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2023.11.13辽宁
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[这一节插入正文不论哪个地方都不太自然,故直接放在正文前一小节作为一个前置基础出现]
泡利矩阵可以构造电子的自旋算符,同时也可以表示旋转变换(其实就是生成元的基),在作为的基方面,泡利矩阵结合单位矩阵又可以与四元数建立同构关系,它们在描述有限转动方面是等价的.下面取以的本征矢量为基矢的表象,在此表象下,泡利矩阵表示为:
事实上,是完备的,具体表现为:
“群”在数学中作为一类抽象代数系统,其中的元素满足对群乘法(实际上就是元素的复合)的封闭性,结合性,并且存在左右单位元与逆元,在物理上常用于表示满足一类关系的“变换”的集合.若集合元素数(群的阶)是有限的,则称为有限群;若集合元素数是无限的,则称为无限群或者连续群.
群作为集合中的抽象元素,为了实际应用它的性质,我们会将其群元与线性空间中的线性映射建立同态映射的关系,即进行群的表示.所谓“同态”即映射在群与线性映射集合之间保持乘法:通过映射映射到线性映射的集合,有:
若映射是一一对应,则映射是同构的:,此时群元与线性映射具有完全相同的代数结构,本质上没有区别(这也是所谓“同构”的含义)
但事实上很多场景里我们研究的对象是连续群(群的元素是无限的,描述一类连续的变换或者是连续的对称性),那么对应群的表示也会由一些连续变化的参数通过适当的映射描述,由于参数空间中一个确定的点与确定的群元是一一对应的关系,所以可以通过研究连续群的参数代表点在参数空间的行为去研究连续群的行为,在这个过程中不可避免的需要“流形”的观点.
“李群”就是在这样的场景下引出的概念.李群既是一个群,也是一个流形,满足条件:①群乘法:和②求逆:的映射都是的.从而根据上面的定义,李群是连续群,并且也是微分流形,李群的维度是相应微分流形的维度,也正是相应独立变化的实参数的个数.
由于李群独特的性质,用矩阵群作为李群的表示是一件非常自然的事情(至少从物理上说),我们给出一些常见李群的例子:
一般线性群:
值得一提的是,正交群用来描述维实线性空间中的正交变换,其中的特殊李子群正可以用来描述旋转变换;而不定正交群相当于将正交变换中“保内积”的等价条件,推广到特定度规下满足保内积条件变换的集合,其中的一个特例就是洛伦兹群,表示所有洛伦兹变换的集合.
确立了李群的概念之后,我们发现李群作为微分流形,它的物理图像比起一个抽象的“群元”或是“变换”直观了很多,但是还是缺少一个更直接的描述手段.不过我们还可以通过考察实际例子入手.
研究三维空间的保向旋转变换群,它的每个群元可以通过转轴的朝向和转角唯一确定,可以描述三维空间中任意朝向任意角度的旋转变换;而当我们固定了转轴的朝向,只让转角一个变量变化,这时在限制下的所有变换构成了一个子群.
从微分流形的角度重新审视这个关系,李子群作为的单参子群,事实上就是流形上一条通过恒等变换元的单参数曲线(暂时设这个参数是),会有某种映射建立从单参数到的同态:
而非常显然,这种映射应该具有指数映射的形式:
在这里面有一个待定的元素(或者说算符,在量子力学场合下),每当我们确定了一个,就确定了一类李群的形式,也就是说每个确定的通过这种指数运算和特定的参数结合,会映射到一个确定的李群中的特定的一个变换,这个,作为每类李群的“指纹”,称为李群的生成元.从上述表达式的形式可以看出,李群的生成元相当于李群在恒等元处的切矢量.
当然,上述针对单参数群的论证也可以应用到多参数情况,相应的也会相应改写成求和甚至张量缩并的形式,这是会有多个变化参数以及与之对应的多个生成元基底.
李群的生成元张成的线性空间需要对其中的元素规定一类乘法,称为李括号[6]满足:
这样定义了乘法的线性空间形成了一类代数,就称为李群的李代数,李代数中的元素是生成元的线性组合,组合系数是变换参数,通过指数映射成为李群中的群元,事实上我们可以形式化的总结成如下形式:
前面提到,李群的生成元相当于李群在恒等元处的切矢量,生成元张成的空间(李代数)就应该相当于恒等元处的切空间,事实上这正是被证明的定理:
李群的生成元空间与李群在恒等元处的切空间同构.
用示意图[7]表示为如下形式:
我们可以顺便不加证明地给出特殊正交群和特殊幺正群的李代数
注意到这里元素的特性,其实就提示了我们可以应用泡利矩阵构成群的生成元,我们将在后文进行论证.
三维空间中的特殊正交群是所有保向的旋转变换[8]的集合
这里用方向余弦和球极坐标两种方式表示转轴的朝向,今后都会用到.
特殊转动是绕三个基矢量方向的转动,事实上,根据我们已有的结论,这三种转动的生成元集合就是整个的生成元:
从而就可以由特殊转动:
推知
以及一般转动的矩阵群表示[9](缩写)
写成张量分量的形式就是:
给出李群的表示后,我们再提一句它的李代数,表示为下述的对易关系:
最后,作为微分流形,这里简单提一下,不是本期的主要论证内容:是路径连通的子流形,可以表示成以为半径的球体,球体表面对径认同,但是球体不是单连通的,事实上是双连通的.
特殊幺正群的表示虽然是用二阶矩阵群表示,但是它仍然可以描述三维空间中的旋转(而且事实上不只可以描述三维空间的转动,这一点可以在旋量表示里体现出来).这是因为的作用对象可以按照泡利矩阵进行分解,在这里泡利矩阵代替了表示空间的基矢成为了作用对象与变换群元的基底,也即,泡利矩阵是群的生成元.借由此,我们可以罗列出的几种主要的表示方法:
但是其中最重要的还是从上式第三行出发,若设与的关系:
则可以看出,如果令,则实际上应有.群元可以通过泡利矩阵描述:
从而写成了指数映射的形式,表达式说明,是三个泡利矩阵构成的李代数,通过指数映射形成的群元.
同样再简单提及一下作为微分流形的图像.其实表达式就已经表明,二维特殊幺正群代表一个三维球面,并且可以论证它是单连通的.
其实如果再对比一下与的李括号,是可以发现它们本质上具有完全相同的形式,也就是说,和共用同一个李代数.但是它们的“大小”并不一样,流形的连通性也不一样,在这个例子里,的元素应该是的“一半”,这种情况下后者形成前者的二重覆盖群,也即三维空间的旋量群,后续有机会也将进行讨论.
如果了解四元数的话,我们其实可以发现,不论是上节的表达式,还是所谓等一系列表示,它们都也曾出现在单位四元数的表示中:
元素:;
四元数:;
所以事实上我们可以构造从四元数到群元素的同构映射:
这样的话,我们可以利用的已有的四元数表示旋转的法则:
给出对于矢量旋转的操作方式:
,设,则有.
其实这种操作方式(伴随作用)可以通过计算变换前后的分量,从而诱导出对应的群元的矩阵表示分量,根据这个分量我们可以对于和的覆盖关系进行讨论,这将留到之后的内容中.
群论速成:笔者的群论主要是通过知乎用户@東雲正樹的群论专栏系列完成的,专栏从群论群表示论出发,衔接到李群与李代数,到应用于场论中常用的洛伦兹群的表示,最终引出Clifford代数以及旋量的概念结束.
参考:李新征.群论及其在凝聚态物理学中的应用.北京:北京大学出版社,2019.
参考:刘玉鑫.物理学家用李群李代数.北京:北京大学出版社,2022.
参考:冯承天,余扬政.Riemann流形,外微分形式以及纤维丛理论—物理学中的几何方法.哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社,2021.