1、/29定角夹定高（探照灯模型）OC什么叫定角定高，如右图，直线BC外一点A,A到直线BC距离为定值（定高）,ZBAC为定角。则AD有最小值。又因为，像探照灯一样所以也叫探照灯模型。我们可以先看一下下面这张动图，在三角形ABC当中，ZBAC是一个定角，过A点作BC边的高线，交BC边与D点，高AD为定值。从动态图中（定角定高动态图.gsp）疋角疋高动态图.gsp我们可以看到，如果顶角和高，都为定值，那么三角形ABC的外接圆的大小，也就是半径，是会随着A点的运动而发生变化的。从而弦BC的长也会发生变化，它会有一个最小值，由于它的高AD是定值，因此三角形ABC的面积就有一个最小值。我们可以先猜想一下
2、，AD过圆心的时候，这个外接圆是最小的，也就是，BC的长是最小的，从而三角形ABC的面积也是最小的。（定长可用圆处理，特别，定长作为高可用两条平行线处理）那么该如何证明呢？首先我们连接OA，OB，OC，过O点作OH丄BC于H点.（如图1）显然OA+OHAD，当且仅当A,O,D三点共线时取“=”。由于ZBAC的大小是个定值，而且它是圆o的圆周角，因此它所对的圆心角厶OB的度数，也是一个定值。因此OH和圆O的半径，有一个固定关系，所以，OA+OH也和OO的半径，有BHDC一个固定的等量关系。再根据我们刚才说的，OA+OHAD，就可以求得圆O半径的最小值。图1简证：OA+OHADOEDH为矩形，OH
3、=ED，在RtHAOE中，AOAE，.AO+OH=AO+EDAE+ED=AD【总结】：定角定高三角形面积最小值时，该三角形为等腰三角形，其定高是所对底边的垂直平分线，或者说定高过该三角形外接圆圆心。定角可以看做是圆周角，因此它所对圆心角不变，往往要通过圆心角所在等腰三角形中解三角形。定角定高作用，求这类三角形高所对底的最小值，以及这类三角形最小面积例1（旋转全等构造探照灯）：（2017曲江区模拟&巧学数学）如图，在四边形ABCD中，AB=AD=CD=4,ADBC，ZB=60，点E、F分别为边BC、CD上的两个动点，且ZEAF=60，则AAEF的面积是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在
4、，请说明理由。【分析】ZEAF为ZBAD半角，且ZD+ZB=180【证明】延长CB至G，使BG=DF，连接AG、EF.作AAGE外接圆O，连OA、OG、OE，作OH丄BC于H，AK丄BC于KI.易证：AGB二、AFE（SAS）aAGE二、AFE（SAS）（如图例1-1）AK=AB-sinZABC=23，ZGAE=60则AAGE是ZGAE=60定角，AK=2：3定高的定角定高三角形。II.设OO半径为r（如图例1-2）OH=OG-COS60=2rGE=2GH=2。“3rOA+OHAK，即r+-2运:.r-4品AGE22例1-2例2：（巧学数学）已知等边ABC,点P是其内部一个动点，且AP=10,
5、M、N分别是AB、AC边上的两个动点，求APMN周长最小时，四边形AMPN面积的最大值.【分析】将军饮马+定角夹定高【证明】I.分别作P关于AB.AC的对称点P、1P，连PP与AB.AC分别交于M、N（如212图例2-1）CPMN=PM+MN+PN=PM+MN+PNPP1212=p3ap=、Kap=io方1P2例2-3:.PMN周长最小即P、M、N、P共线时。12II.作AAMN的外接圆OO，连AO、M0、NO，作AD丄PP于D，OE丄PP于E（如图例2-2和例2-3）1212VS=-AD-PP=253APP2-2S=S+S=S+S=S-SAAMPNAMPANPAMP-ANP,AP-P,AMN
6、当AAMN最小时，四边形AMPN最大。由轴对称性可知，ZPAM=ZPAM，ZPAN=ZPAN12ZMAN二ZPAM+ZPAN二60。/.ZPAP二120。12又AP二AP二10/ZP二ZP二30。AD二AP-sinZ30=512121AMN是AD=5定高，ZMAN=60。为定角的定角夹高三角形。设OO外接圆半径为rrOE=OM-cosZMOE=OM-cos60。=2MN=2ME=2OM-sinZMOE=2OM-sin60。3rS=丄AD-MN=1x5xr=5V3r25込amn2223/S=s-SCD即r+r4/.r-HYPERLINKlbookmark19oCurrentDocum
7、ent3S=-AB-CD=-X岚rX4=2汽r163HYPERLINKlbookmark27oCurrentDocumentaABC2232.(高新一中6模)问题提出：如图，已知Z4OB=45，点P在ZAOB内部，且OP=10，若点M、N分别在射线OA、OB上运动,则APMN周长的最小值为(2)如图，在ABC中，AB=AC，AD丄BC,ZBAC=45,AD=2+还.请计算BC的长。CAP1NP图2-2(3)某市成功跻身国家中心城市的行列，该市拟在如图所示的区域，建造城市最大的文化生态公园。已知在四边形ABCD中，ZABC=60，公园的设计师想在园中距离点B为100米的点P处修一
8、休息室，同时在AB上选点M,在边BC上选点N,分别连接P、M、N,使APMN在周长最短的情况下，景观绿化区四边形BMPN的面积最大。设计师的想法能实现吗？如果能，请求出四边形BMPN面积的最大值，若不能，说明理由。【分析】(1)将军饮马；(2)倍半角转化；(3)将军饮马+定角夹定高【解】(1)10*2分别作P关于OA、OB的对称点P、P，连PP与OA、OB分别交于M、N.(如图12122-1）易证pop为等腰直角三角形，pp=/2op=-j2op=10迓12121（2）在AD上取点E,使AE=BE.（如图2-2）设BD=DE=x，贝9BE=AE=J2xAD=AE+DE=x+*2x=2+*2/.
9、x=2BC=2BD二2、込（3）1.分别作P关于BA、BC的对称点P、P，连PP，分别交BA、BC于M、N（如图2-3-1）1212由对称性知，ZPBM=ZPBM,ZPBN=ZPBN-2ZABC=ZPBM+ZPBN=60。又BP=BP=BP:.PP=PP3bP*3bP=100t3（米）i12II.作ABMN的外接圆OO,连0B、OM、ON,作OE丄PP于E,BF丄PP于F-2120E-0Mgg2MN-2ME-20M-血6宀為P2如图2-3-2）tSa=-PP-BF=2500.3BP-P22-2-SBMNS=S+S=S+SABMPNBPMBPNBP-MBPN/.当氏最小时，S最大BMNBMPN
10、BF=BP-sin30o=50咏）iBMN为BF=50米定高，ZMBN=60定角的定角夹定高三角形设O0的半径为rr1000B+0EBF即+250r-3-=2bf-mn=2x50八3r=25再罟点/S二Sa-SABMNPBP&BMNV2500杼-乎3=譽3图3-13.（难）如图，等边ABC边长是1，0是外心，过点0任意作一条直线分别交AB，BC于点D，E将BDE沿直线DE折叠，得到aBDE,若BE交AC于点F.试求EF的最小值（或ACEF面积的最大值）【分析】角平分线判定+对角互补+全等+定角夹定高【证明】设DB交AC于G,分别过0作0MLAB于M，0N丄DB于N,0HLAC于H，0K丄BE于
11、K，0T丄BC于T,连接0F、0G.（如图3-1）.证FG0浓FE0，得EF=GF,ZG0F=ZE0F=60易证OK=OH,0F平分ZGFE，同理可证，OG平分ZDGF在对角互补四边形AMOH中,ZMOH=120,由角平分线对称性知，ZDOG=60,则ZGOE=120又在对角互补四边形BNOK中，ZNOK=120易证ONGOKE（ASA则/OEK=/OGN=/OGH，易证FGO莎FEO（AAS）.求EF最小值OHAO二1x込AC=亘,ZGOF=60，则AFOG为定角夹定高三角形。2236作AFOG的外接圆OO,连OP、PG、PF,作PNlGF于N（如图3-2-1和图3-2-2）设OP的半径为r
12、,则PN=1r,2OP+PNOH即r+-26GF=2FN八3r【PS】求ACEF面积的最大值连OA、OC（如图3-3）易证AOGCOE（SAS&ASA）沁丄OHGF乜ofg236SS+SS+SAOECGCOECOGAOGCOG-S3ABC12辽2x0-亘36aaog/.SSS二S2SDO+EO=出3BC2E三点共线且BC最小时，AC最小。ZBDC=90ABDC为定角夹定高直角三角形则BC=2rr2BC2r4易证ABC莎DBE（SAS）,当D、O、DH=2,设DO=r,.DODH当H与O重合时，DH=DO=2，此时BC最小=4,AC最小=2+2爲5.（初中数学优质资源中心20190520）如图，
13、在ABC中，ZBAC=60。，高AD=3，以AC为边向三角形外作等边厶ACE,连接AE,（定角定高+手拉手+斜大于直，与第4题解法相同）【分析】AABC是定角夹定高三角形，此三角形外接圆半径r的最小值可求，此时，若将BE与r联系起来，便可求BE的最小值。【证明】I.求GO半径的最小值作厶ABC的外接圆OO，连接OA、OB、OC,作OF丄BC于F（如图5-1）设OO的半径为则OF二1r,BC二2BF=尽2求BE的最小值。E5/29E图5-1AO+OF.AD即厂+2r.3r2/29O一BCFDEO.BFDCI”IMII；IJ、I图2法1】两边之和大于第三边II求BE的最小值将AECB绕点C逆时针
14、旋转60，得ACG，连接GF、BG.（如图5-2）易证AG=BE,ABCG为等边三角形，0、F、G三点共线A0=r,0F=lr，FG=BC=x:3r=r，贝V0G=2r2222由于此图是动态图，因此，AG可与A0+0G重合在AOG中，BE=AGAO+OG，即BE=AGr+2r=3r6【法2】斜大于直II求BE的最小值将AECB绕点C逆时针旋转60，得ACG，连接GF、BG作GH丄AD,交AD延长线于H.（如图5-3）易证BE=AG，DH=FG.由于此图是动态图，因此，AH可与AG重合33在RtAGH中，BE=AGAH=AD+DH=AD+GF=3+r3+x2=622【定角定高求周长最小】结合将军
15、饮马（探照灯问题由来）问题探究：（1）如图1,已知等边ABC，边长为4,则的外接圆的半径长为.（2）如图2,已知在矩形ABCD中,AB=4,对角线BD与边BC的夹角为30，点E在为边BC上且BE二1BC,4点P是对角线BD上的一个动点，连接PE、PC,求APEC周长的最小值.问题解决：（3）为了迎接新年的到来，西安城墙举办了迎新年大型灯光秀表演.其中一个镭射灯距城墙30米，镭射灯发出的两根彩色光线夹角为60，如图3,若将两根管线（AB、AC）和光线与城墙的两交点的连接的线段（BC）看作一个三角形，记为ABC,那么该三角形周长有没有最小值？若有，求出最小值；若没有，请说明理由.【分析】（2）将军
16、饮马。E、C定点，P为定直线BD上动点；（3）构造将军饮马+定角夹定高【解】（1）-EC+Ep当E、P、C三点共线时，APEC的周长最小。II.连接BE、EE，作EF丄BC于F（如图6-2-2）易证EE为等边三角形，则ZBEE=60，BE=EE=4BC=护AB仝,EC=3BE=用BE7一在RtAEFC中，EF二一，FC=EF+EC=+EC=3图6-2-2222C最小=*39+3叮3PEC（3）1.构造将军饮马，证明AB+AC最小时，即BC最小（如图6-3-1）作AG/BC，且AG=BC,作A关于BC的对称点A，连接AA、AC、AG、CG由轴对称性知，AA丄BC，AH=AH=30（米），则AA=
17、60（米）由平行四边形性质得，AA丄AG，AB+AC=CG+AC=CG+ACAG又AG八AG2+AA2BC2+602当BC最小且A、C、G三点共线时，AB+AC有最小值，即BC最小时，ABC周长最小II.求BC最小（如图6-3-2）易知，AABC是ZBAC=6O。定角，AH=30米定高的定角夹定高三角形作AABC的外接圆OO，连接OA、OB、OC,作OM丄BC于M设OO的半径为r米，则OM=米），BC=2BM=、：!（米）2AO+OMAH即r+-r30/.r20（米）2BC20履米），AB+ACAG=40/3米）C最小=20初3+403=603米）ABC在ABC中，ZBAC=60,高AD=30
18、,求AABC周长的最小值。（同上题第（3）问）【解】60*3。【法1】同上，作平行四边形转化上dBDC图7-1-1HDFO卩【法2】凤凰展翅.分别以AB、AC为腰，向外作等腰三角形延长CB至E,使AB=BE，延长BC至F,使AC=CF（如图7-1-1）易证AEF是ZEAF=120定角，AD=30定高的定角夹定高三角形【法1】作AAEF的外接圆。O，连接0E、OF.作垂直于EF的直径MN,延长AD交OO于G（如图7-1-2）由于此图为动态图，因此，MN与AG可以重合直径MN弦AG，即MOAPr则有r30+r602【法2】作厶AEF的外接圆0O,作0T丄EF于T,0K丄AD，交AD延长线于K,连接
19、AD（如图7-1-3）r在RtAAOK中，AOAK，即r30+二r6028.在AABC中，ZBAC=90，高AD=O的半径为r，则OE二r，MN二DM二2DE二r2AO+OEAB即r+3r2+3/.r22s二1AB-DM二1（2+13）r2+3ADM22CCC图9-210.如图，正方形ABCD的边长为4，动点E、F分别在BC、CD上，且ZEAF=45，则线段EF的最小值为;CEF面积的最大值为；四边形AECF面积的最大值为（可将“ZEAF=45”更改为“ZDAE二ZFEA”同题5）E8/29/29【答案】8営2-8；48-32込；32-16込【分析】因ZEAF=-ZBAD，且ZB+ZD=18
20、0。，则有半角模型，可旋转全等2【证明】（1）1.旋转全等构造探照灯延长CB至G,使BG=DF，连接AG（如图10T）易证ABG济ADF（SAS）,AGE济AFE（SAS），则EF=GE,ZGAE=ZF4E=45EF最小值，即求GE最小值易知AAGE为定角定高三角形II.作AAGE的外接圆OO,连接AO、GO、EO,作OH丄GC于H（如图10-2）设OO的半径为r,则OH二上2r,GE=41r2AO+OHAB即卩r/2r4r8-4C22EF=GE=、2r弘2-8Sa=-AB-GE=-x4x*2r=2、N162-16（2）age22Sa=S-S=S-2S=16-2S48-32、込CEFABCDA
21、BEFDABCDAGEAGE（3）S=S-Sa162-16ABE图10-2O图11-1（世界数学团体锦标赛试题）如图，E,F分别是正方形ABCD中BC中和CD边上的点，且ZEAF=45,求鲁的最小值证明】同第10题。【法1】定角夹定高则EF=（22-2）aDFBEC用第10题结论.若AB=a,EF=2、込-2AB【法2】代数法(如图12-1)易证蓝=，黄二，则GB=DF,GE=EF设正方形的边长为1,EF=y,CE=x，则CF=2-x-y在RtACEF中，CE2+CF2=EF2，即x2+(2-x-y)2=y2整理得，x2+(y-x)2+2-2y=0(将此方程看作关于x的一元二次方程)A=(y-
22、2)2-4(2-2y)0(y+2)28而y0y22-2EF=2*22AB如图，某园林单位要设计把四边形花圃划分为几个区域种植不同花草。在四边形ABCD中，ZBAD=45，ZB=ZD=90，CB=CD=6迈，点E、F分别为边AB、AD上的点，若保持CE丄CF,那么四边形AECF的面积是否存在最大值，若存在,请求出面积的最大值；若不存在，请说明理由。【分析】由三角形判定定理知ABC大小形状确定，确定必可求。倍半角+旋转全等+定角夹定高【证明】I.求四边形ABCD面积在AB上取G,使AG=GC。（如图13-1）易证ZCGB=45。,CB=GB=6、2,CG=AG=、;2CG=12S=2Sa=2x1A
23、B-BC=AB-BC=G+62）6CB即r+-r6*2/.r12,2122S=1CB-EH=1x6込x*2r=6r72,272CEH22S=SS&AB即r+1r3/.r22Sa二Sa二1AB-GE二1X333AEFAGE2215.如图，四边形ABCD中，AB=AD=4叮2,ZB=45,ZD=135,点E,F分别是射线CB、CD上的动点，并且ZEAF=ZC=60,求AAEF的面积的最小值.【分析】旋转全等+半角模型+定角夹定高【证明】延长CB至G,使BG=DF，连接AG,作AMLBC于M,作AAGE的外接圆OO,连接OA、OG、OE,作OHLBC于H（如图15-1和图15-2）AGE是ZGAE二
24、60定角,逅一_一AM盲AB二4定咼的定角夹定咼三角形图15-2易证aAGBAFD（SAS）,AGE莎AFE（SAS）设OO的半径为r,则GE=AM即卩r+r4/.rHYPERLINKlbookmark101oCurrentDocument23s二s二1AM-GE二1X4X13r16AEFAGE2316.（初中数学优质资源中心20190619）女口图，有一块四边形ABCD板材，AD=40f3cm,ZC=60,AD/BC,AB丄BC,工人师傅想从四边形ABCD的板材中截出一个四边形FMCN部件,且满足F在AB上,BF=80cm,AF=40cm，点M在CD上，点N在BC,ZMFN=9
25、0,这个四边形FMCN部件的面积是否存在最大值？若存在，求出面积最大值；若不存在，请说明理由。【分析】连接FD,发现四边形BCDF是邻边相等FD=BF,对角互补ZB+ZFDC=180。的四边形。旋转全等+定角夹定高【证明】连接AD,延长CB至E,连接FE作AEFN的外接圆OO，连接OE、OF、ON,作OGIEN于G.作DHLBC于H.（如图16-1和如16-2）易证EFBMFD（SAS）,BC=80*3EFN是ZEFN=30。定角，BF=80cm定高的定角夹定高三角形设OO半径为r,则EN二OE二r,OG二亘r2OF+OGBF即r+一r80/.r320-16032S二-BF-EN二-X80r1
26、2800-6400一TOCo1-5hzEFN22HYPERLINKlbookmark163oCurrentDocumentSSsSSAFMCNABCDAFDDFMBFN=SSSAABCDAFD_EFN=7200方8003SAEFNAD即r+豆rm3r4*3-62S=1AD-HF=-x、3r6-3込afh221111（1、vS=AF-HT=AFAH=AF-AEAFH222212丿S=2S12-6占AEFAFH=2sa2aef18.如图，O是正方形ABCD的中心，AOEF是以E为直角顶点的等腰直角三角形，OE=AB=4，OEF绕点O旋转，设它与正方形ABCD的重叠部分的面积为
27、S，求S的取值范围。【分析】分类讨论：N、M共线，此时为简单定角夹定高；麹、M不共线,此时需要旋转全等构造定角夹定咼【证明】I.当M、N共线时，S=S爲如图18-1）OMN作OMN的外接圆GP，连接OP、PM、PN，作OG丄CD于G，作PH丄CD于HOMN是ZMON=45定角，OG=AB=2定高的定角夹定高三角形2设OO的半径为r，则MC=、选,PH=2r2图18-1OP+PHOG即r+上一r2r4-2迈2S=Sa=-OG-MN=-x2八运r4込-4OMN22当M与D重合（或N与C重合）时，S最大=-S=28ABCD此时S的取值范围是4Q-4S2II.当M、N不共线时，S=（如图18-2-1和
28、图18-2-2）OMCN分别作OK丄BC于K,OP丄CD于P,在BC上取QK=PM,连接OQ,作厶。的外接圆OT,连接OT、TQ、ETN,作TU丄BC于UaOQN是ZQON=45定角，OK=2定高的定角夹定高三角形。设OT的半径为r,则NQ=OK即r+12r2r4-用s=10K-NQ4込-4ONQ2s=s=s一s、一SaOMCN正方形OPCKOPMOKN=s-Sa正方形OPCKONQ=4-S8-4“ONQ当M与C（N与C重合）时，S最小=8SABCD=2此时S的取值范围是2S8-2综上，S的取值范围是处2-4SDH即r+3r3运r123-182S戸1DH-EG=1X3爲r54-27打DEG22
29、III.aDEG与aEDF面积数量关系（如图19-3）如图19-3vS二1DE-NG二1DE-DG-sinZEDG二1DE-DFDEG224S二1DE-DFEDF2S二2S108-54点EDFDEG【总结】此题与前面的题目不同在于：因有邻边相等，故可旋转全等，经旋转aBDG与MED并未整合成一个图形，但观察到Z1DEG是定角夹定高；根据定角夹定高模型，可求aDEG最小值，发现aDEG与EDF面积关系，即可求aEDF的最小值。【旋转位似构造探照灯】（陕西初中数学学堂定角三角形研究二）如图，正ABC边长为3,D、E、F分别在边BC、AB、AC上,BD=2CD,ZEDF=60，求：ADEF面积的最小
30、值【分析】旋转位似+定角夹定高【证明】分别作DG丄AB于G,DH丄AC于H,将AB延长至M,取GM=2FH，连接MD。作ADEM的外接圆OO，连接OD、OE、OM,作ON丄AM于N。作MP丄ED于P,作FQ丄ED于Q.I.旋转位似，证ADEM是定角夹定高三角形（如图20-1）易证DG=2DH=、入4DGMDHF（SAS）,ZEDM=60则ADEM是ZEDM=60定角，DG=乙定高的定角夹定高三角形求ADEM面积的最小值（如图20-2）设GO的半径为r,则EM=/3r,ON=1r2OD+ONDG即r+1r3r23DEM22ADEM与ADEF面积数量关系（如图20-3）图20-2S=1DE-EP=
31、1DEdem22S=1DE-FQ=1DEdef22DM=_DE-DF=24DE、133x2DF=DE-DF22-DF=-S2dem2COD+OTDH即r+1r3r3246S=1DH-FK=1x亘x启r3dfk22416【.DEF与ADFK面积数量关系（如图21-3）11731S=DF-KQ=一DF-DK=DF-HYPERLINKlbookmark49oCurrentDocumentdfk2222117373D图21-2卫DE=2dfDE2416S=DF-EP=一DF-DE=DF-DE=SADEF2224DFK图21-3C（陕西初中数学学堂定角三角形研究二）（旋转全等）ABC,ZA
32、=120,AB=AC=1,D是BC中点，ZEDF=120，求：ADEF面积的最小值【证明】分别作DG丄AB于G,DH丄AC于H,在AH上取HK=EG,连接DK.作ADFR的外接圆OO,连接OD、OF、OK,作OT丄AC于T作EP丄FD,交FD延长线于P,作KQ丄DF于Q.I旋转全等，证ADFK为定角夹定高三角形（如图21-1）苗易证DK=DE,DFK是ZFDK=60。定角，DH=定高的定角夹定高三角形4II求aDFK面积最小值（如图21-2）设GO的半径为r,则KF=、/3r,OT=1r2（陕西初中数学学堂定角三角形研究二）在AABC中，ZA=120,AB=AC,D是BC上一点，CD=kBDC
33、D=k-BD,ZEDF=120,求：ADEF面积的最小值【证明】分别作DG丄AB于G,DH丄AC于H,延长FA,使HM=k-EG，连接DM.作OFM的外接圆OO,连接OD、OF、OM,作ON丄FM于N.作MP丄DF于P,作EQ丄FD,交FD延长线于QI.旋转位似，证ADFM为定角夹定高三角形（如图22-1）易证DM=k-DE,DMHDEG（SAS）设AB二AC二k+1,则DC=o3k,DH=k2J3易证ADFM为ZFDM=60。定角，DH=k定高的定角夹定高三角形2图22-1图22-2II.求ADFM面积的最小值（如图22-2）设GO的半径为r,贝FM=、J3,ON=1r2即r+rkr、k22
34、3=1x亘k八3r3k2224Sa=1DH-FMDFM2III.ADFM与ADEF面积数量关系（如图22-3）iV3V3DM=_DF-k-DE=k-DF-DESa=1DF-MP=1DF上3DFM22HYPERLINKlbookmark76oCurrentDocument2224ii4343i43Sa=DF-EQ=DF-DE=DF-DE=SkDEF2224kDFM4Q图22-3【PS】若AB=AC=1，计算结果，由相似三角形性质知，S也-DEF4（k+1）223.（陕西初中数学学堂定角三角形研究二）在厶ABC中，ZA=0，AB=AC，D、E、F分别是BC、AB、AC上的点,（0+6
35、-180。0），求DEF面积的最小值.（化简需用到高中诱导公式）【证明】解法和图同上0ZB=ZC=90。-，ZGDH=180。-02ZFDM=ZEDG+ZFDH=ZEDF-ZGDH=6+0-i80。CD=k-BD，ZEDF=6，设AB=AC=k+i，则BC=2（k+i）sin|，DC=2k-sinI，dh=2k-sin2cosI=k-sin0设OO半径为r，则FM=2FN=2OF-sinZFON=2r-sin（6+0-180。）=-2r-sin（6+0）ON=OF-cosZFON=OF-cos（6+0-180。）=-r-cos（6+0）TOD+ONDH即r+-r-cos（6+0）k-sin0.
36、k-sin0_1-cos（6+0）SADFM=2DH-FM=2k-sin0-2r-sin（6+0）-k2-sin20sin（6+0）1-cos（6+0）Sa=1DF-DM-sin（6+0-180。）=-1DF-k-DE-sin（6+0）DFM22Sa=1DF-DE-sin6=DEF2sin6k-sin（6+0）SDFMk-sin20sin6_1-cos（6+0）若AB=AC=1，Sk-sin20sin6一cos（67（全国初中数学草根研究群）在矩形ABCD中，DA=2AB=4，点E是BC上一点，点F在CD上，若ZEAF=45求氏的最小值AEF【证明】延长CB至G，使GB二1DF,连接AG.作A
37、EG的外接圆OO,连接AO、2GO、OE，作OH丄BC于H（如图24-1和24-2）易证AG=-AF,AAEG是ZGAE=45。定角，AB=2定高的定角夹定高三角形2设GO的半径为r，则OH=2r,ge二込厂2逅lAO+OHAB即卩r+r2/.r4-2过22Sa=1GE-AB=41r42-4AEG2s=1AE-AF-sinZEAF=AE-AF又AEF24saeg=2AE-AG-sinZGAE=2AE-2AF-sinZGAE寻AE-AFSa=2Sa82-8AEFAEG图24-1O图24-2（全国初中数学草根研究群）在矩形ABCD中，AB=9,AD=12，E、F分别是BC、CD上的动点，tanZE
38、AF二4，求的最小值3AEF3【证明】延长CB至G，使BG二-DF，连接AG。作AEG的外接圆OO,连接AO、4GO、EO，作OH丄BC于H(如图25-1和图25-2)33易证AG=2AF，AEG为ZGAE为定角(tanZGAE)，AB=9定高的定角夹定高44三角形-6设GO的半径为r,则OH=一r,GE=2GH=2xr=r554AO+OHAB即卩r+r9/.r55.Sa=1AH-GE=x9x-r=丄r27TOCo1-5hzHYPERLINKlbookmark210oCurrentDocumentaeg2255A1339又tS=AE-AG-sinZGAE=AEAF=AE-
39、AFHYPERLINKlbookmark214oCurrentDocumentAEG21044010As=AE-AF-sinZEAF=AE-AF=SAAEF259AEG-s=ws48AEF9AEGGBHE图25-2/29BEHC图27-126.在矩形ABCD中，AB=a,DA=b,tanZEAF二-，求S的最小值maef【证明】延长CB至G，使BG二-DF，连接人6。作厶AEG的外接圆OO,连接AO、GO、bEO，作OH丄BC于H.（如图26-1和图26-2）易证AG=aAF，AEG是ZGAE定角（tanZGAE=m），AB=a定高的定角夹定高三角形bn设OO的半径为r，则OH
40、二=m2+n2r,GE二2GH二2mvm2+n2DFE图26-1GBAO+OHAB即r+ram2+n2am2+n2rn+m2+n2112m.S=AB-GE=x2XrAEG22Jm2+n22amn+耳m2+n211am又S=AE-AG-sinZGAE=AEAF-AEG22bm2+n2-mAE-AF2+n211nnbnS=AE-AF-sinZEAF=一AE-AF=.AE-AF=SAAEF22m2+n22衬m2+n2amAEG2am2bns=L容b上AEFamAEGamn+莓m2+n2n+m2+n227.在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点E、F分别在BC、CD上，且ZEAF=45，则EF的最小
41、值是.【分析】看到此题立刻联想到定角夹定高解题套路，经减小探究发现，此题只能通过定角夹定高解题方法求出Sa的最小值，无法继续求出EF的最小值。（且AEF不是定角定高三角形）有可能我没想到。AEF注意到ZEAF=45定角，可以考虑隐圆解决。【证明】作厶AEF的外接圆GP，过P作GH丄AD于G，交BC于H，作PK丄CD于K（如图27-1）设CP的半径为r，PH=h，则AP二EP二FP二r易证ZEPF=90，PHE沬PKF（AAS），得PH=PK则四边形PHCK为正方形.PH=PK=GD=h，AG=4-h，GP=3-h，EF=、3r在RtAAPG中，AG2+GP2=AP2，即（7、2（4-h）2+（
42、3-h）2=r2整理得，r2=2h2-14h+25=2h-直角边PH，即rh，贝U+2（r关于h的函数）/29图28-32h2-14h+25h2h7+2x6（舍）或h7-2/67当h-时，r随h的增大而减小2.当h=7-26时，r最小=7-26EF最小=、込丫=72-43【PS】若求AEF的最小值，贝U用定角夹定高解题方法解题【证明】延长CB至G,使BG二3DF，连接人6。作厶AEG的外接圆OO，连接0A、4OG、OE,作0H丄BC于H.（如图27-2-1和图27-2-2）3易证AG=2AF,AGE是ZGAE=45。定角，AB=3定高的定角夹定高三角形4设OO的半径为r,则OH=叵r,GE=
43、AB即r+2r3:.r6-3爲图27-2-22Sa=-AB-GE=-x3x込r9込-9AGE22又Sa=-AE-AG-sinZGAE=-AE-3AF二=亠AE-AFage224216Sa=1AE-AF-sinZEAF=-AE-AF叵=4S122-12aef2223age28.如图，四边形ABCD中，ZA=135，ZB=60，ZD=120，AD=5,AB=6,E、F分别为边BC及射线CD上的动点，ZEAF=45,求AAEF面积的最小值.【证明】作AH丄BC于H,AG丄CD,交CD延长线于G,延长HB至M,使6HM=GF，作AAEM的外接圆OO,连接OA作FP丄AE于P（如图28-1、图28-2、
44、5图28-3）易证M“AGF（aa）罟=AG=罟=I，zmah=zfag:上MAE=AMAH+上EAH=上FAG+上EAH=90。,AH=3ab=3吕2:AEM是ZMAE=90。定角，AH=33定高的定角夹定高三角形设GO的半径为r,则ME=2rvOAAH:r33S=-AH-ME=-X33X2r27AEM22HYPERLINKlbookmark198oCurrentDocument-63又S=AE-AM=AEAF=AE-AFHYPERLINKlbookmark123oCurrentDocumentaem2255S=-AE-FP=丄AE辺AF二辽AE-AFaef222
45、4:S=-22S手2AEF12AEM4/29图31-3/2929.如图，四边形ABCD中，ZB=ZD=60,ZC=90。,AD=2AB=2,M、N分别在直线BC、CD边上，ZMAN=60,求AAMN面积最小值.【证明】作AEBC于E,AF丄CD于F,在FG上取FG=2EM，连接AG。作AANG的外接圆GO，连接AO、ON、OG,作OH丄CD于H,MQ丄AN于Q,GP丄AN于P（如图29-1、图29-2和图29-3）图29-2图29-3易证AF=2AE=3,AFGAEM，则AF=-FG=些=2,ZGAF=ZMAEAEEMAM上NAG=ZGAF+ZNAF=ZMAE+ZNAF=90。-60。=3
46、0。：4ANG为ZNAG=30。定角，AF=AF即r+-r；3r4方一62S=1AF-NG=-八沢r6-3.3TOCo1-5hzAGN22tSa=1AN-GP=1AN丄AG=1AN丄x2AM=1AN-AMang222222S=1AN-MQ=1AN叵AM=上3S,amn2222ang2【8字相似构造探照灯】重点：如何处理定角为钝角的定角定高30.（初中数学优质资源中心20190627）如图，ZMEN=90,其顶点E为正方形ABCD边BC的中点，正方形的边长为4,将ZMEN绕点E旋转,边EM与正方形的边交于点F,边EN与正方形的边交于点G,求AEFG面积的取值范围.【分析】三垂直+定角定高
47、.分三种情况：F、G分别在AB、AD；F、G分别在AB、CD；F、G分别在AD、CD.两种情况实际一样【证明】当F、G分别在AB、AD时（如图30-1）作GH丄BC于H易证EBFGH（三垂直），则GE=2EFS=-EF-GE=1EF-2EF=EF2EFG22此时，EF最小即F与B重合，EF=BE=2,S=4最小EFGEF最大即G与D重合，EF=-EG=-DC2+EC2=u5,S=5最大22EFG4SEC,.r2Sa二Sa=1EC-KG=1X2x2r4EFGGEK22当G与D重合时，S最大=5EFG4S5EFG综上，4SAEFGEN=EA+AN=6+1r:.r122s=1EA-HG=1X6X伍R
48、36x3EHG22m.EHG与厶EFG面积数量关系（如图31-3）AD/29113Sa=EH-GT=xEF-GTEHG222Sa=1EF-GT=-S243EFG23EHG【法2】作等腰三角形+旋转全等=EHG为等腰三角形时面积最小（如图31-4）不妨只讨论EHEG（EGEH情况相同）作EA为高，顶角为120（E为顶角顶点）的等腰AEOQ，在EG上取EU二E0,连接UQ图31-4易证EHO注EUQ（SAS）,S=36P3EOQ,SSAEHOEQUEHOEQGS=S+SS+S=S3葩EHGEHQEQGEHQEHOEOQ过程略【PS】由此可见，定角夹定高三角形求最值问题，可以用两种方法：一是隐圆，
49、作定角夹定高三角形的外接圆；二是通过构造最小值时的三角形即等腰三角形，再用旋转全等去对面积割补，比较大小，说明等腰三角形时的面积是最小。32.（平几大典）/BAM=/ABN=90，/MPN=60，AP=2PB=2,求PM的最小值【证明】延长MP、NB交于C，作ACPN的外接圆OO，连接OC、OP、ON，作OD丄CN于D，OE垂直PB于E，NF丄PM于FI.证明ACPN是定角夹定高三角形（如图26-1）易证AMPBCP,则CP=1PM,ZCPB=ZAPM2aCPN为ACPN=120。定角，PB=1定高的定角夹定高三角形II.求ACPN面积最小值（如图26-2）设OO的半径为r,则CN=43r,O
50、D=BE=1r2OPPE=PB+BE即r1+丄厂：.r22S=1PB-CN=1x1x頁r3CPN22【.CPN与厶PMN面积数量关系（如图26-3）S=1CP-NF=1x1PM-NFcpn222S=1PM-NF=2S2.3PMN2CPN【法2】不妨套路PCPN的情况（如图26-4）作以P为顶角顶点，顶角为120，高为PB的等腰HPG，在PN上取K，使PK=PC，连接KG图32-4TOCo1-5hz易证PHC沦PGK（SAS）,S=3HPGS二1PK-GTS二1PN-GT1PK-GT二SAPGK2PGN22PGK则S二SAD=13(m)S=S=1ad-DP=50=3(m)AEPADP2S=2S=100-3(m2)四边形ADPEADPIII.求ABC的面积最大值（如图33-3-2）BfGFcO.:1TOCo1-5h