圆锥曲线与方程教材分析|王新敞高中数学必修四_在线学习

1、新课标人教版（A）高中数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程王新敞第二章圆锥曲线与方程教材分析为了更好的把握圆锥曲线与方程这部分内容的要求，首先需要明确整体定位。标准对圆锥曲线与方程这部分内容的整体定位如下：“在必修阶段学习平面解析几何初步的基础上，在本模块中，学生将学习圆锥曲线与方程，了解圆锥曲线与二次方程的关系，掌握圆锥曲线的基本几何性质，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步体会数形结合的思想。”一、内容与课程学习目标（1）圆锥曲线：了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际

2、问题中的作用。经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质。了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质。能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题（直线与圆锥曲线的位置关系）和实际问题。通过圆锥曲线的学习，进一步体会数形结合的思想。（2）曲线与方程：结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步感受数形结合的基本思想。二、内容安排本章包括4节，约需13课时，具体分配如下（仅供参考）：2-1曲线与方程约2课时2-2椭圆约4课时2-3双曲线约3课时2-4抛物线约2课时小结约2课时三、教学

3、要求在引入圆锥曲线时，应通过丰富的实例（如行星运行轨道、抛物运动轨迹、探照灯的镜面），使学生了解圆锥曲线的背景与应用。教师应向学生展示平面截圆锥得到椭圆的过程，使学生加深对圆锥曲线的理解。有条件的学校应充分发挥现代教育技术的作用，利用计算机演示平面截圆锥所得的圆锥曲线。教师可以向学生展现圆锥曲线在实际中的应用，例如，投掷铅球的运行轨迹、卫星的运行轨迹。曲线与方程的教学应以学习过的曲线为主，注重使学生体会曲线与方程的对应关系，感受数形结合的基本思想。对于感兴趣的学生，教师也可以引导学生了解圆锥曲线的离心率与统一方程。有条件的学校应充分发挥现代教育技术的作用，通过一些软件向学生演示方程中参数

4、的变化对方程所表示的曲线的影响，使学生进一步理解曲线与方程的关系。椭圆及其标准方程教学首先从探究活动开始：取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，看看这时笔尖（动点）画出的轨迹是什么？（圆），如果把两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹又是什么？讨论：这个环节，是为了更好的体现探究性，在传统教材的基础上，先设置了细绳的两端都固定在图板的同一点处的情况，实际的教学应怎样操作？有这么几种：教师自己演示（用自作的教具或几何画板），学生观察教师课前要求所有的学生都自带学具到课堂上进行操作，教师带教具，让学生到台前

5、进行操作，其他同学观察。椭圆与抛物线的简单几何性质是指：椭圆：范围、对称性、顶点和刻画椭圆的扁平程度的概念-离心率（定义性概念）抛物线：范围、对称性、顶点和离心率（定义性概念）例如：判断方程6x2+10y2=60所描述的曲线是什么曲线？如果是椭圆请写出其标准方程并写出焦点、顶点坐标和离心率在这样的题目中我们不能再增加“并写出准线方程”一问双曲线的的有关性质是指：范围、对称性、顶点、渐近线和离心率（定义性概念）圆锥曲线的参数方程在这里不作要求，不必引入教学，对它们的学习将在选修系列4坐标系与参数方程中学习用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题仅限于直线与圆锥曲线的位置关系解决实际问题也

6、是初步利用圆锥曲线模型曲线与方程例如：如果命题“坐标满足方程F（x,y）=0的点都在曲线C上”不正确，那么，以下正确的命题是（）A、坐标满足方程F（x,y）=0的点都不在曲线C上B曲线C上点坐的标都满足方程F（x,y）=0C一定有不在曲线C上的点，并且其坐标满足方程F（x,y）=0D坐标满足方程F（x,y）=0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上虽然这是一个很好的既复习逻辑内容又欲帮助学生理解曲线与方程关系的题目我们认为在这里提出不太适宜，虽然学生在必修部分的数学2的直线和方程、圆与方程，也学习了圆锥曲线方程，有了一定的感性认识，因为本题给出的是抽象的曲线和方程，太抽象

7、，不利于实现课程标准提出的：“结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步感受数形结合的基本思想”的要求使学生经过内化，对曲线和方程的关系从具体到一般，形成一个更加系统、完整的认识。四、重、难点的分析教学重点是：经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握椭圆的定义、标准方程、几何图形及简单性质理解坐标法的基本思想了解双曲线的定义、标准方程、几何图形及有关性质经历从具体情境中抽象出抛物线模型的过程，掌握抛物线的定义、标准方程、几何图形及简单性质掌握圆锥曲线标准方程中a,b,c,p的几何意义；初步了解圆锥曲线的离心率e能用坐标法判断直线和圆锥曲线的位置关系了

9、的关系.下面我们进一步研究一般曲线和方程的关系n.讲授新课1.曲线与方程关系举例：师：我们知道，两坐标轴所成的角位于第一、三象限的平分线的方程是xy=0.这就是说，如果点M（Xo,yo）是这条直线上的任意一点，它到两坐标轴的距离一定相等，即Xo=yo,那么它的坐标（X0,yo）是方程xy=0的解；反过来，如果（X0,y0）是方程Xy=0的解，即X0=y0,那么以这个解为坐标的点到两轴的距离相等，它一定在这条平分线上.（如图）又如，以（a,b）为圆心、r为半径的圆的方程是（x-a）（x0-a）2（y0-b）2二r，即以这个解为坐标的点到点（a,b）的距离为r，它一定在以

10、为圆心（a,b）、r为半径的圆上的点。（如右图）.2.曲线与方程概念一般地，在直角坐标系中，如果其曲线c上的点与一个二元方程f（x,y）=0的实数解建立了如下的关系：曲线上的点的坐标都是这个方程的解；以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线（y-b）2=r2。这就是说，如果M（x0,y0）是圆上的点，那么它到圆心的距离一定等于半径，即.（Xo-a）2（yo-b）2=r,也就是（xa）2（y。-b）2=r2，这一222说明它的坐标（xo,y。）是方

13、析几何的基本思想；2了解用坐标法研究几何问题的初步知识和观点；3.初步掌握求曲线的方程的方法.（二）教学重点与难点求曲线的方程，求曲线方程一般步骤的掌握（三）教学过程I.复习回顾：师：上一节，我们已经建立了曲线的方程.方程的曲线的概念.利用这两个重要概念，就可以借助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标（x,y）所满足的方程f（x,y）=O表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.这一节，我们就来学习这一方法.n.讲授新课1解析几何与坐标法：我们把借助于坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法.在数学中，用坐标法研究几何图形的知识形成了

14、一门叫解析几何的学科.因此，解析几何是用代数方法研究几何问题的一门数学学科.2平面解析几何研究的主要问题：（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；（2）通过方程，研究平面曲线的性质.说明：本节主要讨论求解曲线方程的一般步骤例2设A、B两点的坐标是（一1,-1）,（3,7）,求线段AB的垂直平分线的方程.解：设M（x,y）是线段AB的垂直平分线上任意一点（如图），也就是点M属于集合PM|MA|=|MBA由两点间的距离公式，点M所适合条件可表示为:（X1厂（厂1）2门厂（厂7）2将上式两边平方，整理得：x+2y-7=0我们证明方程是线段AB的垂直平分线的方程（1）

16、表示曲线上任意一点M的坐标;（2）写出适合条件P的点M的集合P=M|P（M）；（3）用坐标表示条件P（M），列出方程f（x,y）=O;（4）化方程f（x,y）=0为最简形式；5）可以省略不写，如有特2），直接列出曲线方程（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点说明：一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤（殊情况，可适当予以说明另外，根据情况，也可以省略步骤（师：下面我们通过例子来进一步熟悉求曲线轨迹的一般步骤例3已知一条曲线在x轴的上方，它上面的每一点到点A（0，2）的距离减去它到x轴的距离的差都是2,求这条曲线的方程解：如图所示，设点M（x,y

17、）是曲线上任意一点，MB丄x轴，垂足是B,那么点M属于集合P二M|MA|-|MB|=2.由距离公式，点M适合的条件可表示为:x2(y-2)2-y=2将式移项后再两边平方，得222x+(y-2)=(y+2)，化简得:y因为曲线在x轴的上方，所以属于已知曲线，所以曲线的方程是12x8y>0,虽然原点O的坐标（0,0）是这个方程的解，但不12yx（x丰0）。8师：上述两个例题让学生了解坐标法的解题方法，明确建立适当的坐标系是求解曲线方程的基础；同时，根据曲线上的点所要适合的条件列出等式，是求曲线方程的重要环节，在这里常用到一些基本公式，

19、过程：当变化的平面与圆锥轴所成的角在变化时，观察平面截圆锥的截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是什么图形？又是怎么样变化的？特别是当截面不与圆锥的轴线或圆锥的母线平行时，截口曲线是椭圆，再观察或操作了课件后，提出两个问题：第一、你能理解为什么把圆、椭圆、双曲线和抛物线叫做圆锥曲线；第二、你能举出现实生活中圆锥曲线的例子.当学生把上述两个问题回答清楚后，要引导学生一起探究P41页上的问题（同桌的两位同学准备无弹性的细绳子一条（约10cm长，两端各结一个套），教师准备无弹性细绳子一条（约60cm,端结个套，另一端是活动的），图钉两个）当套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的图形是椭圆启发性提问

20、：在这一过程中，你能说出移动的笔小（动点）满足的几何条件是什么？板书2.1.1椭圆及其标准方程.（2）新课讲授过程（i）由上述探究过程容易得到椭圆的定义.把平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆（ellipse）.其中这两个定点叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距.即当动点设为M时，椭圆即为点集PJ.M|MF-|MF2=2a.（ii）椭圆标准方程的推导过程已知图形，建立直角坐标系的一般性要求是什么？第一、充分利用图形的对称性；第二、注意图形的特殊性和一般性关系.无理方程的化简过程是教学的难点，注意无理方程的两次移

21、项、平方整理.设参量b的意义：第一、便于写出椭圆的标准方程；第二、a,b,c的关系有明显的几何意义.22yx类比：写出焦点在y轴上，中心在原点的椭圆的标准方程22=1ab0.ab（iii）例题讲解与引申53）例1已知椭圆两个焦点的坐标分别是（-2,0）,（2,0），并且经过点.一，-一，求它的122丿标准方程.分析：由椭圆的标准方程的定义及给出的条件，容易求出a,b,c.引导学生用其他方法来解.解：设椭圆的标准方程为2x2a531ab0，因点一，在椭圆上,（22丿94b2=1b2例2如图，在圆x2y2=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D

22、为垂足当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？分析：点P在圆x2y2=4上运动，由点P移动引起点M的运动，则称点M是点P的伴随点，因点M为线段PD的中点，则点M的坐标可由点P来表示，从而能求点M的轨迹方程.22引申：设定点A6,2,P是椭圆y1上动点,259求线段AP中点M的轨迹方程.解法剖析：（代入法求伴随轨迹）设Mx,y,Px-!,y1:（点与伴随点的关系）M为线段AP的中点,=2x-6;=2y_2（代入已知轨迹求出伴随轨迹）22xiy1-二=1,点M的轨迹方程为259伴随轨迹表示的范围.例3如图，设A,B的坐标分别为-5,0

23、,5,0.直线AM,BM相交于点M,4且它们的斜率之积为，求点M的轨迹方程.9分析：若设点Mx,y，则直线AM,BM的斜率就可以用4含x，y的式子表示，由于直线AM,BM的斜率之积是-，因此,可以求出x,y之间的关系式，即得到点M的轨迹方程.解法剖析：设点Mx,y，则kAM=yx=-5,kBM=x=5;x+5x5代入点M的集合有一yy4，化简即可得点M的轨x+5x59迹方程.引申：如图，设ABC的两个顶点A-a,0,Ba,0,顶点C在移动，且kAckBc二k，且k0，试求动点C的轨迹方程.新课标人教版（A）高中数学选

26、过对曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置要从范围、对称性、顶点及其他特征性质来研究曲线的几何性质.（ii）椭圆的简单几何性质22范围：由椭圆的标准方程可得，每=1-与_0，进一步得：-a乞x岂a，同理ba可得：-b岂y空b，即椭圆位于直线x二a和y二b所围成的矩形框图里；对称性：由以-X代x，以-y代y和-X代x，且以-y代y这三个方面来研究椭圆的标准方程发生变化没有，从而得到椭圆是以x轴和y轴为对称轴，原点为对称中心；顶点：先给出圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点.因此椭圆有四个顶点，由于椭

28、m0的离心率为求m的值.奎屯市第一高级中学第40页解法剖析：依题意，m.0,m=5，但椭圆的焦点位置没有确定，应分类讨论：当焦点在x轴上，即0：m5时，有m=3；当焦点在y轴上，即m5时，有a=m,b-、5,c=乐m-5,m_5”025m、m53例5如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一部分.过对对称的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点Fi上，片门位于另一个焦点F2上，由椭圆一个焦点Fi发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2.已知BC_F1F2,F|B=2.8cm,F1F2=4.5cm.建立适

29、当的坐标系，求截口BAC所在椭圆的方程.解法剖析：建立适当的直角坐标系，设椭圆的标准方程为22寻_yy=1，算出a,b,c的ab值；此题应注意两点：注意建立直角坐标系的两个原则；关于a,b,c的近似值，原则上在没有注意精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定.引申：如图所示，“神舟”截人飞船发射升空，进入预定轨道开始巡天飞行，其轨道是以地球的中心F2为一个焦点的椭圆，近地点A距地面200km，远地点B距地面350km，已知地球的半径R=6371km.建立适当的直角坐标系，求出椭圆的轨迹方程.例6如图，设Mx,y与定点F4,0的距离和它到直线I:4，求点M的

33、)222ccaa二|xa||x|二e|x|aacc问题1：你能将所得函数关系叙述成命题吗？(用文字语言表述)2ac椭圆上的点M到右焦点F(c,0)的距离与它到定直线x的距离的比等于离心率一ca问题2:你能写出所得命题的逆命题吗？并判断真假？(逆命题中不能出现焦点与离心率)a2动点M到定点F(c,0)的距离与它到定直线x的距离的比等于常数cc(ac)的点的a轨迹是椭圆.3.椭圆的第二定义当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数个点的轨迹是椭圆.定点是椭圆的焦点,定直线叫做椭圆的准线，常数ce(0：e：1)时，这ae是椭圆的离心率.2

34、2对于椭圆刍=1，相应于焦点ab2F(c,O)的准线方程是c根据对称性，相应于焦2点F(-c,0)的准线方程是222对于椭圆与务=1的准线方程是y=acab可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比,何意义.这就是离心率的几由椭圆的第二定义.巴巳=e可得:d右焦半径公式为|MF右|=ed2a=e|x|=aex；c左焦半径公式为|MF左|=ed2a=e|x_()|=aexc4.典型例题x2例1求椭圆一52J=1的右焦点和右准线；左焦点和左准线;162_-a解：由题意可知右焦点F(c,0)右准线x；左焦点F(-c,0)

36、.|MF2I二8.5另解：点M到左准线的距离是2.5,所以点M到右准线的距离为2匚2.5856|MF2|d2=e.|MF2|二ed285-8.55.椭圆第二定义的应用和第一定义的应用例3点P与定点A（2,0）的距离和它到定直线X=8的距离的比是1：2,求点P的轨迹；解法一：设P（x,y）为所求轨迹上的任一点，则一0色I由化简得1，|x-8|21612故所的轨迹是椭圆。2解法二：因为定点A（2,0）所以C=2，定直线x=8所以x==8解得a=4，又因c为故所求的轨迹方程为16212离心率;问题2：求出椭圆方程22X.y4322X

38、目中有三个条c21件，所以我们必须进行检验，又因为=2另一方面离心率就等于丄这是两上矛盾a烦2的结果，所以所求方程是错误的。又由解法一可知，所求得的椭圆不是标准方程。6.小结：以后有涉及到“动点到定点的距离和它到定直线的距离的比是常数时”最好的方法是采用求轨迹方程的思路，但是这种方法计算量比较大；解法二运算量比较小，但应注意到会不会是标准方程，即如果三个数据可以符合课本例4的关系的话，那么其方程就是标准方程，否则非标准方程，则只能用解法一的思维来解。7课后作业1.方程2.(x-1)2(y-1)2|xy2|表示什么曲线？解:(x-1)(y-1)222：1;即方

41、。-(PF1PF2)2-2PF1PF2(1cos"pFpF(PRPF2)2-4c24a2-4c22b2122(1+cos)2(1+cos)1+cosG1-SZF1PF2=2PF1|PF2sin匚1+cos日sinJ-b2tan222性质二：已知椭圆方程为=1（ab0）,左右两焦点分别为FF2,设焦点三角形abPF1F2，若F1PF2最大，则点P为椭圆短轴的端点。PF12+PF12F1F2I2(|PF+PF2I)22|PFPF2|4c22pfJIPF2-2IPF1IIPF2I证明：设P（xo，y。），由焦半径公式可知：PF=

46、操作方法（二）教学重点与难点双曲线标准方程（三）教学过程（1）预习与引入过程当变化的平面与圆锥轴所成的角在变化时，观察平面截圆锥的截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是什么图形？又是怎么样变化的？特别是当截面与圆锥的轴线或平行时，截口曲线是双曲线，待观察或操作了课件后，提出两个问题：第一、你能理解为什么此时的截口曲线是双曲线而不是两条抛物线；第二、你能举出现实生活中双曲线的例子.当学生把上述两个问题回答清楚后，要引导学生一起思考与探究P56页上的问题（同桌的两位同学准备无弹性的细绳子两条（一条约10cm长，另一条约6cm每条一端结一个套）和笔尖带小环的铅笔一枝，教师准备无弹性细绳子两条（一条

48、F1MF2|=2a>.（ii）双曲线标准方程的推导过程已知椭圆的图形，是怎么样建立直角坐标系的？类比求椭圆标准方程的方法由学生来建立直角坐标系.无理方程的化简过程仍是教学的难点，让学生实际掌握无理方程的两次移项、平方整理的数学活动过程.类比椭圆：设参量b的意义：第一、便于写出双曲线的标准方程；第二、a,b,c的关系有明显的几何意义.22类比：写出焦点在y轴上，中心在原点的双曲线的标准方程每-仔=1a0,b0.ba(iii)例题讲解、引申与补充例1已知双曲线两个焦点分别为F1-5,0，F25,0，双曲线上一点P到F1，F2距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程

49、.分析：由双曲线的标准方程的定义及给出的条件，容易求出a,b,c22补充：求下列动圆的圆心M的轨迹方程：与OC:x2y=2内切，且过22点A(2,0);与Oc1:x2+(y-1)=1和OC2:x2+(y-1)=4都外切；与OC1:2222x3i亠y=9外切，且与OC2:x-3i亠y=1内切.解题剖析：这表面上看是圆与圆相切的问题，实际上是双曲线的定义问题.具体解：设动圆M的半径为r.-/OC与OM内切，点A在OC夕卜，MC|=rJ2,MA=r，因此有MA|MC=J2，点M的轨迹是以C、A

50、为焦点的双曲线的左支，即M的轨迹方程是2x2一牛=1x岂一、2；/OM与OC1、OC2均外切，MCj=r+1,MC2=r+2,因此有MC2MC1=1，点M的轨迹是以C2、C1为焦点的双曲线的上支，M的轨迹方程是，24x23；疋4y1!y_3I4丿/M与LG外切，且M与LC2内切，MC1=r+3,MC2=r1，因此MGMC2=4，点M的轨迹是以G、C2为焦点的双曲线的右支，M的轨迹22方程是D1x_2.45例2已知A,B两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s，

THE END

圆锥曲线与方程教材分析

高中数学圆的标准方程教案

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