不难看出，二阶行列式由于对角线中元素有两个，因此展开后每个选项由两个元素构成，同理，三阶行列式中每个选项由三个元素构成三阶行列式同理：
三阶行列式的展开也要找主对角线和副对角线，对于三阶行列式的主对角线：
同理，对于副对角线：
注:需要注意的是,以上法则仅适用于四阶以下行列式,对于四阶或四阶以上行列式并不适用,对于行列式计算的通用方法则需要基于代数余子式来计算。
需要提及的是，行列式都是正方形的，也就是m=n，这里不做过多解释
一个重要结论：行列式展开后每项中的每个元素都来自不同的行和列
当行下标顺排时，每一项的正负号由列下表的逆序数决定
逆序数：对于一个序列中的每个元素，每个元素右边比它小的数的个数的和为该序列的逆序数
对于行列式的计算(展开)其实是非常麻烦的，因为除了三阶行列式，对于更高阶的行列式使用前面介绍的那种方法计算起来相当麻烦，我们在计算的时候可以利用余子式和代数余子式。
对于一个行列式，行列式中的每个元素都有与之相对应的余子式和代数余子式，例如一个三阶行列式有：
定义：行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式的积之和，即：
推论：行列式中的某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和为0，即：
例如对于三阶行列式：
对于以上案例，有：
通过我们上面通过代数余子式计算行列式的过程可以看出，当行列式中存在0的元素时，会更加好算
行列式恒等变形的原则：使得行列式尽可能出现多的元素0
性质1：某行(列)元素的K倍加到另一行(列)对应的元素上，行列式的值不变
性质2：行列互换，其值不变
性质3：任意两行(列)互换，行列式的值变号
两行(列)相同时，易得互换后行列式不变，由于性质3，设原来的值为A，则互换后的值为-A，由于A=-A的情况只有当A为0时成立，因此若两行(列)相同，行列式的值为0
性质4：某行(列)有公因子K，则可把K提到公因子的外面
对于第二条，比较好理解，当一行或一列为0时，展开后每一项的结果都为0，当然也可以理解为0位该行(列)的公因子，将0提取出来，结果为0
对于第三条，若对应存在两行(列)对应成比例，则提出公因子后两行相同，则由性质3中的推导得出，该行列式值为0
性质5:某行(列)是两个元素之和，则可拆成两个行列式之和
三角形斜边为行列式中的主对角线
三角形斜边为行列式中的副对角线
主对角线的行列式叫上(下)三角形行列式，而副对角线的行列式就叫副对角线行列式
对角行列式除了对角线上的元素其它都为0
这几个特殊行列式的计算相对一般行列式来说非常方便，因此可以听过将一般行列式经过恒等变形转变为这种特殊行列式来进行计算，此外，也可以变形得到尽可能多的0再利用展开公式即可
这两个行列式有固定的展开模式
也就是说，当行列式中一个角落的元素都为0时，行列式的值与该角落的对角元素无关，若为主对角，则结果为主对角的两个角落元素直接相乘，副对角则需判断一下正负号
从第二行之后开始，每行都是如上岗行列式中第三行的格式，结果为第二行逐级相减的积
爪型行列式都可以变换为上下三角或副对角线的形式，利用对角线上的元素一定可以把某一边上的元素化为0