半群称集合$S$和$S$上的一个满足结合律的二元运算构成代数系统是一个半群.
设$S$是半群,元素$1\inS$称为$S$的幺元，如果$1x=x1=x,\forallx\inS$.不难证明如果$S$存在幺元，那么幺元是唯一的.特别的把含有幺元的半群叫做幺半群。
设$S$是幺半群,元素$y\inS$叫做元素$x\inS$的逆元素,如果$xy=yx=1$.不难证明如果$x$存在逆元素,那么逆元素是唯一的。
群我们把每个元素都可逆的幺半群$G$称作群.特别的如果运算满足交换律,则$G$称作Abel群.
群的例子
1.$\mathbbN$关于加法构成幺半群,其幺元是$0$.其他的$\mathbb{Z,Q,R,C}$均关于加法构成群.
而$\mathbbN$关于乘法构成含幺交换半群，幺元素为$\mathbbQ^*$关于乘法构成Abel群.类似的$\mathbbR^*,\mathbbC^*$等都是关于乘法的Abel群.
2.$n\timesm$阶复方阵$M_{n\timesm}(\mathbbC)$的全体关于矩阵的加法构成Abel群.全体$n$阶可逆复方阵$\mathrm{GL}_n(\mathbbC)$关于矩阵的乘法构成非交换群,称作$\mathbbC$上的一般线性群,幺元是$n$阶单位阵$E_n$.
全体$n$阶行列为1的方阵$\mathrm{SL}_n(\mathbbC)$关于乘法也构成非交换群,即$$\mathrm{SL}_n(\mathbbC)=\{A\inM_n(\mathbbC):\detA=1\}$$称为$\mathbbC$上的特殊线性群.全体$n$酉矩阵$SU_{n}(\mathbbC)=\{U\inM_{n}(\mathbbC):UU^H=U^HU=E\}$关于矩阵乘法也构成非交换群,称为$\mathbbC$上的特殊酉群……类似的例子有非常多
3.欧式空间$\mathbbR^2$中保距运动称为欧式运动,显然全体欧式运动构成一个群,且这是一个非交换群.
4.设$n\in\mathbbN^*$,在$\mathbbZ$中定义等价关系:$$a\simb\Leftrightarrowa\equivb(\mathrm{mod}~n)$$易知这是$\mathbbZ$上的一个等价关系,从而把$\mathbbZ$分解成一些等价类:$$\overline{0},\overline{1},\cdots,\overline{n-1}$$的无交并.以$\mathbbZ_n$表示上述$n$个等价类的集合,并且定义加法:$$\overline{a}+\overline{b}=\overline{a+b}$$显然在此运算下$\mathbbZ_n$构成一个Abel群,其幺元是$\overline{0}=\{a:a\equiv0(\mathrm{mod}~n)\}$.
但是如果在$\mathbbZ_n$中定义乘法：$\overline{a}\times\overline{b}=\overline{ab}$,显然$\mathbbZ_n$在此运算下构成交换的幺半群,但是未必每个元素都可逆.容易看出任意的元素$\overline{a}\in\mathbbZ_n$在此乘法运算下可逆当且仅当$(a,n)=1$,即$a,n$互素.由此自然得出$\mathbbZ_{p}$($p$是素数)关于乘法构成Abel群.
定理设$M$为含幺半群,以$M^*$表示$M$中可逆元素的全体,则$M^*$是群.
由此自然得出$\mathbbZ_n^*=\{\overline{a}:(a,n)=1\}$对于乘法形成Abel群,且其中含有$\varphi(n)$个元素.其中$\varphi(n)$表示从$1$到$n$中与$n$互素的整数的个数,称为Euler函数.
利用这条便可得到初等数论中著名的Euler公式,即若$(a,n)=1$,则$$a^{\varphi(n)}\equiv(\mathrm{mod}~p)$$
群的阶数设$G$是群,若集合$G$有限,则$G$称为有限群,否则叫无限群.若有限群$G$共有$n$个元素,则称$G$的就阶数为$n$，记作$|G|=n$.
群同态设$(G_1,\cdot),(G_2,\times)$是两个群,映射$f:G_1\toG_2$叫做群$G_1$到$G_2$的同态,如果$$f(a\cdotb)=f(a)\timesf(b),\foralla,b\inG_1$$换言之即同态映射$f$保持群的运算。此外如果$f$为单射、满射,则$f$分别叫做单同态、满同态.如果同态$f$是一一对应,则称$f$为同构.这时$G_1,G_2$称为同构的,记作$G_1\simeqG_2$.我们认为两个同构的群本质上是同一个群，更主要的是研究不同构的群,所以同态才是研究群的主要手段.
自同构称群$G$到自身的同态(同构)叫群$G$的自同态(自同构).以$\mathrm{Aut}(G)$表示群$G$的自同构全体,不难验证其关于映射的复合运算构成群,幺元是$G$上的恒等自同构(即恒等映射).