卡方分布及其它分布

若n个相互独立的随机变量ξ1，ξ2，…，ξn，均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和∑ξi∧2构成一新的随机变量，其分布规律称为χ2(n)分布（chi-squaredistribution），其中参数n称为自由度。

二、卡方分布的性质：:

（1）(可加性)设iY~且相互独立，则,,,1,,2kii

in=λχ

,~2,1λχnkYY++

这里.,∑∑==

i

nnλλ

（2）,)(2

,λχλ+=nEn

.42)(2

,λχλ+=nVarn

证明（1）根据定义易得。（2）设则依定义，

,~

2

,λχnY可表示为Y,2

2121nnXXXY+++=-

其中且相互独立，于是),1,(~,1,,1),1,0(~λNXniNXni-=

)

2(.

)()()

1(,

)()(1

21

2∑∑====n

iin

iiXVarYVarXEYE

因为

+=+=,1,1)()()(22λiiiXEXVarXE.,

1,,1nini=-=

代入（1），第一条结论可得证。直接计算可得

.

36,1,,1,3244

++=-==λλniEXniEX于是

,1,,1,

213)()(2

242-==-=-=niEXEXXVariii

.42)()(2

242λ+=-=nnnEXEXXVar

代入（2）便证明了第二条结论。

三、卡方分布的概率密度函数：

()

≥

Γ=--，其他当00,221

21222xexnxfxnn

x数）。现在来推导随机变，（相互独立且都服从设随机变量10n,....1NXX

的分布。2^.....2^2^1nX++X=χ

()()()

2^x2^x2

1

^2

n^n21n1n1++-XXθ的密度函数为，

[

]()[]()

[]()[]()

()()x

xxdDXPPozzXPPnσχ

χ2^2^2

-

n

n21

n2

121en21

zzz0

z0z++

=+X

==++X=≤时，当时，当

其中Dx为n维x空间内由不等式zxxn2

1+所定的区域。

即，Dz为n维x空间内以坐标原点为球心、z为半径的球面所围成的区域（边界不在内）

可以利用极坐标来计算这积分。令

=-===-----11

112121211cossin2cossinsincossinsinsinnnnnnnnrxrxrxrxθθ

θθθθθθθ

与这变换相应的函数行列式为：

()()()()()()()()()()Φ

==-1-n111,,,,,rr

rr

rrrrxxnn

θθ其中括号和Φ都表示1,,1-nθθ的函数。因此。当z>0时，