广义帕累托分布拟合A股尾部极值 小练*一则，不吝赐教。帕累托分布作为经典的幂定律分布一般广为人知，常用于描绘财富分布和互联网流量中文件大小分布等等，在此... 

帕累托分布作为经典的幂定律分布一般广为人知，常用于描绘财富分布和互联网流量中文件大小分布等等，在此不再长篇累牍。广义帕累托分布则常常被用来对其他分布的尾部分布进行再建模。例如，金融经济模型中常常假设变量正态分布，但实际观测数据均证明现实和假设相去甚远。由此t分布等通常被用来描述金融数据中的肥尾性。即便如此，用分布函数对实际观测数据作拟合往往在样本数据较大的区域参数拟合较好，而对于观测数据较少的分布尾部区域往往拟合较差。换句话说，拟合参数的值是取决于95%正常情况下的数据，而非异常的那5%。而金融市场中带来损失风险的往往是那5%，甚至1%。因此在难以用一个标准的分布函数来描绘整个实际分布的情况下，对尾部的单独建模可能是必要的。尾部分布建模完成后可以和阈值内的分布衔接起来，由此建立一个分段分布函数。

定义形态参数为k，缩放参数为sigma，分布阈值theta。k不为0时，广义帕累托分布的概率密度函数是：

k=0时的概率密度函数是：

由此可知，k的值决定了广义帕累托分布等同于哪种分布。当k=0且theta=0时，尾部指数递减，广义帕累托分布等同于指数分布；若k>0，且theta=sigma/k，尾部polynomial递减，广义帕累托分布等同于缩放参数为sigma/k，形态参数为1/k的帕累托分布；当k<0时，尾部为有限分布，由此可见，广义帕累托分布拟合具有一定的自适性，可自行根据参数判断符合哪种分布。

下面对上证指数2003年至今的日收益率数据取左侧5%单尾作为拟合的样本数据，剔除其他95%。值得注意的是，广义帕累托分布是一个右偏分布（rightskeweddistribution），因此要对左侧5%建模需要将数据全部做相反数处理，然后取95%的2.69%为阈值（实际上是下跌-2.69%）。

拟合所得k的估计值为-0.1296，sigma的估计值为0.0177；实际和拟合所得的累计概率分布函数图如下，较正态分布而言，广义帕累托分布拟合结果较好，标准误差为0.0022：

上述标准误差所带来的问题是，拟合过程中所用的最大似然估计其实在假设参数k和sigma本身遵从正态分布，上述结果只是用一个全样本进行拟合所得，因此参数本身并不能确保一定接近真实值。为了检验参数是否大致符合正态分布，我们可以对样本进行随机抽样10000次，重复拟合过程，得到参数k和sigma的分布如下。K和sigma值的分布均显现出一定的对称性，因此不用做进一步处理（倘若显现出右偏，通常对偏度的调整是外加log）。

我们对k和sigma绘制分位数图（对角线为正态分布）可以进一步确认基本符合正态分布。当然可以进一步作JB正态分布检验，但数据噪音多，一般很难做到极值。

由于k和sigma并非严格正态分布，因此我们外加一个置信区间，得到的最终结果是k估计值的95%置信区间为[-0.3181,0.0589]；sigma估计值的95%置信区间为[0.0139,0.0226]。

最后，我们用所的参数随机生成一个尾部数据样本，其分布和实际数据具有较大的相似度。所得结果可以和阈值内样本的分布衔接起来，作为策略模型仿真的重要输入变量。