卡方分布及其它分布

若n个相互独立的随机变量ξ1,ξ2,…,ξn,均服从标准正态分布(也称独立同分布于标准正态分布),则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和∑ξi∧2构成一新的随机变量,其分布规律称为χ2(n)分布(chi-squaredistribution),其中参数n称为自由度。

二、卡方分布的性质::

(1)(可加性)设iY~且相互独立,则,,,1,,2kii

in=λχ

,~2,1λχnkYY++

这里.,∑∑==

i

nnλλ

(2),)(2

,λχλ+=nEn

.42)(2

,λχλ+=nVarn

证明(1)根据定义易得。(2)设则依定义,

,~

2

,λχnY可表示为Y,2

2121nnXXXY+++=-

其中且相互独立,于是),1,(~,1,,1),1,0(~λNXniNXni-=

)

2(.

)()()

1(,

)()(1

21

2∑∑====n

iin

iiXVarYVarXEYE

因为

+=+=,1,1)()()(22λiiiXEXVarXE.,

1,,1nini=-=

代入(1),第一条结论可得证。直接计算可得

.

36,1,,1,3244

++=-==λλniEXniEX于是

,1,,1,

213)()(2

242-==-=-=niEXEXXVariii

.42)()(2

242λ+=-=nnnEXEXXVar

代入(2)便证明了第二条结论。

三、卡方分布的概率密度函数:

()

Γ=--,其他当00,221

21222xexnxfxnn

x数)。现在来推导随机变,(相互独立且都服从设随机变量10n,....1NXX

的分布。2^.....2^2^1nX++X=χ

()()()

2^x2^x2

1

^2

n^n21n1n1++-XXθ的密度函数为,

[

]()[]()

[]()[]()

()()x

xxdDXPPozzXPPnσχ

χ2^2^2

-

n

n21

n2

121en21

zzz0

z0z++

=+X

==++X=≤时,当时,当

其中Dx为n维x空间内由不等式zxxn2

1+所定的区域。

即,Dz为n维x空间内以坐标原点为球心、z为半径的球面所围成的区域(边界不在内)

可以利用极坐标来计算这积分。令

=-===-----11

112121211cossin2cossinsincossinsinsinnnnnnnnrxrxrxrxθθ

θθθθθθθ

与这变换相应的函数行列式为:

()()()()()()()()()()Φ

==-1-n111,,,,,rr

rr

rrrrxxnn

θθ其中括号和Φ都表示1,,1-nθθ的函数。因此。当z>0时,

THE END
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17.R语言卡方分布极客教程让我们考虑X1 , X2 , …, Xm 是具有标准正态分布的m个独立随机变量,那么遵循具有m个自由度的Chi-Squared分布的数量可以被评估为如下。这个分布的平均值为m,其方差分别相当于2*m。公式qchisq()函数qchisq给出了量化函数。当我们提供ncp=0的值时,就会使用非中心分布的算法。这种方法的值相当于x在第q个百分点https://geek-docs.com/r-language/r-tutorials/g_chi-square-distribution-in-r.html
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20.逻辑分布MATLAB&Simulinkbeta 分布 伯恩鲍姆-桑德斯分布 伯尔XII 型分布 卡方分布 指数分布 极值分布 F 分布 gamma 分布 广义极值分布 广义帕累托分布 半正态分布 逆高斯分布 核分布 逻辑分布 对数逻辑分布 对数正态分布 对数均匀分布 皮尔逊分布 Nakagami 分布 非中心卡方分布 非中心 F 分布 非中心 t https://ww2.mathworks.cn/help/stats/logistic-distribution-1.html?category=logistic-distribution-1&listtype=cat&s_tid=CRUX_gn_documentation_logistic-distribution-1