常见分布的期望和方差xn(0,1)N2()概率与数理统计重点摘要1、正态分布的计算：()()()XFxPXxμσ-=≤=Φ。
（参见P66～72）3、分布函数(,)(,)xyFxyfuvdudv-∞-∞=具有以下基本性质：⑴、是变量x，y的非降函数；⑵、0(,)1Fxy≤≤，对于任意固定的x，y有：(,)(,)0FyFx-∞=-∞=；⑶、(,)Fxy关于x右连续，关于y右连续；⑷、对于任意的11221212(,),(,),,xyxyxxyy<<，有下述不等式成立：22122111(,)(,)(,)(,)0FxyFxyFxyFxy--+≥4、一个重要的分布函数：1(,)(arctan)(arctan)23xyFxyπππ2=++22的概率密度为：22226(,)(,)(4)(9)fxyFxyxyxyπ==++5、二维随机变量的边缘分布：边缘概率密度：()(,)()(,)XYfxfxydyfyfxydx+∞-∞+∞-∞==边缘分布函数：()(,)[(,)]()(,)[(,)]xXyYFxFxfuydyduFyFyfxvdxdv+∞-∞-∞+∞-∞-∞=+∞==+∞=二维正态分布的边缘分布为一维正态分布。
6、随机变量的独立性：若(,)()()XYFxyFxFy=则称随机变量X，Y相互独立。
简称X与Y独立。
7、两个独立随机变量之和的概率密度：()()()()()ZXYYXfzfxfzxdxfyfzydy+∞+∞-∞-∞=-=-其中Z＝X＋Y8、两个独立正态随机变量的线性组合仍服从正态分布，即22221212(,ZaXbYNababμμσσ=+++)。
9、期望的性质：……（3）、()()()EXYEXEY+=+；（4）、若X，Y相互独立，则()()()EXYEXEY=。
10、方差：22()()(())DXEXEX=-。
13、k阶原点矩：()kkvEX=，k阶中心矩：[(())]kkEXEXμ=-。
14、切比雪夫不等式：{}{}22()()(),()1DXDXPXEXPXEXεεεε-≥≤-<≤-或。
贝努利大数定律：0lim1nmPpnε→-<=。
15、独立同分布序列的切比雪夫大数定律：因2111niiPXnnσμεε2=-<≥-∑，所以011lim1niniPXnμε→=-<=∑。
16、独立同分布序列的中心极限定理：(1)、当n充分大时，独立同分布的随机变量之和1nniiZX==∑的分布近似于正态分布2(,)Nnnμσ。
(2)、对于12,,...nXXX的平均值11niiXXn==∑，有11()()niinEXEXnnμμ====∑，2211()()niinDXDXnnnσσ22====∑，即独立同分布的随机变量的均值当n充分大时，近似服从正态分布()Nnσμ2,。
(3)、由上可知：{}{}lim()()()()nnnPaZbbaPaZbba→∞<≤=Φ-Φ<≤≈Φ-Φ。
17、棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理：设m是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A发生的概率，则对任意x,lim()nPxx→∞≤=Φ，其中1qp=-。