备战2024年高考数学模拟卷01（新高考I卷专用）
第I卷（选择题）
一、单项选择题
1.设集合4={闻国<1},集合3={x|y=},则AB=（）
A.（-1,1）B.（0,1）C.［0,1）D.（1收）
k答案1C
KW析UA={XH 2.已知复数z满足iz=-l+2i,则复数三在复平面内对应的点位于（） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 （答案》D rz分力_Lr-T1—l+2i（―1+2i）,i.— K解析Uiz=-l+2inz=-；—=---------=2+i=>z=2-i， 11 所以复数N在复平面内对应的点位于第四象限，故选D 3.函数y=cos2x+sin（］—x）的最小值为（） 95 A.-2B.—C.—D.0 88 ［答案XB （兀、1,9 k解析Uy-cos2x+sin——x=2cos2x+cosx-1=2（cosx+—）2—— （2J48 1Q 当cos尤=-：时，取得最小值为故选B 48 4.已知等差数列{%}的前5项和S$=35,且满足%=13%,则等差数列{4}的公差为（） A.-3B.-1C.1D.3 ［答案》D II解析HS5=5q+10d=35；%=%+41=13%,解得d=3,q=1,故选D 5.龙洗，是我国著名的文物之一，因盆内有龙纹故称龙洗，为古代皇宫盥洗用具，其盆体 可以近似看作一个圆台.现有一龙洗盆高15cm,盆口直径40cm,盆底直径20cm.现往盆 内倒入水，当水深6cm时，盆内水的体积近似为（） A.1824cm3B.2739cm3C.3618cm3D.4512cm3 (答案》B K解析》如图所示，画出圆台的立体图形和轴截面平面图形，并延长EC与FD于点G. 根据题意，AB=20cm,CD=10cm,AC=15cm,EC=6cm, 设CG=xcm,EF=ycm 所以与="TW土Y+箕6解得％=15,y=14, x 所以旷=:(无-142+%-1()2+兀14-10>6=872兀°2739(。113),故选B. ->)5的展开式中的系数为80,则机的值为() A.-2B.2C.-1D.1 K答案XA K解析R|-+my\(2x-y)5=-(2x-y)5+my(2x-y)5, \XJX 5r4rr 在工(2尤-y)5的展开式中，由/G(2x)5T(_yy=(-iy-2-C；X-y, X f4-r=21. 令/，得一无解，即一(2x->)5的展开式没有的项； r=4x 在my(2x-的展开式中，由利;G(2x尸(-4=(-1)，-加C05-y+1 5—r=2 令解得r=3, r+1=4 即冲(2x7)5的展开式中x2/的项的系数为(-1尸25%=-40相, 又(2x+my)(x-的展开式中元2y，的系数为80, 所以-40m=80,解得m=-2,故选A. 22 7.在平面直角坐标系尤Oy中，双曲线C:二-2=l(a>0,b>0)的左、右焦点分别为耳，耳, ab 点M是双曲线右支上一点，且△。力明为等边三角形，则双曲线。的离心率为() A.>/3+1B.苴+1C.2(^-1)D. k解析》如图示，连结〃片. 因为叫为等边三角形，所以QM=|河闾用4|=C. 所以ZMOF2=NOF2M=60°. 因为QM=|。制，所以/。次=/。耳四. XZ.OMFX+ZOFiM=ZMOF2=60°,所以NOMF；=NO耳M=30。，所以“〃耳=90。. 在V&M耳中，/耳片”=60。，所以眼周=121160。阿玛=代. 由双曲线的定义可得：\MF^-\MF^=2a,即及一c=2a, 所以离心率0=￡=4~7=百+1，故选A. a<3-1 3 8.设。=而，8=山1.03,c=e°03—l,则下列关系正确的是() A.a>b>cB.b>a>c C.c>b>aD.c>a>b k答案』c K解析X记/(x)=e「l-xgO). 因为4(x)=e，T,所以当x>0时，r(x)>0,所以〃x)在(0,4w)上单调递增函数, 所以当x>0时，/(x)>/(O)=O,即e"l>无，所以e0°3-1>0.03. ifig(x)=ln(l+x)-x,(x>0). 因为g'(无)=±-1=/<0,所以g(x)在(。,+8)上单调递增函数， 所以当X>0时,g(x) 所以己力(x)=ln(l+x)—j^~,(x2O). ］］x 因为〃（4）=k_（］+同2=（1+尤）2，所以当尤＞0时，〃（力＞0,所以/7（X）在（o,y）上单 调递增函数,所以当x>0时，M%)>/i(O)=O,即ln(l+x)>上，所以lnl.03>—-=二 ''''')1+x1+0.03103 所以匕＞。，综上所述：c＞6＞a.故选：C 二、多项选择题 9.立德中学举行党史知识竞赛，对全校参赛的1000名学生的得分情况进行了统计，把得分 数据按照［50,60）、［60,70）J70,80）J80,90）、［90,100］分成5组，绘制了如图所示 的频率分布直方图，根据图中信息，下列说法正确的是（） A.图中的x值为0.020B.这组数据的极差为50 C.得分在80分及以上的人数为400D.这组数据的平均数的估计值为77 （答案XACD K解析》由（0.005+尤+0.035+0.030+0.010）x10=1,可解得x=0.020,故选项A正确; 频率分布直方图无法看出这组数据的最大值和最小值，故选项B不正确； 得分在80分及以上的人数的频率为（0.030+0.010）x10=0.4, 故人数为1000x0.4=400,故选项C正确； 这组数据的平均数的估计值为：55x0.05+65x0.2+75x0.35+85x0.3+95x0.1=77 故选项D正确. 故选：ACD. 10.已知函数/（%）=5皿0%+。）］。〉0,|同＜三）的部分图象如图所示，则（） ［答案』AD 13兀 K解析U由图可知/（0）=sine=-j且同〈万 /'（x）=0cos（5+0）,由图可知/'（0）=&cos0>0,/.cos^>0, II兀兀 r/7兀）.（Inco兀、八lna＞TI,,12k+2.~ 又二|=sm|n-：|=0,则nr--------=hi,keZ,即an。=-------，左eZ, U2jI126）1267 T7兀3T7TI7TIlit2兀7兀1218 又由图一〈一＜一，则一＜T＜一，即一＜一＜一,则一＜0〈一，；.0=2. 2124969a677 故选：AD. 11.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴 的方向射出.反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已 知抛物线C：9=2x,。为坐标原点，一束平行于x轴的光线4从点P（m,2）射入，经过C上 的点4（%,%）反射后，再经过C上另一点3（%,必）反射后，沿直线右射出，经过点Q，则（） A.%无2=； B.延长A。交直线x=-1于点。，则。，B,。三点共线 2 c|的=， 9 D.若依平分/ABQ,贝朋 4 K答案工AB K解析X由题意知，点尸&(42),如图： 2-0_4 将人(不,2)代入V=2x,得占=2,所以4(2,2),则直线4B的斜率口=§, “1、42 则直线AB的方程为y-o=,即y=jx-， y2=2x1 联立(42)得8尤2-17X+2=0,解得玉=2,x2=-, y=-x——o r33 又吃="时,则原'-』 所以再尤2=2*:=4，所以A选项正确； o4 125 又|4同=占+尤2+1=2+3+1=彳，所以C选项错误； OO 又知直线5Q〃x轴，且从：,-与，则直线BQ的方程为丁=-!, 又A(2,2),所以直线4。的方程为丫=%, 令尤=一4，解得y=4,即￡>在直线BQ上， L，、乙乙) 所以。，B,。三点共线，所以B选项正确； 设直线总的倾斜角为0斜率为金，直线A3的倾斜角为a, 若依平分/AB。，即/ABQ=2/P80,即a=26, 2tan042幻1 所以tana=tan26=,”sn；,,则￡=丁号，且幻>0,解得勺=；, l-tan~6Ji-o2 2一(一, 又h=—解得：机=,所以D选项错误； 12o m—— 8 故选：AB. 12.如图，棱长为2的正方体ABCD-A4G。中，点E,F,G分别是棱A。,OR,C。的中 A.直线AG,C|E为异面直线 B.VD「BEF=耳 C.直线AG与平面ADRA所成角的正切值为正 D.过点8,E,尸的平面截正方体的截面面积为9 K答案XBC k解析：W于A,连接EG,AC,4G,由题意可知EG//AC,因为AC〃AG，所以EGUAg, 所以AG,GE共面，故选项A错误; 对于B,连接DiE,FB,EB,EF,[B,由题意可知2歹=1，ED=l, SABXXlxlx2 所以5-时=^B-D,EF=^D,EF=||=p故选项B正确; 对于C,连接4。, 由正方体的性质可知DG_L平面ADD^,所以/GA。即为直线AG与平面ADD^所成的角, 则tanNGAO=^=+j=亨，故选项C正确; 对于D,连接ERPC〉班,86， 根据正方体的性质可得EFIIBCA,且ER=；BQ, 所以平面即为过点8,E,尸的平面截正方体的截面，该四边形为梯形，其上底忘， 下底为2夜，高为半,所以截面面积为5=3、(0+2&b目1=|,故选项D错误； 故选：BC 第n卷(非选择题) 三、填空题 13.已知平面向量。=(-1,2),b=(m,-3),若a+26与a共线，贝1」”=. K答案1| K解析Ha=(-l,2),Z=(m,-3),则a+办=(-1+2私-4), (a+26)〃a,故4=2(-1+2%)，解得力=^ 14.六个身高不同的人排成二排三列，每一列后面的那个人比他(她)前面的那个人高，则 共有种排法. (答案》90 (解析工由于六个身高不同的人排成二排三列，每一列后面的那个人比他(她)前面的那 A6 个人高，则排法有…制」=90种. A；AjA; 15.已知函数y=a'T(a>0且aW1)的图象过定点A,且点A在直线mr+2您=8(m>0,〃>0) Q4 上，则二-二的最小值是. K答案』［9 10 K解析］函数＞且〃wl)的图象过定点A(l,l), 则机+2〃=8,所以2〃=8-加， fm＞0 由。Q、n，得°＜根＜8, ［2n=6—m＞0 _8____3__16__3__32-3（8-间_3-+8 mn2mm（8—m）2m2m（8—m）—2m2+16m 令Z=3根+8/w（8,32）,则加二寸， _8____3___________t___________% 贝|J皿12m,_8）216（^-8）—2t2+80/-512 ―2QJ+3 CIOm=—qQOQ 当且仅当2f=卫4,即r=i6,即；时，取等号，所以3-3的最小值是 tomn2m16 16.如图，已知抛物线C：丁=2%,圆R(X-2)2+/=4,直线。4,。2分别交抛物线 于4B两点,且直线0A与直线02的斜率之积等于-2,则直线被圆E所截的弦长最 小值为________ (答案』2石 K解析11设A（XQI）,设L："a+"y=l，又y2=2x,y2=2x（mr+〃y）, y2-2nxy-2JWC2=0,|一2几,-—2m—0. =kOA-kOB=-2m=-2,..m=1, 石x2 直线AB恒过点。(1,0), 由图结合圆的弦长公式可知，当圆心E到动直线的距离最大时，即 当直线AB_LQE时，弦长最短，此时弦〃最小为2,4-(2-1『=26. 四、解答题 _a 17.在①cosA=——,②bcosC=(2a-c)cosb中任选一个作为已知条件，补充在下列问 2b 题中，并作答. 问题：在「ABC中，角A,B,。所对的边分别为。，b,c,已知. ⑴求& ⑵若ABC的外接圆半径为2,且cosAcosC=-，，求ac. 注：若选择不同的条件分别解答，则按第一个解答计分. 解：(1)选择条件①： 因为cosA=VU，在至C中，由余弦定理可得"+厂一"一=生二色, 2b2bc2b BPa2+c2-b2=ac,则cosB='+.―"=￡=J., 2ac2ac2 因为8e(0,7t),所以8=1. 选择条件②： 因为ZcosC=(2a-c)cos3,在「ABC中，由正弦定理可得 sinBcosC+sinCcos3=2sinAcosB, 即sin(B+C)=2sinAcosB,贝|sinA=2sinAcosB, 因为A￡(0,TI),所以sinAwO,则cos5=,， 因为8￡(0,兀)，所以3=1. (2)因为3=；,所以A+C=—,贝1cos(A+C)=—, 332 BPcosAcosC-sinAsinC=--,又cosAcosC=--, 28 113 所以$布4$皿。=展-6=.因为,ABC的外接圆半径R=2, 2oo nr3 所以由正弦定理可得sinAsinC=—,所以ac=6. 448 18.己知数列｛%｝,也.｝满足4=9,a+1=10a+9,bn=an+\. ⑴证明：也｝是等比数歹!J; （2）求数列2｝的前"项和S”. ⑴证明：依题意‘空;记10a+9+110%+10 ti=10. +1a“+1 又4=%+1=10. 故也｝为首项4=10,公比q=10的等比数列. （2）解：由⑴可知￡=如1=10". 所以g=(-1)"lgb=(-1)"lgl0"=(-1)".n. S=l-(-l)+2-(-l)2+(H-l).(-1)"-1+n-(-1)"① (-1)5,,=1.(-1)2+2-(-I)3++(/7-l).(-l)"+.(-ir+1② ①-②得2s,=(-1)+(-+.(-1)"一〃(T)m -弓+“（T） -n-(-l)n+1n+l 一一9一2~2 19.某市航空公司为了解每年航班正点率x%对每年顾客投诉次数y（单位：次）的影响, 对近8年（2015年2022年）每年航班正点率x%和每年顾客投诉次数y的数据作了初步 处理，得到下面的一些统计量的值. 888 Zx.力(…)2 i=]i=\Z=1i=\ 60059243837.293.8 (1)求y关于x的经验回归方程； (2)该市航空公司预计2024年航班正点率为84%,利用(1)中的回归方程，估算2024年顾 客对该市航空公司投诉的次数； (3)根据数据统计，该市所有顾客选择乘坐该航空公司航班的概率为现从该市所有顾客 中随机抽取4人，记这4人中选择乘坐该航空公司航班的人数为X,求X的分布列和数学 期望. 附：经验回归直线？=菽+”的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为: 6=子-------,a=y-i>x 一可2 i=l 解：⑴[=竽=75,亍=早=74, n 附 43837.2-8x75x74 则.与---------6, 93.8 了=1 所以&=了一版=74+6x75=524, 所以夕=一6犬+524； ⑵当x=84时，＞=20, 所以2024年顾客对该市航空公司投诉的次数为20次; (3)X可取0,1,2,3,4, 尸（x=l）=C； P（x=3）=C：6lxrr 1 P（x=4）=C： 16, 所以分布列为 X01234 20.如图所示，在梯形ABC。中，AB//CD,ZBCD=120°,四边形ACBE为矩形，且CFL 平面ABC。，AD=CD=BC=CF. ⑴求证：EF_L平面BCR (2)点M在线段所上运动，当点M在什么位置时，平面与平面尸C8所成的锐二面角 ⑴证明：设AD=CD=3C=1,在梯形ABC。中，过2C分别作A8的垂线，垂足分别为S,T, /.AB=2,：.AC2=AB2+BC2-2AB-BC-cos60°=3, AB2=AC2+BC2,则BC1AC. :C「_L平面ABC。，4。匚平面48。，/.ACJ.CF, 而CrBC=C,CF,8Cu平面BCR /.AC±￥ffiBCF.'：EF//AC,EFI平面BCF. (2)解：以C为坐标原点，分别以直线CA,CB,CB为无轴、y轴、z轴建立如图所示的空间 直角坐标系，设=2VAb 则C（0,0,0）,A（"o,o）,3（0,1,0）,M（2,0,l）, AB=（-V3,l,0）,3M=（4-1,1）. 设〃=(x,y,z)为平面MAB的法向量, H取X"则”"石T 由《一n-AB=0得〈 n-BM=0 易知7〃=(1,0,0)是平面FCB的一个法向量, 0 -兀 即M与E重合时，平面M4B与平面FCB所成的锐二面角为 21.已知椭圆C:+当=l(Q>b>0)经过点石V2,,左顶点为。，右焦点为产，己 知点P(0,女)，且D,P,E三点共线. ⑴求椭圆C的方程； ⑵已知经过点P的直线/与椭圆C交于A,B两点，过点B作直线y=3灰的垂线，垂足为G, 求证：直线AG过定点. 3历2 (1)解：由题意，将点E(虚,&)代入椭圆的方程，可得2工2一，