微积分练习册［第八章］多元函数微分学
习题87多元函数的基本概念
1.填空题：
(1)若/(x,y)=x+/-盯tan土，贝i」=
y
22
(2)若/(x,y)=^^，贝iJ/(2,—3)=________,/(l,Z)=__________
2xyx
I2__2
⑶若/(2)=正~—(y>0),则/*)=
%y
(4)若/(x+y,』)=x2-y2,则/*,y)=
X
（5）函数z=—的定义域是_______________
ln（l-x2-y2）
（6）函数z=J%-"的定义域是
（7）函数z=arcsin—的定义域是
x
2
v_|_Or
（8）函数z=的间断点是_______________
y--2x
2.求下列极限:
一、r2-4xy+4
(1)lim-----------
rxy
JTOJ
班级:姓名:学号:
sinxy
(2)lim
KTO
yfOx
l-cos(x2+y2)
(3)lim
KTO2222
y->0(x+y)xy
3.证明lim,孙=0
(x,)，)f(0,0)lx2+,2
4,证明：极限lim小二=0不存在
4
(x,y)->(0,0)X+y2
班级：姓名：学号:
5.函数/（x,y）=/sin/+丫2，（x，）‘）去（°，°）在点（0,。）处是否连续？为什么？
0,（x,y）=（0,0）
习题8-2偏导数及其在经济分析中的应用
1.填空题
Y8zdz_
(1)设z=Intan—,则=
ydx
贝陛=
(2)设z=e*'(x+y),
dx
ySudu_du_
(3)设〃=x—，则——
zdx次
(4)设z=axetan—,则一-=__________,--=___________,-----=__________
xdx2dy2dxdy
(5)设“=(三/，则包=_________;
ydxdy
(6)设f(x,y)在点(。/)处的偏导数存在，则
XT0X
2.求下列函数的偏导数
(l)z=(1+盯)’
(2)w=arcsin(x-y)
3.设z=y"，求函数在（1,1）点的二阶偏导数
4.设z=xln(xy),求2和
dx'dydxdy2
一(-+')cC^7c
5.z=e3，试化简/丝+/幺
dxdy
丁孙芍,,(x,y)H(0,0)
X+厂
.试证函数'7
6八z、小八、在点(0,0)处的偏导数存在，但不
0,(x,y)=(0,0)
连续.
习题8-3全微分及其应用
1.X公司和Y公司是机床行业的两个竞争者，这两家公司的主要产品的需求曲线分别
为：Px=1000—5Qx;Py=1600—4QY
公司X、Y现在的销售量分别是100个单位和250个单位。
（1）X和Y当前的价格弹性是多少？
（2）假定Y降价后，使。丫增加到300个单位，同时导致X的销量Qx下降到75
个单位，试问X公司产品的交叉价格弹性是多少？
（利用弧交叉弹性公式：Erx=Qx^~Qx'/Py^~Py'）
QX2+Qx}Py2+Py}
2.假设市场由A、B两个人组成，他们对商品X的需求函数分别为：
。人=（Pr+KAIA）/PX-,DB=KBIB/PX
（1）商品X的市场需求函数；
（2）计算对商品X的市场需求价格弹性；若Y是另外一种商品，Pr是其价格，求商
品X对Y的需求交叉弹性
3.求下列函数的全微分
s+f
(1)U=-----
s-t
(2)设/(x,y,z)=(为"求4(1,1,1)
)'
(3)z=ln(l+x2+y2),求当x=l,y=2,Ax=0.1,Ay=0.2的全增量Az和全微分
dz
4.计算J(l.02)3+(1.97)3的近似值
习题8-4多元复合函数的求导法则
(1)设z=aInv而"=±,v=3x—2y,则包=__________
设z=arsin(九一y)而x=3"则虫=
(2)
dt
几e"'(y-z)而^cdu
(3)攻〃=---------，而y=asinx,z=cosx，贝ffUlll——=_________
Q~+1dx
、dz
(4)设z=arctan(xy),而y=e',则一=
(5)设〃=/(-―/,*，)，则丝=_________，匕
(6)u-f(x,xy,xyz),贝U—=________
idi2z
2.设z=—/(盯)+W(x+y),/具有二阶连续导数，求上总
xdxdy
3.设z=/（X,土），/具有二阶连续偏导数，求二
ydx~
4.设z=V（2x,yP—）,/,具有二阶连续偏导数，求dz士
a2z
5.设z=/(sinx,cosy,e，),/,具有二阶连续偏导数，求
dz_2z
7.设/与g有二阶连续导数，且z=/(x+R)+g(x-af)，证明:出三
习题8-5隐函数的求导公式
(1)设InJx2+y2=arctan—,则虫=_________
xdx
(2)设x+2y+z—2V^=0,则包=__________
'dxdy
s、、八X1zdzdz
(3)设一=ln一,贝miilj一=________,一=______________
zydxdy
(4)设z、=V，则里=_________=_______________
d2
2.设/=xyz，求z
1
3.设.［3一3孙［=.",求a--7-
QzQ7
4.设2sin(x+2y-3z)=x+2y-3z,求一+—1
5.设卜=’+寸，求也立
[x2+2y+3z=20dxdx
6.设y=/(x,f),而f是由方程尸(x,y,f)=0所确定的的函数，求心
7.设由方程b(x+Z,y+Z)=O确定z=z(x,y)，F具有一阶连续偏导数，证明:
dzdz
x——+y—=z-xy
8.设x=x(y,z),y=y(z,x),z=(x,y)，都是由方程尸(x,y,z)=0所确定的有连续偏
日此.7制-run［
导数的函数，证明：-----d-y一dz=-1
dy&dx
习题8-6多元函数的极值及其应用
(1)Z=X2-y2+2盯-4%+8)乜驻点为
(2)f(x,y)=4(x-y)-x2-y2的极_____值为
(3)f(x,>>)=e2x(x+y2+2y)的极______值为
(4)z=盯在适合附加条件x+y=1下的极大值为
(5)u=f(x,y)-x-x2-y2在￡>=卜,)*+/《［｝上的最大值为
______________,最小值为_______________
2.从斜边长为L的--切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形.
3.旋转抛物面Z=—+y2被平面x+)，+z=l截成一椭圜，求原点到该椭圆的最长与
最短距离
4.某养殖场饲养两种鱼，若甲种鱼放养x（万尾），乙种鱼放养y（万尾），收获时两种
鱼的收获量分别为（3-（zx-例）x,（4-0r-2@）y,（a>/7>0）,求使产鱼总量最大的放
养数
班级：姓名：学号：
5.设生产某种产品需要投入两种要素，和分别为两要素的投入量，Q为产出量：若生产
函数为。=2xfg,其中a,/7为正常数，且a+夕=1,假设两种要素的价格分别为必和
〃2,试问：当产出量为12时，两要素各投入多少可以使得投入总费用最小？
微积分练习册［第九章］二重积分
习题9-1二重积分的概念与性质
(1)当函数/(x,y)在闭区域D上时，则其在D上的二重积分必定存在
(2)二重积分的几何意义是_______________________________________
0
(3)若/(x,y)在有界闭区域D上可积，且=>。2，当/(x,y)NO时，则
JJ7(x,y)dbJJ/(x,y)dS:
52
当/(x,y)WO时，贝ij07(x,y)db
(4)|jsin(x2+y2W3，其中b是圆域F+/<42的面积，
D
b=16万(注：填比较大小符号)
2.比较下列积分的大小：
(1)4=jj(x+y)2ds与A=JJ(x+y)3ds其中积分区域D是由x轴，y轴与直线
DD
x+y=1所围成
(2)4=jjln(x+y)d8与I2二:JJ[ln(x+其中
D={(x,y)|3 3.估计下列积分的值 (1)/=y+1)",其中O={(x,y)|0Kx1,0Wy<2} (2)1=jj(x2+4y2+9W，其中O={(x,y)H+V<4} 4.求二重积分U41"_丫2db 22一. 尸 5.利用二重积分定义证明 \\kf{x,y-)dS=k\\f{x,y)dS(其中为上常数) 习题9-2利用直角坐标计算二重积分 (1)|j(x3+3/y+y^dS=其中。：04x41,04y41 (2)jjxcos(x+)')J<5=其中D：顶点分别为《(0,0),(4,0),(4,万)的三 角形闭区域 (3)将二重积分j］7(x,y)db,其中D是由x轴及上半圆周/+丁=r2(yo)所围成 的闭区域，化为先y后x的积分，应为 (4)将二重积分JJ7(x,y)dS,其中D是由直线y=x,x=2及双曲线y=’(x>0) DX 所围成的闭区域，化为先JC后y的积分，应为 (5)将二次积分J：改换积分次序，应为 (6)将二次积分「dxr；/(x,y)d)，改换积分次序，应用_______________________ JOJ-sin— (7)将二次积分J,dyj；/(x,y)dx+」)J(x,y)dx改换积分次序，应 为_______________________ (8)将二次积分J：dy，V/(x,yRx+改换积分次序，应为 2.计算下列二重积分： (1)ye,+y2ds，其中D={(x,y)\a (2)0(尤2+y2)d＞其中D是由直线y=2,y=x,及y=2x所围成的闭区域. (3)JJJv-/闽0，其中D：-l 3.计算二次积分 4.交换积分次序，证明：(dy￡em(，R/(xMx=S(a—x)e"'5*)/(x)dx 5.求由曲面Z=+2y2及z=6—2x2—y2所围成的立体的体积. 习题9-3利用极坐标计算二重积分 （1）把下列二重积分表示为极坐标形式的二次积分 ①f(x2+y2,arctan—)dxdy= ②￡>={(x,y)|l (2)化下列二次积分为极坐标系下的二次积分 ①J："x广"-"/(/+y2)dy=,(a>0) ②￡dxfof(M+y2)dy=-----------------------； :2「- ③dx/(arctan—)dy=__________________; J0Jxx ④fndxfn/(X，y)")'= J0J0 2.计算下列二重枳分 (1)JJln(l+x2+)，2)db,其中D是由圆周/+/=i及坐标轴所围成的在第一象限内 的闭区域. ⑵22dxdy，其中D是由曲线y=/与直线y=x所围成的闭区域. (3)JJ评二？二其中D是由圆周，+/=Rx所围成的闭区域 (4)(2)口/+〉2一2卜5淇中⑵￡)：x2+y2<3 3.计算二重积分“（y-xpdb,其中D由不等式y++/确定 （注意选用适当的坐标） 4.计算以xoy面上的圆周/+/=以色＞0）围成的区域为底，而以曲面z=/+/ 为顶的曲顶柱体的体枳 微积分练习册［第十章］微分方程与差分方程 习题107微分方程的基本概念 (1)方程/(了)4-3y'+y\nx=0称为阶微分方程 (2)设y=y(x,c”C2……,g)是方程了"一盯"+2y的通解，则任意常数的个数 n=__________ (3)设曲线y=y(x)上任一点(x,y)的切线垂直于此点与原点的连线，则曲线所满足 的微分方程____________ (4)设曲线y=y(x)上任一点(x,y)的切线在坐标轴间的线段长度等于常数a,则曲 线所满足的微分方程 (5)某人以本金po元进行一项投资，投资的年利率为了,若以连续复利计，t年后资 金的总额为p(t)= (6)方程y=x+j'()ydx可化为形如微分方程 2.已知Q=ce"满足微分方程丝=-0.03(2，问C和K的取值应如何？ 班级:姓名:学号 3.、若可导函数/(%)满足方程/(x)=2+1(1),将(1)式两边求 J0 导，得广(幻=2.炉").........................................(2) 易知/(x)=ce/(c为任意常数)是(2)的通解，从而/(x)=ce,为(1)的解，对吗？ 4.证明：y=。|%+，2~”目是微分方程/),"一盯'+y=0的通解. 习题10-2一阶微分方程（一） 1.求下列微分方程的通解: （1） e>"+3x (2)y'+-----=0 (3)3e'tanydx+(2-e')sec2ydy=0 2.求下列微分方程满足所给初始条件的特解: _7t (1)sinycosxdy-cosysinxdx,yx=0=W (2)dx-y|.v=o=i i+y…°， 3镭的衰变速度与它的现存量R成正比，有资料表明，镭经过1600年后，只余原始量& 习题10-2一阶微分方程（二） （1）设y*是生+〃。）），=。。）的一个解，Y是对应的齐次方程的通解，则该方程的 通解为___________ Y—1 （2）/=--1是方程xy'+y=x"的一个特解，则其通解为 (3)微分方程盯'+y-)，21nx=0作变换可化为一阶线性微分方程 (4)(x+y)y'+(x—y)=O的通解为 —X—XX (5)(l+2ev)dx+2/'(l-一)dy=O的通解为 2.求下列微分方程的通解： (1)xyf+y=x2+3x+2 ⑵(x-2xy-y2)y'+y2=0 3.求下列微分方程满足所给初始条件的特解: —+ycotx=5emsx,y.=-4 dx*=彳 4.用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的方程，然后求出通解: (1)半=。+),)2 (2)xyr+y=y(lnx+lny) 5.已知一曲线过原点，且它在点（x,y）处切线的斜率等于2x+y,求该曲线的方程 6.设/(x)可微且满足关系式J：［27a)-\\dt=/(x)-1,求/(x) 习题10-3一阶微分方程在经济学中的应用 1.已知某商品的需求价格弹性为￡2=—P(lnP+l),且当P=1时，需求量Q=1 EP (1)求商品对价格的需求函数 (2)当尸一+8时，需求量是否趋于稳定？ 2.已知某商品的需求量Q对价格P的弹性〃=322,而市场对该商品的最大需求量为1 万件，求需求函数 3.已知某商品的需求量Q与供给量S都是价格P的函数：Q=js=bp ￡=UO(P)—S(p)](A为正常数) 假设当f=0时，价格为1,试求： (1)需求量等于供给量的均衡价格 (2)价格函数p⑺ (3)limp(t) /->+00 4.在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的，设该人群的总人数为 N,在f=0时刻已掌握新技术的人数为，N,在任意时刻，己掌握新技术人数为x(f),其 变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比，比例常数女＞0 求x(f) 5.某银行帐户，以连续复利方式计息，年利率为5%,希望连续20年以每年12000元人 民币的速度用这一帐户支付职工工资。若，以年为单位，写出余额8=/（。所满足的微分方 程，且问当初始存入的数额B为多少时;才能使20年后帐户中的余额精确地减至0. 习题10-4可降阶的二阶微分方程 (1)微分方程y〃=—的通解为. (2)微分方程y"=1+(y')2的通解为 (3)微分方程y〃=y'+x的通解为. (4)微分方程yy"+(y')2=y'的通解为. (5)微分方程y"+^(y')2=0的通解为. i-y (6)设必=/与%=/inx是方程-y"—3盯'+4y=0的特解，则其方程的通解 为. 2,求下列微分方程满足所给初始条件的特解 3.求下列微分方程满足初始条件的特解: d)/-y2=0,九。=0,人。-1 ⑵⑴y"=e"\心|=儿|=0 4.试求/=X的经过点M(O,1)且在此点与直线y=1X+1相切的积分曲线 22r 5.验证必="及为=%/都是方程y一4孙'+(4/-2万=0的解，并写出该方程 的通解. d2Vdy 6.设函数必(x),乃(x),%(工)均是非齐次线性方程T+(%)—+b(x)y=/(x)的 dxdx 特解，其中。(X),伙x),/(x)为已知函数，而且了2(光)一月。)R常数,求证 %(%)一月(X) y(x)=(1-c,-c2)y1(x)+cty2(x)+c2y3(x)(q,C2为任意常数)是该方程的通解. 7.证明函数y=Ge'+C2e2x+，e5x(《了？是任意常数)是方程y"—3y'+2y=e5, 习题10-5二阶常系数线性微分方程(一) (1)微分方程y〃—4y'=0的通解为. (2)微分方程y〃+4y'+4)，=0的通解为. (3)微分方程y〃+2y'+5y=Q的通解为. (4)微分方程y〃+2y'+ay=0(a为常数)的通解为 (5)设2±i为方程y"+py'+qy^O的特征方程的两根，则其通解为 (6)设二阶常系数齐次线性微分方程的二个特征根为八=2=4,则该二阶常系数 齐次线性微分方程为. 2.求下列微分方程满足所给初始条件的特解： （1）y"-4y，+3y=0,y|A=0=6,儿（）=10 , （2）4y"+4）/+y=0,>>|J=0=2,y|x=o=O (3)y"—4y'+13y=0,y|.t=o=O,y[*=o=3 3.求以月=",乃=xe,为特解的二阶常系数齐次线性微分方程 4.方程4y〃+9y=0的一条积分曲线经过点（万,-1）且在该点和直线y+l=x-相 切，求这条曲线方程 5.求x2y〃_（y）2=。的过（1,o）点，且在此点与y=x—1相切的积分曲线. 习题10-5常系数线性微分方程(二) (1)微分方程y"+2y'+y=xe，的特解可设为型如y*=. (2)微分方程y〃-7y'+6y=sinx的特解可设为型如y*=. (3)微方程y"-2y'+5y=/sin2x的特解可设为型如y*= (4)微分方程y"+y'=x+cosx的特解可设为型如y*=. (5)微分方程y"—V=xsin2x的特解可设为型如y*=. (1)y"+3y'+2y=3xe-x (2)y"+y=ex+cosx 3.求微分方程满足所给初始条件的特解: y"_y=4xe\y|A=o=O,）（=（）=1 4.设函数＞=＞。）满足微分方程2y=3e',它的图形在尤=0处与直线 y=x相切，求该函数 5.设函数°(x)连续，且满足9(尤)=e'+力一夕Q)力，求夕(工). 6.设函数y(x)(x>0)二阶可导,且y\x)>0,y(0)=1,过曲线y=y(x)上任意点 p(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S］， 区间。x］上以y=y(x)为曲边的曲边梯形的面积记为力，恒有2邑-$2=1，求曲线 y=y(x)的方程. 习题10-6差分与差分方程的概念常系数线性差分方程解的结构 (1)设月=e”,贝ijAyx= (2)设yx=x>贝UAy*= (3)设yr=cos2x,则Ay*= (4)差分的运算法则：A(cy,)= △(%+z。=---------------- 2.已知上=e*是方程L+I+ayx=2e的一个解，求a. 班级：姓名:学号: 3.求下列函数的二阶差分 (1)y=e3v (2)y^2x3-x2 (3)y=loaxg(a>0,a1) 4.给定一阶差分方程yx+［+pyx=Aa\验证： A (1)当p+〃wO时，yx=-----优是方程的解. p+。 (2)当〃+。=0时，九=人工优一是方程的解 习题10—7一阶常系数线性差分方程(一) (1)一阶常系数齐次线性差分方程yA+1-ayx=0(ak0)的通解为 2.求下列一阶常系数齐次线差分方程的通解： (D2”.+1-3月=° ⑵”+LT=0 习题10-7一阶常系数线性差分方程(二) (1)若/(x)=p“(x),则一阶常系数非齐次线性差分方程yx+1-ayx=/(x) 具有形如y；=的特解. 当1不是特征方程的根时，k=; 当1是特征方程的根时，k=. 2.求下列一阶差分方程在给定初始条件下的特解 (D2K.M+5月=0且=3 (2)Ayr=0,且=2 3.求下列一阶差分方程的通解 (1)Ayx-4=3 (2)y*+i+4”.=2x+x+l /、1 =2' ⑶y,+,--y, （4）%+]+%=>2' 4.求下列一阶差分方程在给定的初始条件下的特解 ⑴L+i+4”.=2,+x-2且%=1 ⑵L+i+L=2、，且No=2 习题10-9差分方程的经济应用 1.（存款模型） 设S,为，年末存款总额，r为年利率，有关系式5+|=S,+4,,且初始存款为So,求 ，年末的本利和. 2.设某产品在时期f的价格，总供给与总需求分别为￡,S,与对于『=0,1,2,…有关 S,=2P,+\ 系式：=-4￡_]+4 S,=D, (1)求证：由关系式可推出差分方程Ci+2^=2; (2)外已知时，求该方程的解. 3.设％为t期国民收入，c,为f期消费，I为投资（各期相同），三者有关系式 %=C+I,q=ocyt_x+，其中0 已知f=0时，yt=y0,试求yt和c1 4.设某商品在f时期的供给量5,与需求量4都是这一时期该商品价格P,的线性函数, 已知邑=3pf—2,d1=4-5pt 且在￡时期的价格0由〃”及供给量与需求量之差4」按关系式 P,=P,T—白（》T-4T）确定 1。 微积分练习册［第十一章］无穷级数 习题11T常数项级数的概念和性质 (1)收敛，则lim(〃：-un+3)= -00 n=l 00 (2)收敛，且S〃=%+%+…+。〃，则Hm(S〃+]+S〃_]一25〃)= n—>ao ”=1 （4）若的和是3,则X%的和是 “=1n=3 PC6 （5）的和是2,则工二的和是 n=ln=l2 （6）当|M 2.根据级数收敛与发散的定义判别下列级数的敛散性 Q0] (1)X =1(2〃一1)(2"+1) (2)〉：(Jn+2—2J/i+1+V/2) 〃=i 3.判断下列级数的敛散性 14 ⑵S（-i）,,-,G）n M=15 Z00（jQ）n ⑶ M=14 op （4）￡“0.001 n=\ 82"+3" （5）E n=\6" (6)雪1+,+2+-/+〃+… 5255" 习题11-2正项级数及其审敛法 1.用比较审敛法或比较审敛法的极限形式判别下列级数的敛散性: 81 (1) “=i+1 OPl+〃2 ⑵Ecos2 ”=Il+〃2n ⑶,呜 "=1乙 2.用比值审敛法或根值审敛法判别下列级数的敛散性: 、自2" （1）y一 002〃,加 ⑵En ”=1n ⑶"T 习题11-3任意项级数的绝对收敛与条件收敛 1.判别下列级数的敛散性: Q0 “2+3" ⑴Z n=l2" ⑵E3+(-D" =12" ⑶叁备”＞。） 2.判别下列级数是否收敛，若收敛是绝对收敛还是条件收敛 ⑴y（-l）n（l-COS-）,（G>0） 〃=|〃 "1 ⑵^（-ir— ”=2ln〃 3.已知级数和XO：都收敛，试证明级数z。,也,绝对收敛. n=\n=l〃=1 习题11-4泰勒级数与事级数（一） 00Q （1）若幕级数Z4（―）M在X=0处收敛，则在X=5处____________（收敛、发散）. ”=12 （2）若lim回=2,则幕级数的收敛半径为. n->+oo「- cn+lri=0 （3）,（一3）“<的收敛域. a〃 （4）丈3+（-1）：/的收敛域. M=0D oo2rt+i （5）Z（—l）“J的收敛域_____________. Z〃,2” j\ （6）￡上口n（》—2）"的收敛域____________. M1+犷 2.求下列幕级数的收敛域： 2,一13〃 ⑵ n=l乙 co1 ⑶E(x—3)" “=1n-3" 3.若基级数f的收敛域是[-9,9],写出￡>“炉”的收敛域 n=\M=I 4.利用逐项求导或逐项积分，求下列级数在收敛区间内的和函数