方法4-3-1传送矩阵法分析轴的纵向振动传送矩阵法分析轴的纵向振动传送矩阵法的求解步骤传送矩阵法的求解步骤1.系统的离散化系统的离散化利用集中质量法将具有分布质量的延续系统离散为具有利用集中质量法将具有分布质量的延续系统离散为具有n个自在个自在度的链式系统，如图度的链式系统，如图4-3-1(b),并进展编号并进展编号2.建立点场矩阵建立点场矩阵取第取第i
13、个质量弹簧元件研讨个质量弹簧元件研讨两端形状向量关系两端形状向量关系111()LRiiLRLRiiiiiFFFFkxx写成矩阵方式写成矩阵方式1111=01iiLRiiiLRxxkFF第第4章固有频率的适用计算方法章固有频率的适用计算方法4-3-1传送矩阵法分析轴的纵向振动传送矩阵法分析轴的纵向振动场传送矩阵场传送矩阵研讨质量元件研讨质量元件在没有外鼓励力作用时，根据牛顿第二定律，可得以下关系在没有外鼓励力作用时，根据牛顿第二定律，可得以下关系式式假设振动系统作简谐振动，那么有(1)11=11iiikFRLiiRRLiiiixxmxFF2RRiixx2=-RLiiRLLiiiixxFF
14、mx第第4章固有频率的适用计算方法章固有频率的适用计算方法4-3-1传送矩阵法分析轴的纵向振动传送矩阵法分析轴的纵向振动即质量质量两侧形状向量之间的关系方程两侧形状向量之间的关系方程210=1iiRLiiRLixxmFFim点传送矩阵点传送矩阵(1)210=1iiiPm3.求系统的传送矩阵求系统的传送矩阵第第i个质量弹簧单元的形状向量传送关系个质量弹簧单元的形状向量传送关系1111222211111010=11101iiiiRLRRiiiiiiRLRRiiiiixxxxkkmmFFFFmmk第第4章固有频率的适用计算方法章固有频率的适用计算方法4-3-1传送矩阵法分析轴的纵向振动传送矩阵法
15、分析轴的纵向振动令令,称振动系统的形状向量称振动系统的形状向量写成简约的方式写成简约的方式对于图对于图4-3-1(b)所示的振动系统，最右端形状所示的振动系统，最右端形状与最左端形状与最左端形状之之间的关系间的关系xZF22111iiiiikCmmk第i个质量弹簧单元的传送矩阵1RRiiiZCZ1121100=RRRRRnnnnnnnnZCZCCZCCCZCZ4-3-7第第4章固有频率的适用计算方法章固有频率的适用计算方法4-3-1传送矩阵法分析轴的纵向振动传送矩阵法分析轴的纵向振动称系统的总的传送矩阵而形状向量依赖于边境条件。4.求系统的固有频率11nnCCCC11122
16、122()()()()ccCcc0RRnZZ，求系统的固有频率时，从最左边的形状向量出发，利用式4-3-7计算最右边的形状向量得到一个关于的方程式，其中满足所需处理问题边境条件的就是系统的固有频率。0RZRnZ，第第4章固有频率的适用计算方法章固有频率的适用计算方法4-3-1传送矩阵法分析轴的纵向振动传送矩阵法分析轴的纵向振动对于图5-3-1所示的悬臂梁的纵向振动问题，其边境条件为，，代入3-3-7式有从而得，。满足的即为系统的固有频率。00Rx0RnF1112212200()()()()0RnRccxccF120()RRnxcF220()0Rc
17、F22()0c0第第4章固有频率的适用计算方法章固有频率的适用计算方法4-3-1传送矩阵法分析轴的纵向振动传送矩阵法分析轴的纵向振动例4-3-1用传送矩阵法求图4-3-2所示的单自在度系统的固有频率解：1：编号：如下图2：计算点、场矩阵点矩阵21210=1Pm场矩阵1011=11kF3、计算传送矩阵：221121100ZPZPFZ第第4章固有频率的适用计算方法章固有频率的适用计算方法4-3-1传送矩阵法分析轴的纵向振动传送矩阵法分析轴的纵向振动4、求系统的固有频率、求系统的固有频率(无阻尼自在振动无阻尼自在振动)根据边境条件根据边境条件代入：代入：0022222001111011
18、011xxxkkFmFFmmk020,0xF00200(1)nFxkmFk固有频率2nkm第第4章固有频率的适用计算方法章固有频率的适用计算方法4-3-1传送矩阵法分析轴的纵向振动传送矩阵法分析轴的纵向振动例例4-3-2用传送矩阵法求图用传送矩阵法求图4-3-3所示的所示的2个自在度系统的固有频率个自在度系统的固有频率解：解：1：编号：如下图：编号：如下图2：计算点、场矩阵及传送矩阵：计算点、场矩阵及传送矩阵图4-3-30022222001111011011xxxkkFmFFmmk4222224221111012120121xxxkkFmFFmmk0422222224202202220
19、22111111=222121111(2)=25(3)12()xxxkkkFFFmmmmmmkkkmmxkkkFmmmmkkk第第4章固有频率的适用计算方法章固有频率的适用计算方法4-3-1传送矩阵法分析轴的纵向振动传送矩阵法分析轴的纵向振动3.求系统的固有频率求系统的固有频率(无阻尼自在振动无阻尼自在振动)由边境条件由边境条件代入上式得代入上式得:由上式的第2式得：22422202211(2)0025(3)12()mmxkkkFmmmmkkk2042220(2)5012()FmxkkmmFkk即：即：222512()=0mmkk可解出两个根，即系统的固有频率：21,20.219251742.2808kkmkmm第第4章固有频率的适用计算方法章固有频率的适用计算方法4-3-2传送矩阵法分析圆轴的改动振动传送矩阵法分析圆轴的改动振动一一传送矩阵的计算传送矩阵的计算图4-3-4b)为系统